Néha az egzakt tudományok szorgalmas tanulmányozása meghozhatja gyümölcsét - nemcsak az egész világ ismeri, hanem gazdag is lesz. A díjakat azonban semmiért adják, és a modern tudományban sok a bizonyítatlan elmélet, tétel és probléma, amelyek a tudomány fejlődésével szaporodnak, vegyünk legalább Kourovka vagy Dnyeszter füzeteket, amolyan gyűjteményeket megoldhatatlan fizikai és matematikai adatokkal, és nem csak. , feladatok. Vannak azonban valóban összetett tételek is, amelyeket több mint egy tucat éve nem sikerült megoldani, és ezekért az American Clay Institute egyenként 1 millió dolláros díjat adományozott. 2002-ig a teljes főnyeremény 7 millió volt, mivel hét "millennium probléma" volt, de Grigory Perelman orosz matematikus úgy oldotta meg a Poincaré-sejtést, hogy epikusan lemondott egy millióról, anélkül, hogy kinyitotta volna az ajtót az amerikai matematikusok előtt, akik becsületesen oda akarták adni neki. szerzett bónuszokat. Tehát bekapcsoljuk az Ősrobbanás-elméletet a háttér és a hangulat kedvéért, és megnézzük, mi másért vághatsz még egy kerek összeget.
A P és NP osztályok egyenlősége
Leegyszerűsítve a P = NP egyenlőségprobléma a következő: ha egy kérdésre adott pozitív válasz meglehetősen gyorsan (polinomiális időben) ellenőrizhető, akkor igaz-e, hogy erre a kérdésre elég gyorsan meg lehet találni a választ (az polinomiális idő és polinomiális memória használata)? Más szóval, valóban nem könnyebb ellenőrizni a probléma megoldását, mint megtalálni? A lényeg itt az, hogy egyes számításokat és számításokat egyszerűbb algoritmikusan megoldani, nem pedig nyers erővel, és így sok időt és erőforrást takarít meg.
Hodge hipotézis
Hodge 1941-ben megfogalmazott sejtése szerint a különösen jó típusú terek esetében, amelyeket projektív algebrai változatoknak neveznek, az úgynevezett Hodge-ciklusok olyan objektumok kombinációi, amelyeknek geometriai értelmezése van – algebrai ciklusok.
Itt egyszerű magyarázattal a következőket mondhatjuk: a 20. században igen összetett geometriai formákat fedeztek fel, például ívelt palackokat. Tehát felvetődött, hogy ezeknek az objektumoknak a leíráshoz való megkonstruálásához teljesen rejtélyes formákat kell használni, amelyek nem rendelkeznek a geometriai lényeggel „ilyen szörnyű sokdimenziós firkák-firkák”, vagy még mindig meg lehet boldogulni a feltételesen standard algebra + geometriával .
Riemann hipotézis
Elég nehéz itt emberi nyelven elmagyarázni, elég azt tudni, hogy ennek a feladatnak a megoldása messzemenő következményekkel jár a prímszámok eloszlása terén. A probléma annyira fontos és sürgető, hogy még a hipotézis ellenpéldájának levezetése is - az egyetem tudományos tanácsának döntése alapján a probléma bizonyítottnak tekinthető, így itt ki lehet próbálni a módszert "az ellenkezőjéről". Még ha lehetséges is a hipotézist szűkebb értelemben újrafogalmazni, az Agyagintézet itt is kifizet egy bizonyos összeget.
Yang-Mills elmélet
A részecskefizika Dr. Sheldon Cooper egyik kedvenc témája. Itt a két okos bácsi kvantumelmélete azt mondja nekünk, hogy az űrben minden egyszerű szelvénycsoportnál létezik nullától eltérő tömeghiba. Ezt az állítást kísérleti adatokkal és numerikus szimulációkkal állapították meg, de egyelőre senki sem tudja bizonyítani.
Navier-Stokes egyenletek
Itt Howard Wolowitz minden bizonnyal a segítségünkre lenne, ha a valóságban létezne – elvégre ez egy rejtvény a hidrodinamikából, és az alapok alapja. Az egyenletek egy viszkózus newtoni folyadék mozgását írják le, nagy gyakorlati jelentőséggel bírnak, és ami a legfontosabb, olyan turbulenciát írnak le, amely semmilyen módon nem vezethető be a tudomány keretei közé, tulajdonságai, hatásai előre nem jelezhetők. Ezen egyenletek felépítésének indoklása lehetővé tenné, hogy ne mutassunk ujjal az égre, hanem belülről értsük meg a turbulenciát, és stabilabbá tegyük a repülőgépeket és a mechanizmusokat.
Birch-Swinnerton-Dyer hipotézis
Igaz, itt próbáltam egyszerű szavakat felvenni, de olyan sűrű algebra van, hogy nem lehet mély elmélyülés nélkül. Azoknak, akik nem szeretnének búvárkodni a matánban, tudniuk kell, hogy ezzel a hipotézissel gyorsan és fájdalommentesen megtalálhatja az elliptikus görbék rangját, és ha ez a hipotézis nem létezne, akkor egy számítási lapra lenne szükség ennek a rangnak a kiszámításához. . Nos, természetesen azt is tudnia kell, hogy ennek a hipotézisnek a bizonyítása egymillió dollárral gazdagítja Önt.
