Ponekad marljivo proučavanje egzaktnih nauka može uroditi plodom - postaćete ne samo poznati celom svetu, već i bogati. Nagrade se, međutim, daju uzalud, a u savremenoj nauci postoji mnogo nedokazanih teorija, teorema i problema koji se množe kako se nauka razvija, uzmite barem Kurovke ili Dnjestarske sveske, svojevrsne zbirke sa nerešivim fizičkim i matematičkim, a ne samo , zadaci. Međutim, postoje i zaista složene teoreme koje nisu riješene više od desetak godina, a za njih je američki institut za glinu dodijelio nagradu u iznosu od milion američkih dolara za svaku. Do 2002. ukupan džekpot je bio 7 miliona, budući da je bilo sedam "milenijumskih problema", ali je ruski matematičar Grigorij Perelman rešio Poincaréovu pretpostavku epski odustajući od milion, a da nije ni otvorio vrata američkim matematičarima koji su hteli da mu iskreno daju svoje zarađeni bonusi. Dakle, uključujemo Teoriju Velikog praska za pozadinu i raspoloženje, i vidimo za šta još možete srezati okrugli iznos.
Jednakost klasa P i NP
Jednostavno rečeno, problem jednakosti P = NP je sljedeći: ako se pozitivan odgovor na neko pitanje može provjeriti prilično brzo (u polinomskom vremenu), onda je tačno da se odgovor na ovo pitanje može naći prilično brzo (također u polinomsko vrijeme i korištenje polinomske memorije)? Drugim riječima, nije li zaista lakše provjeriti rješenje problema nego ga pronaći? Suština ovdje je da je neke proračune i proračune lakše riješiti algoritamski, a ne grubom silom, i na taj način štede mnogo vremena i resursa.
Hodgeova hipoteza
Hodgeova pretpostavka, formulirana 1941. godine, je da su za posebno dobre tipove prostora koji se nazivaju projektivni algebarski varijeteti, takozvani Hodgeovi ciklusi kombinacije objekata koji imaju geometrijsku interpretaciju - algebarski ciklusi.
Ovdje, objašnjavajući jednostavnim riječima, možemo reći sljedeće: u 20. stoljeću otkriveni su vrlo složeni geometrijski oblici, poput zakrivljenih boca. Dakle, sugerirano je da je za konstruiranje ovih objekata za opis potrebno koristiti potpuno zagonetne forme koje nemaju geometrijsku suštinu "tako strašne višedimenzionalne škrabotine-žvrljanje" ili se ipak može snaći sa uslovno standardnom algebrom + geometrijom .
Riemannova hipoteza
Ovdje je to prilično teško objasniti ljudskim jezikom, dovoljno je znati da će rješenje ovog problema imati dalekosežne posljedice na polju raspodjele prostih brojeva. Problem je toliko važan i hitan da se čak i izvođenje protuprimjera hipoteze - po diskreciji akademskog vijeća univerziteta, problem može smatrati dokazanim, pa ovdje možete isprobati metodu "od suprotnog". Čak i ako je moguće preformulisati hipotezu u užem smislu, čak i ovdje će Institut Clay isplatiti određenu svotu novca.
Yang-Mills teorija
Fizika čestica je jedna od omiljenih tema dr. Sheldona Coopera. Ovdje nam kvantna teorija dva pametna ujaka govori da za bilo koju jednostavnu mjernu grupu u prostoru postoji defekt mase koji nije nula. Ova tvrdnja je utvrđena eksperimentalnim podacima i numeričkim simulacijama, ali je do sada niko ne može dokazati.
Navier-Stokesove jednadžbe
Ovdje bi nam Hauard Wolowitz sigurno pomogao da postoji u stvarnosti - uostalom, ovo je zagonetka iz hidrodinamike, i temelj temelja. Jednačine opisuju kretanje viskoznog njutnovskog fluida, od velike su praktične važnosti i, što je najvažnije, opisuju turbulenciju, koja se ni na koji način ne može uvesti u okvir nauke, a njena svojstva i radnje se ne mogu predvidjeti. Opravdanje za konstrukciju ovih jednačina bi omogućilo da se ne upire prstom u nebo, već da se razume turbulencija iznutra i da se avion i mehanizmi učine stabilnijim.
Birch-Swinnerton-Dyer hipoteza
Istina, ovdje sam pokušao pokupiti jednostavne riječi, ali postoji tako gusta algebra da se ne može bez dubokog uranjanja. Oni koji ne žele roniti u matan moraju znati da ova hipoteza omogućava brzo i bezbolno pronalaženje ranga eliptičkih krivulja, a da ova hipoteza ne postoji, tada bi za izračunavanje ovog ranga bio potreban list proračuna . Pa, naravno, morate znati i da će vas dokaz ove hipoteze obogatiti za milion dolara.
Treba napomenuti da u gotovo svakoj oblasti već postoje pomaci, pa čak i dokazani slučajevi za pojedinačne primjere. Stoga, ne oklijevajte, inače će ispasti kao sa Fermatovom teoremom, koja je podlegla Andrewu Wilesu nakon više od 3 stoljeća 1994. godine, i donijela mu Abelovu nagradu i oko 6 miliona norveških kruna (50 miliona rubalja po današnjem kursu) .
