A volte uno studio diligente delle scienze esatte può dare i suoi frutti: diventerai non solo conosciuto in tutto il mondo, ma anche ricco. I premi vengono assegnati, tuttavia, per niente, e nella scienza moderna ci sono molte teorie, teoremi e problemi non dimostrati che si moltiplicano man mano che la scienza si sviluppa, prendi almeno i taccuini Kourovka o Dniester, una sorta di raccolte con irrisolvibili fisici e matematici, e non solo , compiti. Tuttavia, ci sono anche teoremi veramente complessi che non sono stati risolti da più di una dozzina di anni, e per loro l'American Clay Institute ha assegnato un premio per un importo di 1 milione di dollari USA per ciascuno. Fino al 2002 il jackpot totale era di 7 milioni, visto che c'erano sette "problemi del millennio", ma il matematico russo Grigory Perelman risolse la congettura di Poincaré abbandonando epicamente un milione, senza nemmeno aprire la porta ai matematici statunitensi che volevano dargli onestamente il suo bonus guadagnati. Quindi, attiviamo la teoria del Big Bang per lo sfondo e l'atmosfera e vediamo per cos'altro puoi tagliare una somma tonda.
Uguaglianza delle classi P e NP
In termini semplici, il problema di uguaglianza P = NP è il seguente: se una risposta positiva a qualche domanda può essere verificata abbastanza velocemente (in tempo polinomiale), allora è vero che la risposta a questa domanda può essere trovata abbastanza velocemente (anche in tempo polinomiale)? tempo polinomiale e utilizzo della memoria polinomiale)? In altre parole, non è davvero più facile verificare la soluzione del problema che trovarla? La linea di fondo qui è che alcuni calcoli e calcoli sono più facili da risolvere algoritmicamente piuttosto che con la forza bruta, e quindi fanno risparmiare molto tempo e risorse.
Ipotesi Hodge
La congettura di Hodge, formulata nel 1941, è che per tipi di spazi particolarmente buoni chiamati varietà algebriche proiettive, i cosiddetti cicli di Hodge sono combinazioni di oggetti che hanno un'interpretazione geometrica - cicli algebrici.
Qui, spiegando in termini semplici, possiamo dire quanto segue: nel XX secolo sono state scoperte forme geometriche molto complesse, come le bottiglie curve. Quindi, è stato suggerito che per costruire questi oggetti per la descrizione, è necessario utilizzare forme completamente sconcertanti che non hanno l'essenza geometrica "tali terribili scarabocchi-scarabocchi multidimensionali" o puoi ancora cavartela con l'algebra + geometria condizionatamente standard .
Ipotesi di Riemann
È abbastanza difficile da spiegare qui in linguaggio umano, basta sapere che la soluzione di questo problema avrà conseguenze di vasta portata nel campo della distribuzione dei numeri primi. Il problema è così importante e urgente che anche la derivazione di un controesempio dell'ipotesi - a discrezione del consiglio accademico dell'università, il problema può essere considerato provato, quindi qui puoi provare il metodo "dal contrario". Anche se è possibile riformulare l'ipotesi in senso più ristretto, anche qui il Clay Institute sborserà una certa somma di denaro.
Teoria di Yang-Mills
La fisica delle particelle è uno degli argomenti preferiti del Dr. Sheldon Cooper. Qui la teoria quantistica di due zii intelligenti ci dice che per ogni semplice gruppo di gauge nello spazio c'è un difetto di massa diverso da zero. Questa affermazione è stata stabilita da dati sperimentali e simulazioni numeriche, ma finora nessuno può dimostrarlo.
Equazioni di Navier-Stokes
Qui, Howard Wolowitz ci aiuterebbe sicuramente se esistesse nella realtà - dopotutto, questo è un enigma dell'idrodinamica e il fondamento delle fondamenta. Le equazioni descrivono i moti di un fluido viscoso newtoniano, sono di grande importanza pratica e, soprattutto, descrivono la turbolenza, che non può essere in alcun modo inserita nel quadro della scienza e le sue proprietà e azioni non possono essere previste. La giustificazione per la costruzione di queste equazioni permetterebbe di non puntare il dito verso il cielo, ma di comprendere la turbolenza dall'interno e rendere più stabili velivoli e meccanismi.
