Pierre de Fermat dan teoremanya yang "tidak dapat dibuktikan". Saya ingin belajar - masalah yang belum terpecahkan Pierre de Fermat dan teoremanya yang "tidak dapat dibuktikan".

Terkadang studi yang rajin tentang ilmu eksakta dapat membuahkan hasil - Anda tidak hanya akan dikenal oleh seluruh dunia, tetapi juga kaya. Namun, penghargaan diberikan tanpa bayaran, dan dalam sains modern ada banyak teori, teorema, dan masalah yang belum terbukti yang berlipat ganda seiring perkembangan sains, ambil setidaknya buku catatan Kourovka atau Dniester, semacam koleksi dengan fisik dan matematika yang tidak dapat dipecahkan, dan tidak hanya , tugas. Namun, ada juga teorema yang benar-benar rumit yang belum terpecahkan selama lebih dari belasan tahun, dan untuk mereka American Clay Institute telah memberikan penghargaan masing-masing sebesar 1 juta dolar AS. Hingga tahun 2002, total jackpot adalah 7 juta, karena ada tujuh "masalah milenium", tetapi ahli matematika Rusia Grigory Perelman memecahkan dugaan Poincaré dengan meninggalkan satu juta secara epik, bahkan tanpa membuka pintu bagi ahli matematika AS yang ingin memberikannya dengan jujur. bonus yang diperoleh. Jadi, kita aktifkan Teori Big Bang untuk latar belakang dan suasana hati, dan lihat apa lagi yang bisa Anda kurangi.

Kesetaraan kelas P dan NP

Secara sederhana, masalah persamaan P = NP adalah sebagai berikut: jika jawaban positif untuk beberapa pertanyaan dapat diperiksa dengan cukup cepat (dalam waktu polinomial), apakah benar jawaban atas pertanyaan ini dapat ditemukan dengan cukup cepat (juga dalam waktu polinomial dan menggunakan memori polinomial)? Dengan kata lain, bukankah lebih mudah untuk memeriksa solusi dari masalah daripada menemukannya? Intinya di sini adalah bahwa beberapa kalkulasi dan kalkulasi lebih mudah diselesaikan secara algoritme daripada brute-force, dan dengan demikian menghemat banyak waktu dan sumber daya.

Hipotesis Hodge

Dugaan Hodge, yang dirumuskan pada tahun 1941, adalah bahwa untuk jenis ruang yang sangat bagus yang disebut varietas aljabar projektif, yang disebut siklus Hodge adalah kombinasi objek yang memiliki interpretasi geometris - siklus aljabar.

Di sini, menjelaskan secara sederhana, kita dapat mengatakan hal berikut: pada abad ke-20, bentuk geometris yang sangat kompleks ditemukan, seperti botol melengkung. Jadi, disarankan bahwa untuk membangun objek-objek ini untuk dideskripsikan, perlu menggunakan bentuk-bentuk yang benar-benar membingungkan yang tidak memiliki esensi geometris "coretan-coretan multidimensi yang begitu mengerikan" atau Anda masih dapat bertahan dengan aljabar + geometri standar bersyarat .

Hipotesis Riemann

Cukup sulit untuk dijelaskan di sini dalam bahasa manusia, cukup diketahui bahwa solusi dari masalah ini akan memiliki konsekuensi yang luas di bidang distribusi bilangan prima. Masalahnya sangat penting dan mendesak bahkan turunan dari contoh tandingan dari hipotesis - atas kebijakan Dewan Akademik Universitas, masalahnya dapat dianggap terbukti, jadi di sini Anda dapat mencoba metode "dari sebaliknya". Sekalipun dimungkinkan untuk merumuskan ulang hipotesis dalam arti yang lebih sempit, bahkan di sini Clay Institute akan membayar sejumlah uang.

teori Yang-Mills

Fisika Partikel adalah salah satu topik favorit Dr. Sheldon Cooper. Di sini teori kuantum dari dua paman pintar memberi tahu kita bahwa untuk kelompok pengukur sederhana apa pun di ruang angkasa, ada cacat massa selain nol. Pernyataan ini dibuktikan dengan data eksperimen dan simulasi numerik, namun sejauh ini belum ada yang bisa membuktikannya.

Persamaan Navier-Stokes

Di sini, Howard Wolowitz pasti akan membantu kita jika dia ada dalam kenyataan - lagipula, ini adalah teka-teki dari hidrodinamika, dan fondasi dari fondasi. Persamaan menggambarkan gerakan fluida kental Newtonian, sangat penting secara praktis, dan, yang terpenting, menggambarkan turbulensi, yang tidak dapat didorong ke dalam kerangka sains dengan cara apa pun dan sifat serta tindakannya tidak dapat diprediksi. Pembenaran untuk konstruksi persamaan ini akan memungkinkan untuk tidak menunjuk ke langit, tetapi untuk memahami turbulensi dari dalam dan membuat pesawat dan mekanisme lebih stabil.

Hipotesis Birch-Swinnerton-Dyer

Benar, di sini saya mencoba mengambil kata-kata sederhana, tetapi ada aljabar yang begitu padat sehingga seseorang tidak dapat melakukannya tanpa perendaman yang dalam. Mereka yang tidak ingin menyelam ke matan perlu mengetahui bahwa hipotesis ini memungkinkan Anda dengan cepat dan tanpa rasa sakit menemukan peringkat kurva elips, dan jika hipotesis ini tidak ada, maka diperlukan selembar perhitungan untuk menghitung peringkat ini. . Nah, tentunya Anda juga perlu tahu bahwa pembuktian hipotesis ini akan memperkaya Anda sebesar satu juta dolar.