Često, u razgovoru sa srednjoškolcima o istraživačkom radu iz matematike, čujem sljedeće: "Šta se to novo može otkriti u matematici?" Ali zaista: možda su sva velika otkrića napravljena, a teoreme dokazane?
Dana 8. avgusta 1900. godine, na Međunarodnom kongresu matematičara u Parizu, matematičar David Hilbert iznio je listu problema za koje je vjerovao da će se riješiti u dvadesetom vijeku. Na listi su bile 23 stavke. Do sada je riješeno njih 21. Posljednji riješeni problem na Gilbertovoj listi bila je Fermatova poznata teorema, koju naučnici nisu mogli riješiti 358 godina. Godine 1994. Britanac Andrew Wiles predložio je svoje rješenje. Ispostavilo se da je to istina.Po uzoru na Gilberta s kraja prošlog stoljeća, mnogi matematičari su pokušali formulirati slične strateške zadatke za 21. vijek. Jednu takvu listu proslavio je bostonski milijarder Landon T. Clay. 1998. o njegovom trošku osnovan je Clay Mathematics Institute u Kembridžu (Masachusetts, SAD) i ustanovljene su nagrade za rješavanje niza važnih problema u savremenoj matematici. Stručnjaci instituta su 24. maja 2000. izabrali sedam problema - prema broju miliona dolara koji su dodeljeni za nagrade. Lista se zove problemi Milenijumske nagrade:
1. Cookov problem (formuliran 1971.)
Recimo da vi, budući da ste u velikom društvu, želite da budete sigurni da je i vaš prijatelj tu. Ako vam kažu da on sjedi u uglu, tada će vam biti dovoljan i djelić sekunde da se jednim pogledom uvjerite da je informacija istinita. U nedostatku ovih informacija, bit ćete prisiljeni obilaziti cijelu prostoriju, gledajući goste. Ovo sugerira da rješavanje problema često traje više vremena od provjere ispravnosti rješenja.
Stephen Cook je formulirao problem: može li provjera ispravnosti rješenja problema biti duža od dobivanja samog rješenja, bez obzira na algoritam verifikacije. Ovaj problem je također jedan od neriješenih problema u oblasti logike i računarstva. Njegovo rješenje moglo bi revolucionirati osnove kriptografije koja se koristi u prijenosu i skladištenju podataka.
2. Riemannova hipoteza (formulisana 1859.)
Neki cijeli brojevi se ne mogu izraziti kao proizvod dva manja cijela broja, kao što su 2, 3, 5, 7 itd. Takvi brojevi se nazivaju prosti brojevi i igraju važnu ulogu u čistoj matematici i njenim primjenama. Raspodjela prostih brojeva među nizovima svih prirodnih brojeva ne slijedi nikakvu pravilnost. Međutim, njemački matematičar Riemann iznio je pretpostavku o svojstvima niza prostih brojeva. Ako se Riemannova hipoteza dokaže, to će revolucionirati naše znanje o šifriranju i dovesti do neviđenih otkrića u internet sigurnosti.
3. Birch i Swinnerton-Dyer hipoteza (formulirana 1960.)
Povezano s opisom skupa rješenja nekih algebarskih jednadžbi u više varijabli sa cjelobrojnim koeficijentima. Primjer takve jednačine je izraz x2 + y2 = z2. Euklid je dao potpuni opis rješenja ove jednačine, ali za složenije jednačine, pronalaženje rješenja postaje izuzetno teško.
4. Hodgeova hipoteza (formulisana 1941.)
U 20. veku matematičari su otkrili moćnu metodu za proučavanje oblika složenih objekata. Osnovna ideja je da se umjesto samog objekta koriste jednostavne "cigle", koje su zalijepljene i formiraju njegovu sličnost. Hodgeova hipoteza je povezana s nekim pretpostavkama o svojstvima takvih "cigli" i objekata.
5. Navier - Stokesove jednadžbe (formulisane 1822.)
Ako plovite u čamcu po jezeru, tada će se pojaviti valovi, a ako letite u avionu, u zraku će se pojaviti turbulentne struje. Pretpostavlja se da su ove i druge pojave opisane jednadžbama poznatim kao Navier-Stokesove jednačine. Rješenja ovih jednačina su nepoznata, a ne zna se ni kako ih riješiti. Potrebno je pokazati da rješenje postoji i da je dovoljno glatka funkcija. Rješenje ovog problema omogućit će značajnu promjenu metoda izvođenja hidro- i aerodinamičkih proračuna.
6. Poincareov problem (formuliran 1904.)
Ako nategnete gumenu traku preko jabuke, možete polako pomicati traku bez napuštanja površine, stisnuti je do točke. S druge strane, ako je ista gumena traka pravilno razvučena oko krofne, ne postoji način da se traka stisne do točke bez pokidanja trake ili lomljenja krofne. Kaže se da je površina jabuke jednostavno povezana, ali površina krofne nije. Pokazalo se da je toliko teško dokazati da je samo sfera jednostavno povezana da matematičari još uvijek traže tačan odgovor.