Megjegyzendő, hogy szinte minden területen vannak már előrelépések, sőt, egyedi példákra is bevált esetek. Ezért ne habozzon, különben úgy alakul, mint Fermat tételénél, amely 1994-ben több mint 3 évszázad után behódolt Andrew Wilesnek, és elhozta neki az Abel-díjat és mintegy 6 millió norvég koronát (mai árfolyamon 50 millió rubel). .
Amikor középiskolásokkal a matematikai kutatómunkáról beszélgetek, gyakran hallom a következőket: "Milyen újdonságokat lehet felfedezni a matematikában?" De tényleg: talán minden nagy felfedezés megtörtént, és a tételek bebizonyosodtak?
1900. augusztus 8-án, a párizsi Nemzetközi Matematikus Kongresszuson David Hilbert matematikus felvázolta azon problémák listáját, amelyekről úgy gondolta, hogy a XX. 23 elem volt a listán. Közülük eddig huszonegyet sikerült megoldani. Az utolsó megoldott probléma Gilbert listáján Fermat híres tétele volt, amelyet a tudósok 358 évig nem tudtak megoldani. 1994-ben a brit Andrew Wiles javasolta a megoldását. Igaznak bizonyult.A múlt század végén Gilbert mintájára sok matematikus próbált hasonló stratégiai feladatokat megfogalmazni a 21. századra. Az egyik ilyen listát a bostoni milliárdos, Landon T. Clay tette híressé. 1998-ban, az ő költségén, Cambridge-ben (Massachusetts, USA) megalapították a Clay Mathematics Institute-ot, és díjakat alapítottak a modern matematika számos fontos problémájának megoldásáért. 2000. május 24-én az intézet szakemberei hét feladatot választottak ki – a nyereményre szánt dollármilliók száma szerint. A lista neve Millennium Prize Problems:
1. Cook problémája (1971-ben megfogalmazva)
Tegyük fel, hogy te, mint egy nagy társaság, szeretnél megbizonyosodni arról, hogy a barátod is ott van. Ha azt mondják, hogy a sarokban ül, akkor a másodperc töredéke elég lesz ahhoz, hogy egy pillantással megbizonyosodjon arról, hogy az információ igaz. Ezen információk hiányában kénytelen lesz körbejárni az egész helyiséget, és a vendégeket nézni. Ez arra utal, hogy egy probléma megoldása gyakran több időt vesz igénybe, mint a megoldás helyességének ellenőrzése.
Stephen Cook megfogalmazta a problémát: az ellenőrző algoritmustól függetlenül hosszabb lehet-e egy probléma megoldásának helyességének ellenőrzése, mint magának a megoldásnak a megszerzése. Ez a probléma a logika és a számítástechnika területén is a megoldatlan problémák közé tartozik. Megoldása forradalmasíthatja az adatok továbbításában és tárolásában használt kriptográfia alapjait.
2. A Riemann-hipotézis (1859-ben megfogalmazva)
Egyes egész számokat nem lehet két kisebb egész szám szorzataként kifejezni, például 2, 3, 5, 7 és így tovább. Az ilyen számokat prímszámoknak nevezik, és fontos szerepet játszanak a tiszta matematikában és alkalmazásaiban. A prímszámok eloszlása a természetes számok sorozatai között nem követ semmiféle szabályszerűséget. Riemann német matematikus azonban feltételezte a prímszámok sorozatának tulajdonságait. Ha a Riemann-hipotézis bebizonyosodik, az forradalmasítja a titkosítással kapcsolatos ismereteinket, és példátlan áttörésekhez vezet az internetbiztonság terén.
3. Birch és Swinnerton-Dyer hipotézis (1960-ban megfogalmazva)
Néhány algebrai egyenlet megoldási halmazának leírásához kapcsolódik több változóban egész együtthatóval. Ilyen egyenletre példa az x2 + y2 = z2 kifejezés. Eukleidész teljes leírást adott ennek az egyenletnek a megoldásairól, de bonyolultabb egyenleteknél a megoldások keresése rendkívül nehézzé válik.
4. Hodge-hipotézis (1941-ben megfogalmazva)
A 20. században a matematikusok hatékony módszert fedeztek fel az összetett tárgyak alakjának tanulmányozására. A fő ötlet az, hogy maga az objektum helyett egyszerű "téglákat" használjon, amelyeket összeragasztva alakítják ki a hasonlatot. A Hodge-hipotézis az ilyen "téglák" és tárgyak tulajdonságaira vonatkozó néhány feltételezéssel függ össze.
5. A Navier-Stokes egyenletek (1822-ben megfogalmazva)
Ha csónakban vitorlázik a tavon, akkor hullámok támadnak, és ha repülőgépen repül, turbulens áramlatok keletkeznek a levegőben. Feltételezzük, hogy ezeket és más jelenségeket a Navier-Stokes egyenletekként ismert egyenletek írják le. Ezeknek az egyenleteknek a megoldásai ismeretlenek, és még azt sem tudni, hogyan kell megoldani őket. Meg kell mutatni, hogy a megoldás létezik és kellően sima függvény. A probléma megoldása lehetővé teszi a hidro- és aerodinamikai számítások végrehajtási módszereinek jelentős megváltoztatását.
6. Poincare probléma (megfogalmazva 1904-ben)
Ha egy gumiszalagot feszít ki egy almára, akkor lassan mozgathatja a szalagot anélkül, hogy elhagyná a felületet, és egy pontig összenyomhatja. Másrészt, ha ugyanazt a gumiszalagot megfelelően kifeszítik a fánk köré, akkor nem lehet egy pontig összenyomni a szalagot anélkül, hogy a szalag elszakadna vagy a fánk eltörne. Azt mondják, hogy az alma felülete egyszerűen össze van kötve, de a fánk felülete nem. Olyan nehéznek bizonyult bebizonyítani, hogy csak a gömb egyszerűen össze van kötve, hogy a matematikusok még mindig a helyes választ keresik.
