A párhuzamos egyenesek első jele. Párhuzamos egyenesek, párhuzamos egyenesek előjelei és feltételei

Ez a fejezet a párhuzamos egyenesek tanulmányozásával foglalkozik. Így nevezik két olyan egyenest egy síkban, amelyek nem metszik egymást. Párhuzamos vonalak szegmenseit látjuk a környezetben - ez egy téglalap alakú asztal két éle, egy könyvborító két széle, két trolibusz rúd stb. A párhuzamos vonalak nagyon fontos szerepet játszanak a geometriában. Ebben a fejezetben megtudhatja, mik a geometria axiómái, és miből áll a párhuzamos egyenesek axiómája - a geometria egyik leghíresebb axiómája.

Az 1. részben megjegyeztük, hogy két egyenesnek vagy egy közös pontja van, vagyis metszi egymást, vagy nincs egyetlen közös pontjuk, vagyis nem metszik egymást.

Meghatározás

Az a és b egyenesek párhuzamosságát a következőképpen jelöljük: a || b.

A 98. ábra a c egyenesre merőleges a és b egyeneseket mutatja. A 12. szakaszban megállapítottuk, hogy az ilyen a és b egyenesek nem metszik egymást, azaz párhuzamosak.

Rizs. 98

A párhuzamos vonalak mellett gyakran párhuzamos szakaszokat is figyelembe vesznek. A két szegmenst ún párhuzamos ha párhuzamos egyeneseken fekszenek. A 99. ábrán az AB és CD szegmensek párhuzamosak (AB || CD), az MN és CD szegmensek pedig nem párhuzamosak. Hasonlóképpen meghatározzuk egy szakasz és egy egyenes (99. ábra, b), egy sugár és egy egyenes, egy szakasz és egy sugár, két sugár párhuzamosságát (99. ábra, c).

Rizs. 99 Két egyenes párhuzamosságának jelei

Direct with hívják metsző az a és b egyenesekre nézve, ha két pontban metszi őket (100. ábra). Az a és b egyenesek metszéspontjában a c szekáns nyolc szöget alkot, amelyeket a 100. ábrán számok jelölnek. E szögek néhány párjának speciális neve van:

keresztbe-kasul sarkok: 3 és 5, 4 és 6;
egyoldalú sarkok: 4 és 5, 3 és 6;
megfelelő szögek: 1 és 5, 4 és 8, 2 és 6, 3 és 7.

Rizs. 100

Tekintsük két, ezekhez a szögpárokhoz társított egyenes párhuzamosságának három jelét.

Tétel

Bizonyíték

Tegyük fel, hogy az a és b egyenesek AB metszésponttal való metszéspontjában a fekvőszögek egyenlőek: ∠1 = ∠2 (101. ábra, a).

Bizonyítsuk be, hogy a || b. Ha az 1 és 2 szögek derékszögűek (101. ábra, b), akkor az a és b egyenesek merőlegesek az AB egyenesre, tehát párhuzamosak.

Rizs. 101

Tekintsük azt az esetet, amikor az 1. és 2. szög nem megfelelő.

Az AB szakasz O középső részéből húzzunk egy merőleges OH-t az a egyenesre (101. ábra, c). A B ponttól induló b egyenesen félretesszük a VH 1 szakaszt, amely megegyezik az AH szakaszsal, a 101. c ábrán látható módon, és megrajzoljuk az OH 1 szakaszt. Az ONA és OH 1 V háromszögek két oldala és a köztük lévő szög egyenlő (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), ezért ∠3 = ∠4 és ∠5 = ∠6. A ∠3 = ∠4 egyenlőségből az következik, hogy a H 1 pont az OH sugár folytatásán fekszik, azaz a H, O és H 1 pontok ugyanazon az egyenesen, az ∠5 = ∠6 egyenlőségből pedig ez. ebből következik, hogy a 6 szög egyenes (mivel az 5 szög derékszög). Tehát az a és b egyenesek merőlegesek a HH 1 egyenesre, tehát párhuzamosak. A tétel bizonyítást nyert.