7. Yang-Mills jednadžbe (formulisane 1954.)
Jednačine kvantne fizike opisuju svijet elementarnih čestica. Fizičari Yang i Mills, nakon što su otkrili vezu između geometrije i fizike elementarnih čestica, napisali su vlastite jednadžbe. Tako su pronašli način da objedine teorije elektromagnetnih, slabih i jakih interakcija. Yang-Millsove jednadžbe su implicirale postojanje čestica koje su zaista uočene u laboratorijama širom svijeta, pa Yang-Mills teoriju prihvaća većina fizičara, uprkos činjenici da ova teorija još uvijek ne uspijeva predvidjeti mase elementarnih čestica.
Mislim da je ovaj materijal objavljen na blogu zanimljiv ne samo studentima, već i školarcima koji se ozbiljno bave matematikom. Ima o čemu razmišljati pri odabiru tema i područja istraživanja.
Nerješivi problemi su 7 najzanimljivijih matematičkih problema. Svaki od njih su u jednom trenutku predložili poznati naučnici, po pravilu, u obliku hipoteza. Već dugi niz decenija matematičari širom sveta razbijaju mozak nad svojim rešenjem. Oni koji uspiju bit će nagrađeni sa milion američkih dolara koje nudi Clay Institute.
Clay Institute
Ovo ime je privatna neprofitna organizacija sa sjedištem u Cambridgeu, Massachusetts. Osnovali su ga 1998. godine matematičar sa Harvarda A. Jeffey i biznismen L. Clay. Cilj Instituta je popularizacija i razvoj matematičkih znanja. Da bi to postigla, organizacija dodjeljuje nagrade naučnicima i sponzorima obećavajuća istraživanja.
Početkom 21. veka, Clay Matematički institut ponudio je nagradu onima koji rešavaju probleme koji su poznati kao najteži nerešivi problemi, nazvavši njihovu listu Milenijumskom nagradom Problemi. Sa "Hilbertove liste" uključivala je samo Riemanovu hipotezu.
Milenijumski izazovi
Lista Instituta za glinu prvobitno je uključivala:
- hipoteza Hodgeovog ciklusa;
- jednadžbe kvantne teorije Yang-Mills;
- Poincaréova hipoteza;
- problem jednakosti klasa P i NP;
- Riemannova hipoteza;
- o postojanju i glatkoći njegovih rješenja;
- Birch-Swinnerton-Dyer problem.
Ovi otvoreni matematički problemi su od velikog interesa jer mogu imati mnogo praktičnih implementacija.
Šta je Grigorij Perelman dokazao
Godine 1900., poznati filozof Henri Poincaré sugerirao je da je svaka jednostavno povezana kompaktna 3-mnogostrukost bez granica homeomorfna 3-sferi. Njegov dokaz u opštem slučaju nije pronađen čitav vek. Tek 2002-2003. godine, peterburški matematičar G. Perelman objavio je niz članaka sa rješenjem Poincaréovog problema. Imali su efekat bombe koja je eksplodirala. Godine 2010. Poincaréova hipoteza je isključena sa liste “Neriješenih problema” Instituta Clay, a samom Perelmanu je ponuđeno da dobije znatnu naknadu zbog njega, što je ovaj odbio ne obrazlažući razloge svoje odluke.
Najrazumljivije objašnjenje onoga što je ruski matematičar uspeo da dokaže može se dati tako što se zamisli da se gumeni disk navuče na krafnu (torus), a zatim pokušavaju da povuku ivice njegovog obima u jednu tačku. Očigledno to nije moguće. Još jedna stvar, ako napravite ovaj eksperiment sa loptom. U ovom slučaju, naizgled trodimenzionalna sfera, nastala iz diska, čiji je obim povučen do tačke pomoću hipotetičke vrpce, bit će trodimenzionalna u razumijevanju običnog čovjeka, ali dvodimenzionalna iz tačke pogleda na matematiku.
Poincaré je sugerirao da je trodimenzionalna sfera jedini trodimenzionalni "objekat" čija se površina može skupiti u jednu tačku, a Perelman je to uspio dokazati. Dakle, lista "Nerešivih problema" danas se sastoji od 6 problema.
Yang-Mills teorija
Ovaj matematički problem predložili su njegovi autori 1954. godine. Naučna formulacija teorije je sljedeća: za bilo koju jednostavnu kompaktnu mjernu grupu postoji kvantna prostorna teorija koju su kreirali Yang i Mills, a istovremeno ima nultu masu.
Govoreći jezikom razumljivim običnom čovjeku, interakcije između prirodnih objekata (čestica, tijela, valova itd.) dijele se na 4 vrste: elektromagnetne, gravitacijske, slabe i jake. Već dugi niz godina, fizičari pokušavaju stvoriti opću teoriju polja. Trebalo bi da postane alat za objašnjenje svih ovih interakcija. Yang-Millsova teorija je matematički jezik kojim je postalo moguće opisati 3 od 4 glavne sile prirode. Ne odnosi se na gravitaciju. Stoga se ne može smatrati da su Yang i Mills uspjeli stvoriti teoriju polja.