Perlu dicatat bahwa di hampir setiap bidang sudah ada kemajuan, dan bahkan kasus yang terbukti untuk contoh individu. Oleh karena itu, jangan ragu, jika tidak maka akan menjadi seperti teorema Fermat, yang menyerah pada Andrew Wiles setelah lebih dari 3 abad pada tahun 1994, dan memberinya Hadiah Abel dan sekitar 6 juta kroner Norwegia (50 juta rubel dengan nilai tukar saat ini) .

Seringkali, ketika berbicara dengan siswa sekolah menengah tentang pekerjaan penelitian dalam matematika, saya mendengar hal berikut: "Hal baru apa yang dapat ditemukan dalam matematika?" Tapi sungguh: mungkin semua penemuan hebat telah dibuat, dan teorema telah dibuktikan?

Pada tanggal 8 Agustus 1900, di International Congress of Mathematicians di Paris, matematikawan David Hilbert menggarisbawahi daftar masalah yang ia yakini akan dipecahkan pada abad ke-20. Ada 23 item dalam daftar. Dua puluh satu dari mereka telah diselesaikan sejauh ini. Masalah terakhir yang dipecahkan dalam daftar Gilbert adalah teorema Fermat yang terkenal, yang tidak dapat dipecahkan oleh para ilmuwan selama 358 tahun. Pada tahun 1994, orang Inggris Andrew Wiles mengusulkan solusinya. Ternyata benar.

Mengikuti contoh Gilbert di penghujung abad lalu, banyak ahli matematika mencoba merumuskan tugas strategis serupa untuk abad ke-21. Salah satu daftar tersebut dibuat terkenal oleh miliarder Boston Landon T. Clay. Pada tahun 1998, atas biayanya, Institut Matematika Tanah Liat didirikan di Cambridge (Massachusetts, AS) dan hadiah diberikan untuk memecahkan sejumlah masalah penting dalam matematika modern. Pada tanggal 24 Mei 2000, para ahli institut memilih tujuh masalah - menurut jumlah jutaan dolar yang dialokasikan untuk hadiah. Daftar ini disebut Masalah Hadiah Milenium:

1. Masalah Cook (dirumuskan tahun 1971)

Katakanlah Anda, berada di perusahaan besar, ingin memastikan bahwa teman Anda juga ada di sana. Jika Anda diberi tahu bahwa dia sedang duduk di sudut, sepersekian detik sudah cukup untuk, dengan pandangan sekilas, memastikan bahwa informasinya benar. Dengan tidak adanya informasi ini, Anda akan dipaksa untuk berkeliling ke seluruh ruangan, melihat para tamu. Ini menunjukkan bahwa memecahkan masalah seringkali membutuhkan lebih banyak waktu daripada memeriksa kebenaran solusi.

Stephen Cook merumuskan masalah: dapatkah memeriksa kebenaran solusi untuk suatu masalah lebih lama daripada mendapatkan solusi itu sendiri, terlepas dari algoritme verifikasi. Masalah ini juga menjadi salah satu masalah yang belum terpecahkan di bidang logika dan ilmu komputer. Solusinya dapat merevolusi dasar-dasar kriptografi yang digunakan dalam transmisi dan penyimpanan data.

2. Hipotesis Riemann (dirumuskan pada tahun 1859)

Beberapa bilangan bulat tidak dapat dinyatakan sebagai produk dari dua bilangan bulat yang lebih kecil, seperti 2, 3, 5, 7, dan seterusnya. Angka-angka seperti itu disebut bilangan prima dan memainkan peran penting dalam matematika murni dan penerapannya. Distribusi bilangan prima di antara deret semua bilangan asli tidak mengikuti keteraturan apa pun. Namun, ahli matematika Jerman Riemann membuat asumsi tentang sifat-sifat deret bilangan prima. Jika Hipotesis Riemann terbukti, itu akan merevolusi pengetahuan kita tentang enkripsi dan mengarah pada terobosan keamanan Internet yang belum pernah terjadi sebelumnya.

3. Hipotesis Birch dan Swinnerton-Dyer (dirumuskan pada tahun 1960)

Terkait dengan deskripsi himpunan penyelesaian dari beberapa persamaan aljabar dalam beberapa variabel dengan koefisien bilangan bulat. Contoh persamaan tersebut adalah ekspresi x2 + y2 = z2. Euclid memberikan gambaran lengkap tentang solusi persamaan ini, tetapi untuk persamaan yang lebih kompleks, mencari solusi menjadi sangat sulit.

4. Hipotesis Hodge (dirumuskan pada tahun 1941)

Pada abad ke-20, ahli matematika menemukan metode yang ampuh untuk mempelajari bentuk objek yang kompleks. Gagasan utamanya adalah menggunakan "batu bata" sederhana alih-alih objek itu sendiri, yang direkatkan dan membentuk kemiripannya. Hipotesis Hodge dikaitkan dengan beberapa asumsi tentang sifat-sifat "batu bata" dan benda-benda tersebut.

5. Persamaan Navier - Stokes (dirumuskan pada tahun 1822)

Jika Anda berlayar dengan perahu di danau, gelombang akan muncul, dan jika Anda terbang dengan pesawat terbang, arus turbulen akan muncul di udara. Diasumsikan bahwa fenomena ini dan lainnya dijelaskan oleh persamaan yang dikenal sebagai persamaan Navier-Stokes. Solusi dari persamaan ini tidak diketahui, dan bahkan tidak diketahui bagaimana menyelesaikannya. Perlu untuk menunjukkan bahwa solusinya ada dan merupakan fungsi yang cukup halus. Solusi dari masalah ini akan memungkinkan untuk secara signifikan mengubah metode melakukan perhitungan hidro dan aerodinamis.

