Prvi znak paralelnih linija. Paralelne prave, znaci i uslovi paralelnih pravih

Ovo poglavlje je posvećeno proučavanju paralelnih pravih. Ovo je naziv za dvije prave u ravni koje se ne seku. U okruženju vidimo segmente paralelnih linija – to su dvije ivice pravougaonog stola, dvije ivice korice knjige, dvije trolejbuske šipke, itd. Paralelne linije igraju veoma važnu ulogu u geometriji. U ovom poglavlju ćete naučiti šta su aksiomi geometrije i od čega se sastoji aksiom paralelnih prava – jedan od najpoznatijih aksioma geometrije.

U Odjeljku 1 primijetili smo da dvije prave ili imaju jednu zajedničku tačku, odnosno seku, ili nemaju jednu zajedničku tačku, odnosno ne seku.

Definicija

Paralelizam pravih a i b označava se na sljedeći način: a || b.

Slika 98 prikazuje prave a i b okomite na pravu c. U odeljku 12 utvrdili smo da se takve prave a i b ne sijeku, odnosno da su paralelne.

Rice. 98

Uz paralelne linije, često se razmatraju i paralelni segmenti. Dva segmenta se zovu paralelno ako leže na paralelnim pravima. Na slici 99, i segmenti AB i CD su paralelni (AB || CD), a segmenti MN i CD nisu paralelni. Slično, određuje se paralelizam segmenta i prave (sl. 99, b), zraka i prave, segmenta i zraka, dva zraka (slika 99, c).

Rice. 99 Znakovi paralelizma dvije prave

Direktno sa se zove secant u odnosu na prave a i b, ako ih siječe u dvije tačke (slika 100). Na presjeku pravih a i b, sekansa c formira osam uglova, koji su označeni brojevima na slici 100. Neki parovi ovih uglova imaju posebne nazive:

ukršteni uglovi: 3 i 5, 4 i 6;
jednostrani uglovi: 4 i 5, 3 i 6;
odgovarajućim uglovima: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7.

Rice. 100

Razmotrite tri znaka paralelizma dvije prave povezane s ovim parovima uglova.

Teorema

Dokaz

Pretpostavimo da su na presjeku pravih a i b sekantom AB ležeći uglovi jednaki: ∠1 = ∠2 (slika 101, a).

Dokažimo da je || b. Ako su uglovi 1 i 2 pravi (slika 101, b), tada su prave a i b okomite na pravu AB i, prema tome, paralelne.

Rice. 101

Razmotrimo slučaj kada uglovi 1 i 2 nisu pravi.

Iz sredine O segmenta AB povući okomitu OH na pravu liniju a (Sl. 101, c). Na pravoj b iz tačke B odvojimo odsječak VH 1, jednak segmentu AH, kao što je prikazano na slici 101, c, i nacrtamo odsječak OH 1. Trokuti ONA i OH 1 V su jednaki po dvije stranice i ugao između njih (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), dakle ∠3 = ∠4 i ∠5 = ∠6. Iz jednakosti ∠3 = ∠4 proizlazi da tačka H 1 leži na nastavku zraka OH, tj. tačke H, O i H 1 leže na istoj pravoj, a iz jednakosti ∠5 = ∠6 slijedi da je ugao 6 prava linija (pošto je ugao 5 pravi ugao). Dakle, prave a i b su okomite na pravu HH 1, pa su paralelne. Teorema je dokazana.

Teorema

Dokaz

Neka je na preseku pravih a i b sekansa sa odgovarajućim uglovima jednaka, na primer ∠1 = ∠2 (Sl. 102).

Rice. 102

Kako su uglovi 2 i 3 vertikalni, onda je ∠2 = ∠3. Ove dvije jednakosti impliciraju da je ∠1 = ∠3. Ali uglovi 1 i 3 su poprečni, tako da su prave a i b paralelne. Teorema je dokazana.

Teorema

Dokaz

Neka je na preseku pravih a i b sekansa sa zbirom jednostranih uglova 180°, na primer ∠1 + ∠4 = 180° (vidi sliku 102).