Osim toga, nelinearnost predloženih jednačina čini ih izuzetno teškim za rješavanje. Za male konstante sprezanja, one se mogu približno riješiti u obliku serije teorije perturbacije. Međutim, još uvijek nije jasno kako se ove jednadžbe mogu riješiti jakom spregom.
Navier-Stokesove jednadžbe
Ovi izrazi opisuju procese kao što su protok vazduha, protok fluida i turbulencija. Za neke posebne slučajeve već su pronađena analitička rješenja Navier-Stokesove jednadžbe, ali to do sada nikome nije uspjelo za opći. Istovremeno, numeričke simulacije za određene vrijednosti brzine, gustine, pritiska, vremena i tako dalje mogu postići odlične rezultate. Ostaje za nadati se da će neko moći primijeniti Navier-Stokesove jednadžbe u suprotnom smjeru, odnosno uz njihovu pomoć izračunati parametre ili dokazati da ne postoji metoda rješenja.
Birch-Swinnerton-Dyer problem
U kategoriju "Neriješeni problemi" spada i hipoteza koju su predložili engleski naučnici sa Univerziteta u Kembridžu. Još prije 2300 godina, starogrčki naučnik Euklid dao je potpuni opis rješenja jednačine x2 + y2 = z2.
Ako se za svaki od prostih brojeva izbroji broj tačaka na krivulji po modulu, dobićete beskonačan skup celih brojeva. Ako je posebno "zalijepite" u 1 funkciju kompleksne varijable, tada ćete dobiti Hasse-Weil zeta funkciju za krivulju trećeg reda, označenu slovom L. Sadrži informacije o modulo ponašanju svih prostih brojeva odjednom .
Brian Burch i Peter Swinnerton-Dyer su nagađali o eliptičnim krivuljama. Prema njemu, struktura i broj skupa njegovih racionalnih rješenja vezani su za ponašanje L-funkcije na identičnosti. Trenutno nedokazana Birch-Swinnerton-Dyerova pretpostavka zavisi od opisa algebarskih jednačina 3. stepena i jedini je relativno jednostavan opšti način za izračunavanje ranga eliptičkih krivulja.
Da bi se shvatila praktična važnost ovog zadatka, dovoljno je reći da se u modernoj kriptografiji čitava klasa asimetričnih sistema zasniva na eliptičnim krivuljama, a domaći standardi digitalnog potpisa zasnovani su na njihovoj primjeni.
Jednakost klasa p i np
Ako su ostali milenijumski izazovi čisto matematički, onda je ovaj povezan sa stvarnom teorijom algoritama. Problem koji se tiče jednakosti klasa p i np, poznat i kao Cooke-Levinov problem, može se formulisati razumljivim jezikom na sljedeći način. Pretpostavimo da se pozitivan odgovor na određeno pitanje može provjeriti dovoljno brzo, tj. u polinomskom vremenu (PT). Da li je onda tačna izjava da se odgovor na nju može naći prilično brzo? Još jednostavnije zvuči ovako: zar zaista nije teže provjeriti rješenje problema nego ga pronaći? Ako se ikada dokaže jednakost klasa p i np, onda se svi problemi selekcije mogu riješiti za PV. Trenutno mnogi stručnjaci sumnjaju u istinitost ove izjave, iako ne mogu dokazati suprotno.
Riemannova hipoteza
Do 1859. godine nije identifikovan obrazac koji bi opisao kako su prosti brojevi raspoređeni među prirodnim brojevima. Možda je to bilo zbog činjenice da se nauka bavila drugim pitanjima. Međutim, sredinom 19. stoljeća situacija se promijenila i oni su postali jedan od najrelevantnijih kojima se matematika počela baviti.
Riemannova hipoteza, koja se pojavila u ovom periodu, je pretpostavka da postoji određeni obrazac u raspodjeli prostih brojeva.
Danas mnogi savremeni naučnici veruju da će, ako se to dokaže, mnogi od osnovnih principa moderne kriptografije, koji čine osnovu značajnog dela mehanizama e-trgovine, morati da budu revidirani.
Prema Riemannovoj hipotezi, priroda raspodjele prostih brojeva može se značajno razlikovati od onoga što se trenutno pretpostavlja. Činjenica je da do sada nije otkriven sistem u raspodjeli prostih brojeva. Na primjer, postoji problem "blizanaca", razlika između kojih je 2. Ovi brojevi su 11 i 13, 29. Ostali prosti brojevi formiraju klastere. To su 101, 103, 107 itd. Naučnici su dugo sumnjali da takvi skupovi postoje među vrlo velikim prostim brojevima. Ako se pronađu, onda će stabilnost modernih kripto ključeva biti dovedena u pitanje.
Hipoteza Hodgeovog ciklusa
Ovaj do sada neriješen problem formuliran je 1941. godine. Hodgeova hipoteza sugerira mogućnost aproksimacije oblika bilo kojeg objekta "lijepljenjem" jednostavnih tijela viših dimenzija. Ova metoda je poznata i uspješno korištena već duže vrijeme. Međutim, nije poznato u kojoj mjeri je moguće pojednostavljenje.
