Definire una funzione di potenza e fornire esempi. Metodologia per lo studio dell'argomento “Proprietà di una funzione di potenza”

Funzione di alimentazioneè una funzione della forma y = xp, dove p è un dato numero reale.

Proprietà della funzione di alimentazione

Se l'indicatore p = 2n- un numero naturale pari:
- il dominio di definizione è tutti i numeri reali, cioè l'insieme R;
- insieme di valori - numeri non negativi, ovvero y ≥ 0;
- la funzione è pari;
- la funzione è decrescente sull'intervallo x ≤ 0 e crescente sull'intervallo x ≥ 0.
Un esempio di una funzione con p = 2n: y=x4.

Se l'indicatore p = 2n - 1- numero naturale dispari:
- dominio di definizione - insieme R;
- set di valori - set R;
- la funzione è dispari;
- la funzione è crescente sull'intero asse reale.
Un esempio di una funzione con p = 2n - 1: y=x5.

Se l'indicatore p=-2n, dove n- numero naturale:
- insieme di valori - numeri positivi y > 0;
- la funzione è pari;
- la funzione è crescente sull'intervallo x 0.
Un esempio di una funzione con p = -2n: y=1/x2.

Se l'indicatore p = -(2n - 1), dove n- numero naturale:
- il dominio di definizione è l'insieme R, eccetto x = 0;
- insieme di valori - imposta R, ad eccezione di y = 0;
- la funzione è dispari;
- la funzione è decrescente su intervalli x 0.
Un esempio di una funzione con p = -(2n - 1): y=1/x3.

Se l'indicatore pè un numero reale positivo non intero:
- dominio di definizione - numeri non negativi x ≥ 0;
- insieme di valori - numeri non negativi y ≥ 0;
- la funzione è crescente sull'intervallo x ≥ 0.
Un esempio di una funzione con esponente p, dove p è un reale non intero positivo: y=x4/3.

Se l'indicatore pè un numero reale non intero negativo:
- dominio di definizione - numeri positivi x > 0;
- insieme di valori - numeri positivi y > 0;
- la funzione è decrescente sull'intervallo x > 0.
Un esempio di una funzione con esponente p, dove p è un reale non intero negativo: y=x-1/3.

Grado 10

FUNZIONE DI POTENZA

Potenza chiamatofunzione data dalla formuladove, p – qualche numero reale.

io . Indiceè un numero naturale pari. Poi la funzione di alimentazione doven

D ( y )= (−; +).

2) Lo scopo della funzione è un insieme di numeri non negativi se:

insieme di numeri non positivi se:

3) ) . Quindi la funzioneEhi .

4) Se, allora la funzione diminuisce comeX (- ; 0] e aumenta conX e diminuisce aX \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Grafico (Fig. 2).

Figura 2. Grafico della funzione $f\left(x\right)=x^(2n)$

Proprietà di una funzione di potenza con esponente dispari naturale

Il dominio di definizione sono tutti i numeri reali.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ è una funzione dispari.

$f(x)$ è continuo sull'intero dominio di definizione.

L'intervallo è tutti numeri reali.

$f"\sinistra(x\destra)=\sinistra(x^(2n-1)\destra)"=(2n-1)\cpunto x^(2(n-1))\ge 0$

La funzione aumenta nell'intero dominio di definizione.

$f\sinistra(x\destra)0$, per $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\sinistra(x\destra))=(\sinistra(\sinistra(2n-1\destra)\cdot x^(2\sinistra(n-1\destra))\destra))"=2 \sinistra(2n-1\destra)(n-1)\cpunto x^(2n-3)$

\ \

La funzione è concava per $x\in (-\infty ,0)$ e convessa per $x\in (0,+\infty)$.

Grafico (Fig. 3).

Figura 3. Grafico della funzione $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Funzione di potenza con esponente intero

Per cominciare, introduciamo il concetto di grado con esponente intero.

Definizione 3

Il grado di un numero reale $a$ con esponente intero $n$ è determinato dalla formula:

Figura 4

Consideriamo ora una funzione di potenza con un esponente intero, le sue proprietà e il grafico.

Definizione 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ è chiamata funzione di potenza con esponente intero.

Se il grado è maggiore di zero, veniamo al caso di una funzione di potenza con esponente naturale. Lo abbiamo già considerato sopra. Per $n=0$ otteniamo una funzione lineare $y=1$. Lasciamo la sua considerazione al lettore. Resta da considerare le proprietà di una funzione di potenza con esponente intero negativo

Proprietà di una funzione di potenza con esponente intero negativo

L'ambito è $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Se l'esponente è pari, la funzione è pari; se è dispari, la funzione è dispari.

$f(x)$ è continuo sull'intero dominio di definizione.