7. Yang-Mills egyenletek (1954-ben megfogalmazva)
A kvantumfizika egyenletei az elemi részecskék világát írják le. Yang és Mills fizikusok, miután felfedezték a geometria és az elemi részecskefizika közötti kapcsolatot, saját egyenleteiket írták le. Így megtalálták a módját az elektromágneses, gyenge és erős kölcsönhatások elméleteinek egységesítésére. A Yang-Mills egyenletek olyan részecskék létezését feltételezték, amelyeket valóban megfigyeltek laboratóriumokban szerte a világon, így a Yang-Mills elméletet a legtöbb fizikus elfogadja, annak ellenére, hogy ez az elmélet még mindig nem képes megjósolni az elemi részecskék tömegét.
Úgy gondolom, hogy ez a blogon megjelent anyag nemcsak a diákok, hanem a matematikával komolyan foglalkozó iskolások számára is érdekes. A kutatási témák és kutatási területek kiválasztásakor van mire gondolni.
A megoldhatatlan feladat a 7 legérdekesebb matematikai probléma. Mindegyiket egy időben ismert tudósok javasolták, általában hipotézisek formájában. A matematikusok világszerte sok évtizeden át törték a fejüket a megoldásukon. A sikert elérők egymillió amerikai dollár jutalmat kapnak az Agyag Intézettől.
Agyag Intézet
Ez a név egy magán non-profit szervezet, amelynek székhelye a Massachusetts állambeli Cambridge-ben található. 1998-ban alapította A. Jeffey harvardi matematikus és L. Clay üzletember. Az Intézet célja a matematikai ismeretek népszerűsítése, fejlesztése. Ennek elérése érdekében a szervezet díjakat adományoz tudósoknak és ígéretes kutatási szponzoroknak.
A 21. század elején az Agyag Matematikai Intézet díjat ajánlott fel azoknak, akik a legnehezebb megoldhatatlan feladatként ismert feladatokat oldják meg, listájukat Millennium Prize Problems néven. A "Hilbert-listából" csak a Riemann-hipotézist tartalmazta.
Millenniumi kihívások
A Clay Institute listája eredetileg a következőket tartalmazza:
- a Hodge-ciklus hipotézise;
- a kvantumelmélet egyenletei Yang-Mills;
- a Poincaré-hipotézis;
- a P és NP osztályok egyenlőségének problémája;
- a Riemann-hipotézis;
- megoldásainak létezéséről és gördülékenységéről;
- Birch-Swinnerton-Dyer probléma.
Ezek a nyitott matematikai problémák nagy érdeklődésre tartanak számot, mert sok gyakorlati megvalósításuk lehet.
Mit bizonyított Grigory Perelman
1900-ban a híres filozófus, Henri Poincaré azt javasolta, hogy minden egyszerűen összekapcsolt, kompakt 3-sokatórium, határok nélkül, homeomorf egy 3-gömbhöz. Bizonyítékát általános esetben egy évszázadig nem találták meg. Csak 2002-2003-ban G. Perelman szentpétervári matematikus számos cikket publikált a Poincaré-probléma megoldásával. Felrobbanó bomba hatását keltették. 2010-ben a Poincaré-hipotézist kizárták az Agyag Intézet „Megoldatlan problémák” listájáról, és Perelmannak felajánlották, hogy jelentős javadalmazásban részesüljön, amit az utóbbi döntése indoklása nélkül visszautasított.
A legérthetőbb magyarázatot arra, amit az orosz matematikusnak sikerült bebizonyítania, ha elképzeljük, hogy egy gumikorongot ráhúznak egy fánkra (tóruszra), majd a kerületének széleit próbálják egy pontba húzni. Nyilvánvalóan ez nem lehetséges. Egy másik dolog, ha ezt a kísérletet labdával végezzük. Ebben az esetben egy háromdimenziósnak tűnő gömb, amely egy korongból keletkezik, amelynek kerületét egy hipotetikus zsinór egy pontra húzta, egy hétköznapi ember megértésében háromdimenziós lesz, a pontból viszont kétdimenziós. a matematika szemszögéből.
Poincaré azt javasolta, hogy a háromdimenziós gömb az egyetlen olyan háromdimenziós "objektum", amelynek felülete egyetlen pontra összehúzható, és Perelman ezt be tudta bizonyítani. Így a „Megoldhatatlan problémák” listája ma 6 feladatból áll.
Yang-Mills elmélet
Ezt a matematikai problémát a szerzők javasolták 1954-ben. Az elmélet tudományos megfogalmazása a következő: bármely egyszerű kompakt mérőműszercsoportra létezik a Yang és Mills által megalkotott kvantumtérelmélet, és ugyanakkor nulla tömeghibával rendelkezik.
Egy hétköznapi ember számára érthető nyelven szólva a természeti objektumok (részecskék, testek, hullámok stb.) közötti kölcsönhatásai 4 típusra oszthatók: elektromágneses, gravitációs, gyenge és erős. A fizikusok hosszú évek óta próbálnak általános térelméletet alkotni. Eszközvé kell válnia mindezen interakciók magyarázatához. A Yang-Mills elmélet egy matematikai nyelv, amellyel lehetővé vált a 4 fő természeti erő közül 3 leírása. A gravitációra nem vonatkozik. Ezért nem tekinthető úgy, hogy Yangnak és Millsnek sikerült mezőelméletet alkotnia.