Sada znate kakvi nerešivi problemi postoje u ovom trenutku. Predmet su istraživanja hiljada naučnika širom svijeta. Ostaje za nadati se da će u bliskoj budućnosti oni biti riješeni, a njihova praktična primjena pomoći će čovječanstvu da uđe u novi krug tehnološkog razvoja.
Nema toliko ljudi na svijetu koji nikada nisu čuli za Fermatovu posljednju teoremu - možda je ovo jedini matematički problem koji je postao toliko poznat i postao prava legenda. Spominje se u mnogim knjigama i filmovima, dok je glavni kontekst gotovo svih spominjanja nemogućnost dokazivanja teoreme.
Da, ova teorema je vrlo poznata i na neki način je postala “idol” kojeg obožavaju matematičari amateri i profesionalni matematičari, ali malo ljudi zna da je pronađen njen dokaz, a to se dogodilo davne 1995. godine. Ali prvo stvari.
Dakle, Fermatova posljednja teorema (često nazvana Fermatova posljednja teorema), koju je 1637. godine formulirao briljantni francuski matematičar Pierre Fermat, vrlo je jednostavna po prirodi i razumljiva svakoj osobi sa srednjim obrazovanjem. Kaže da formula a na stepen od n + b na stepen od n \u003d c na stepen od n nema prirodnih (tj. nerazlomačnih) rešenja za n> 2. Čini se da je sve jednostavno i jasno , ali su se najbolji matematičari i obični amateri borili oko traženja rješenja više od tri i po vijeka.
Zašto je tako poznata? Hajde sada da saznamo...
Ima li malo dokazanih, nedokazanih, a opet nedokazanih teorema? Stvar je u tome što je Fermatova posljednja teorema najveći kontrast između jednostavnosti formulacije i složenosti dokaza. Fermatova posljednja teorema je nevjerovatno težak zadatak, a njenu formulaciju mogu razumjeti svi sa 5 razreda srednje škole, ali dokaz je daleko ni od svakog profesionalnog matematičara. Ni u fizici, ni u hemiji, ni u biologiji, ni u istoj matematici ne postoji nijedan problem koji bi se tako jednostavno formulisao, a tako dugo ostao neriješen. 2. Od čega se sastoji?
Počnimo od Pitagorinih pantalona. Riječ je zaista jednostavna - na prvi pogled. Kao što znamo iz djetinjstva, "pitagorine pantalone su jednake na sve strane." Problem izgleda tako jednostavno jer je zasnovan na matematičkoj izjavi koju svi znaju - Pitagorinoj teoremi: u bilo kojem pravokutnom trokutu kvadrat izgrađen na hipotenuzi jednak je zbiru kvadrata izgrađenih na katetama.
U 5. veku pne. Pitagora je osnovao pitagorejsko bratstvo. Pitagorejci su, između ostalog, proučavali cjelobrojne trojke koje zadovoljavaju jednačinu x²+y²=z². Dokazali su da postoji beskonačno mnogo Pitagorinih trojki i dobili opće formule za njihovo pronalaženje. Vjerovatno su pokušali tražiti trojke i više diplome. Uvjereni da to nije uspjelo, pitagorejci su napustili svoje uzaludne pokušaje. Članovi bratstva bili su više filozofi i esteti nego matematičari.
Odnosno, lako je pokupiti skup brojeva koji savršeno zadovoljavaju jednakost x² + y² = z²
Počevši od 3, 4, 5 - zaista, učenik osnovne škole razumije da je 9 + 16 = 25.
Ili 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Odlično.
Pa, ispostavilo se da nemaju. Ovdje počinje trik. Jednostavnost je očigledna, jer je teško dokazati ne prisustvo nečega, već, naprotiv, odsustvo. Kada je potrebno dokazati da rješenje postoji, to rješenje se može i treba jednostavno predstaviti.
Teže je dokazati izostanak: na primjer, neko kaže: takva i takva jednačina nema rješenja. Staviti ga u lokvicu? lako: bam - i evo ga, rješenje! (dati rješenje). I to je to, protivnik je poražen. Kako dokazati odsustvo?
Reći: "Nisam našao takva rješenja"? Ili možda niste dobro tražili? A šta ako su, samo vrlo veliki, pa, takvi da čak ni super-moćni kompjuter još nema dovoljno snage? To je ono što je teško.
U vizualnom obliku to se može prikazati na sljedeći način: ako uzmemo dva kvadrata odgovarajućih veličina i rastavimo ih na jedinične kvadrate, onda se iz ove gomile jediničnih kvadrata dobije treći kvadrat (slika 2): 
I uradimo isto sa trećom dimenzijom (slika 3) - ne radi. Nema dovoljno kocki ili su ostale dodatne:
Ali matematičar iz 17. stoljeća, Francuz Pierre de Fermat, s entuzijazmom je proučavao opću jednačinu x n + y n \u003d z n. I, konačno, zaključio je: za n>2 cjelobrojna rješenja ne postoje. Fermatov dokaz je nepovratno izgubljen. Rukopisi su u plamenu! Ostala je samo njegova primjedba u Diofantovoj Aritmetici: "Pronašao sam zaista nevjerovatan dokaz za ovu tvrdnju, ali su margine ovdje preuske da bi ga sadržavale."