Intervallo di valori:

Se l'esponente è pari, allora $(0,+\infty)$, se dispari, allora $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Se l'esponente è dispari, la funzione diminuisce come $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Per un esponente pari, la funzione diminuisce di $x\in (0,+\infty)$. e aumenta come $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ sull'intero dominio

Sul dominio della funzione di potenza y = x p valgono le seguenti formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Proprietà delle funzioni di potenza e loro grafici

Funzione di potenza con esponente uguale a zero, p = 0

Se l'esponente della funzione di potenza y = x p è uguale a zero, p = 0 , allora la funzione di potenza è definita per ogni x ≠ 0 ed è costante, uguale a uno:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Funzione di potenza con esponente dispari naturale, p = n = 1, 3, 5, ...

Si consideri una funzione di potenza y = x p = x n con esponente dispari naturale n = 1, 3, 5, ... . Tale indicatore può anche essere scritto come: n = 2k + 1, dove k = 0, 1, 2, 3, ... è un numero intero non negativo. Di seguito sono riportate le proprietà e i grafici di tali funzioni.

Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente dispari naturale per vari valori dell'esponente n = 1, 3, 5, ... .

Dominio: -∞ < x < ∞
Valori multipli: -∞ < y < ∞
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Monotono: aumenta in modo monotono
estremi: No
Convesso:
a -∞< x < 0 выпукла вверх
a 0< x < ∞ выпукла вниз
Punti di interruzione: x=0, y=0
x=0, y=0
Limiti:
;
Valori privati:
a x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
per x = 0, y(0) = 0 n = 0
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:
per n = 1 , la funzione è inversa a se stessa: x = y
per n ≠ 1, la funzione inversa è una radice di grado n:

Funzione di potenza con esponente pari naturale, p = n = 2, 4, 6, ...

Si consideri una funzione di potenza y = x p = x n con esponente pari naturale n = 2, 4, 6, ... . Tale indicatore può anche essere scritto come: n = 2k, dove k = 1, 2, 3, ... è un numero naturale. Le proprietà e i grafici di tali funzioni sono riportati di seguito.

Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente pari naturale per vari valori dell'esponente n = 2, 4, 6, ... .

Dominio: -∞ < x < ∞
Valori multipli: 0 ≤ a< ∞
Parità: pari, y(-x) = y(x)
Monotono:
per x ≤ 0 diminuisce in modo monotono
per x ≥ 0 aumenta in modo monotono
estremi: minimo, x=0, y=0
Convesso: convesso verso il basso
Punti di interruzione: No
Punti di intersezione con assi coordinati: x=0, y=0
Limiti:
;
Valori privati:
per x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
per x = 0, y(0) = 0 n = 0
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:
per n = 2, radice quadrata:
per n ≠ 2, radice di grado n:

Funzione di potenza con esponente negativo intero, p = n = -1, -2, -3, ...

Considera una funzione di potenza y = x p = x n con un esponente intero negativo n = -1, -2, -3, ... . Se mettiamo n = -k, dove k = 1, 2, 3, ... è un numero naturale, allora può essere rappresentato come:

Grafico di una funzione di potenza y = x n con esponente intero negativo per vari valori dell'esponente n = -1, -2, -3, ... .

Esponente dispari, n = -1, -3, -5, ...

Di seguito sono riportate le proprietà della funzione y = x n con esponente negativo dispari n = -1, -3, -5, ... .

Dominio: x ≠ 0
Valori multipli: y ≠ 0
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Monotono: diminuisce in modo monotono
estremi: No
Convesso:
a x< 0 : выпукла вверх
per x > 0 : convesso verso il basso
Punti di interruzione: No
Punti di intersezione con assi coordinati: No
Cartello:
a x< 0, y < 0
per x > 0, y > 0
Limiti:
; ; ;
Valori privati:
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:
per n = -1,
per n< -2 ,

Esponente pari, n = -2, -4, -6, ...

Di seguito sono riportate le proprietà della funzione y = x n con esponente anche negativo n = -2, -4, -6, ... .

Dominio: x ≠ 0
Valori multipli: si > 0
Parità: pari, y(-x) = y(x)
Monotono:
a x< 0 : монотонно возрастает
per x > 0 : monotonicamente decrescente
estremi: No
Convesso: convesso verso il basso
Punti di interruzione: No
Punti di intersezione con assi coordinati: No
Cartello: si > 0
Limiti:
; ; ;
Valori privati:
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:
per n = -2,
per n< -2 ,

Funzione di potenza con esponente razionale (frazionario).

Si consideri una funzione di potenza y = x p con un esponente razionale (frazionario), dove n è un intero, m > 1 è un numero naturale. Inoltre, n, m non hanno divisori comuni.