Ipotesi di Birch-Swinnerton-Dyer
È vero, qui ho provato a raccogliere parole semplici, ma esiste un'algebra così densa che non si può fare a meno di un'immersione profonda. Coloro che non vogliono immergersi nel matan devono sapere che questa ipotesi consente di trovare rapidamente e indolore il grado delle curve ellittiche, e se questa ipotesi non esistesse, sarebbe necessario un foglio di calcoli per calcolare questo grado . Beh, ovviamente, devi anche sapere che la prova di questa ipotesi ti arricchirà di un milione di dollari.
Va notato che in quasi tutte le aree ci sono già progressi e persino casi comprovati per singoli esempi. Pertanto, non esitare, altrimenti andrà a finire come con il teorema di Fermat, che ha ceduto ad Andrew Wiles dopo più di 3 secoli nel 1994, e gli ha portato il Premio Abel e circa 6 milioni di corone norvegesi (50 milioni di rubli al tasso di cambio odierno) .
Spesso, quando parlo con studenti delle scuole superiori del lavoro di ricerca in matematica, sento quanto segue: "Quali cose nuove si possono scoprire in matematica?" Ma davvero: forse tutte le grandi scoperte sono state fatte ei teoremi sono stati dimostrati?
L'8 agosto 1900, al Congresso internazionale dei matematici di Parigi, il matematico David Hilbert delineò un elenco di problemi che riteneva dovessero essere risolti nel ventesimo secolo. C'erano 23 elementi nell'elenco. Finora ne sono stati risolti ventuno. L'ultimo problema risolto sulla lista di Gilbert era il famoso teorema di Fermat, che gli scienziati non riuscirono a risolvere per 358 anni. Nel 1994, il britannico Andrew Wiles propose la sua soluzione. Si è rivelato vero.Seguendo l'esempio di Gilbert alla fine del secolo scorso, molti matematici hanno cercato di formulare compiti strategici simili per il XXI secolo. Uno di questi elenchi è stato reso famoso dal miliardario di Boston Landon T. Clay. Nel 1998, a sue spese, fu fondato a Cambridge (Massachusetts, USA) il Clay Mathematics Institute e furono istituiti premi per la risoluzione di una serie di importanti problemi della matematica moderna. Il 24 maggio 2000, gli esperti dell'istituto hanno scelto sette problemi, in base al numero di milioni di dollari stanziati per i premi. L'elenco si chiama Millennium Prize Problems:
1. Il problema di Cook (formulato nel 1971)
Diciamo che tu, essendo in una grande azienda, vuoi assicurarti che anche il tuo amico sia lì. Se ti viene detto che è seduto in un angolo, basterà una frazione di secondo per assicurarti, con uno sguardo, che l'informazione sia vera. In assenza di queste informazioni, sarai costretto a girare per l'intera stanza, guardando gli ospiti. Ciò suggerisce che la risoluzione di un problema richiede spesso più tempo rispetto al controllo della correttezza della soluzione.
Stephen Cook ha formulato il problema: verificare la correttezza di una soluzione a un problema può essere più lungo che ottenere la soluzione stessa, indipendentemente dall'algoritmo di verifica. Questo problema è anche uno dei problemi irrisolti nel campo della logica e dell'informatica. La sua soluzione potrebbe rivoluzionare i fondamenti della crittografia utilizzata nella trasmissione e memorizzazione dei dati.
2. L'ipotesi di Riemann (formulata nel 1859)
Alcuni numeri interi non possono essere espressi come il prodotto di due numeri interi più piccoli, come 2, 3, 5, 7 e così via. Tali numeri sono chiamati numeri primi e svolgono un ruolo importante nella matematica pura e nelle sue applicazioni. La distribuzione dei numeri primi nella serie di tutti i numeri naturali non segue alcuna regolarità. Tuttavia, il matematico tedesco Riemann fece un'ipotesi riguardo alle proprietà di una sequenza di numeri primi. Se l'ipotesi di Riemann sarà dimostrata, rivoluzionerà la nostra conoscenza della crittografia e porterà a scoperte senza precedenti nella sicurezza di Internet.