6. Masalah Poincare (dirumuskan tahun 1904)

Jika Anda merentangkan karet gelang di atas apel, maka Anda dapat menggerakkan selotip secara perlahan tanpa meninggalkan permukaan, tekan ke suatu titik. Di sisi lain, jika karet gelang yang sama direntangkan dengan benar di sekitar donat, tidak ada cara untuk mengompres karet sampai titik tertentu tanpa merobek atau merusak donat. Permukaan apel dikatakan terhubung secara sederhana, tetapi permukaan donat tidak. Ternyata sangat sulit untuk membuktikan bahwa hanya bola yang terhubung begitu saja sehingga matematikawan masih mencari jawaban yang benar.

7. Persamaan Yang-Mills (dirumuskan tahun 1954)

Persamaan fisika kuantum menggambarkan dunia partikel elementer. Fisikawan Yang dan Mills, setelah menemukan hubungan antara geometri dan fisika partikel elementer, menulis persamaan mereka sendiri. Dengan demikian, mereka menemukan cara untuk menyatukan teori interaksi elektromagnetik, lemah dan kuat. Persamaan Yang-Mills menyiratkan keberadaan partikel yang memang diamati di laboratorium di seluruh dunia, sehingga teori Yang-Mills diterima oleh sebagian besar fisikawan, meskipun teori ini masih gagal memprediksi massa partikel unsur.

Masalah yang tidak dapat dipecahkan adalah 7 masalah matematika yang paling menarik. Masing-masing diusulkan pada satu waktu oleh para ilmuwan terkenal, sebagai aturan, dalam bentuk hipotesis. Selama beberapa dekade, ahli matematika di seluruh dunia telah memeras otak mereka untuk solusi mereka. Mereka yang berhasil akan diberi hadiah satu juta dolar AS yang ditawarkan oleh Clay Institute.

Institut Tanah Liat

Nama ini adalah organisasi nirlaba swasta yang berkantor pusat di Cambridge, Massachusetts. Didirikan pada tahun 1998 oleh ahli matematika Harvard A. Jeffey dan pengusaha L. Clay. Tujuan dari Institut adalah untuk mempopulerkan dan mengembangkan pengetahuan matematika. Untuk mencapai hal ini, organisasi memberikan penghargaan kepada para ilmuwan dan mensponsori penelitian yang menjanjikan.

Pada awal abad ke-21, Clay Mathematical Institute menawarkan hadiah kepada mereka yang memecahkan masalah yang dikenal sebagai masalah paling sulit yang tidak dapat dipecahkan, menyebut daftar Masalah Hadiah Milenium mereka. Dari "Daftar Hilbert" itu hanya memasukkan hipotesis Riemann.

Tantangan Milenium

Daftar Clay Institute awalnya termasuk:

• hipotesis siklus Hodge;
• persamaan teori kuantum Yang-Mills;
• hipotesis Poincaré;
• masalah persamaan kelas P dan NP;
• hipotesis Riemann;
• atas keberadaan dan kelancaran penyelesaiannya;
• Masalah Birch-Swinnerton-Dyer.

Masalah matematika terbuka ini sangat menarik karena dapat memiliki banyak implementasi praktis.

Apa yang dibuktikan Grigory Perelman

Pada tahun 1900, filsuf terkenal Henri Poincaré menyarankan bahwa setiap manifold-3 kompak yang terhubung sederhana tanpa batas adalah homeomorfik untuk bola-3. Buktinya dalam kasus umum tidak ditemukan selama satu abad. Hanya pada tahun 2002-2003, ahli matematika St. Petersburg G. Perelman menerbitkan sejumlah artikel dengan solusi untuk masalah Poincaré. Mereka memiliki efek bom yang meledak. Pada tahun 2010, hipotesis Poincaré dikeluarkan dari daftar "Masalah yang Belum Terpecahkan" dari Clay Institute, dan Perelman sendiri ditawari untuk menerima remunerasi yang cukup besar karena dia, yang ditolak terakhir tanpa menjelaskan alasan keputusannya.

Penjelasan yang paling dapat dimengerti tentang apa yang berhasil dibuktikan oleh ahli matematika Rusia dapat diberikan dengan membayangkan bahwa sebuah cakram karet ditarik ke atas donat (torus), dan kemudian mereka mencoba menarik tepi kelilingnya menjadi satu titik. Jelas ini tidak mungkin. Hal lain, jika Anda melakukan percobaan ini dengan bola. Dalam hal ini, bola yang tampaknya tiga dimensi, yang dihasilkan dari sebuah piringan, yang kelilingnya ditarik ke suatu titik oleh tali hipotetis, akan menjadi tiga dimensi dalam pemahaman orang biasa, tetapi dua dimensi dari titik tersebut. dari pandangan matematika.

Poincaré menyarankan bahwa bola tiga dimensi adalah satu-satunya "objek" tiga dimensi yang permukaannya dapat dikontrak ke satu titik, dan Perelman mampu membuktikannya. Dengan demikian, daftar "masalah yang tidak dapat diselesaikan" hari ini terdiri dari 6 masalah.

teori Yang-Mills

Masalah matematika ini diajukan oleh penulisnya pada tahun 1954. Rumusan ilmiah dari teori tersebut adalah sebagai berikut: untuk setiap kelompok pengukur kompak sederhana, teori spasial kuantum yang dibuat oleh Yang dan Mills ada, dan pada saat yang sama memiliki cacat massa nol.

Berbicara dalam bahasa yang dapat dimengerti oleh orang biasa, interaksi antara benda-benda alam (partikel, benda, gelombang, dll.) Dibagi menjadi 4 jenis: elektromagnetik, gravitasi, lemah dan kuat. Selama bertahun-tahun, fisikawan telah mencoba membuat teori medan umum. Itu harus menjadi alat untuk menjelaskan semua interaksi ini. Teori Yang-Mills adalah bahasa matematika yang memungkinkan untuk menggambarkan 3 dari 4 kekuatan utama alam. Itu tidak berlaku untuk gravitasi. Oleh karena itu, Yang dan Mills tidak dapat dianggap berhasil menciptakan teori lapangan.