Pošto su uglovi 3 i 4 susedni, onda je ∠3 + ∠4 = 180°. Iz ove dvije jednakosti slijedi da su poprečni uglovi 1 i 3 jednaki, pa su prave a i b paralelne. Teorema je dokazana.

Praktični načini crtanja paralelnih linija

Rice. 103 Slika 104 prikazuje metodu za konstruisanje paralelnih pravih pomoću T-kvadrata. Ova metoda se koristi u praksi crtanja.

Rice. 104 Sličan način se koristi i kod izvođenja stolarskih radova, gdje se kosina koristi za označavanje paralelnih linija (dvije drvene daske pričvršćene šarkom, sl. 105).

Rice. 105

Zadaci

186. Na slici 106. prave a i b sijeku prava c. Dokazati da je || b ako:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, a ugao 7 je tri puta veći od ugla 3.

Rice. 106

187. Prema slici 107 dokazati da je AB || D.E.

Rice. 107

188. Segmenti AB i CD seku se u zajedničkoj sredini. Dokazati da su prave AC i BD paralelne.

189. Koristeći podatke na slici 108, dokazati da je BC || AD.

Rice. 108

190. Na slici 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Dokaži da DE || AS.

Rice. 109

191. Odsječak VK je simetrala trougla ABC. Kroz tačku K povučena je prava linija koja siječe stranu BC u tački M tako da je BM = MK. Dokazati da su prave KM i AB paralelne.

192. U trouglu ABC, ugao A je 40°, a ugao ALL pored ugla ACB je 80°. Dokazati da je simetrala ugla ALL paralelna pravoj AB.

193. U trouglu ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Prava BD je povučena kroz vrh B tako da je zraka BC simetrala ugla ABD. Dokazati da su prave AC i BD paralelne.

194. Nacrtaj trougao. Kroz svaki vrh ovog trokuta, koristeći kvadrat za crtanje i ravnalo, povucite pravu liniju paralelnu sa suprotnom stranom.

195. Nacrtaj trougao ABC i označi tačku D na strani AC. Kroz tačku D, koristeći kvadrat za crtanje i ravnalo, povući ravne linije paralelne sa druge dvije strane trougla.

Ciljevi lekcije: U ovoj lekciji ćete se upoznati s konceptom „paralelnih pravih“, naučiti kako možete osigurati da su prave paralelne, kao i koja svojstva imaju uglovi koje formiraju paralelne prave i sekansa.

Paralelne linije

Znate da je koncept "prave" jedan od takozvanih nedefinisanih koncepata geometrije.

Već znate da se dvije prave mogu poklapati, odnosno imati sve zajedničke tačke, mogu se sijeći, odnosno imati jednu zajedničku tačku. Prave se sijeku pod različitim uglovima, dok se ugao između linija smatra najmanjim od uglova koji formiraju. Poseban slučaj preseka može se smatrati slučaj okomitosti, kada je ugao koji formiraju prave linije 90 0 .

Ali dvije prave možda nemaju zajedničke tačke, odnosno ne mogu se ukrštati. Takve linije se nazivaju paralelno.

Rad sa elektronskim obrazovnim resursom « ».

Da biste se upoznali s konceptom "paralelnih linija", radite u materijalima video lekcije

Dakle, sada znate definiciju paralelnih linija.

Iz materijala fragmenta video lekcije naučili ste o različitim vrstama uglova koji nastaju kada se dvije ravne linije sijeku s trećom.

Parovi uglova 1 i 4; 3 i 2 se zovu unutrašnji jednostrani uglovi(leže između redova a I b).

Parovi uglova 5 i 8; 7 i 6 se zovu vanjski jednostrani uglovi(leže izvan linija a I b).

Parovi uglova 1 i 8; 3 i 6; 5 i 4; 7 i 2 se nazivaju jednostranim uglovima na desnoj strani a I b i sekansa c. Kao što vidite, od para odgovarajućih uglova, jedan leži između desnog a I b a drugi izvan njih.