3. Ipotesi di Birch e Swinnerton-Dyer (formulata nel 1960)
Associato alla descrizione dell'insieme delle soluzioni di alcune equazioni algebriche in più variabili a coefficienti interi. Un esempio di tale equazione è l'espressione x2 + y2 = z2. Euclide ha fornito una descrizione completa delle soluzioni a questa equazione, ma per equazioni più complesse, trovare soluzioni diventa estremamente difficile.
4. Ipotesi di Hodge (formulata nel 1941)
Nel XX secolo, i matematici hanno scoperto un potente metodo per studiare la forma di oggetti complessi. L'idea principale è quella di utilizzare semplici "mattoni" al posto dell'oggetto stesso, che sono incollati insieme e formano la sua somiglianza. L'ipotesi di Hodge è collegata ad alcune ipotesi sulle proprietà di tali "mattoni" e oggetti.
5. Le equazioni di Navier - Stokes (formulate nel 1822)
Se navighi su una barca sul lago, sorgeranno onde e se voli su un aereo, nell'aria sorgeranno correnti turbolente. Si presume che questi e altri fenomeni siano descritti da equazioni note come equazioni di Navier-Stokes. Le soluzioni di queste equazioni sono sconosciute e non si sa nemmeno come risolverle. È necessario dimostrare che la soluzione esiste ed è una funzione sufficientemente regolare. La soluzione di questo problema consentirà di modificare in modo significativo i metodi di esecuzione dei calcoli idrodinamici e aerodinamici.
6. Problema di Poincaré (formulato nel 1904)
Se allunghi un elastico su una mela, puoi spostare lentamente il nastro senza lasciare la superficie, comprimerlo fino a un punto. D'altra parte, se lo stesso elastico è adeguatamente teso attorno alla ciambella, non c'è modo di comprimere l'elastico fino a un certo punto senza strappare l'elastico o rompere la ciambella. Si dice che la superficie di una mela sia semplicemente connessa, ma la superficie di una ciambella non lo è. Si è rivelato così difficile dimostrare che solo la sfera è semplicemente connessa che i matematici stanno ancora cercando la risposta corretta.
7. Equazioni di Yang-Mills (formulate nel 1954)
Le equazioni della fisica quantistica descrivono il mondo delle particelle elementari. I fisici Yang e Mills, avendo scoperto la connessione tra geometria e fisica delle particelle elementari, hanno scritto le proprie equazioni. Così, hanno trovato un modo per unificare le teorie delle interazioni elettromagnetiche, deboli e forti. Le equazioni di Yang-Mills implicavano l'esistenza di particelle che sono state effettivamente osservate nei laboratori di tutto il mondo, quindi la teoria di Yang-Mills è accettata dalla maggior parte dei fisici, nonostante il fatto che questa teoria non riesca ancora a prevedere le masse delle particelle elementari.
Penso che questo materiale pubblicato sul blog sia interessante non solo per gli studenti, ma anche per gli scolari che sono seriamente coinvolti nella matematica. C'è qualcosa a cui pensare quando si scelgono argomenti e aree di ricerca.
I problemi irrisolvibili sono i 7 problemi matematici più interessanti. Ciascuno di essi è stato proposto contemporaneamente da noti scienziati, di regola, sotto forma di ipotesi. Per molti decenni, i matematici di tutto il mondo si sono scervellati sulla loro soluzione. Coloro che avranno successo saranno premiati con un milione di dollari americani offerti dal Clay Institute.
Istituto di creta
Questo nome è un'organizzazione privata senza scopo di lucro con sede a Cambridge, nel Massachusetts. È stata fondata nel 1998 dal matematico di Harvard A. Jeffey e dall'uomo d'affari L. Clay. Lo scopo dell'Istituto è quello di divulgare e sviluppare le conoscenze matematiche. Per raggiungere questo obiettivo, l'organizzazione assegna premi a scienziati e sponsorizza ricerche promettenti.
All'inizio del 21 ° secolo, il Clay Mathematical Institute ha offerto un premio a coloro che risolvono problemi noti come i problemi irrisolvibili più difficili, chiamando la loro lista Millennium Prize Problems. Dalla "Lista Hilbert" includeva solo l'ipotesi di Riemann.