Selain itu, ketidaklinieran persamaan yang diusulkan membuatnya sangat sulit untuk dipecahkan. Untuk konstanta kopling kecil, mereka dapat diselesaikan dalam bentuk serangkaian teori perturbasi. Namun, belum jelas bagaimana persamaan ini dapat diselesaikan dengan kopling yang kuat.

Persamaan Navier-Stokes

Ekspresi ini menggambarkan proses seperti aliran udara, aliran fluida, dan turbulensi. Untuk beberapa kasus khusus, solusi analitik persamaan Navier-Stokes telah ditemukan, tetapi sejauh ini belum ada yang berhasil melakukannya untuk persamaan umum. Pada saat yang sama, simulasi numerik untuk nilai kecepatan, kepadatan, tekanan, waktu, dan sebagainya yang spesifik dapat mencapai hasil yang sangat baik. Diharapkan seseorang dapat menerapkan persamaan Navier-Stokes dalam arah yang berlawanan, yaitu menghitung parameter dengan bantuan mereka, atau membuktikan bahwa tidak ada metode solusi.

Masalah Birch-Swinnerton-Dyer

Kategori "Masalah yang Tidak Terpecahkan" juga mencakup hipotesis yang diajukan oleh ilmuwan Inggris dari University of Cambridge. Bahkan 2300 tahun yang lalu, ilmuwan Yunani kuno Euclid memberikan gambaran lengkap tentang penyelesaian persamaan x2 + y2 = z2.

Jika untuk setiap bilangan prima menghitung jumlah titik pada kurva modulo itu, Anda mendapatkan himpunan bilangan bulat tak terhingga. Jika Anda secara khusus "merekatkannya" menjadi 1 fungsi variabel kompleks, maka Anda mendapatkan fungsi Hasse-Weil zeta untuk kurva orde ketiga, dilambangkan dengan huruf L. Ini berisi informasi tentang perilaku modulo semua bilangan prima sekaligus .

Brian Burch dan Peter Swinnerton-Dyer menduga tentang kurva eliptik. Menurutnya, struktur dan jumlah himpunan solusi rasionalnya terkait dengan perilaku fungsi-L pada identitas. Konjektur Birch-Swinnerton-Dyer yang saat ini belum terbukti bergantung pada deskripsi persamaan aljabar derajat 3 dan merupakan satu-satunya cara umum yang relatif sederhana untuk menghitung peringkat kurva eliptik.

Untuk memahami pentingnya tugas ini secara praktis, cukup dikatakan bahwa dalam kriptografi modern, seluruh kelas sistem asimetris didasarkan pada kurva eliptik, dan standar tanda tangan digital domestik didasarkan pada penerapannya.

Kesetaraan kelas p dan np

Jika Tantangan Milenium lainnya adalah murni matematika, maka yang ini terkait dengan teori algoritma yang sebenarnya. Masalah persamaan kelas p dan np, juga dikenal sebagai masalah Cooke-Levin, dapat dirumuskan dalam bahasa yang mudah dipahami sebagai berikut. Misalkan jawaban positif untuk pertanyaan tertentu dapat diperiksa dengan cukup cepat, yaitu dalam waktu polinomial (PT). Lalu apakah pernyataan itu benar sehingga jawabannya dapat ditemukan dengan cukup cepat? Lebih sederhana lagi kedengarannya seperti ini: apakah tidak lebih sulit untuk memeriksa solusi dari masalah daripada menemukannya? Jika persamaan kelas p dan np terbukti, maka semua masalah seleksi dapat diselesaikan untuk PV. Saat ini banyak ahli yang meragukan kebenaran pernyataan tersebut, meski tidak bisa membuktikan sebaliknya.

Hipotesis Riemann

Sampai tahun 1859, tidak ada pola yang teridentifikasi yang dapat menggambarkan bagaimana bilangan prima didistribusikan di antara bilangan asli. Mungkin ini karena fakta bahwa sains berurusan dengan masalah lain. Namun, pada pertengahan abad ke-19, situasinya telah berubah, dan mereka menjadi salah satu yang paling relevan yang mulai dihadapi matematika.

Hipotesis Riemann yang muncul pada periode ini adalah asumsi bahwa ada pola tertentu dalam distribusi bilangan prima.

Saat ini, banyak ilmuwan modern percaya bahwa jika terbukti, maka banyak prinsip dasar kriptografi modern, yang menjadi dasar dari sebagian besar mekanisme e-niaga, harus direvisi.

Menurut hipotesis Riemann, sifat distribusi bilangan prima mungkin berbeda secara signifikan dari yang diasumsikan saat ini. Faktanya adalah sejauh ini belum ditemukan sistem dalam distribusi bilangan prima. Misalnya, ada masalah "kembar", yang selisihnya adalah 2. Bilangan tersebut adalah 11 dan 13, 29. Bilangan prima lainnya membentuk gugus. Ini adalah 101, 103, 107, dll. Para ilmuwan telah lama menduga bahwa gugus seperti itu ada di antara bilangan prima yang sangat besar. Jika ditemukan, maka stabilitas kunci kripto modern akan dipertanyakan.

Hipotesis Siklus Hodge

Masalah yang sampai sekarang belum terpecahkan ini dirumuskan pada tahun 1941. Hipotesis Hodge menunjukkan kemungkinan untuk memperkirakan bentuk objek apa pun dengan "menempelkan" benda-benda sederhana dengan dimensi yang lebih tinggi. Metode ini telah dikenal dan berhasil digunakan sejak lama. Namun, belum diketahui sejauh mana penyederhanaan itu bisa dilakukan.