Il denominatore dell'indicatore frazionario è dispari

Sia dispari il denominatore dell'esponente frazionario: m = 3, 5, 7, ... . In questo caso, la funzione di potenza x p è definita sia per valori x positivi che negativi. Considera le proprietà di tali funzioni di potenza quando l'esponente p è entro certi limiti.

p è negativo, p< 0

Sia l'esponente razionale (con denominatore dispari m = 3, 5, 7, ... ) minore di zero: .

Grafici di funzioni esponenziali con esponente razionale negativo per vari valori dell'esponente, dove m = 3, 5, 7, ... è dispari.

Numeratore dispari, n = -1, -3, -5, ...

Ecco le proprietà di una funzione di potenza y = x p con un esponente negativo razionale, dove n = -1, -3, -5, ... è un intero negativo dispari, m = 3, 5, 7 ... è un numero naturale dispari.

Dominio: x ≠ 0
Valori multipli: y ≠ 0
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Monotono: diminuisce in modo monotono
estremi: No
Convesso:
a x< 0 : выпукла вверх
per x > 0 : convesso verso il basso
Punti di interruzione: No
Punti di intersezione con assi coordinati: No
Cartello:
a x< 0, y < 0
per x > 0, y > 0
Limiti:
; ; ;
Valori privati:
per x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:

Numeratore pari, n = -2, -4, -6, ...

Proprietà della funzione di potenza y = x p con esponente razionale negativo , dove n = -2, -4, -6, ... è un intero negativo pari, m = 3, 5, 7 ... è un numero naturale dispari.

Dominio: x ≠ 0
Valori multipli: si > 0
Parità: pari, y(-x) = y(x)
Monotono:
a x< 0 : монотонно возрастает
per x > 0 : monotonicamente decrescente
estremi: No
Convesso: convesso verso il basso
Punti di interruzione: No
Punti di intersezione con assi coordinati: No
Cartello: si > 0
Limiti:
; ; ;
Valori privati:
per x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:

Il p-value è positivo, minore di uno, 0< p < 1

Grafico di una funzione di potenza con esponente razionale (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Numeratore dispari, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Dominio: -∞ < x < +∞
Valori multipli: -∞ < y < +∞
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Monotono: aumenta in modo monotono
estremi: No
Convesso:
a x< 0 : выпукла вниз
per x > 0 : convesso verso l'alto
Punti di interruzione: x=0, y=0
Punti di intersezione con assi coordinati: x=0, y=0
Cartello:
a x< 0, y < 0
per x > 0, y > 0
Limiti:
;
Valori privati:
per x = -1, y(-1) = -1
per x = 0, y(0) = 0
per x = 1, y(1) = 1
Funzione inversa:

Numeratore pari, n = 2, 4, 6, ...

Vengono presentate le proprietà della funzione di potenza y = x p con esponente razionale , essendo entro 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Dominio: -∞ < x < +∞
Valori multipli: 0 ≤ a< +∞
Parità: pari, y(-x) = y(x)
Monotono:
a x< 0 : монотонно убывает
per x > 0 : monotonicamente crescente
estremi: minimo a x = 0, y = 0
Convesso: convesso verso l'alto a x ≠ 0
Punti di interruzione: No
Punti di intersezione con assi coordinati: x=0, y=0
Cartello: per x ≠ 0, y > 0
Limiti:
;
Valori privati:
per x = -1, y(-1) = 1
per x = 0, y(0) = 0
per x = 1, y(1) = 1
Funzione inversa:

L'esponente p è maggiore di uno, p > 1

Grafico di una funzione di potenza con esponente razionale (p > 1) per vari valori dell'esponente, dove m = 3, 5, 7, ... è dispari.

Numeratore dispari, n = 5, 7, 9, ...

Proprietà di una funzione di potenza y = x p con esponente razionale maggiore di uno: . Dove n = 5, 7, 9, ... è un numero naturale dispari, m = 3, 5, 7 ... è un numero naturale dispari.

Dominio: -∞ < x < ∞
Valori multipli: -∞ < y < ∞
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Monotono: aumenta in modo monotono
estremi: No
Convesso:
a -∞< x < 0 выпукла вверх
a 0< x < ∞ выпукла вниз
Punti di interruzione: x=0, y=0
Punti di intersezione con assi coordinati: x=0, y=0
Limiti:
;
Valori privati:
per x = -1, y(-1) = -1
per x = 0, y(0) = 0
per x = 1, y(1) = 1
Funzione inversa:

Numeratore pari, n = 4, 6, 8, ...

Proprietà di una funzione di potenza y = x p con esponente razionale maggiore di uno: . Dove n = 4, 6, 8, ... è un numero naturale pari, m = 3, 5, 7 ... è un numero naturale dispari.