Sfide del Millennio
L'elenco del Clay Institute originariamente includeva:
- l'ipotesi del ciclo di Hodge;
- equazioni della teoria quantistica Yang-Mills;
- l'ipotesi di Poincaré;
- il problema dell'uguaglianza delle classi P e NP;
- l'ipotesi di Riemann;
- sull'esistenza e sulla scorrevolezza delle sue soluzioni;
- Problema di Birch-Swinnerton-Dyer.
Questi problemi matematici aperti sono di grande interesse perché possono avere molte implementazioni pratiche.
Cosa ha dimostrato Grigory Perelman
Nel 1900, il famoso filosofo Henri Poincaré suggerì che qualsiasi 3-varietà compatta senza confini semplicemente connessa è omeomorfa a una 3-sfera. La sua prova nel caso generale non è stata trovata per un secolo. Solo nel 2002-2003, il matematico di San Pietroburgo G. Perelman ha pubblicato una serie di articoli con una soluzione al problema di Poincaré. Avevano l'effetto di una bomba che esplode. Nel 2010 l'ipotesi Poincaré è stata esclusa dalla lista dei “Problemi Irrisolti” del Clay Institute, e allo stesso Perelman è stato offerto di percepire un compenso a lui dovuto, che quest'ultimo ha rifiutato senza spiegare le ragioni della sua decisione.
La spiegazione più comprensibile di ciò che il matematico russo è riuscito a dimostrare può essere data immaginando che un disco di gomma venga tirato su una ciambella (toro), e quindi si provi a tirare i bordi della sua circonferenza in un punto. Ovviamente questo non è possibile. Un'altra cosa, se fai questo esperimento con una palla. In questo caso, una sfera apparentemente tridimensionale, risultante da un disco, la cui circonferenza è stata tirata in un punto da un'ipotetica corda, sarà tridimensionale nella comprensione di una persona comune, ma bidimensionale dal punto di vista della matematica.
Poincaré ha suggerito che una sfera tridimensionale è l'unico "oggetto" tridimensionale la cui superficie può essere contratta in un singolo punto, e Perelman è stato in grado di dimostrarlo. Pertanto, l'elenco dei "problemi irrisolvibili" oggi è composto da 6 problemi.
Teoria di Yang-Mills
Questo problema matematico è stato proposto dai suoi autori nel 1954. La formulazione scientifica della teoria è la seguente: per ogni semplice gruppo di gauge compatto esiste la teoria quantistica spaziale creata da Yang e Mills, e allo stesso tempo ha un difetto di massa pari a zero.
Parlando in un linguaggio comprensibile a una persona comune, le interazioni tra oggetti naturali (particelle, corpi, onde, ecc.) sono suddivise in 4 tipi: elettromagnetiche, gravitazionali, deboli e forti. Per molti anni, i fisici hanno cercato di creare una teoria generale dei campi. Dovrebbe diventare uno strumento per spiegare tutte queste interazioni. La teoria di Yang-Mills è un linguaggio matematico con il quale è diventato possibile descrivere 3 delle 4 principali forze della natura. Non si applica alla gravità. Pertanto, non si può ritenere che Yang e Mills siano riusciti a creare una teoria di campo.
Inoltre, la non linearità delle equazioni proposte le rende estremamente difficili da risolvere. Per piccole costanti di accoppiamento, possono essere approssimativamente risolte sotto forma di una serie di teoria delle perturbazioni. Tuttavia, non è ancora chiaro come queste equazioni possano essere risolte con un accoppiamento forte.
Equazioni di Navier-Stokes
Queste espressioni descrivono processi come flussi d'aria, flusso di fluidi e turbolenza. Per alcuni casi particolari sono già state trovate soluzioni analitiche dell'equazione di Navier-Stokes, ma finora nessuno è riuscito a farlo per quella generale. Allo stesso tempo, le simulazioni numeriche per valori specifici di velocità, densità, pressione, tempo e così via possono ottenere ottimi risultati. Resta da sperare che qualcuno possa applicare le equazioni di Navier-Stokes nella direzione opposta, cioè calcolare i parametri con il loro aiuto o dimostrare che non esiste un metodo risolutivo.