Sekarang Anda tahu masalah apa yang tidak dapat diselesaikan saat ini. Mereka adalah subjek penelitian oleh ribuan ilmuwan di seluruh dunia. Diharapkan dalam waktu dekat mereka akan diselesaikan, dan penerapan praktisnya akan membantu umat manusia memasuki babak baru perkembangan teknologi.

Tidak banyak orang di dunia yang belum pernah mendengar Teorema Terakhir Fermat - mungkin ini satu-satunya masalah matematika yang telah dikenal luas dan menjadi legenda nyata. Disebutkan dalam banyak buku dan film, sedangkan konteks utama dari hampir semua penyebutan adalah ketidakmungkinan membuktikan teorema tersebut.

Ya, teorema ini sangat terkenal dan dalam arti tertentu telah menjadi "idola" yang disembah oleh matematikawan amatir dan profesional, tetapi hanya sedikit orang yang tahu bahwa buktinya telah ditemukan, dan ini terjadi pada tahun 1995 silam. Tapi hal pertama yang pertama.

Jadi, Teorema Terakhir Fermat (sering disebut teorema terakhir Fermat), dirumuskan pada tahun 1637 oleh ahli matematika Prancis yang brilian, Pierre Fermat, sifatnya sangat sederhana dan dapat dipahami oleh siapa pun dengan pendidikan menengah. Dikatakan bahwa rumus a pangkat n + b pangkat n \u003d c pangkat n tidak memiliki solusi alami (yaitu non-fraksional) untuk n> 2. Semuanya tampak sederhana dan jelas , tetapi ahli matematika terbaik dan amatir biasa memperebutkan pencarian solusi selama lebih dari tiga setengah abad.

Kenapa dia begitu terkenal? Sekarang mari kita cari tahu...

Apakah ada beberapa teorema yang terbukti, tidak terbukti, dan belum terbukti? Masalahnya adalah Teorema Terakhir Fermat adalah kontras terbesar antara kesederhanaan formulasi dan kompleksitas pembuktian. Teorema Terakhir Fermat adalah tugas yang sangat sulit, namun perumusannya dapat dipahami oleh semua orang dengan 5 kelas sekolah menengah, tetapi buktinya jauh dari setiap ahli matematika profesional. Baik dalam fisika, kimia, biologi, maupun matematika yang sama, tidak ada satu masalah pun yang dapat dirumuskan dengan begitu sederhana, tetapi tetap tidak terselesaikan untuk waktu yang lama. 2. Terdiri dari apa?

Mari kita mulai dengan celana Pythagoras Kata-katanya sangat sederhana - sekilas. Seperti yang kita ketahui sejak masa kanak-kanak, "celana Pythagoras sama di semua sisi." Masalahnya terlihat sangat sederhana karena didasarkan pada pernyataan matematika yang diketahui semua orang - teorema Pythagoras: dalam segitiga siku-siku mana pun, kuadrat yang dibangun di sisi miring sama dengan jumlah kuadrat yang dibangun di atas kaki.

Pada abad ke-5 SM. Pythagoras mendirikan persaudaraan Pythagoras. Pythagoras, antara lain, mempelajari bilangan bulat tiga kali lipat yang memenuhi persamaan x²+y²=z². Mereka membuktikan bahwa jumlah tiga kali lipat Pythagoras tak terhingga dan memperoleh rumus umum untuk menemukannya. Mereka mungkin mencoba mencari tiga kali lipat dan derajat yang lebih tinggi. Yakin bahwa ini tidak berhasil, orang Pythagoras mengabaikan usaha mereka yang sia-sia. Anggota persaudaraan lebih banyak filsuf dan estetika daripada ahli matematika.

Artinya, mudah untuk mengambil sekumpulan angka yang memenuhi persamaan x² + y² = z² dengan sempurna

Mulai dari 3, 4, 5 - memang anak sekolah dasar sudah paham bahwa 9 + 16 = 25.

Atau 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Bagus.

Yah, ternyata mereka tidak. Di sinilah trik dimulai. Kesederhanaan tampak, karena sulit untuk membuktikan bukan kehadiran sesuatu, tetapi sebaliknya, ketidakhadiran. Ketika diperlukan untuk membuktikan bahwa ada solusi, seseorang dapat dan harus menyajikan solusi ini.

Lebih sulit untuk membuktikan ketiadaan: misalnya, seseorang berkata: persamaan ini dan itu tidak memiliki solusi. Menempatkannya di genangan air? mudah: bam - dan ini dia, solusinya! (berikan solusi). Dan hanya itu, lawan dikalahkan. Bagaimana cara membuktikan ketidakhadiran?

Untuk mengatakan: "Saya tidak menemukan solusi seperti itu"? Atau mungkin Anda tidak mencari dengan baik? Dan bagaimana jika mereka, hanya sangat besar, sehingga bahkan komputer yang sangat kuat pun belum memiliki kekuatan yang cukup? Inilah yang sulit.

Dalam bentuk visual, ini dapat ditunjukkan sebagai berikut: jika kita mengambil dua kotak dengan ukuran yang sesuai dan membongkarnya menjadi kotak satuan, maka kotak ketiga diperoleh dari kumpulan kotak satuan ini (Gbr. 2):


Dan mari kita lakukan hal yang sama dengan dimensi ketiga (Gbr. 3) - tidak berhasil. Tidak ada cukup kubus, atau ada tambahan yang tersisa:

Tetapi ahli matematika abad ke-17, orang Prancis Pierre de Fermat, dengan antusias mempelajari persamaan umum x n + y n \u003d z n. Dan, akhirnya, dia menyimpulkan: untuk n>2 solusi bilangan bulat tidak ada. Bukti Fermat hilang tak dapat diperbaiki lagi. Naskah terbakar! Yang tersisa hanyalah ucapannya dalam Aritmatika Diophantus: "Saya telah menemukan bukti yang benar-benar luar biasa dari proposisi ini, tetapi margin di sini terlalu sempit untuk memuatnya."