Tétel

Bizonyíték

Legyen az a és b egyenesek metszéspontjában a szekáns a megfelelő szögekkel egyenlő, például ∠1 = ∠2 (102. ábra).

Rizs. 102

Mivel a 2 és 3 szögek függőlegesek, akkor ∠2 = ∠3. Ez a két egyenlőség azt jelenti, hogy ∠1 = ∠3. De az 1 és 3 szögek keresztben vannak, tehát az a és b egyenesek párhuzamosak. A tétel bizonyítást nyert.

Tétel

Bizonyíték

Legyen az a és b egyenesek metszéspontjában a szekáns az egyoldali szögek összegével 180°, például ∠1 + ∠4 = 180° (lásd 102. ábra).

Mivel a 3 és 4 szögek szomszédosak, akkor ∠3 + ∠4 = 180°. Ebből a két egyenlőségből az következik, hogy az 1 és 3 keresztirányú szögek egyenlőek, tehát az a és b egyenesek párhuzamosak. A tétel bizonyítást nyert.

Gyakorlati módszerek a párhuzamos vonalak rajzolására

Rizs. 103 A 104. ábra egy módszert mutat be párhuzamos egyenesek létrehozására T-négyzet segítségével. Ezt a módszert a rajzgyakorlatban használják.

Rizs. 104 Hasonló módszert alkalmaznak az ácsmunkák elvégzésekor is, ahol a párhuzamos vonalak kijelölésére egy ferde (két fa deszka zsanérral rögzítve, 105. ábra) szolgál.

Rizs. 105

Feladatok

186. A 106. ábrán az a és b egyeneseket c egyenes metszi. Bizonyítsuk be, hogy a || b ha:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, és a 7 szög háromszor nagyobb, mint a 3.

Rizs. 106

187. A 107. ábra szerint bizonyítsa be, hogy AB || D.E.

Rizs. 107

188. Az AB és CD szakaszok közös közepén metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy az AC és BD egyenesek párhuzamosak.

189. A 108. ábra adatainak felhasználásával igazolja, hogy BC || HIRDETÉS.

Rizs. 108

190. A 109. ábrán AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Bizonyítsuk be, hogy DE || MINT.

Rizs. 109

191. A VK szakasz az ABC háromszög felezőpontja. A K ponton keresztül egy egyenest húzunk, amely a BC oldalt az M pontban metszi úgy, hogy BM = MK. Bizonyítsuk be, hogy a KM és AB egyenesek párhuzamosak.

192. Az ABC háromszögben az A szög 40°, az ACB szöggel szomszédos ALL szög pedig 80°. Bizonyítsuk be, hogy az ALL szög felezője párhuzamos az AB egyenessel.

193. Az ABC háromszögben ∠A = 40°, ∠B = 70°. A BD egyenest a B csúcson keresztül húzzuk úgy, hogy a BC sugár az ABD szög felezőpontja. Bizonyítsuk be, hogy az AC és BD egyenesek párhuzamosak.

194. Rajzolj háromszöget! Ennek a háromszögnek minden csúcsán keresztül rajzoljon egy négyzetet és egy vonalzót a szemközti oldallal párhuzamos egyenest.

195. Rajzolja meg az ABC háromszöget, és jelölje be a D pontot az AC oldalon. A D ponton keresztül rajzoljon egy négyzetet és egy vonalzót a háromszög másik két oldalával párhuzamos egyeneseket.

Az óra céljai: Ebben a leckében megismerkedhet a „párhuzamos egyenesek” fogalmával, megtanulhatja, hogyan győződhet meg az egyenesek párhuzamosságáról, valamint arról, hogy milyen tulajdonságokkal bírnak a párhuzamos egyenesek és a metsző által alkotott szögek.