Znakovi paralelnih linija

Očigledno, koristeći definiciju, nemoguće je zaključiti da su dvije prave paralelne. Stoga, da biste zaključili da su dvije prave paralelne, koristite znakovi.

Već možete formulirati jedan od njih, nakon što ste se upoznali s materijalima prvog dijela video lekcije:

Teorema 1. Dvije prave okomite na treću se ne sijeku, odnosno paralelne su.

Sa ostalim znacima paralelizma pravih na osnovu jednakosti određenih parova uglova upoznaćete se radeći sa materijalima drugog dela video lekcije"Znakovi paralelnih pravih".

Dakle, trebali biste znati još tri znaka paralelnih linija.

Teorema 2 (prvi znak paralelnih pravih). Ako su na presjeku dviju pravih transverzalom ležeći uglovi jednaki, tada su prave paralelne.

Još jednom ponovite prvi znak paralelnih linija radeći sa elektronskim obrazovnim resursom « ».

Tako se pri dokazivanju prvog znaka paralelnosti pravih koristi znak jednakosti trouglova (na dvije strane i ugla između njih), kao i znak paralelnosti pravih kao okomitih na jednu pravu.

Vježba 1.

Zapišite formulaciju prvog znaka paralelizma pravih i njegov dokaz u svoje bilježnice.

Teorema 3 (drugi kriterij za paralelne prave). Ako su u presjeku dvije prave sekante odgovarajući uglovi jednaki, tada su prave paralelne.

Još jednom ponovite drugi znak paralelnih prava radeći sa elektronskim obrazovnim resursom « ».

Prilikom dokazivanja drugog kriterija za paralelne prave koristi se svojstvo vertikalnih uglova i prvi kriterij za paralelne prave.

Zadatak 2.

Zapišite formulaciju drugog znaka paralelizma pravih i njegov dokaz u svoje bilježnice.

Teorema 4 (treći kriterij za paralelne prave). Ako je u presjeku dvije prave sekante zbir jednostranih uglova jednak 180 0, tada su prave paralelne.

Ponovite još jednom treći znak paralelnih linija radeći sa elektronskim obrazovnim resursom « ».

Dakle, pri dokazivanju prvog kriterija za paralelne prave koristi se svojstvo susjednih uglova i prvi kriterij za paralelne prave.

Zadatak 3.

Zapišite formulaciju trećeg znaka paralelizma pravih i njegov dokaz u svoje bilježnice.

Da biste vježbali rješavanje najjednostavnijih problema, radite s materijalima elektronskog obrazovnog resursa « ».

Znaci paralelnih pravih koriste se u rješavanju zadataka.

Sada razmotrite primjere rješavanja problema za znakove paralelizma linija, nakon što ste radili s materijalima video lekcije“Rješavanje zadataka na temu “Znaci paralelnih pravih”.

Sada se provjeri ispunjavanjem zadataka kontrolnog elektronskog obrazovnog resursa « ».

Svi koji žele raditi na rješavanju složenijih problema mogu raditi s materijalima video tutorijala "Problemi na znakovima paralelnih pravih".

Svojstva paralelnih pravih

Paralelne linije imaju skup svojstava.

Koja su to svojstva saznat ćete radeći s materijalima iz video tutorijala "Svojstva paralelnih linija".

Dakle, važna činjenica koju biste trebali znati je aksiom paralelizma.

Aksiom paralelizma. Kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj može se povući prava paralelna datoj, i to samo jednu.

Kao što ste naučili iz materijala video lekcije, na osnovu ovog aksioma mogu se formulirati dvije posljedice.

Posljedica 1. Ako prava siječe jednu od paralelnih pravih, tada siječe drugu paralelnu pravu.

Posljedica 2. Ako su dvije prave paralelne s trećom, onda su paralelne jedna s drugom.

Zadatak 4.

Zapišite formulaciju formuliranih posljedica i njihove dokaze u svoje bilježnice.