Sebenarnya, teorema tanpa bukti disebut hipotesis. Tapi Fermat memiliki reputasi tidak pernah salah. Bahkan jika dia tidak meninggalkan bukti pernyataan apa pun, itu kemudian dikonfirmasi. Selain itu, Fermat membuktikan tesisnya untuk n=4. Jadi hipotesis ahli matematika Prancis tercatat dalam sejarah sebagai Teorema Terakhir Fermat.

Setelah Fermat, pemikir hebat seperti Leonhard Euler bekerja mencari bukti (pada 1770 dia mengusulkan solusi untuk n = 3),

Adrien Legendre dan Johann Dirichlet (para ilmuwan ini bersama-sama menemukan bukti n = 5 pada tahun 1825), Gabriel Lame (yang menemukan bukti n = 7) dan banyak lainnya. Pada pertengahan 80-an abad terakhir, menjadi jelas bahwa dunia ilmiah sedang menuju solusi akhir Teorema Terakhir Fermat, tetapi baru pada tahun 1993 matematikawan melihat dan percaya bahwa kisah tiga abad menemukan bukti Teorema terakhir Fermat hampir berakhir.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa membuktikan teorema Fermat hanya untuk bilangan prima n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Untuk komposit n, pembuktiannya tetap valid. Tapi ada tak terhingga banyaknya bilangan prima...

Pada tahun 1825, dengan menggunakan metode Sophie Germain, matematikawan wanita, Dirichlet dan Legendre membuktikan teorema untuk n=5 secara terpisah. Pada tahun 1839, orang Prancis Gabriel Lame menunjukkan kebenaran teorema n=7 dengan menggunakan metode yang sama. Secara bertahap, teorema tersebut terbukti untuk hampir semua n kurang dari seratus.

Akhirnya, ahli matematika Jerman Ernst Kummer menunjukkan dalam sebuah studi brilian bahwa metode matematika pada abad ke-19 tidak dapat membuktikan teorema secara umum. Hadiah dari French Academy of Sciences, yang didirikan pada tahun 1847 untuk pembuktian teorema Fermat, tetap tidak diberikan.

Pada tahun 1907, industrialis Jerman yang kaya Paul Wolfskel memutuskan untuk bunuh diri karena cinta tak berbalas. Seperti orang Jerman sejati, dia menetapkan tanggal dan waktu bunuh diri: tepat tengah malam. Di hari terakhir, dia membuat surat wasiat dan menulis surat kepada teman dan kerabat. Bisnis berakhir sebelum tengah malam. Saya harus mengatakan bahwa Paul tertarik pada matematika. Karena tidak ada hubungannya, dia pergi ke perpustakaan dan mulai membaca artikel terkenal Kummer. Tiba-tiba dia merasa bahwa Kummer telah membuat kesalahan dalam penalarannya. Wolfskehl, dengan pensil di tangannya, mulai menganalisis bagian artikel ini. Tengah malam berlalu, pagi datang. Kesenjangan dalam pembuktian telah terisi. Dan alasan bunuh diri sekarang tampak sangat konyol. Paul merobek surat perpisahan dan menulis ulang surat wasiat.

Dia segera meninggal karena sebab alami. Ahli waris cukup terkejut: 100.000 mark (lebih dari 1.000.000 pound sterling saat ini) ditransfer ke rekening Royal Scientific Society of Göttingen, yang pada tahun yang sama mengumumkan kompetisi untuk Hadiah Wolfskel. 100.000 tanda bergantung pada pembuktian teorema Fermat. Bukan pfennig yang seharusnya dibayar untuk sanggahan teorema ...

Sebagian besar matematikawan profesional menganggap pencarian bukti Teorema Terakhir Fermat sebagai penyebab yang hilang dan dengan tegas menolak membuang waktu untuk latihan yang sia-sia. Tapi amatir bermain-main untuk kemuliaan. Beberapa minggu setelah pengumuman, longsoran "bukti" menghantam Universitas Göttingen. Profesor E. M. Landau, yang bertugas menganalisis bukti yang dikirim, membagikan kartu kepada murid-muridnya:

Sayang. . . . . . . .

Terima kasih atas manuskrip yang Anda kirim dengan bukti Teorema Terakhir Fermat. Kesalahan pertama ada di halaman ... di baris ... . Karena itu, seluruh pembuktian kehilangan keabsahannya.
Profesor E.M. Landau

Pada tahun 1963, Paul Cohen, berdasarkan temuan Gödel, membuktikan salah satu dari dua puluh tiga masalah Hilbert yang tidak dapat dipecahkan, hipotesis kontinum. Bagaimana jika Teorema Terakhir Fermat juga tidak dapat dipecahkan?! Tetapi para fanatik Teorema Agung yang sebenarnya tidak mengecewakan sama sekali. Munculnya komputer secara tak terduga memberi ahli matematika metode pembuktian baru. Setelah Perang Dunia II, sekelompok pemrogram dan ahli matematika membuktikan Teorema Terakhir Fermat untuk semua nilai n hingga 500, kemudian hingga 1.000, dan kemudian hingga 10.000.

Pada tahun 80-an, Samuel Wagstaff menaikkan batas menjadi 25.000, dan pada tahun 90-an, ahli matematika mengklaim bahwa Teorema Terakhir Fermat benar untuk semua nilai n hingga 4 juta. Tetapi jika satu triliun triliun dikurangi dari tak terhingga, itu tidak menjadi lebih kecil. Matematikawan tidak yakin dengan statistik. Membuktikan Teorema Agung berarti membuktikannya untuk SEMUA n menuju tak terhingga.