Párhuzamos vonalak

Tudja, hogy az "egyenes" fogalma a geometria úgynevezett meghatározatlan fogalmai közé tartozik.

Azt már tudod, hogy két egyenes egybeeshet, vagyis minden közös pontja van, metsződhetnek, vagyis van egy közös pontjuk. A vonalak különböző szögekben metszik egymást, míg a vonalak közötti szöget az általuk alkotott szögek közül a legkisebbnek tekintjük. A metszés speciális esetének tekinthető a merőlegesség esete, amikor az egyenesek által bezárt szög 90 0 .

De két egyenesnek nem lehet közös pontja, vagyis nem metszik egymást. Az ilyen vonalakat ún párhuzamos.

Dolgozzon elektronikus oktatási forrással « ».

A "párhuzamos vonalak" fogalmának megismeréséhez dolgozzon a videó lecke anyagaiban

Így most már ismeri a párhuzamos egyenesek definícióját.

A videóóra részletének anyagaiból megtudhatta a különböző típusú szögeket, amelyek akkor keletkeznek, amikor két egyenes metszi a harmadikat.

1. és 4. szögpárok; 3 és 2 hívják belső egyoldalú sarkok(A sorok között vannak aés b).

5 és 8 szögpárok; 7 és 6 hívják külső egyoldalú sarkok(a sorokon kívül fekszenek aés b).

1 és 8 szögpárok; 3. és 6.; 5. és 4.; 7 és 2 jobb oldali egyoldalú szögeknek nevezzük aés bés szekant c. Amint látja, a megfelelő szögpárból az egyik a jobb oldal között helyezkedik el aés b a másik pedig rajtuk kívül.

Párhuzamos vonalak jelei

Nyilvánvalóan a definíciót használva lehetetlen arra a következtetésre jutni, hogy két egyenes párhuzamos. Ezért annak megállapításához, hogy két egyenes párhuzamos, használja a jelek.

Az egyiket már meg is fogalmazhatja, miután megismerte a videóóra első részének anyagait:

1. tétel. Két, a harmadikra ​​merőleges egyenes nem metszi egymást, vagyis párhuzamosak.

Megismerheti az egyenesek párhuzamosságának egyéb jeleit, amelyek bizonyos szögpárok egyenlőségén alapulnak a videó lecke második részének anyagaival dolgozva."Párhuzamos vonalak jelei".

Így még három párhuzamos egyenes jelét kell ismernie.

2. tétel (a párhuzamos egyenesek első jele). Ha két egyenes keresztirányú metszéspontjában a fekvőszögek egyenlőek, akkor az egyenesek párhuzamosak.

Ismételje meg ismét a párhuzamos vonalak első jelét egy elektronikus oktatási forrás segítségével « ».

Így az egyenesek párhuzamosságának első jelének bizonyításakor a háromszögek egyenlőségének jelét (két oldalon és a köztük lévő szögben), valamint az egyenesek egy egyenesre merőleges párhuzamosságának jelét használjuk.

1. Feladat.

Írd le a füzetedbe az egyenesek párhuzamosságának első jelének megfogalmazását és bizonyítását!

3. tétel (második feltétel párhuzamos egyenesekhez). Ha egy metsző két egyenesének metszéspontjában a megfelelő szögek egyenlőek, akkor az egyenesek párhuzamosak.

Ismételje meg ismét a párhuzamos vonalak második jelét egy elektronikus oktatási forrással « ».

A párhuzamos egyenesek második kritériumának bizonyításakor a függőleges szögek tulajdonságát és az első kritériumot a párhuzamos egyenesekre használjuk.

2. feladat.

Írd le a füzetedbe az egyenesek párhuzamosságának második jelének megfogalmazását és bizonyítását!

4. Tétel (a párhuzamos egyenesek harmadik kritériuma). Ha egy metszés két egyenesének metszéspontjában az egyoldali szögek összege 180 0, akkor az egyenesek párhuzamosak.