Svojstva uglova formiranih paralelnim linijama i sekantom su teoreme inverzne odgovarajućim predznacima.

Dakle, iz materijala video lekcije naučili ste svojstvo križnih ležećih uglova.

Teorema 5 (teorema, inverzna prvom kriteriju za paralelne prave). Kada dvije paralelne prave sijeku transverzalu, ležeći uglovi su jednaki.

Zadatak 5.

Ponovite prvo svojstvo paralelnih pravih ponovo radeći sa elektronskim obrazovnim resursom « ».

Teorema 6 (teorema, inverzna drugom kriteriju za paralelne prave). Kada se dvije paralelne prave seku, odgovarajući uglovi su jednaki.

Zadatak 6.

Zapišite tvrdnju ove teoreme i njen dokaz u svoje bilježnice.

Ponovite drugo svojstvo paralelnih pravih ponovo radeći sa elektronskim obrazovnim resursom « ».

Teorema 7 (teorema, inverzna trećem kriteriju za paralelne prave). Kada se dvije paralelne prave seku, zbir jednostranih uglova je 180 0 .

Zadatak 7.

Zapišite tvrdnju ove teoreme i njen dokaz u svoje bilježnice.

Ponovite treće svojstvo paralelnih pravih ponovo radeći sa elektronskim obrazovnim resursom « ».

Sva svojstva paralelnih pravih također se koriste u rješavanju problema.

Razmotrite tipične primjere rješavanja problema radeći s video materijalima za tutorijal "Paralelne prave i problemi na uglovima između njih i sekanse".

odgovarajućim uglovima: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7;

unutrašnji poprečni uglovi: 3 i 5, 4 i 6;

vanjski poprečno ležeći uglovi: 1 i 7, 2 i 8;

unutrašnji jednostrani uglovi: 3 i 6, 4 i 5;

vanjski jednostrani uglovi: 1 i 8, 2 i 7.

Dakle, ∠ 2 = ∠ 4 i ∠ 8 = ∠ 6, ali po dokazanom ∠ 4 = ∠ 6.

Dakle, ∠ 2 = ∠ 8.

3. Odgovarajući uglovi 2 i 6 su isti, jer je ∠ 2 = ∠ 4, i ∠ 4 = ∠ 6. Takođe vodimo računa da su ostali odgovarajući uglovi jednaki.

4. Suma unutrašnji jednostrani uglovi 3 i 6 će biti 2d jer je zbir susjedni uglovi 3 i 4 jednako je 2d = 180 0 , a ∠ 4 se može zamijeniti identičnim ∠ 6. Također provjerite da zbir uglova 4 i 5 jednako je 2d.

5. Suma vanjski jednostrani ugloviće biti 2d jer su ti uglovi jednaki unutrašnji jednostrani uglovi poput uglova vertikalno.

Iz gore dokazanog opravdanja dobijamo inverzne teoreme.

Kada, na preseku dve prave proizvoljne treće linije, dobijemo da:

1. Unutrašnji poprečni uglovi su isti;

ili 2. Vanjski poprečni uglovi su isti;

ili 3. Odgovarajući uglovi su isti;

ili 4. Zbir unutrašnjih jednostranih uglova jednak je 2d = 180 0 ;

ili 5. Zbir vanjskih jednostranih je 2d = 180 0 ,

tada su prve dvije linije paralelne.

Video lekcija "Znaci paralelizma dvije prave" sadrži dokaz teorema koje opisuju znakove koji označavaju paralelne prave. Istovremeno, video opisuje 1) teoremu o paralelizmu pravih, u kojoj sekantom stvaraju jednake uglove, 2) znak koji označava paralelizam dve prave - pod jednakim formiranim odgovarajućim uglovima, 3) znak to znači paralelizam dviju pravih u slučaju kada, kada seku, sekantni jednostrani uglovi iznose 180°. Svrha ove video lekcije je da se učenici upoznaju sa znakovima koji označavaju paralelizam dviju pravih, čije je poznavanje neophodno za rješavanje mnogih praktičnih zadataka, da se vizualno prikaže dokaz ovih teorema, da se formiraju vještine u dokazivanju geometrijskih iskaza.