Pada tahun 1954, dua teman matematikawan muda Jepang mempelajari bentuk-bentuk modular. Bentuk-bentuk tersebut menghasilkan deret angka, masing – masing deretnya sendiri. Secara kebetulan, Taniyama membandingkan deret ini dengan deret yang dihasilkan oleh persamaan eliptik. Mereka cocok! Tapi bentuk modular adalah objek geometris, sedangkan persamaan eliptik adalah aljabar. Antara objek yang berbeda tersebut tidak pernah menemukan koneksi.

Namun demikian, setelah pengujian yang cermat, teman-teman mengajukan hipotesis: setiap persamaan eliptik memiliki kembaran - bentuk modular, dan sebaliknya. Hipotesis inilah yang menjadi dasar dari keseluruhan tren dalam matematika, tetapi sampai hipotesis Taniyama-Shimura terbukti, seluruh bangunan dapat runtuh kapan saja.

Pada tahun 1984, Gerhard Frey menunjukkan bahwa solusi persamaan Fermat, jika ada, dapat dimasukkan dalam beberapa persamaan eliptik. Dua tahun kemudian, Profesor Ken Ribet membuktikan bahwa persamaan hipotetis ini tidak dapat memiliki padanan di dunia modular. Sejak saat itu, Teorema Terakhir Fermat terkait erat dengan hipotesis Taniyama-Shimura. Setelah membuktikan bahwa setiap kurva eliptik adalah modular, kami menyimpulkan bahwa tidak ada persamaan eliptik dengan solusi persamaan Fermat, dan Teorema Terakhir Fermat akan segera dibuktikan. Tetapi selama tiga puluh tahun, tidak mungkin membuktikan hipotesis Taniyama-Shimura, dan harapan untuk sukses semakin berkurang.

Pada tahun 1963, ketika dia baru berusia sepuluh tahun, Andrew Wiles sudah terpesona dengan matematika. Ketika dia belajar tentang Teorema Besar, dia menyadari bahwa dia tidak dapat menyimpang darinya. Sebagai anak sekolah, pelajar, mahasiswa pascasarjana, dia mempersiapkan diri untuk tugas ini.

Setelah mengetahui temuan Ken Ribet, Wiles berusaha membuktikan dugaan Taniyama-Shimura. Dia memutuskan untuk bekerja dalam isolasi dan kerahasiaan total. "Saya mengerti bahwa segala sesuatu yang berhubungan dengan Teorema Terakhir Fermat terlalu menarik ... Terlalu banyak penonton yang dengan sengaja mengganggu pencapaian tujuan." Kerja keras tujuh tahun terbayar, Wiles akhirnya menyelesaikan bukti dugaan Taniyama-Shimura.

Pada tahun 1993, ahli matematika Inggris Andrew Wiles mempresentasikan kepada dunia bukti Teorema Terakhir Fermat (Wiles membaca laporan sensasionalnya di sebuah konferensi di Sir Isaac Newton Institute di Cambridge.), Pekerjaan yang berlangsung lebih dari tujuh tahun.

Sementara hype berlanjut di media, pekerjaan serius mulai memverifikasi bukti. Setiap bukti harus diperiksa dengan hati-hati sebelum bukti tersebut dapat dianggap teliti dan akurat. Wiles menghabiskan musim panas yang sibuk menunggu umpan balik dari pengulas, berharap dia bisa memenangkan persetujuan mereka. Pada akhir Agustus, para ahli menemukan penilaian yang kurang berdasar.

Ternyata keputusan ini mengandung kesalahan besar, meski secara umum memang benar. Wiles tidak menyerah, meminta bantuan seorang spesialis terkenal dalam teori bilangan Richard Taylor, dan sudah pada tahun 1994 mereka menerbitkan bukti teorema yang dikoreksi dan ditambah. Hal yang paling mencengangkan adalah karya ini memakan waktu sebanyak 130 (!) halaman dalam jurnal matematika Annals of Mathematics. Tetapi ceritanya juga tidak berakhir di situ - poin terakhir dibuat hanya pada tahun berikutnya, 1995, ketika final dan "ideal", dari sudut pandang matematika, versi pembuktiannya diterbitkan.

“...setengah menit setelah dimulainya jamuan makan malam yang meriah pada kesempatan ulang tahunnya, saya memberikan naskah bukti lengkap kepada Nadia” (Andrew Wales). Apakah saya menyebutkan bahwa ahli matematika adalah orang yang aneh?

Kali ini tidak ada keraguan tentang buktinya. Dua artikel menjadi sasaran analisis yang paling hati-hati dan pada Mei 1995 diterbitkan di Annals of Mathematics.

Banyak waktu telah berlalu sejak saat itu, namun masih ada pendapat di masyarakat tentang Teorema Terakhir Fermat yang tidak dapat dipecahkan. Tetapi bahkan mereka yang mengetahui tentang bukti yang ditemukan terus bekerja ke arah ini - hanya sedikit orang yang puas bahwa Teorema Besar membutuhkan solusi setebal 130 halaman!

Oleh karena itu, sekarang kekuatan dari begitu banyak ahli matematika (kebanyakan amatir, bukan ilmuwan profesional) dilemparkan untuk mencari bukti yang sederhana dan ringkas, tetapi jalan ini kemungkinan besar tidak akan mengarah ke mana pun ...

sumber

1. 1 Murad :