Ráadásul a javasolt egyenletek nemlinearitása rendkívül megnehezíti a megoldásukat. Kis csatolási állandók esetén ezek megközelítőleg megoldhatók egy sor perturbációelmélet formájában. Az azonban még nem világos, hogy ezek az egyenletek hogyan oldhatók meg erős csatolással.
Navier-Stokes egyenletek
Ezek a kifejezések olyan folyamatokat írnak le, mint a légáramlás, a folyadékáramlás és a turbulencia. Egyes speciális esetekre már találtak analitikus megoldásokat a Navier-Stokes egyenletre, de ez eddig még senkinek sem sikerült az általánosra. Ugyanakkor a sebesség, sűrűség, nyomás, idő és így tovább meghatározott értékek numerikus szimulációi kiváló eredményeket érhetnek el. Bízni kell abban, hogy valaki a Navier-Stokes egyenleteket fordítva is tudja alkalmazni, vagyis a segítségével kiszámítani a paramétereket, vagy bebizonyítani, hogy nincs megoldási módszer.
Birch-Swinnerton-Dyer probléma
A "megoldatlan problémák" kategóriájába tartozik a Cambridge-i Egyetem angol tudósai által javasolt hipotézis is. Még 2300 évvel ezelőtt az ókori görög tudós, Eukleidész teljes leírást adott az x2 + y2 = z2 egyenlet megoldásairól.
Ha minden prímszámra megszámoljuk a görbe pontjainak számát, akkor egy végtelen egész számot kapunk. Ha konkrétan egy komplex változó 1 függvényébe „ragasztjuk”, akkor a Hasse-Weil zéta függvényt kapjuk egy harmadrendű görbére, amelyet L betűvel jelölünk. Ez információkat tartalmaz az összes prímszám modulo viselkedéséről egyszerre. .
Brian Burch és Peter Swinnerton-Dyer az elliptikus görbékről sejtett. Eszerint a racionális megoldásai halmazának szerkezete és száma összefügg az L-függvény viselkedésével az azonosságnál. A jelenleg nem bizonyított Birch-Swinnerton-Dyer sejtés a 3. fokú algebrai egyenletek leírásától függ, és ez az egyetlen viszonylag egyszerű általános módszer az elliptikus görbék rangjának kiszámítására.
E feladat gyakorlati jelentőségének megértéséhez elég annyit mondani, hogy a modern kriptográfiában az aszimmetrikus rendszerek egész osztálya az elliptikus görbékre épül, a hazai digitális aláírási szabványok pedig ezek alkalmazásán alapulnak.
A p és np osztályok egyenlősége
Ha a millenniumi kihívások többi része pusztán matematikai jellegű, akkor ez az algoritmusok tényleges elméletéhez kapcsolódik. A p és np osztályok egyenlőségére vonatkozó probléma, más néven Cooke-Levin probléma, a következőképpen fogalmazható meg érthető nyelven. Tegyük fel, hogy egy bizonyos kérdésre adott pozitív válasz elég gyorsan, azaz polinomiális időben (PT) ellenőrizhető. Akkor helyes-e az az állítás, hogy elég gyorsan meg lehet találni rá a választ? Még egyszerűbben így hangzik: tényleg nem nehezebb a probléma megoldását ellenőrizni, mint megtalálni? Ha valaha is bebizonyosodik a p és np osztályok egyenlősége, akkor PV-re minden kiválasztási probléma megoldható. Jelenleg sok szakértő kétségbe vonja ennek az állításnak az igazságát, bár ennek ellenkezőjét nem tudják bizonyítani.
Riemann hipotézis
1859-ig nem azonosítottak olyan mintát, amely leírná a prímszámok eloszlását a természetes számok között. Talán ez annak volt köszönhető, hogy a tudomány más kérdésekkel is foglalkozott. A 19. század közepére azonban a helyzet megváltozott, és ezek lettek az egyik legrelevánsabb, amellyel a matematika foglalkozni kezdett.
Az ebben az időszakban megjelent Riemann-hipotézis az a feltételezés, hogy a prímszámok eloszlásában van egy bizonyos minta.
Ma sok modern tudós úgy gondolja, hogy ha bebizonyosodik, akkor a modern kriptográfia számos alapelvét, amelyek az e-kereskedelmi mechanizmusok jelentős részének alapját képezik, felül kell vizsgálni.
A Riemann-hipotézis szerint a prímszámok eloszlásának jellege jelentősen eltérhet a jelenleg feltételezetttől. A helyzet az, hogy a prímszámok eloszlásában eddig nem fedeztek fel rendszert. Például ott van az "ikrek" problémája, amelyek közötti különbség 2. Ezek a számok 11 és 13, 29. Más prímszámok klasztereket alkotnak. Ezek a 101, 103, 107 stb. A tudósok régóta gyanítják, hogy nagyon nagy prímszámok között is léteznek ilyen klaszterek. Ha megtalálják őket, akkor a modern titkosítási kulcsok stabilitása kérdéses lesz.
Hodge-ciklus hipotézis
Ezt az eddig megoldatlan problémát 1941-ben fogalmazták meg. Hodge hipotézise felveti annak lehetőségét, hogy bármely tárgy alakját közelítsük meg úgy, hogy „összeragasztjuk” a nagyobb méretű egyszerű testeket. Ez a módszer régóta ismert és sikeresen alkalmazott. Azt azonban nem tudni, hogy az egyszerűsítés milyen mértékben valósítható meg.