Ismételje meg a párhuzamos vonalak harmadik jelét egy elektronikus oktatási forrás segítségével « ».

Így a párhuzamos egyenesekre vonatkozó első kritérium bizonyításakor a szomszédos szögek tulajdonságát és a párhuzamos egyenesekre vonatkozó első kritériumot használjuk.

3. feladat.

Írd le a füzetedbe az egyenesek párhuzamosságának harmadik jelének megfogalmazását és bizonyítását!

A legegyszerűbb feladatok megoldásának gyakorlása érdekében dolgozzon az elektronikus oktatási forrás anyagaival « ».

A párhuzamos egyenesek jeleit a feladatok megoldásában használják.

Most nézzünk meg példákat a vonalak párhuzamosságának jeleinek problémáinak megoldására, miután dolgoztunk a videolecke anyagaival„Feladatok megoldása a „Párhuzamos egyenesek jelei” témakörben.

Most ellenőrizze magát az ellenőrző elektronikus oktatási forrás feladatainak elvégzésével « ».

Aki bonyolultabb problémák megoldásával szeretne foglalkozni, az dolgozhat a videós oktatóanyag anyagaival "Problémák párhuzamos egyenesek jeleivel".

Párhuzamos egyenesek tulajdonságai

A párhuzamos vonalaknak van egy sor tulajdonsága.

Az oktatóvideó anyagaiból megtudhatja, melyek ezek a tulajdonságok "Párhuzamos vonalak tulajdonságai".

Így egy fontos tény, amelyet tudnia kell, a párhuzamosság axiómája.

A párhuzamosság axiómája. Egy olyan ponton keresztül, amely nem egy adott egyenesen fekszik, az adott egyenessel párhuzamos egyenest lehet húzni, ráadásul csak egyet.

Ahogy a videóóra anyagaiból megtudta, ezen axióma alapján két következmény fogalmazható meg.

Következmény 1. Ha egy egyenes metszi az egyik párhuzamos egyenest, akkor metszi a másik párhuzamos egyenest is.

2. következmény. Ha két egyenes párhuzamos a harmadikkal, akkor párhuzamosak egymással.

4. feladat.

A megfogalmazott következtetések megfogalmazását és azok bizonyítását írd le a füzetedbe!

A párhuzamos egyenesek és a szekáns által alkotott szögek tulajdonságai a megfelelő előjelekkel fordított tételek.

Tehát a videóóra anyagaiból megtanultad a keresztfekvési szögek tulajdonságát.

5. tétel (tétel, az első kritérium inverze párhuzamos egyeneseknél). Ha két párhuzamos egyenes metszi a keresztirányt, a fekvőszögek egyenlőek.

5. feladat.

Ismételje meg újra a párhuzamos vonalak első tulajdonságát egy elektronikus oktatási forrással « ».

6. tétel (tétel, a párhuzamos egyenesek második kritériumának inverze). Ha két párhuzamos egyenes metszi egymást, a megfelelő szögek egyenlőek.

6. feladat.

Írd le a füzetedbe ennek a tételnek az állítását és bizonyítását!

Ismételje meg a párhuzamos vonalak második tulajdonságát egy elektronikus oktatási forrással « ».

7. tétel (tétel, a párhuzamos egyenesek harmadik kritériumának inverze). Ha két párhuzamos egyenes metszi egymást, az egyoldali szögek összege 180 0 .

7. feladat.

Írd le a füzetedbe ennek a tételnek az állítását és bizonyítását!

Ismételje meg újra a párhuzamos vonalak harmadik tulajdonságát egy elektronikus oktatási forrással « ».

A párhuzamos egyenesek minden tulajdonságát a feladatok megoldásában is felhasználjuk.