Dominio: -∞ < x < ∞
Valori multipli: 0 ≤ a< ∞
Parità: pari, y(-x) = y(x)
Monotono:
a x< 0 монотонно убывает
per x > 0 aumenta in modo monotono
estremi: minimo a x = 0, y = 0
Convesso: convesso verso il basso
Punti di interruzione: No
Punti di intersezione con assi coordinati: x=0, y=0
Limiti:
;
Valori privati:
per x = -1, y(-1) = 1
per x = 0, y(0) = 0
per x = 1, y(1) = 1
Funzione inversa:

Il denominatore dell'indicatore frazionario è pari

Sia pari il denominatore dell'esponente frazionario: m = 2, 4, 6, ... . In questo caso, la funzione di potenza xp non è definita per valori negativi dell'argomento. Le sue proprietà coincidono con quelle di una funzione di potenza con esponente irrazionale (vedi la prossima sezione).

Funzione di potenza con esponente irrazionale

Si consideri una funzione di potenza y = x p con esponente irrazionale p . Le proprietà di tali funzioni differiscono da quelle sopra considerate in quanto non sono definite per valori negativi dell'argomento x. Per valori positivi dell'argomento, le proprietà dipendono solo dal valore dell'esponente p e non dipendono dal fatto che p sia intero, razionale o irrazionale.

y = x p per diversi valori dell'esponente p .

Funzione di potenza con negativo p< 0

Dominio: x > 0
Valori multipli: si > 0
Monotono: diminuisce in modo monotono
Convesso: convesso verso il basso
Punti di interruzione: No
Punti di intersezione con assi coordinati: No
Limiti: ;
valore privato: Per x = 1, y(1) = 1 p = 1

Funzione di potenza con esponente positivo p > 0

L'indicatore è inferiore a uno 0< p < 1

Dominio: x ≥ 0
Valori multipli: y ≥ 0
Monotono: aumenta in modo monotono
Convesso: convesso verso l'alto
Punti di interruzione: No
Punti di intersezione con assi coordinati: x=0, y=0
Limiti:
Valori privati: Per x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Per x = 1, y(1) = 1 p = 1

L'indicatore è maggiore di un p > 1

Dominio: x ≥ 0
Valori multipli: y ≥ 0
Monotono: aumenta in modo monotono
Convesso: convesso verso il basso
Punti di interruzione: No
Punti di intersezione con assi coordinati: x=0, y=0
Limiti:
Valori privati: Per x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Per x = 1, y(1) = 1 p = 1

Riferimenti:
IN. Bronstein, KA Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti di istruzione superiore, Lan, 2009.

Guarda anche:

Le funzioni elementari di base, le loro proprietà intrinseche ei grafici corrispondenti sono una delle basi della conoscenza matematica, simile per importanza alla tabellina. Le funzioni elementari sono la base, il supporto per lo studio di tutte le questioni teoriche.

L'articolo seguente fornisce materiale chiave sull'argomento delle funzioni elementari di base. Introdurremo termini, daremo loro definizioni; Studiamo in dettaglio ogni tipo di funzione elementare e analizziamo le loro proprietà.

Si distinguono i seguenti tipi di funzioni elementari di base:

Definizione 1

funzione costante (costante);
radice dell'ennesimo grado;
funzione di alimentazione;
funzione esponenziale;
funzione logaritmica;
funzioni trigonometriche;
funzioni trigonometriche fraterne.

Una funzione costante è definita dalla formula: y = C (C è un numero reale) e ha anche un nome: costante. Questa funzione determina se un qualsiasi valore reale della variabile indipendente x corrisponde allo stesso valore della variabile y – il valore C .

Il grafico di una costante è una retta parallela all'asse x e passante per un punto avente coordinate (0, C). Per chiarezza, presentiamo grafici di funzioni costanti y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (contrassegnate rispettivamente in nero, rosso e blu nel disegno).

Definizione 2

Questa funzione elementare è definita dalla formula y = x n (n è un numero naturale maggiore di uno).

Consideriamo due varianti della funzione.

Radice dell'ennesimo grado, n è un numero pari

Per chiarezza indichiamo il disegno, che mostra i grafici di tali funzioni: y = x , y = x 4 e y = x 8 . Queste funzioni sono codificate a colori: rispettivamente nero, rosso e blu.

Una vista simile dei grafici della funzione di un grado pari per altri valori dell'indicatore.

Definizione 3

Proprietà della radice della funzione dell'ennesimo grado, n è un numero pari

il dominio di definizione è l'insieme di tutti i numeri reali non negativi [ 0 , + ∞) ;
quando x = 0 , la funzione y = x n ha valore uguale a zero;
questa funzione è una funzione di forma generale (non è né pari né dispari);
intervallo: [ 0 , + ∞) ;
questa funzione y = x n con esponenti pari della radice aumenta sull'intero dominio di definizione;
la funzione ha una convessità con direzione ascendente sull'intero dominio di definizione;
non ci sono punti di flesso;
non ci sono asintoti;
il grafico della funzione per n pari passa per i punti (0 ; 0) e (1 ; 1) .