Most már tudja, milyen megoldhatatlan problémák vannak jelenleg. Ezeket tudósok ezrei kutatják szerte a világon. Reménykedni kell, hogy a közeljövőben megoldódnak, és gyakorlati alkalmazásuk hozzásegíti az emberiséget a technológiai fejlődés új fordulójába.
Nincs olyan sok ember a világon, aki soha nem hallott Fermat utolsó tételéről – talán ez az egyetlen matematikai probléma, amely ennyire ismertté vált, és igazi legendává vált. Számos könyv és film említi, miközben szinte minden említés fő kontextusa a tétel bizonyításának lehetetlensége.
Igen, ez a tétel nagyon híres, és bizonyos értelemben amatőr és profi matematikusok által imádott „bálvány” lett, de kevesen tudják, hogy megtalálták a bizonyítékát, és ez még 1995-ben történt. De először a dolgok.
Tehát Fermat utolsó tétele (gyakran Fermat utolsó tételének is nevezik), amelyet a briliáns francia matematikus, Pierre Fermat fogalmazott meg 1637-ben, természeténél fogva nagyon egyszerű és érthető minden középfokú végzettségű ember számára. Azt mondja, hogy az a képletnek n hatványára + b n hatványára \u003d c n hatványára nincs természetes (vagyis nem tört) megoldása n> 2-re. Minden egyszerűnek és világosnak tűnik , de a legjobb matematikusok és hétköznapi amatőrök több mint három és fél évszázadon át küzdöttek a megoldás kereséséért.
Miért olyan híres? Most derítsük ki...
Kevés a bizonyított, nem igazolt és még nem bizonyított tétel? A helyzet az, hogy Fermat utolsó tétele a legnagyobb ellentét a megfogalmazás egyszerűsége és a bizonyítás összetettsége között. Fermat Utolsó tétele hihetetlenül nehéz feladat, ennek megfogalmazása mégis mindenki számára érthető 5 évfolyamos középiskolai végzettséggel, de a bizonyítást messze nem minden hivatásos matematikus. Sem a fizikában, sem a kémiában, sem a biológiában, sem ugyanabban a matematikában nincs egyetlen probléma, amely ilyen egyszerűen megfogalmazódott volna, de olyan sokáig megoldatlan maradt volna. 2. Miből áll?
Kezdjük a Pythagorean nadrággal A megfogalmazás nagyon egyszerű – első ránézésre. Gyermekkorunk óta tudjuk, hogy "a pitagorasz nadrág minden oldalról egyenlő". A probléma azért tűnik olyan egyszerűnek, mert egy mindenki által ismert matematikai állításon alapult - a Pitagorasz-tételen: bármely derékszögű háromszögben a hipotenuszra épített négyzet egyenlő a lábakra épített négyzetek összegével.
A Kr.e. V. században. Pythagoras megalapította a Pythagorean Testvériséget. A pitagoreusok többek között az x²+y²=z² egyenletet kielégítő egész hármasokat tanulmányozták. Bebizonyították, hogy végtelenül sok Pitagorasz-hármas létezik, és általános képleteket kaptak ezek megtalálásához. Valószínűleg hármas és magasabb fokozatokat próbáltak keresni. Abban a meggyőződésben, hogy ez nem működik, a pitagoreusok felhagytak hiábavaló próbálkozásaikkal. A testvériség tagjai inkább filozófusok és esztéták voltak, mint matematikusok.
Ez azt jelenti, hogy könnyű felvenni egy olyan számkészletet, amely tökéletesen kielégíti az x² + y² = z² egyenlőséget.
3-tól, 4-től, 5-től kezdve - valóban, az általános iskolás tanuló megérti, hogy 9 + 16 = 25.
Vagy 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Remek.
Nos, kiderült, hogy nem. Itt kezdődik a trükk. Az egyszerűség látszólagos, mert nehéz bizonyítani nem valaminek a jelenlétét, hanem éppen ellenkezőleg, a hiányát. Amikor be kell bizonyítani, hogy létezik megoldás, akkor ezt a megoldást egyszerűen be lehet és kell is bemutatni.
A hiányt nehezebb bizonyítani: például valaki azt mondja: ilyen és ilyen egyenletnek nincs megoldása. Pocsolyába tenni? egyszerű: bam – és itt a megoldás! (adj megoldást). És ennyi, az ellenfél vereséget szenved. Hogyan igazolható a hiányzás?
Azt mondani: "Nem találtam ilyen megoldást"? Vagy esetleg nem jól kerestél? És mi van, ha csak nagyon nagyok, nos, olyanok, hogy még egy szupererős számítógépnek sincs még elég ereje? Ez az, ami nehéz.
Vizuális formában ez a következőképpen mutatható meg: ha veszünk két megfelelő méretű négyzetet és szétszedjük őket egységnégyzetekre, akkor ebből az egységnégyzet-csomóból egy harmadik négyzetet kapunk (2. ábra): 
És tegyük ugyanezt a harmadik dimenzióval (3. ábra) – nem működik. Nincs elég kocka, vagy továbbiak maradtak:
De a 17. század matematikusa, a francia Pierre de Fermat lelkesen tanulmányozta az x n + y n \u003d z n általános egyenletet. És végül arra a következtetésre jutott: n>2 egész számra nem léteznek megoldások. Fermat bizonyítéka helyrehozhatatlanul elveszett. Lángolnak a kéziratok! Már csak a megjegyzése maradt meg Diophantus Aritmetikájában: "Valóban elképesztő bizonyítékot találtam erre az állításra, de a margók túl szűkek ahhoz, hogy betartsam."