Tekintsünk tipikus példákat a problémamegoldásra, ha oktatóvideókkal dolgozunk "Párhuzamos vonalak és problémák a köztük és a szekáns közötti szögekben".

megfelelő szögek: 1 és 5, 4 és 8, 2 és 6, 3 és 7;

belső keresztben fekvő sarkok: 3 és 5, 4 és 6;

külső keresztben fekvő sarkok: 1 és 7, 2 és 8;

belső egyoldalú sarkok: 3 és 6, 4 és 5;

külső egyoldalú sarkok: 1 és 8, 2 és 7.

Tehát ∠ 2 = ∠ 4 és ∠ 8 = ∠ 6, de a bizonyított ∠ 4 = ∠ 6.

Ezért ∠ 2 = ∠ 8.

3. Megfelelő szögek 2 és 6 azonos, mivel ∠ 2 = ∠ 4, és ∠ 4 = ∠ 6. Arra is ügyelünk, hogy a többi megfelelő szög egyenlő legyen.

4. Összeg belső egyoldalú sarkok 3 és 6 2d lesz, mert az összeg szomszédos sarkok 3 és 4 egyenlő 2d = 180 0 , és ∠ 4 helyettesíthető azonos ∠ 6-tal. Győződjön meg arról is, hogy szögek összege 4 és 5 egyenlő 2d-vel.

5. Összeg külső egyoldalú sarkok 2d lesz, mert ezek a szögek rendre egyenlőek belső egyoldalú sarkok mint a sarkok függőleges.

A fent bizonyított indoklásból azt kapjuk inverz tételek.

Amikor egy tetszőleges harmadik egyenes két egyenesének metszéspontjában azt kapjuk, hogy:

1. A belső keresztfekvési szögek azonosak;

vagy 2. A külső keresztfekvési szögek azonosak;

vagy 3. A megfelelő szögek azonosak;

vagy 4. A belső egyoldali szögek összege egyenlő 2d = 180 0 ;

vagy 5. A külső egyoldal összege 2d = 180 0 ,

akkor az első két egyenes párhuzamos.

A "Két egyenes párhuzamosságának jelei" című videólecke tartalmazza a párhuzamos egyeneseket jelentő jeleket leíró tételek bizonyítását. Ugyanakkor a videó leírja 1) az egyenesek párhuzamosságára vonatkozó tételt, amelyben a metsző egyenlő szögeket hoz létre, 2) egy jelet, amely két egyenes párhuzamosságát jelenti - azonos szögben, 3) egy előjelet. ez két egyenes párhuzamosságát jelenti abban az esetben, ha metszésükkor a metsző egyoldali szögek összeadódnak 180°-kal. A videóóra célja, hogy megismertesse a tanulókkal a két egyenes párhuzamosságát jelentő jeleket, amelyek ismerete számos gyakorlati probléma megoldásához szükséges, ezen tételek bizonyításának vizuális bemutatása, geometriai állítások bizonyításának készségeinek kialakítása.

A videóóra előnyei azzal függnek össze, hogy animáció, hangkíséret, színkiemelés lehetőségével nagyfokú láthatóságot biztosít, és helyettesítheti egy szabványos új blokk bemutatását. oktatási anyagot a tanár.

A videólecke a név képernyőn való megjelenítésével kezdődik. Az egyenesek párhuzamosságának jeleinek ismertetése előtt a tanulók megismerkednek a szekáns fogalmával. A szekáns olyan egyenes, amely más vonalakat metsz. A képernyőn két a és b vonal látható, amelyek metszik a c vonalat. A megszerkesztett c vonal kék színnel van kiemelve, hangsúlyozva, hogy az adott a és b vonal szekánsa. Az egyenesek párhuzamosságának jeleinek figyelembevételéhez meg kell ismerkedni a vonalak metszéspontjával. Az egyenesek metszéspontjainál a metszéspont 8 szöget alkot ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, az arányok elemzésével, amelyekből előjeleket lehet levezetni e vonalak párhuzamosságáról. Megjegyezzük, hogy a ∠3 és ∠5, valamint a ∠2 és ∠4 szögeket keresztben nevezzük. Részletes magyarázatot adunk animáció segítségével a keresztben fekvő szögek, mint szögek, amelyek párhuzamos vonalak között helyezkednek el, és a vonalakhoz keresztben helyezkednek el. Ekkor megadjuk az egyoldali szögek fogalmát, amely magában foglalja a ∠4 és ∠5, valamint a ∠3 és ∠6 párokat. Megjelennek a megfelelő szögpárok is, amelyek közül 4 pár van a megszerkesztett képen - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.