Zapravo, teorema bez dokaza naziva se hipoteza. Ali Fermat ima reputaciju da nikada ne griješi. Čak i ako nije ostavio dokaz o bilo kakvoj izjavi, ona je naknadno potvrđena. Osim toga, Fermat je dokazao svoju tezu za n=4. Tako je hipoteza francuskog matematičara ušla u istoriju kao Fermatova poslednja teorema.
Nakon Ferma, veliki umovi kao što je Leonhard Euler radili su na traženju dokaza (1770. godine predložio je rješenje za n = 3),
Adrien Legendre i Johann Dirichlet (ovi naučnici su zajedno pronašli dokaz za n = 5 1825.), Gabriel Lame (koji je pronašao dokaz za n = 7) i mnogi drugi. Sredinom 80-ih godina prošlog veka postalo je jasno da je naučni svet na putu do konačnog rešenja Fermaove poslednje teoreme, ali tek 1993. matematičari su videli i poverovali da je trovekovna saga o pronalaženju dokaza Fermatova posljednja teorema je bila skoro gotova.
Lako je pokazati da je dovoljno dokazati Fermatov teorem samo za prost n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Za kompozit n, dokaz ostaje validan. Ali ima beskonačno mnogo prostih brojeva...
Godine 1825., koristeći metodu Sophie Germain, žene matematičarke, Dirichlet i Legendre, nezavisno su dokazale teoremu za n=5. Godine 1839. Francuz Gabriel Lame pokazao je istinitost teoreme za n=7 koristeći istu metodu. Postepeno, teorema je dokazana za skoro svih n manje od sto.
Konačno, njemački matematičar Ernst Kummer je u briljantnoj studiji pokazao da metode matematike u 19. vijeku ne mogu dokazati teoremu u opštem obliku. Nagrada Francuske akademije nauka, ustanovljena 1847. za dokaz Fermaove teoreme, ostala je nedodijeljena.
Godine 1907. bogati njemački industrijalac Paul Wolfskel odlučio je sebi oduzeti život zbog neuzvraćene ljubavi. Kao pravi Nijemac, odredio je datum i vrijeme samoubistva: tačno u ponoć. Posljednjeg dana napravio je testament i pisao pisma prijateljima i rođacima. Posao je završen prije ponoći. Moram reći da je Paula zanimala matematika. Nemajući šta da radi, otišao je u biblioteku i počeo da čita Kumerov čuveni članak. Odjednom mu se učinilo da je Kummer pogriješio u rasuđivanju. Wolfskehl je s olovkom u ruci počeo analizirati ovaj dio članka. Ponoć je prošla, jutro je došlo. Praznina u dokazu je popunjena. I sam razlog za samoubistvo sada je izgledao potpuno smiješan. Paul je pocijepao oproštajna pisma i prepisao oporuku.
Ubrzo je umro prirodnom smrću. Nasljednici su bili prilično iznenađeni: 100.000 maraka (više od 1.000.000 tekućih funti sterlinga) prebačeno je na račun Kraljevskog naučnog društva iz Getingena, koje je iste godine raspisalo konkurs za Wolfskel nagradu. 100.000 maraka se oslanjalo na dokaz Fermatove teoreme. Za pobijanje teoreme nije trebalo platiti ni feninga...
Većina profesionalnih matematičara smatrala je potragu za dokazom Fermatove posljednje teoreme izgubljenim slučajem i odlučno je odbila da gubi vrijeme na tako uzaludnu vježbu. Ali amateri se vesele do slave. Nekoliko sedmica nakon objave, lavina "dokaza" pogodila je Univerzitet u Getingenu. Profesor E. M. Landau, čija je dužnost bila da analizira poslate dokaze, podijelio je kartice svojim studentima:
Poštovani (s). . . . . . . .
Hvala vam na rukopisu koji ste poslali s dokazom Fermatove posljednje teoreme. Prva greška je na stranici ... na liniji ... . Zbog toga cijeli dokaz gubi na važnosti.
Profesor E. M. Landau
Godine 1963. Paul Cohen je, oslanjajući se na Gödelove nalaze, dokazao nerješivost jednog od Hilbertova dvadeset tri problema, hipoteze kontinuuma. Šta ako je i Fermatova posljednja teorema nerješiva?! Ali pravi fanatici Velike teoreme nisu nimalo razočarali. Pojava kompjutera je neočekivano dala matematičarima novu metodu dokaza. Nakon Drugog svjetskog rata, grupe programera i matematičara dokazale su Fermatovu posljednju teoremu za sve vrijednosti od n do 500, zatim do 1.000, a kasnije i do 10.000.
Osamdesetih je Samuel Wagstaff podigao granicu na 25.000, a 90-ih matematičari su tvrdili da je Fermatova posljednja teorema tačna za sve vrijednosti n do 4 miliona. Ali ako se čak i trilion triliona oduzme od beskonačnosti, on ne postaje manji. Matematičare statistika ne uvjerava. Dokazivanje Velike teoreme značilo je njeno dokazivanje za SVE n ići u beskonačnost.