Radice dell'ennesimo grado, n è un numero dispari

Tale funzione è definita sull'intero insieme dei numeri reali. Per chiarezza, considera i grafici delle funzioni y = x 3 , y = x 5 e x9. Nel disegno sono indicati dai colori: rispettivamente nero, rosso e blu delle curve.

Altri valori dispari dell'esponente della radice della funzione y = x n daranno un grafico di forma simile.

Definizione 4

Proprietà della radice della funzione dell'ennesimo grado, n è un numero dispari

il dominio di definizione è l'insieme di tutti i numeri reali;
questa funzione è dispari;
l'intervallo di valori è l'insieme di tutti i numeri reali;
la funzione y = x n con esponenti dispari della radice aumenta sull'intero dominio di definizione;
la funzione ha concavità sull'intervallo (- ∞ ; 0 ] e convessità sull'intervallo [ 0 , + ∞) ;
il punto di flesso ha coordinate (0 ; 0) ;
non ci sono asintoti;
il grafico della funzione per n dispari passa per i punti (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) e (1 ; 1) .

Funzione di alimentazione

Definizione 5

La funzione di potenza è definita dalla formula y = x a .

Il tipo di grafici e le proprietà della funzione dipendono dal valore dell'esponente.

quando una funzione di potenza ha un esponente intero a, allora la forma del grafico della funzione di potenza e le sue proprietà dipendono dal fatto che l'esponente sia pari o dispari, e anche dal segno che ha l'esponente. Consideriamo di seguito tutti questi casi speciali in modo più dettagliato;
l'esponente può essere frazionario o irrazionale - a seconda di ciò, variano anche il tipo di grafici e le proprietà della funzione. Analizzeremo casi speciali impostando diverse condizioni: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
una funzione di potenza può avere un esponente zero, analizzeremo anche questo caso in modo più dettagliato di seguito.

Analizziamo la funzione di potenza y = x a quando a è un numero positivo dispari, ad esempio a = 1 , 3 , 5 …

Per chiarezza indichiamo i grafici di tali funzioni di potenza: y = x (colore nero del grafico), y = x 3 (colore blu del grafico), y = x 5 (colore rosso del grafico), y = x 7 (grafico verde). Quando a = 1 , otteniamo una funzione lineare y = x .

Definizione 6

Proprietà di una funzione di potenza quando l'esponente è un positivo dispari

la funzione è crescente per x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
la funzione è convessa per x ∈ (- ∞ ; 0 ] e concava per x ∈ [ 0 ; + ∞) (esclusa la funzione lineare);
il punto di flesso ha coordinate (0 ; 0) (esclusa la funzione lineare);
non ci sono asintoti;
punti di passaggio della funzione: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analizziamo la funzione di potenza y = x a quando a è un numero positivo pari, ad esempio a = 2 , 4 , 6 ...

Per chiarezza indichiamo i grafici di tali funzioni di potenza: y \u003d x 2 (colore nero del grafico), y = x 4 (colore blu del grafico), y = x 8 (colore rosso del grafico). Quando a = 2, otteniamo una funzione quadratica il cui grafico è una parabola quadratica.

Definizione 7

Proprietà di una funzione di potenza quando l'esponente è anche positivo:

dominio di definizione: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
decrescente per x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
la funzione è concava per x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
non ci sono punti di flesso;
non ci sono asintoti;
punti di passaggio della funzione: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

La figura seguente mostra esempi di grafici di funzioni esponenziali y = x a quando a è un numero negativo dispari: y = x - 9 (colore nero del grafico); y = x - 5 (colore blu del grafico); y \u003d x - 3 (colore rosso del grafico); y = x - 1 (grafico verde). Quando a \u003d - 1, otteniamo una proporzionalità inversa, il cui grafico è un'iperbole.

Definizione 8

Proprietà della funzione di potenza quando l'esponente è dispari negativo:

Quando x \u003d 0, otteniamo una discontinuità del secondo tipo, poiché lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ per a \u003d - 1, - 3, - 5, .... Pertanto, la retta x = 0 è un asintoto verticale;

intervallo: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
la funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
la funzione è decrescente per x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
la funzione è convessa per x ∈ (- ∞ ; 0) e concava per x ∈ (0 ; + ∞) ;
non ci sono punti di flesso;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 quando a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

punti di passaggio della funzione: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

La figura seguente mostra esempi di grafici delle funzioni di potenza y = x a quando a è un numero pari negativo: y = x - 8 (grafico in nero); y = x - 4 (colore blu del grafico); y = x - 2 (colore rosso del grafico).