Az oktatóvideó következő részében bármely két vonal párhuzamosságának három jelét vizsgáljuk meg. Megjelenik az első leírás. A tétel kimondja, hogy ha a szekáns által alkotott keresztirányú szögek egyenlőek, akkor az adott egyenesek párhuzamosak lesznek. Az állítást egy rajz kíséri, amelyen két a és b egyenes és egy AB szekáns látható. Megjegyezzük, hogy a keresztben kialakított ∠1 és ∠2 fekvőszögek egyenlőek egymással. Ez az állítás bizonyítást igényel.

A legkönnyebben bizonyítható konkrét eset az, amikor a keresztekkel alkotott adott szögek derékszögek. Ez azt jelenti, hogy a szekáns merőleges az egyenesekre, és a már bevált tétel szerint ebben az esetben az a és b egyenesek nem metszik egymást, azaz párhuzamosak. A konkrét eset bizonyítását az első ábra mellé épített kép példáján keresztül írjuk le, animáció segítségével kiemelve a bizonyítás fontos részleteit.

Az általános esetben történő bizonyításhoz az AB szakasz felezőpontjából további merőlegest kell húzni az a egyenesre. Továbbá a b egyenesen egy VN 1 szakaszt ábrázolunk, amely megegyezik az AN szakasszal. Az ebben az esetben kapott H 1 pontból az O és H 1 pontokat összekötő szakaszt húzunk. Ezután két ΔONA és ΔOBN 1 háromszöget vizsgálunk, amelyek egyenlőségét a két háromszög egyenlőségének első kritériuma bizonyítja. Az OA és OB oldalak felépítésükben egyenlőek, mivel az O pontot az AB szakasz közepeként jelöltük. A HA és a H 1 B oldalak felépítésében is egyenlőek, mivel a H 1 B szegmenset félretesszük, egyenlő HA-val. És a szögek ∠1=∠2 a feladat feltételének megfelelően. Mivel a kialakult háromszögek egyenlőek egymással, akkor a megfelelő fennmaradó szög- és oldalpárok is egyenlők egymással. Ebből az következik, hogy az OH 1 szegmens az OH szegmens folytatása, és egy HH 1 szegmenst alkot. Megjegyzendő, hogy mivel a megszerkesztett OH szakasz merőleges az a egyenesre, ezért a HH 1 szakasz merőleges az a és b egyenesre. Ez a tény azt jelenti, hogy a párhuzamossági tételt olyan egyenesekre használva, amelyekre egy merőleges épül, az adott a és b egyenesek párhuzamosak.

A következő bizonyítandó tétel a párhuzamos egyenesek egyenlőségének előjele a metszéspont metszéspontjában képzett megfelelő szögek egyenlőségével. A jelzett tétel kijelentése megjelenik a képernyőn, és felajánlható felvételre a hallgatóknak. A bizonyítás két párhuzamos a és b egyenes felépítésével kezdődik, amelyekre a c szekáns épül. A képen kékkel kiemelve. A szekáns a megfelelő ∠1 és ∠2 szögeket alkotja, amelyek feltétel szerint egyenlők egymással. A szomszédos ∠3 és ∠4 szögek is meg vannak jelölve. ∠2 a szöghez képest ∠3 egy függőleges szög. És a függőleges szögek mindig egyenlőek. Ezenkívül a ∠1 és ∠3 szögek keresztben vannak egymással - egyenlőségük (a már bevált állítás szerint) azt jelenti, hogy az a és b egyenesek párhuzamosak. A tétel bizonyítást nyert.