Problema di Birch-Swinnerton-Dyer
Nella categoria dei "problemi irrisolti" rientra anche l'ipotesi proposta dagli scienziati inglesi dell'Università di Cambridge. Anche 2300 anni fa, l'antico scienziato greco Euclide diede una descrizione completa delle soluzioni dell'equazione x2 + y2 = z2.
Se per ciascuno dei numeri primi conti il numero di punti sulla curva modulo esso, ottieni un insieme infinito di numeri interi. Se lo "incolli" specificamente in 1 funzione di una variabile complessa, ottieni la funzione zeta di Hasse-Weil per una curva di terzo ordine, indicata dalla lettera L. Contiene informazioni sul comportamento modulo di tutti i numeri primi contemporaneamente .
Brian Burch e Peter Swinnerton-Dyer hanno ipotizzato le curve ellittiche. Secondo esso, la struttura e il numero dell'insieme delle sue soluzioni razionali sono correlati al comportamento della L-funzione all'identità. La congettura di Birch-Swinnerton-Dyer attualmente non dimostrata dipende dalla descrizione delle equazioni algebriche di terzo grado ed è l'unico modo generale relativamente semplice per calcolare il rango delle curve ellittiche.
Per comprendere l'importanza pratica di questo compito, è sufficiente dire che nella crittografia moderna un'intera classe di sistemi asimmetrici si basa su curve ellittiche e gli standard di firma digitale domestica si basano sulla loro applicazione.
Uguaglianza delle classi p e np
Se il resto delle Sfide del Millennio è puramente matematico, allora questo è legato all'attuale teoria degli algoritmi. Il problema relativo all'uguaglianza delle classi p e np, noto anche come problema di Cooke-Levin, può essere formulato in un linguaggio comprensibile come segue. Supponiamo che una risposta positiva a una certa domanda possa essere verificata abbastanza rapidamente, cioè in tempo polinomiale (PT). Quindi è corretta l'affermazione secondo cui la risposta può essere trovata abbastanza rapidamente? Ancora più semplice suona così: non è davvero più difficile verificare la soluzione del problema che trovarla? Se l'uguaglianza delle classi pe np viene mai dimostrata, allora tutti i problemi di selezione possono essere risolti per PV. Al momento, molti esperti dubitano della veridicità di questa affermazione, sebbene non possano dimostrare il contrario.
Ipotesi di Riemann
Fino al 1859 non era stato identificato alcun modello che descrivesse come i numeri primi sono distribuiti tra i numeri naturali. Forse questo era dovuto al fatto che la scienza si occupava di altre questioni. Tuttavia, verso la metà del XIX secolo, la situazione era cambiata e divennero uno dei più rilevanti con cui la matematica iniziò a confrontarsi.
L'ipotesi di Riemann, apparsa durante questo periodo, è l'ipotesi che esista un certo modello nella distribuzione dei numeri primi.
Oggi molti scienziati moderni ritengono che, se sarà dimostrato, molti dei principi fondamentali della crittografia moderna, che costituiscono la base di una parte significativa dei meccanismi di e-commerce, dovranno essere rivisti.
Secondo l'ipotesi di Riemann, la natura della distribuzione dei numeri primi può differire in modo significativo da quanto attualmente assunto. Il fatto è che finora non è stato scoperto alcun sistema nella distribuzione dei numeri primi. Ad esempio, c'è il problema dei "gemelli", la cui differenza è 2. Questi numeri sono 11 e 13, 29. Altri numeri primi formano gruppi. Questi sono 101, 103, 107, ecc. Gli scienziati sospettano da tempo che tali ammassi esistano tra numeri primi molto grandi. Se vengono trovate, sarà messa in discussione la stabilità delle moderne chiavi crittografiche.
Ipotesi del ciclo di Hodge
Questo problema finora irrisolto fu formulato nel 1941. L'ipotesi di Hodge suggerisce la possibilità di approssimare la forma di qualsiasi oggetto "incollando" insieme corpi semplici di dimensioni superiori. Questo metodo è noto e utilizzato con successo da molto tempo. Tuttavia, non è noto fino a che punto la semplificazione possa essere apportata.