Valójában a bizonyítás nélküli tételt hipotézisnek nevezzük. De Fermat arról híres, hogy soha nem tévedett. Még ha nem is hagyott bizonyítékot egyetlen kijelentésére sem, azt később megerősítették. Emellett Fermat n=4-re igazolta tézisét. Tehát a francia matematikus hipotézise Fermat utolsó tételeként vonult be a történelembe.
Fermat után olyan nagy elmék dolgoztak a bizonyítékok keresésén, mint Leonhard Euler (1770-ben megoldást javasolt n = 3-ra),
Adrien Legendre és Johann Dirichlet (ezek a tudósok közösen találtak bizonyítékot n = 5-re 1825-ben), Gabriel Lame (aki n = 7-re talált bizonyítékot) és még sokan mások. A múlt század 80-as éveinek közepére világossá vált, hogy a tudományos világ úton van Fermat utolsó tételének végső megoldása felé, de a matematikusok csak 1993-ban látták és hitték el, hogy a három évszázados saga bizonyítékot talál Fermat utolsó tétele majdnem véget ért.
Könnyen kimutatható, hogy a Fermat-tételt csak n prímre elég bizonyítani: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Kompozit n esetén a bizonyítás érvényes marad. De végtelenül sok prímszám van...
1825-ben Sophie Germain módszerével a női matematikusok, Dirichlet és Legendre egymástól függetlenül igazolták a tételt n=5-re. 1839-ben a francia Gabriel Lame ugyanezzel a módszerrel kimutatta az n=7 tétel igazságát. Fokozatosan bebizonyosodott a tétel szinte minden n száznál kevesebbre.
Végül Ernst Kummer német matematikus zseniális tanulmányában kimutatta, hogy a 19. századi matematika módszerei nem tudják általános formában bizonyítani a tételt. A Francia Tudományos Akadémia 1847-ben a Fermat-tétel bizonyítására alapított díja kiosztás nélkül maradt.
1907-ben a gazdag német iparos, Paul Wolfskel úgy döntött, hogy viszonzatlan szerelem miatt kioltja életét. Mint egy igazi német, beállította az öngyilkosság dátumát és időpontját: pontosan éjfélkor. Az utolsó napon végrendeletet készített, és leveleket írt a barátoknak, rokonoknak. Az üzlet éjfél előtt véget ért. Azt kell mondanom, hogy Pault érdekelte a matematika. Mivel nem volt mit tennie, bement a könyvtárba, és elkezdte olvasni Kummer híres cikkét. Hirtelen úgy tűnt neki, hogy Kummer tévedett az érvelésében. Wolfskehl ceruzával a kezében elemezni kezdte a cikk ezen részét. Eltelt az éjfél, eljött a reggel. A bizonyítás hiányát betömték. És az öngyilkosság oka most teljesen nevetségesnek tűnt. Pál széttépte a búcsúleveleket, és átírta a végrendeletet.
Hamarosan természetes okok miatt meghalt. Az örökösök igencsak meglepődtek: 100 000 márka (több mint 1 000 000 jelenlegi font sterling) került a Göttingeni Királyi Tudományos Társaság számlájára, amely ugyanabban az évben versenyt hirdetett a Wolfskel-díjra. 100 000 márka támaszkodott Fermat tételének bizonyítására. Egy pfennig sem kellett volna fizetni a tétel cáfolatáért...
A legtöbb hivatásos matematikus elveszett ügynek tartotta a Fermat-féle utolsó tétel bizonyításának keresését, és határozottan visszautasította, hogy időt vesztegetjen egy ilyen hiábavaló feladatra. De az amatőrök dicsőségre hancúroznak. Néhány héttel a bejelentés után a "bizonyítékok" lavina sújtotta a göttingeni egyetemet. E. M. Landau professzor, akinek az volt a feladata, hogy elemezze az elküldött bizonyítékokat, kártyákat osztott ki hallgatóinak:
Kedves(k). . . . . . . .
Köszönöm a kéziratot, amelyet Fermat utolsó tételének bizonyításával küldött. Az első hiba a ... oldalon található a ... sorban. Emiatt az egész bizonyítás érvényét veszti.
E. M. Landau professzor
1963-ban Paul Cohen Gödel megállapításaira támaszkodva bebizonyította Hilbert huszonhárom problémája egyikének, a kontinuum hipotézisnek a megoldhatatlanságát. Mi van, ha Fermat utolsó tétele is megoldhatatlan?! De a Nagy Tétel igazi fanatikusai egyáltalán nem okoztak csalódást. A számítógépek megjelenése váratlanul új bizonyítási módszert adott a matematikusoknak. A második világháború után programozók és matematikusok csoportjai bebizonyították Fermat utolsó tételét minden n értékre 500-ig, majd 1000-ig, később 10 000-ig.
A 80-as években Samuel Wagstaff 25 000-re emelte a határt, a 90-es években pedig a matematikusok azt állították, hogy Fermat utolsó tétele minden n értékre igaz 4 millióig. De ha még egy billió billiót is levonunk a végtelenből, az nem lesz kisebb. A matematikusokat nem győzik meg a statisztikák. A Nagy Tétel bizonyítása azt jelentette, hogy MINDEN n-re be kell bizonyítani a végtelenbe.