Definizione 9

Proprietà della funzione di potenza quando l'esponente è anche negativo:

dominio di definizione: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Quando x \u003d 0, otteniamo una discontinuità del secondo tipo, poiché lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ per a \u003d - 2, - 4, - 6, .... Pertanto, la retta x = 0 è un asintoto verticale;

la funzione è pari perché y (- x) = y (x) ;
la funzione è crescente per x ∈ (- ∞ ; 0) e decrescente per x ∈ 0 ; +∞ ;
la funzione è concava per x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
non ci sono punti di flesso;
l'asintoto orizzontale è una retta y = 0 perché:

k = lim x → ∞ x un x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 quando a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

punti di passaggio della funzione: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Fin dall'inizio, prestare attenzione al seguente aspetto: nel caso in cui a sia una frazione positiva con denominatore dispari, alcuni autori prendono l'intervallo - ∞ come dominio di definizione di questa funzione di potenza; + ∞ , stabilendo che l'esponente a è una frazione irriducibile. Al momento, gli autori di molte pubblicazioni didattiche sull'algebra e gli inizi dell'analisi NON DEFINONO le funzioni di potenza, dove l'esponente è una frazione con denominatore dispari per valori negativi dell'argomento. Inoltre, aderiremo proprio a tale posizione: prendiamo l'insieme [ 0 ; +∞) . Raccomandazione per gli studenti: scoprire a questo punto il punto di vista dell'insegnante per evitare disaccordi.

Quindi diamo un'occhiata alla funzione di alimentazione y = x a quando l'esponente è un numero razionale o irrazionale a condizione che 0< a < 1 .

Illustriamo con grafici le funzioni di potenza y = x a quando a = 11 12 (grafico in nero); a = 5 7 (colore rosso del grafico); a = 1 3 (colore blu del grafico); a = 2 5 (colore verde del grafico).

Altri valori dell'esponente a (supponendo 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definizione 10

Proprietà della funzione di potenza a 0< a < 1:

intervallo: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
la funzione è crescente per x ∈ [ 0 ; +∞) ;
la funzione ha convessità per x ∈ (0 ; + ∞) ;
non ci sono punti di flesso;
non ci sono asintoti;

Analizziamo la funzione di potenza y = x a quando l'esponente è un numero razionale o irrazionale non intero a condizione che a > 1 .

Illustriamo i grafici della funzione di potenza y \u003d x a in determinate condizioni utilizzando le seguenti funzioni come esempio: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (nero, rosso, blu, verde rispettivamente grafici).

Altri valori dell'esponente a nella condizione a > 1 daranno un aspetto simile al grafico.

Definizione 11

Proprietà della funzione di potenza per a > 1:

dominio di definizione: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
intervallo: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
la funzione è crescente per x ∈ [ 0 ; +∞) ;
la funzione è concava per x ∈ (0 ; + ∞) (quando 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
non ci sono punti di flesso;
non ci sono asintoti;
punti di passaggio della funzione: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Attiriamo la vostra attenzione Quando a è una frazione negativa con denominatore dispari, nelle opere di alcuni autori si ritiene che il dominio di definizione in questo caso sia l'intervallo - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) con la condizione che l'esponente a sia una frazione irriducibile. Al momento, gli autori di materiali didattici sull'algebra e gli inizi dell'analisi NON DEFINISCONO le funzioni di potenza con un esponente sotto forma di frazione con denominatore dispari per valori negativi dell'argomento. Inoltre, aderiamo proprio a questo punto di vista: prendiamo l'insieme (0 ; + ∞) come dominio delle funzioni di potenza con esponenti negativi frazionari. Suggerimento per gli studenti: chiarisci a questo punto la visione del tuo insegnante per evitare disaccordi.

Continuiamo l'argomento e analizziamo la funzione di potenza y = x a fornito: - 1< a < 0 .

Ecco un disegno di grafici delle seguenti funzioni: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (linee nere, rosse, blu, verdi, rispettivamente ).

Definizione 12

Proprietà della funzione di potenza a - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ quando - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

intervallo: y ∈ 0 ; +∞ ;
questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
non ci sono punti di flesso;

Il disegno seguente mostra i grafici delle funzioni di potenza y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (rispettivamente i colori nero, rosso, blu, verde delle curve).

Definizione 13

Proprietà della funzione di potenza per a< - 1:

dominio di definizione: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ quando a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

intervallo: y ∈ (0 ; + ∞) ;
questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
la funzione è decrescente per x ∈ 0; +∞ ;
la funzione è concava per x ∈ 0; +∞ ;
non ci sono punti di flesso;
asintoto orizzontale - linea retta y = 0;
punto di passaggio della funzione: (1 ; 1) .