Ora sai quali problemi irrisolvibili esistono al momento. Sono oggetto di ricerca da parte di migliaia di scienziati in tutto il mondo. Resta da sperare che nel prossimo futuro vengano risolti e la loro applicazione pratica aiuterà l'umanità ad entrare in un nuovo ciclo di sviluppo tecnologico.
Non ci sono così tante persone al mondo che non hanno mai sentito parlare dell'ultimo teorema di Fermat - forse questo è l'unico problema matematico che è diventato così ampiamente conosciuto ed è diventato una vera leggenda. È menzionato in molti libri e film, mentre il contesto principale di quasi tutte le menzioni è l'impossibilità di dimostrare il teorema.
Sì, questo teorema è molto famoso e in un certo senso è diventato un "idolo" adorato da matematici dilettanti e professionisti, ma pochi sanno che la sua dimostrazione è stata trovata, e questo è accaduto nel lontano 1995. Ma prima le cose principali.
Quindi, l'ultimo teorema di Fermat (spesso chiamato l'ultimo teorema di Fermat), formulato nel 1637 dal brillante matematico francese Pierre Fermat, è di natura molto semplice e comprensibile a qualsiasi persona con un'istruzione secondaria. Dice che la formula a alla potenza di n + b alla potenza di n \u003d c alla potenza di n non ha soluzioni naturali (cioè non frazionarie) per n> 2. Tutto sembra essere semplice e chiaro , ma i migliori matematici e semplici dilettanti hanno combattuto per cercare una soluzione per più di tre secoli e mezzo.
Perché è così famosa? Ora scopriamo...
Ci sono pochi teoremi provati, non dimostrati e ancora non dimostrati? Il fatto è che l'ultimo teorema di Fermat è il più grande contrasto tra la semplicità della formulazione e la complessità della dimostrazione. L'ultimo teorema di Fermat è un compito incredibilmente difficile, eppure la sua formulazione può essere compresa da chiunque abbia 5 anni di scuola secondaria, ma la dimostrazione è lontana anche da ogni matematico professionista. Né in fisica, né in chimica, né in biologia, né nella stessa matematica c'è un solo problema che sarebbe stato formulato in modo così semplice, ma è rimasto irrisolto per così tanto tempo. 2. In cosa consiste?
Cominciamo con i pantaloni pitagorici La formulazione è davvero semplice, a prima vista. Come sappiamo fin dall'infanzia, "i pantaloni pitagorici sono uguali su tutti i lati". Il problema sembra così semplice perché si basava su un'affermazione matematica che tutti conoscono: il teorema di Pitagora: in ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Nel V secolo a.C. Pitagora fondò la confraternita pitagorica. I Pitagorici, tra l'altro, studiavano le terne intere che soddisfacevano l'equazione x²+y²=z². Hanno dimostrato che ci sono infinite triple pitagoriche e hanno ottenuto formule generali per trovarle. Probabilmente hanno provato a cercare triple e gradi più alti. Convinti che ciò non funzionasse, i Pitagorici abbandonarono i loro futili tentativi. I membri della confraternita erano più filosofi ed esteti che matematici.
Cioè, è facile trovare un insieme di numeri che soddisfi perfettamente l'uguaglianza x² + y² = z²
Partendo da 3, 4, 5 - infatti, lo studente delle elementari capisce che 9 + 16 = 25.
O 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Fantastico.
Beh, si scopre che non lo fanno. È qui che inizia il trucco. La semplicità è evidente, perché è difficile dimostrare non la presenza di qualcosa, ma, al contrario, l'assenza. Quando è necessario dimostrare che esiste una soluzione, si può e si deve semplicemente presentare questa soluzione.
È più difficile provare l'assenza: per esempio, qualcuno dice: questa o quella equazione non ha soluzioni. Mettilo in una pozzanghera? facile: bam - ed eccola qui, la soluzione! (dare una soluzione). E questo è tutto, l'avversario è sconfitto. Come provare l'assenza?
Dire: "Non ho trovato tali soluzioni"? O forse non hai cercato bene? E se fossero, solo molto grandi, beh, tali che anche un computer super potente non ha ancora abbastanza forza? Questo è ciò che è difficile.