Az oktatóvideó utolsó része annak az állításnak a bizonyítására szolgál, hogy ha az egyoldali szögek összege, amelyeket néhány két egyenes metszéspontjában egy metszővonal alkot, 180 °, akkor ezek a vonalak párhuzamosak lesznek Egyéb. A bizonyítást egy rajz segítségével mutatjuk be, amelyen az a és b vonalak metszenek egy c szekánst. A metszéspont által alkotott sarkokat az előző bizonyításhoz hasonlóan jelöljük. Feltétel szerint a ∠1 és ∠4 szögek összege 180°. Ismeretes, hogy a ∠3 és ∠4 szögek összege 180°, mivel szomszédosak. Ez azt jelenti, hogy a ∠1 és ∠3 szögek egyenlőek egymással. Ez a következtetés jogot ad annak állítására, hogy az a és b egyenesek párhuzamosak. A tétel bizonyítást nyert.

A „Két egyenes párhuzamosságának jelei” című videóleckét a tanár önálló blokkként használhatja, amely bemutatja e tételek bizonyítását, helyettesítve a tanári magyarázatot vagy azt kísérőként. A részletes magyarázat lehetővé teszi, hogy az anyagot a tanulók önálló tanuláshoz használják fel, és segít a távoktatási tananyag magyarázatában.

1. Ha két egyenes párhuzamos a harmadik egyenessel, akkor párhuzamosak:

Ha egy a||cés b||c, akkor a||b.

2. Ha két egyenes merőleges a harmadik egyenesre, akkor párhuzamosak:

Ha egy a⊥cés b⊥c, akkor a||b.

Az egyenesek párhuzamosságának fennmaradó jelei a két egyenes metszéspontjában egy harmaddal képzett szögeken alapulnak.

3. Ha a belső egyoldali szögek összege 180°, akkor az egyenesek párhuzamosak:

Ha ∠1 + ∠2 = 180°, akkor a||b.

4. Ha a megfelelő szögek egyenlőek, akkor az egyenesek párhuzamosak:

Ha ∠2 = ∠4, akkor a||b.

5. Ha a belső keresztfekvési szögek egyenlőek, akkor az egyenesek párhuzamosak:

Ha ∠1 = ∠3, akkor a||b.

Párhuzamos egyenesek tulajdonságai

Azok az állítások, amelyek inverzek az egyenesek párhuzamosságának előjeleivel, azok tulajdonságai. Ezek azon szögek tulajdonságain alapulnak, amelyeket két párhuzamos egyenesnek egy harmadik egyenes metszése képez.

1. Ha két párhuzamos egyenes metszi egymást egy harmadik egyenessel, az általuk alkotott belső egyoldalú szögek összege 180°:

Ha egy a||b, akkor ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Ha két párhuzamos egyenes metszi egy harmadik egyenest, az általuk alkotott megfelelő szögek egyenlőek:

Ha egy a||b, akkor ∠2 = ∠4.

3. Két párhuzamos egyenesnek egy harmadik egyenessel való metszéspontjában az általuk alkotott fekvési szögek egyenlőek:

Ha egy a||b, akkor ∠1 = ∠3.

A következő tulajdonság mindegyik előző speciális esete:

4. Ha egy síkon egy egyenes merőleges a két párhuzamos egyenes egyikére, akkor merőleges a másikra is:

Ha egy a||bés c⊥a, akkor c⊥b.

Az ötödik tulajdonság a párhuzamos egyenesek axiómája:

5. Egy adott egyenesen nem fekvő ponton keresztül csak egy egyenes húzható párhuzamosan az adott egyenessel.