   Kita menganggap persamaan Zn = Xn + Yn sebagai persamaan Diophantus atau Teorema Besar Fermat, dan ini adalah solusi dari persamaan (Zn- Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn. Maka Zn =-(Xn + Yn) adalah solusi dari persamaan (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn. Persamaan dan solusi ini terkait dengan sifat bilangan bulat dan operasi padanya. Jadi kita tidak tahu sifat-sifat bilangan bulat?! Dengan pengetahuan yang terbatas seperti itu, kami tidak akan mengungkapkan kebenaran.
   Pertimbangkan solusi Zn = +(Xn + Yn) dan Zn =-(Xn + Yn) ketika n = 1. Bilangan Bulat + Z dibentuk menggunakan 10 digit: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. Mereka habis dibagi 2 bilangan bulat +X - genap, digit kanan terakhir: 0, 2, 4, 6, 8 dan +Y - ganjil, digit kanan terakhir: 1, 3, 5, 7, 9, t . e. + X = + Y. Banyaknya Y = 5 - ganjil dan X = 5 - bilangan genap adalah: Z = 10. Memenuhi persamaan: (Z - X) X = (Z - Y) Y, dan solusinya + Z = + X + Y = + (X + Y).
   Bilangan bulat -Z terdiri dari gabungan -X untuk genap dan -Y untuk ganjil, dan memenuhi persamaan:
   (Z + X) X = (Z + Y) Y, dan penyelesaiannya -Z = - X - Y = - (X + Y).
   Jika Z/X = Y atau Z / Y = X, maka Z = XY; Z / -X = -Y atau Z / -Y = -X, lalu Z = (-X)(-Y). Pembagian diperiksa dengan perkalian.
   Bilangan positif dan negatif satu digit terdiri dari 5 bilangan ganjil dan 5 bilangan ganjil.
   Pertimbangkan kasus n = 2. Maka Z2 = X2 + Y2 adalah solusi dari persamaan (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 dan Z2 = -(X2 + Y2) adalah solusi dari persamaan (Z2 + X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Kita menganggap Z2 = X2 + Y2 sebagai teorema Pythagoras, dan kemudian solusi Z2 = -(X2 + Y2) adalah teorema yang sama. Kita tahu bahwa diagonal persegi membaginya menjadi 2 bagian, di mana sisi miringnya adalah sisi miringnya. Maka persamaannya valid: Z2 = X2 + Y2, dan Z2 = -(X2 + Y2) di mana X dan Y adalah kaki-kaki. Dan lebih banyak solusi R2 = X2 + Y2 dan R2 =- (X2 + Y2) adalah lingkaran, pusat adalah asal dari sistem koordinat kuadrat dan dengan jari-jari R. Mereka dapat ditulis sebagai (5n)2 = (3n)2 + ( 4n)2 , di mana n adalah bilangan bulat positif dan negatif, dan merupakan 3 bilangan berurutan. Juga solusinya adalah bilangan XY 2-bit yang dimulai pada 00 dan berakhir pada 99 dan 102 = 10x10 dan hitung 1 abad = 100 tahun.
   Pertimbangkan solusi ketika n = 3. Maka Z3 = X3 + Y3 adalah solusi dari persamaan (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3.
   Bilangan 3-bit XYZ dimulai dari 000 dan berakhir pada 999 dan 103 = 10x10x10 = 1000 tahun = 10 abad
   Dari 1000 kubus dengan ukuran dan warna yang sama, Anda dapat membuat sekitar 10 rubik. Pertimbangkan rubik dengan urutan +103=+1000 - merah dan -103=-1000 - biru. Mereka terdiri dari 103 = 1000 kubus. Jika kita uraikan dan letakkan kubus dalam satu baris atau di atas satu sama lain, tanpa celah, kita mendapatkan ruas horizontal atau vertikal dengan panjang 2000. Rubik adalah kubus besar yang dilapisi dengan kubus kecil, mulai dari ukuran 1butto = 10st. -21, dan Anda tidak dapat menambah atau mengurangi satu kubus.
   - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
   - (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
   - (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
   Setiap bilangan bulat adalah 1. Tambahkan 1(satuan) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21, dan hasilnya:
   111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321.
   0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
   Operasi ini dapat dilakukan pada kalkulator 20-bit.
   Diketahui bahwa +(n3 - n) selalu habis dibagi +6, dan - (n3 - n) habis dibagi -6. Kita tahu bahwa n3 - n = (n-1)n(n+1). Ini adalah 3 bilangan berurutan (n-1)n(n+1), di mana n genap, kemudian habis dibagi 2, (n-1) dan (n+1) ganjil, habis dibagi 3. Kemudian (n-1) n(n+1) selalu habis dibagi 6. Jika n=0, maka (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, lalu(n-1) n (n+1)=(19)(20)(21).
   Kita tahu bahwa 19 x 19 = 361. Artinya, satu kotak dikelilingi oleh 360 kotak, kemudian satu kubus dikelilingi oleh 360 kubus. Kesetaraan terpenuhi: 6 n - 1 + 6n. Jika n=60, maka 360 - 1 + 360, dan n=61, maka 366 - 1 + 366.
   Generalisasi berikut mengikuti dari pernyataan di atas:
   n5 - 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
   0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1)n(n +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
   (n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3 )…3210
   n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! =n! (n+1).
   0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
   n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n +1)2.
   Jika 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
   = 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
   Setiap bilangan bulat n adalah pangkat 10, memiliki: – n dan +n, +1/ n dan -1/ n, ganjil dan genap:
   - (n + n +…+ n) = -n2; – (nxnx…xn) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
   + (n + n +…+ n) =+n2; + (nxnx…xn) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
   Jelas bahwa jika bilangan bulat apa pun ditambahkan ke dirinya sendiri, maka itu akan meningkat 2 kali lipat, dan produknya akan menjadi kuadrat: X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = axa = a2. Ini dianggap sebagai teorema Vieta - sebuah kesalahan!
   Jika kita menjumlahkan dan mengurangkan bilangan b ke bilangan yang diberikan, maka jumlahnya tidak berubah, tetapi hasil kali berubah, misalnya:
   X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2.
   X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) \u003d a2- b.
   X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2.
   X = a + √b i, Y = a - √bi, X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
   Jika kita meletakkan bilangan bulat alih-alih huruf a dan b, maka kita mendapatkan paradoks, absurditas, dan ketidakpercayaan terhadap matematika.