In una forma visiva, questo può essere mostrato come segue: se prendiamo due quadrati di dimensioni adeguate e li smontiamo in quadrati unitari, da questo gruppo di quadrati unitari si ottiene un terzo quadrato (Fig. 2): 
E facciamo lo stesso con la terza dimensione (Fig. 3): non funziona. Non ci sono abbastanza cubi, o ne rimangono di extra:
Ma il matematico del XVII secolo, il francese Pierre de Fermat, studiò con entusiasmo l'equazione generale x n + y n \u003d z n. E, infine, concludeva: per n>2 non esistono soluzioni intere. La dimostrazione di Fermat è irrimediabilmente persa. I manoscritti sono in fiamme! Tutto ciò che rimane è la sua osservazione nell'aritmetica di Diofanto: "Ho trovato una prova davvero sorprendente di questa proposizione, ma i margini qui sono troppo stretti per contenerla".
In realtà, un teorema senza dimostrazione si chiama ipotesi. Ma Fermat ha la reputazione di non sbagliare mai. Anche se non ha lasciato prova di alcuna dichiarazione, questa è stata successivamente confermata. Inoltre, Fermat ha dimostrato la sua tesi per n=4. Quindi l'ipotesi del matematico francese è passata alla storia come l'ultimo teorema di Fermat.
Dopo Fermat, grandi menti come Leonhard Euler lavorarono alla ricerca della dimostrazione (nel 1770 propose una soluzione per n = 3),
Adrien Legendre e Johann Dirichlet (questi scienziati hanno trovato insieme una dimostrazione per n = 5 nel 1825), Gabriel Lame (che ha trovato una dimostrazione per n = 7) e molti altri. Verso la metà degli anni '80 del secolo scorso, divenne chiaro che il mondo scientifico era sulla strada per la soluzione finale dell'ultimo teorema di Fermat, ma solo nel 1993 i matematici videro e credettero che la saga di tre secoli di trovare una prova di L'ultimo teorema di Fermat era quasi finito.
È facile mostrare che basta dimostrare il teorema di Fermat solo per n primo: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Per n composto, la dimostrazione rimane valida. Ma ci sono infiniti numeri primi...
Nel 1825, usando il metodo di Sophie Germain, le matematiche Dirichlet e Legendre dimostrarono indipendentemente il teorema per n=5. Nel 1839 il francese Gabriel Lame dimostrò la verità del teorema per n=7 usando lo stesso metodo. A poco a poco, il teorema è stato dimostrato per quasi tutti n meno di cento.
Infine, il matematico tedesco Ernst Kummer ha dimostrato in un brillante studio che i metodi matematici del XIX secolo non possono dimostrare il teorema in forma generale. Il premio dell'Accademia francese delle scienze, istituito nel 1847 per la dimostrazione del teorema di Fermat, rimase non assegnato.
Nel 1907, il ricco industriale tedesco Paul Wolfskel decise di togliersi la vita a causa di un amore non corrisposto. Come un vero tedesco, ha fissato la data e l'ora del suicidio: esattamente a mezzanotte. L'ultimo giorno ha fatto testamento e ha scritto lettere ad amici e parenti. L'attività è terminata prima di mezzanotte. Devo dire che Paul era interessato alla matematica. Non avendo niente da fare, andò in biblioteca e cominciò a leggere il famoso articolo di Kummer. All'improvviso gli sembrò che Kummer avesse commesso un errore di ragionamento. Wolfskehl, con una matita in mano, iniziò ad analizzare questa parte dell'articolo. Passò la mezzanotte, venne il mattino. La lacuna nella dimostrazione è stata colmata. E la vera ragione del suicidio ora sembrava completamente ridicola. Paolo strappò le lettere d'addio e riscrisse il testamento.
Morì presto per cause naturali. Gli eredi furono piuttosto sorpresi: 100.000 marchi (più di 1.000.000 di sterline attuali) furono trasferiti sul conto della Royal Scientific Society di Göttingen, che nello stesso anno indisse un concorso per il Premio Wolfskel. 100.000 marchi si basavano sul dimostratore del teorema di Fermat. Non si doveva pagare un pfennig per la confutazione del teorema...