Prednosti video lekcije se odnose na činjenicu da uz pomoć animacije, glasovne pratnje i mogućnosti isticanja boja pruža visok stepen vidljivosti i može poslužiti kao zamjena za prezentaciju standardnog bloka novih edukativni materijal od strane nastavnika.

Video lekcija počinje prikazivanjem imena na ekranu. Prije opisivanja znakova paralelizma pravih, učenici se upoznaju sa pojmom sekante. Sekansa je definisana kao prava koja seče druge linije. Na ekranu su prikazane dvije prave a i b koje sijeku liniju c. Konstruisana linija c je istaknuta plavom bojom, naglašavajući da je sekansa zadatih linija a i b. Da bismo razmotrili znakove paralelizma pravaca, potrebno je bolje upoznati područje presjeka linija. Sekansa u tačkama preseka sa pravim linijama formira 8 uglova ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, analizom odnosa iz kojih je moguće izvesti predznake paralelizma ovih linija. Primećuje se da se uglovi ∠3 i ∠5, kao i ∠2 i ∠4 nazivaju unakrsno. Uz pomoć animacije dato je detaljno objašnjenje rasporeda poprečno ležećih uglova kao uglova koji leže između paralelnih linija, a graniče sa linijama, lociranih poprečno. Zatim je dat koncept jednostranih uglova koji uključuje parove ∠4 i ∠5, kao i ∠3 i ∠6. Naznačeni su i parovi odgovarajućih uglova, od kojih se na konstruisanoj slici nalaze 4 para - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.

U sljedećem dijelu video tutorijala razmatraju se tri znaka paralelizma bilo koje dvije linije. Prikazuje se prvi opis. Teorema kaže da ako su poprečni uglovi formirani sekantom jednaki, date prave će biti paralelne. Izjava je popraćena crtežom, koji prikazuje dvije prave a i b i sekantu AB. Primjećuje se da su ležeći uglovi ∠1 i ∠2 formirani poprečno jednaki jedan drugom. Ova izjava zahtijeva dokaz.

Najlakše dokazati konkretan slučaj je kada su dati uglovi formirani krstovima pravi uglovi. To znači da je sekansa okomita na prave, a prema već dokazanoj teoremi, u ovom slučaju se prave a i b neće seći, odnosno paralelne su. Dokaz za ovaj konkretan slučaj opisan je na primjeru slike izgrađene pored prve figure, naglašavajući važne detalje dokaza uz pomoć animacije.

Da bismo to dokazali u opštem slučaju, potrebno je povući dodatnu okomitu iz sredine segmenta AB na pravu a. Dalje, na pravoj liniji b je ucrtan segment VN 1, jednak segmentu AH. Iz tačke H 1 dobijene u ovom slučaju povlači se segment koji povezuje tačke O i H 1. Zatim se razmatraju dva trougla ΔONA i ΔOBN 1, čija se jednakost dokazuje prvim kriterijem jednakosti dva trokuta. Stranice OA i OB su konstrukcijski jednake, jer je tačka O označena kao sredina segmenta AB. Stranice HA i H 1 B su takođe konstrukcijski jednake, jer izdvajamo segment H 1 B, jednak HA. I uglovi ∠1=∠2 prema uslovu zadatka. Budući da su formirani trokuti međusobno jednaki, tada su i odgovarajući preostali parovi uglova i stranica također jednaki jedni drugima. Iz ovoga proizilazi da je segment OH 1 nastavak segmenta OH, koji čini jedan segment HH 1. Primjećuje se da, budući da je konstruirani segment OH okomit na pravu a, tada je segment HH 1 okomit na prave a i b. Ova činjenica znači, koristeći teorem o paralelizmu za prave na koje je izgrađena jedna okomica, da su date prave a i b paralelne.