1954-ben két fiatal japán matematikus barát a moduláris formák tanulmányozásába kezdett. Ezek az űrlapok számsorokat generálnak, mindegyik - saját sorozat. Véletlenül Taniyama ezeket a sorozatokat elliptikus egyenletek által generált sorozatokkal hasonlította össze. Összeegyeztek! De a moduláris formák geometriai objektumok, míg az elliptikus egyenletek algebrai. Az ilyen különböző objektumok között soha nem találtak kapcsolatot.
Mindazonáltal gondos tesztelés után a barátok felállítottak egy hipotézist: minden elliptikus egyenletnek van egy ikerteste - egy moduláris forma, és fordítva. Ez a hipotézis volt az alapja egy egész matematikai irányzatnak, de amíg a Taniyama-Shimura hipotézist be nem bizonyítják, az egész épület bármelyik pillanatban összeomolhat.
1984-ben Gerhard Frey megmutatta, hogy a Fermat-egyenlet megoldása, ha létezik, belefoglalható valamilyen elliptikus egyenletbe. Két évvel később Ken Ribet professzor bebizonyította, hogy ennek a hipotetikus egyenletnek nem lehet megfelelője a moduláris világban. Innentől kezdve Fermat utolsó tétele elválaszthatatlanul összekapcsolódott a Taniyama-Shimura hipotézissel. Miután bebizonyítottuk, hogy bármely elliptikus görbe moduláris, arra a következtetésre jutunk, hogy nincs olyan elliptikus egyenlet, amely a Fermat-egyenletet megoldaná, és Fermat utolsó tétele azonnal bizonyításra kerül. Ám harminc éven keresztül nem sikerült bizonyítani a Taniyama-Shimura hipotézist, és egyre kevesebb remény volt a sikerre.
1963-ban, amikor még csak tíz éves volt, Andrew Wiles-t már lenyűgözte a matematika. Amikor megismerte a Nagy Tételt, rájött, hogy nem térhet el tőle. Iskolásként, diákként, végzősként felkészült erre a feladatra.
Amikor értesült Ken Ribet megállapításairól, Wiles rávetette magát a Taniyama-Shimura sejtés bizonyítására. Úgy döntött, hogy teljes elszigeteltségben és titokban dolgozik. "Megértettem, hogy minden, aminek köze van Fermat utolsó tételéhez, túlságosan érdekli... Túl sok néző szándékosan zavarja a cél elérését." Hét év kemény munkája meghozta gyümölcsét, Wiles végül befejezte a Taniyama-Shimura sejtés bizonyítását.
1993-ban Andrew Wiles angol matematikus bemutatta a világnak Fermat utolsó tételének bizonyítását (Wiles a Cambridge-i Sir Isaac Newton Intézet egyik konferenciáján olvasta fel szenzációs jelentését.), amely több mint hét évig tartott.
Miközben a hírverés folytatódott a sajtóban, komoly munka kezdődött a bizonyítékok ellenőrzésén. Minden egyes bizonyítékot alaposan meg kell vizsgálni, mielőtt a bizonyítékot szigorúnak és pontosnak lehetne tekinteni. Wiles mozgalmas nyarat töltött a bírálók visszajelzésére várva, remélve, hogy elnyeri a tetszését. Augusztus végén a szakértők nem kellően megalapozott ítéletet találtak.
Kiderült, hogy ez a határozat durva hibát tartalmaz, bár általában igaz. Wiles nem adta fel, segítségül hívta a számelmélet ismert szakemberét, Richard Taylort, és már 1994-ben megjelentették a tétel javított és kiegészített bizonyítását. A legcsodálatosabb az, hogy ez a munka 130 (!) oldalt foglalt el az Annals of Mathematics matematikai folyóiratban. A történet azonban ezzel sem ért véget - az utolsó pontra csak a következő évben, 1995-ben került sor, amikor megjelent a bizonyítás végső és matematikai szempontból „ideális” változata.
„...fél perccel a születésnapja alkalmából rendezett ünnepi vacsora kezdete után átadtam Nadiának a teljes bizonyíték kéziratát” (Andrew Wales). Mondtam már, hogy a matematikusok furcsa emberek?
Ezúttal kétség sem férhetett a bizonyításhoz. Két cikket vetettek alá a leggondosabb elemzésnek, és 1995 májusában megjelentek az Annals of Mathematicsban.
Sok idő telt el azóta, de a társadalomban még mindig van vélemény Fermat utolsó tételének megoldhatatlanságáról. De még azok is ebbe az irányba dolgoznak, akik tudnak a talált bizonyításról – kevesen elégedettek azzal, hogy a Nagy Tétel 130 oldalas megoldást igényel!
Ezért most olyan sok matematikus (főleg amatőr, nem pedig hivatásos tudós) erőit dobják egy egyszerű és tömör bizonyíték keresésére, de ez az út valószínűleg nem vezet sehova ...
forrás
1 Murád:
A Zn = Xn + Yn egyenlőséget a Diophantus-egyenletnek vagy a Fermat-féle Nagy tételnek tekintettük, és ez a (Zn-Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn egyenlet megoldása. Ekkor Zn =-(Xn + Yn) a (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn egyenlet megoldása. Ezek az egyenletek és megoldások az egész számok tulajdonságaihoz és a rajtuk végzett műveletekhez kapcsolódnak. Tehát nem ismerjük az egész számok tulajdonságait?! Ilyen korlátozott tudás birtokában nem fedjük fel az igazságot.