Godine 1954. dva mlada japanska prijatelja matematičara počela su proučavati modularne forme. Ovi oblici generišu niz brojeva, svaki - svoju seriju. Igrom slučaja, Taniyama je uporedio ove serije sa serijama generisanim eliptičnim jednačinama. Poklopili su se! Ali modularni oblici su geometrijski objekti, dok su eliptičke jednadžbe algebarske. Između tako različitih objekata nikada nije pronađena veza.
Ipak, nakon pažljivog testiranja, prijatelji su iznijeli hipotezu: svaka eliptička jednadžba ima blizanca - modularni oblik, i obrnuto. Upravo je ova hipoteza postala temelj čitavog trenda u matematici, ali sve dok hipoteza Taniyama-Shimura nije dokazana, cijela zgrada bi se svakog trenutka mogla srušiti.
Godine 1984. Gerhard Frey je pokazao da rješenje Fermatove jednačine, ako postoji, može biti uključeno u neku eliptičku jednačinu. Dvije godine kasnije, profesor Ken Ribet je dokazao da ova hipotetička jednačina ne može imati pandan u modularnom svijetu. Od sada je Fermatova posljednja teorema bila neraskidivo povezana s hipotezom Taniyama-Shimura. Nakon što smo dokazali da je bilo koja eliptična kriva modularna, zaključujemo da ne postoji eliptična jednadžba s rješenjem Fermatove jednačine, a Fermatova posljednja teorema bi bila odmah dokazana. Ali trideset godina nije bilo moguće dokazati hipotezu Taniyama-Shimura, a bilo je sve manje nade u uspjeh.
Godine 1963., kada je imao samo deset godina, Andrew Wiles je već bio fasciniran matematikom. Kada je saznao za Veliku teoremu, shvatio je da od nje ne može odstupiti. Kao školarac, student, postdiplomac, pripremao se za ovaj zadatak.
Saznavši za otkrića Kena Ribeta, Wiles se bacio na dokazivanje pretpostavke Taniyama-Shimura. Odlučio je raditi u potpunoj izolaciji i tajnosti. “Shvatio sam da sve što ima neke veze s Fermatovom posljednjom teoremom previše zanima... Previše gledatelja namjerno ometa postizanje cilja.” Sedam godina napornog rada se isplatilo, Wiles je konačno završio dokaz Taniyama-Shimura pretpostavke.
Godine 1993. engleski matematičar Andrew Wiles predstavio je svijetu svoj dokaz Fermatove posljednje teoreme (Wiles je pročitao svoj senzacionalni izvještaj na konferenciji na Sir Isaac Newton Institute u Cambridgeu), rad na kojem je trajao više od sedam godina.
Dok se hajka nastavila u štampi, počeo je ozbiljan rad na provjeri dokaza. Svaki dokaz mora biti pažljivo ispitan prije nego što se dokaz može smatrati rigoroznim i tačnim. Wiles je proveo užurbano ljeto čekajući povratne informacije od recenzenata, nadajući se da bi mogao dobiti njihovo odobrenje. Krajem avgusta vještaci su pronašli nedovoljno obrazloženu presudu.
Ispostavilo se da ova odluka sadrži grubu grešku, iako je generalno istinita. Wiles nije odustajao, pozvao je u pomoć poznatog stručnjaka za teoriju brojeva Richarda Taylora, a već 1994. godine objavili su ispravljen i dopunjen dokaz teoreme. Najnevjerovatnije je da je ovo djelo zauzelo čak 130 (!) stranica u matematičkom časopisu Annals of Mathematics. Ali ni tu se priča nije završila – posljednja poenta je postavljena tek sljedeće, 1995. godine, kada je objavljena konačna i “idealna”, s matematičke tačke gledišta, verzija dokaza.
“...pola minuta nakon početka svečane večere povodom njenog rođendana, predao sam Nadi rukopis kompletnog dokaza” (Andrew Wales). Jesam li spomenuo da su matematičari čudni ljudi?
Ovaj put nije bilo sumnje u dokaz. Dva članka su podvrgnuta najpažljivijoj analizi i u maju 1995. objavljeni su u Annals of Mathematics.
Prošlo je dosta vremena od tog trenutka, ali u društvu još uvijek postoji mišljenje o nerješivosti Fermatove posljednje teoreme. Ali čak i oni koji znaju za pronađeni dokaz nastavljaju raditi u tom smjeru - malo ljudi je zadovoljno da Velika teorema zahtijeva rješenje od 130 stranica!
Stoga su sada snage tolikih matematičara (uglavnom amatera, a ne profesionalnih naučnika) bačene u potragu za jednostavnim i sažetim dokazom, ali ovaj put, najvjerovatnije, neće voditi nikuda ...
izvor
1 Murad :
Jednakost Zn = Xn + Yn smatrali smo Diofantovom jednačinom ili Fermatovom velikom teoremom, a ovo je rješenje jednačine (Zn- Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn. Tada je Zn =-(Xn + Yn) rješenje jednadžbe (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn. Ove jednadžbe i rješenja se odnose na svojstva cijelih brojeva i operacije nad njima. Dakle, ne znamo svojstva cijelih brojeva?! Sa tako ograničenim znanjem, nećemo otkriti istinu.