Sljedeća teorema koju treba dokazati je znak jednakosti paralelnih linija jednakošću odgovarajućih uglova formiranih na presjeku sekante. Tvrdnja navedene teoreme se prikazuje na ekranu i može se ponuditi studentima na snimanje. Dokaz počinje konstrukcijom na ekranu dvije paralelne prave a i b, na koje se konstruiše sekansa c. Istaknuto plavom bojom na slici. Sekansa formira odgovarajuće uglove ∠1 i ∠2, koji su po uslovu jednaki jedan drugom. Susedni uglovi ∠3 i ∠4 su takođe označeni. ∠2 u odnosu na ugao ∠3 je vertikalni ugao. A vertikalni uglovi su uvijek jednaki. Osim toga, uglovi ∠1 i ∠3 leže jedan preko drugog - njihova jednakost (prema već dokazanoj tvrdnji) znači da su prave a i b paralelne. Teorema je dokazana.

Posljednji dio video tutorijala posvećen je dokazivanju tvrdnje da ako je zbir jednostranih uglova koji se formiraju na presjeku neke dvije prave sekantom jednak 180°, tada će ove prave biti paralelne svakoj ostalo. Dokaz je prikazan pomoću crteža koji prikazuje prave a i b koje seku sekansu c. Uglovi formirani presjekom su označeni slično kao u prethodnom dokazu. Pod uslovom, zbir uglova ∠1 i ∠4 je jednak 180°. Poznato je da je zbir uglova ∠3 i ∠4 jednak 180°, pošto su oni susedni. To znači da su uglovi ∠1 i ∠3 međusobno jednaki. Ovaj zaključak daje pravo da se tvrdi da su prave a i b paralelne. Teorema je dokazana.

Video lekciju "Znakovi paralelizma dvije prave" nastavnik može koristiti kao samostalni blok koji demonstrira dokaze ovih teorema, zamjenjujući objašnjenje nastavnika ili ga prati. Detaljno objašnjenje omogućava studentima korištenje materijala za samostalno učenje i pomoći će u objašnjavanju gradiva u učenju na daljinu.

1. Ako su dvije prave paralelne s trećom linijom, onda su paralelne:

Ako a||c I b||c, To a||b.

2. Ako su dvije prave okomite na treću pravu, onda su paralelne:

Ako a⊥c I b⊥c, To a||b.

Preostali znaci paralelizma pravih zasnovani su na uglovima koji se formiraju na preseku dve prave sa trećinom.

3. Ako je zbir unutrašnjih jednostranih uglova 180°, tada su prave paralelne:

Ako je ∠1 + ∠2 = 180°, onda a||b.

4. Ako su odgovarajući uglovi jednaki, tada su prave paralelne:

Ako je ∠2 = ∠4, onda a||b.

5. Ako su unutrašnji poprečni uglovi jednaki, tada su prave paralelne:

Ako je ∠1 = ∠3, onda a||b.

Svojstva paralelnih pravih

Izjave koje su inverzne znakovima paralelizma pravih su njihova svojstva. Oni se zasnivaju na svojstvima uglova formiranih presekom dve paralelne prave sa trećom linijom.

1. Kada se dvije paralelne prave sijeku s trećom pravom, zbir unutarnjih jednostranih uglova formiranih njima je 180°:

Ako a||b, tada ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Kada se dvije paralelne prave seku s trećom pravom, odgovarajući uglovi formirani od njih su jednaki:

Ako a||b, tada je ∠2 = ∠4.

3. Na presjeku dvije paralelne prave sa trećom pravom, uglovi koji se formiraju od njih poprečno su jednaki:

Ako a||b, tada je ∠1 = ∠3.

Sljedeće svojstvo je poseban slučaj svakog prethodnog:

4. Ako je prava na ravni okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu:

Ako a||b I c⊥a, To c⊥b.

Peto svojstvo je aksiom paralelnih pravih:

5. Kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj, može se povući samo jedna prava paralelna datoj pravoj.