Tekintsük a Zn = +(Xn + Yn) és a Zn =-(Xn + Yn) megoldásokat, amikor n = 1. Az egész + Z 10 számjegyből képződik: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. Oszthatók 2 egész számmal +X - páros, jobb oldali utolsó számjegyek: 0, 2, 4, 6, 8 és +Y - páratlan, utolsó jobb oldali számjegyek: 1, 3, 5, 7, 9, t . e. + X = + Y. Az Y = 5 - páratlan és az X = 5 - a páros számok száma: Z = 10. Teljesíti az egyenletet: (Z - X) X = (Z - Y) Y, és a megoldás + Z = + X + Y= +(X + Y).
A -Z egész számok -X páros és -Y páratlan uniójából állnak, és kielégítik az egyenletet:
(Z + X) X = (Z + Y) Y, és a megoldás -Z = - X - Y = - (X + Y).
Ha Z/X = Y vagy Z/Y = X, akkor Z = XY; Z/-X = -Y vagy Z/-Y = -X, akkor Z = (-X)(-Y). Az osztás ellenőrzése szorzással történik.
Az egyjegyű pozitív és negatív számok 5 páratlan és 5 páratlan számból állnak.
Tekintsük az n = 2 esetet. Ekkor Z2 = X2 + Y2 a (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 egyenlet megoldása, Z2 = -(X2 + Y2) pedig a (Z2 +) egyenlet megoldása. X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Pitagorasz-tételnek tekintettük a Z2 = X2 + Y2-t, és ekkor a Z2 = -(X2 + Y2) megoldás is ugyanez a tétel. Tudjuk, hogy a négyzet átlója 2 részre osztja, ahol az átló a befogó. Ekkor érvényesek az egyenlőségek: Z2 = X2 + Y2, és Z2 = -(X2 + Y2), ahol X és Y lábak. És további megoldások R2 = X2 + Y2 és R2 =- (X2 + Y2) körök, a középpontok a négyzetes koordinátarendszer origója és R sugarú. Ezeket így írhatjuk fel: (5n)2 = (3n)2 + ( 4n)2 , ahol n pozitív és negatív egész szám, és 3 egymást követő szám. Szintén megoldások a 2 bites XY számok, amelyek 00-val kezdődnek és 99-cel végződnek, és 102 = 10x10 és 1 század = 100 év.
Tekintsük azokat a megoldásokat, amikor n = 3. Ekkor Z3 = X3 + Y3 a (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3 egyenlet megoldásai.
3 bites számok XYZ 000-nál kezdődik és 999-nél végződik, és 103 = 10x10x10 = 1000 év = 10 évszázad
1000 azonos méretű és színű kockából körülbelül 10-es rubikot készíthet. Vegyünk egy +103=+1000 - piros és -103=-1000 - kék rubikot. 103 = 1000 kockából állnak. Ha felbontjuk és a kockákat egy sorba vagy egymásra tesszük, hézag nélkül, akkor egy 2000 hosszúságú vízszintes vagy függőleges szegmenst kapunk. A Rubik egy nagy kocka, kis kockákkal borítva, 1-es gomb = 10-es mérettől kezdve. -21, és nem lehet hozzáadni vagy kivonni egy kockát.
- (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
- (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
- (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
Minden egész szám 1. Adjon hozzá 1(egyet) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21, és a szorzatokat:
111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321.
0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
Ezeket a műveleteket 20 bites számológépeken lehet végrehajtani.
Ismeretes, hogy +(n3 - n) mindig osztható +6-tal, és - (n3 - n) osztható -6-tal. Tudjuk, hogy n3 - n = (n-1)n(n+1). Ez 3 egymást követő szám (n-1)n(n+1), ahol n páros, osztható 2-vel, (n-1) és (n+1) páratlan, osztható 3-mal. Ekkor (n-1) n(n+1) mindig osztható 6-tal. Ha n=0, akkor (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, akkor(n-1) n(n+1)=(19)(20)(21).
Tudjuk, hogy 19 x 19 = 361. Ez azt jelenti, hogy egy négyzetet 360 négyzet vesz körül, majd egy kockát 360 kocka vesz körül. Az egyenlőség teljesül: 6 n - 1 + 6n. Ha n = 60, akkor 360 - 1 + 360, és n = 61, akkor 366 - 1 + 366.
A fenti állításokból a következő általánosítások következnek:
n5-4n = (n2-4) n (n2+4); n7-9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1) n (n +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
(n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3) )…3210
n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! =n! (n+1).
0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n) +1)2.
Ha 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
= 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
Bármely n egész szám 10 hatványa, rendelkezik: – n és +n, +1/ n és -1/ n, páratlan és páros:
- (n + n +… + n) = -n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
+ (n + n +…+ n) = + n2; + (n x n x… x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
Nyilvánvaló, hogy ha bármely egész számot hozzáadunk önmagához, akkor az kétszeresére nő, és a szorzat négyzet lesz: X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = a x a = a2. Ezt Vieta tételének tekintették – tévedésnek!
Ha az adott számhoz hozzáadjuk és kivonjuk a b számot, akkor az összeg nem változik, hanem a szorzat változik, pl.
X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2.
X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) \u003d a2- b.
X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2.
X = a + √b i, Y = a - √bi, X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
Ha a és b betűk helyett egész számokat teszünk, akkor paradoxonokat, abszurditásokat és a matematikával szembeni bizalmatlanságot kapunk.