Razmotrimo rješenja Zn = +(Xn + Yn) i Zn =-(Xn + Yn) kada je n = 1. Cijeli brojevi + Z se formiraju pomoću 10 znamenki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. Deljive su sa 2 cela broja +X - parne, poslednje desne cifre: 0, 2, 4, 6, 8 i +Y - neparne, poslednje desne cifre: 1, 3, 5, 7, 9, t . e. + X = + Y. Broj Y = 5 - neparnih i X = 5 - parnih brojeva je: Z = 10. Zadovoljava jednačinu: (Z - X) X = (Z - Y) Y, a rješenje + Z = + X + Y= +(X + Y).
Cijeli brojevi -Z sastoje se od unije -X za paran i -Y za neparan, i zadovoljava jednadžbu:
(Z + X) X = (Z + Y) Y, a rješenje -Z = - X - Y = - (X + Y).
Ako je Z/X = Y ili Z / Y = X, tada je Z = XY; Z / -X = -Y ili Z / -Y = -X, zatim Z = (-X)(-Y). Dijeljenje se provjerava množenjem.
Jednocifreni pozitivni i negativni brojevi sastoje se od 5 neparnih i 5 neparnih brojeva.
Razmotrimo slučaj n = 2. Tada je Z2 = X2 + Y2 rješenje jednadžbe (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 i Z2 = -(X2 + Y2) je rješenje jednačine (Z2 + X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Smatrali smo da je Z2 = X2 + Y2 Pitagorina teorema, a onda je rješenje Z2 = -(X2 + Y2) ista teorema. Znamo da ga dijagonala kvadrata dijeli na 2 dijela, gdje je dijagonala hipotenuza. Tada vrijede jednakosti: Z2 = X2 + Y2, i Z2 = -(X2 + Y2) gdje su X i Y kraci. I više rješenja R2 = X2 + Y2 i R2 =- (X2 + Y2) su kružnice, centri su ishodište kvadratnog koordinatnog sistema i poluprečnika R. Mogu se zapisati kao (5n)2 = (3n)2 + ( 4n)2 , gdje su n pozitivni i negativni cijeli brojevi i 3 uzastopna broja. Također rješenja su 2-bitni XY brojevi koji počinju na 00 i završavaju na 99 i iznose 102 = 10x10 i broje 1 vijek = 100 godina.
Razmotrimo rješenja kada je n = 3. Tada su Z3 = X3 + Y3 rješenja jednačine (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3.
3-bitni brojevi XYZ počinju na 000 i završavaju se na 999 i iznose 103 = 10x10x10 = 1000 godina = 10 stoljeća
Od 1000 kocki iste veličine i boje, možete napraviti rubik od oko 10. Uzmite u obzir rubik reda +103=+1000 - crveni i -103=-1000 - plavi. Sastoje se od 103 = 1000 kocki. Ako razložimo i stavimo kocke u jedan red ili jednu na drugu, bez praznina, dobijamo horizontalni ili vertikalni segment dužine 2000. Rubik je velika kocka prekrivena malim kockama, počevši od veličine 1 butto = 10st. -21, i ne možete mu dodati ili oduzeti jednu kocku.
- (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
- (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
- (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
Svaki cijeli broj je 1. Dodajte 1(jedinice) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21, a proizvodi:
111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321.
0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
Ove operacije se mogu izvesti na 20-bitnim kalkulatorima.
Poznato je da je +(n3 - n) uvijek deljivo sa +6, a - (n3 - n) je deljivo sa -6. Znamo da je n3 - n = (n-1)n(n+1). Ovo su 3 uzastopna broja (n-1)n(n+1), pri čemu je n paran, zatim deljiv sa 2, (n-1) i (n+1) neparan, deljiv sa 3. Tada (n-1) n(n+1) je uvijek djeljivo sa 6. Ako je n=0, onda (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, tada (n-1) n (n+1)=(19)(20)(21).
Znamo da je 19 x 19 = 361. To znači da je jedan kvadrat okružen sa 360 kvadrata, a onda je jedna kocka okružena sa 360 kocki. Jednakost je ispunjena: 6 n - 1 + 6n. Ako je n=60, onda je 360 - 1 + 360, i n=61, onda je 366 - 1 + 366.
Iz gornjih izjava slijede sljedeće generalizacije:
n5 - 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1)n(n +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
(n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3 )…3210
n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! =n! (n+1).
0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n +1)2.
Ako 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
= 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
Bilo koji cijeli broj n je stepen 10, ima: – n i +n, +1/ n i -1/ n, neparan i paran:
- (n + n +…+ n) = -n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
+ (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
Jasno je da ako se sebi doda bilo koji cijeli broj, onda će se povećati za 2 puta, a proizvod će biti kvadrat: X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = a x a = a2. Ovo se smatralo Vietinom teoremom – greškom!
Ako datom broju dodamo i oduzmemo broj b, onda se zbir ne mijenja, ali se mijenja proizvod, na primjer:
X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2.
X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) = a2- b.
X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) = a2 + b2.
X = a + √b i, Y = a - √bi, X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
Ako umjesto slova a i b stavimo cijele brojeve, onda ćemo dobiti paradokse, apsurde i nepovjerenje prema matematici.