Quando a \u003d 0 e x ≠ 0, otteniamo la funzione y \u003d x 0 \u003d 1, che determina la linea da cui è escluso il punto (0; 1) (abbiamo convenuto che l'espressione 0 0 non verrà data qualsiasi valore).

La funzione esponenziale ha la forma y = a x , dove a > 0 e a ≠ 1 , e il grafico di questa funzione appare diverso in base al valore della base a . Consideriamo casi speciali.

Per prima cosa, analizziamo la situazione in cui la base della funzione esponenziale ha un valore da zero a uno (0< a < 1) . Un esempio illustrativo sono i grafici delle funzioni per a = 1 2 (colore blu della curva) e a = 5 6 (colore rosso della curva).

I grafici della funzione esponenziale avranno forma simile per altri valori della base, a patto che 0< a < 1 .

Definizione 14

Proprietà di una funzione esponenziale quando la base è minore di uno:

intervallo: y ∈ (0 ; + ∞) ;
questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
una funzione esponenziale la cui base è minore di uno è decrescente sull'intero dominio di definizione;
non ci sono punti di flesso;
asintoto orizzontale - retta y = 0 con variabile x tendente a + ∞ ;

Consideriamo ora il caso in cui la base della funzione esponenziale è maggiore di uno (a > 1).

Illustriamo questo caso speciale con il grafico delle funzioni esponenziali y = 3 2 x (colore blu della curva) e y = e x (colore rosso del grafico).

Altri valori della base, maggiori di uno, daranno una vista simile del grafico della funzione esponenziale.

Definizione 15

Proprietà della funzione esponenziale quando la base è maggiore di uno:

il dominio di definizione è l'intero insieme dei numeri reali;
intervallo: y ∈ (0 ; + ∞) ;
questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
una funzione esponenziale la cui base è maggiore di uno è crescente per x ∈ - ∞ ; +∞ ;
la funzione è concava per x ∈ - ∞ ; +∞ ;
non ci sono punti di flesso;
asintoto orizzontale - retta y = 0 con variabile x tendente a -∞;
punto di passaggio della funzione: (0 ; 1) .

La funzione logaritmica ha la forma y = log a (x) , dove a > 0 , a ≠ 1 .

Tale funzione è definita solo per valori positivi dell'argomento: per x ∈ 0 ; +∞ .

Il grafico della funzione logaritmica ha un aspetto diverso, in base al valore della base a.

Considera prima la situazione in cui 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Altri valori della base, non maggiori di uno, daranno una vista simile del grafico.

Definizione 16

Proprietà di una funzione logaritmica quando la base è minore di uno:

dominio di definizione: x ∈ 0 ; +∞ . Poiché x tende a zero da destra, i valori della funzione tendono a + ∞;
intervallo: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
logaritmico
la funzione è concava per x ∈ 0; +∞ ;
non ci sono punti di flesso;
non ci sono asintoti;

Analizziamo ora un caso particolare in cui la base della funzione logaritmica è maggiore di uno: a > 1 . Nel disegno sottostante, ci sono i grafici delle funzioni logaritmiche y = log 3 2 x e y = ln x (rispettivamente i colori blu e rosso dei grafici).

Altri valori della base maggiori di uno daranno una vista simile del grafico.

Definizione 17

Proprietà di una funzione logaritmica quando la base è maggiore di uno:

dominio di definizione: x ∈ 0 ; +∞ . Poiché x tende a zero da destra, i valori della funzione tendono a - ∞;
intervallo: y ∈ - ∞ ; + ∞ (l'intero insieme dei numeri reali);
questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
la funzione logaritmica è crescente per x ∈ 0; +∞ ;
la funzione ha convessità per x ∈ 0; +∞ ;
non ci sono punti di flesso;
non ci sono asintoti;
punto di passaggio della funzione: (1 ; 0) .

Le funzioni trigonometriche sono seno, coseno, tangente e cotangente. Analizziamo le proprietà di ciascuno di essi e i grafici corrispondenti.

In generale, tutte le funzioni trigonometriche sono caratterizzate dalla proprietà della periodicità, cioè quando i valori delle funzioni vengono ripetuti a valori diversi dell'argomento, che differiscono tra loro per il valore del periodo f (x + T) = f (x) (T è il periodo). Pertanto, l'elemento "periodo meno positivo" viene aggiunto all'elenco delle proprietà delle funzioni trigonometriche. Inoltre, indicheremo tali valori dell'argomento per cui la funzione corrispondente scompare.

Funzione seno: y = sin(x)

Il grafico di questa funzione è chiamato onda sinusoidale.

Definizione 18

Proprietà della funzione seno:

dominio di definizione: l'intero insieme dei numeri reali x ∈ - ∞ ; +∞ ;
la funzione svanisce quando x = π k , dove k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);
la funzione è crescente per x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z e decrescente per x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
la funzione seno ha massimi locali nei punti π 2 + 2 π · k ; 1 e minimi locali nei punti - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
la funzione seno è concava quando x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z e convesso quando x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
non ci sono asintoti.

funzione coseno: y=cos(x)

Il grafico di questa funzione è chiamato onda coseno.

Definizione 19

Proprietà della funzione coseno:

dominio di definizione: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
il periodo positivo più piccolo: T \u003d 2 π;
intervallo: y ∈ - 1 ; uno ;
questa funzione è pari, poiché y (- x) = y (x) ;
la funzione è crescente per x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z e decrescente per x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
la funzione coseno ha massimi locali nei punti 2 π · k ; 1 , k ∈ Z e minimi locali nei punti π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
la funzione coseno è concava quando x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z e convesso quando x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
i punti di flesso hanno coordinate π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
non ci sono asintoti.

Funzione tangente: y = tg (x)

Viene chiamato il grafico di questa funzione tangenziale.

Definizione 20

Proprietà della funzione tangente:

dominio di definizione: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , dove k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);
Il comportamento della funzione tangente sul confine del dominio di definizione lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Pertanto, le linee x = π 2 + π · k k ∈ Z sono asintoti verticali;
la funzione svanisce quando x = π k per k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);
intervallo: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
questa funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
la funzione è crescente a -π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
la funzione tangente è concava per x ∈ [ π · k ; π 2 + π k) , k ∈ Z e convesso per x ∈ (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
i punti di flesso hanno coordinate π k; 0 , k ∈ Z ;

Funzione cotangente: y = c t g (x)

Il grafico di questa funzione è chiamato cotangenteide. .

Definizione 21

Proprietà della funzione cotangente:

dominio di definizione: x ∈ (π k ; π + π k) , dove k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);

Comportamento della funzione cotangente sul confine del dominio di definizione lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Pertanto, le linee x = π k k ∈ Z sono asintoti verticali;

il periodo positivo più piccolo: T \u003d π;
la funzione svanisce quando x = π 2 + π k per k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);
intervallo: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
questa funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
la funzione è decrescente per x ∈ π · k ; π + π k , k ∈ Z ;
la funzione cotangente è concava per x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z e convessa per x ∈ [ - π 2 + π k ; π k) , k ∈ Z ;
i punti di flesso hanno coordinate π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
non ci sono asintoti obliqui e orizzontali.

Le funzioni trigonometriche inverse sono l'arcoseno, l'arcocoseno, l'arcotangente e l'arcocotangente. Spesso, a causa della presenza del prefisso "arco" nel nome, le funzioni trigonometriche inverse sono chiamate funzioni ad arco. .

Funzione arcoseno: y = a r c sin (x)

Definizione 22

Proprietà della funzione arcoseno:

questa funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
la funzione arcoseno è concava per x ∈ 0; 1 e convessità per x ∈ - 1 ; 0;
i punti di flesso hanno coordinate (0 ; 0) , è anche lo zero della funzione;
non ci sono asintoti.

Funzione arcoseno: y = a r c cos (x)

Definizione 23

Proprietà della funzione arcoseno:

dominio di definizione: x ∈ - 1 ; uno ;
intervallo: y ∈ 0 ; π;
questa funzione è di forma generale (né pari né dispari);
la funzione è decrescente sull'intero dominio di definizione;
la funzione arcoseno è concava per x ∈ - 1 ; 0 e convessità per x ∈ 0 ; uno ;
i punti di flesso hanno coordinate 0 ; π2;
non ci sono asintoti.

Funzione arcotangente: y = a r c t g (x)

Definizione 24

Proprietà della funzione arcotangente:

dominio di definizione: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
intervallo: y ∈ - π 2 ; π2;
questa funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
la funzione è crescente nell'intero dominio di definizione;
la funzione arctangente è concava per x ∈ (- ∞ ; 0 ] e convessa per x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
il punto di flesso ha coordinate (0; 0), è anche lo zero della funzione;
gli asintoti orizzontali sono linee rette y = - π 2 per x → - ∞ e y = π 2 per x → + ∞ (gli asintoti nella figura sono linee verdi).

Funzione arco cotangente: y = a r c c t g (x)

Definizione 25

Proprietà della funzione arco cotangente:

dominio di definizione: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
intervallo: y ∈ (0 ; π) ;
questa funzione è di tipo generale;
la funzione è decrescente sull'intero dominio di definizione;
la funzione arcocotangente è concava per x ∈ [ 0 ; + ∞) e convessità per x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
il punto di flesso ha coordinate 0 ; π2;
gli asintoti orizzontali sono le linee rette y = π in x → - ∞ (linea verde nel disegno) e y = 0 in x → + ∞.

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