La maggior parte dei matematici professionisti considerava la ricerca di una dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat una causa persa e si rifiutava risolutamente di perdere tempo in un esercizio così futile. Ma i dilettanti si divertono alla gloria. Poche settimane dopo l'annuncio, una valanga di "prove" si è abbattuta sull'Università di Göttingen. Il professor E. M. Landau, il cui compito era quello di analizzare le prove inviate, distribuì ai suoi studenti delle cartoline:
Cari). . . . . . . .
Grazie per il manoscritto che hai inviato con la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat. Il primo errore è a pagina... alla riga... . A causa di ciò, l'intera dimostrazione perde la sua validità.
Professor E. M. Landau
Nel 1963 Paul Cohen, attingendo alle scoperte di Gödel, dimostrò l'irrisolvibilità di uno dei ventitré problemi di Hilbert, l'ipotesi del continuo. E se anche l'ultimo teorema di Fermat fosse irrisolvibile?! Ma i veri fanatici del Grande Teorema non hanno deluso affatto. L'avvento dei computer diede inaspettatamente ai matematici un nuovo metodo di dimostrazione. Dopo la seconda guerra mondiale, gruppi di programmatori e matematici dimostrarono l'ultimo teorema di Fermat per tutti i valori di n fino a 500, poi fino a 1.000 e successivamente fino a 10.000.
Negli anni '80, Samuel Wagstaff ha alzato il limite a 25.000 e negli anni '90 i matematici hanno affermato che l'ultimo teorema di Fermat era vero per tutti i valori di n fino a 4 milioni. Ma se anche un trilione di trilioni viene sottratto dall'infinito, non diventa più piccolo. I matematici non sono convinti dalle statistiche. Dimostrare il Grande Teorema significava dimostrarlo per TUTTI n andando all'infinito.
Nel 1954, due giovani amici matematici giapponesi iniziarono lo studio delle forme modulari. Queste forme generano serie di numeri, ciascuna - la propria serie. Per caso, Taniyama ha confrontato queste serie con serie generate da equazioni ellittiche. Hanno abbinato! Ma le forme modulari sono oggetti geometrici, mentre le equazioni ellittiche sono algebriche. Tra oggetti così diversi non è mai stata trovata una connessione.
Tuttavia, dopo accurati test, gli amici hanno avanzato un'ipotesi: ogni equazione ellittica ha un gemello - una forma modulare, e viceversa. Fu questa ipotesi che divenne il fondamento di un'intera tendenza in matematica, ma fino a quando l'ipotesi di Taniyama-Shimura non fu dimostrata, l'intero edificio potrebbe crollare in qualsiasi momento.
Nel 1984, Gerhard Frey dimostrò che una soluzione dell'equazione di Fermat, se esiste, può essere inclusa in qualche equazione ellittica. Due anni dopo, il professor Ken Ribet ha dimostrato che questa ipotetica equazione non può avere una controparte nel mondo modulare. D'ora in poi, l'Ultimo Teorema di Fermat era indissolubilmente legato all'ipotesi di Taniyama-Shimura. Avendo dimostrato che qualsiasi curva ellittica è modulare, concludiamo che non esiste un'equazione ellittica con una soluzione dell'equazione di Fermat, e l'Ultimo Teorema di Fermat sarebbe immediatamente dimostrato. Ma per trent'anni non è stato possibile dimostrare l'ipotesi Taniyama-Shimura e le speranze di successo erano sempre meno.
Nel 1963, quando aveva solo dieci anni, Andrew Wiles era già affascinato dalla matematica. Quando ha saputo del Grande Teorema, si è reso conto che non poteva deviarne. Da scolaro, studente, laureato, si è preparato per questo compito.
Dopo aver appreso delle scoperte di Ken Ribet, Wiles si lanciò nel dimostrare la congettura di Taniyama-Shimura. Ha deciso di lavorare in completo isolamento e segretezza. "Ho capito che tutto ciò che ha qualcosa a che fare con l'ultimo teorema di Fermat è di troppo interesse ... Troppi spettatori interferiscono deliberatamente con il raggiungimento dell'obiettivo." Dopo sette anni di duro lavoro, Wiles ha finalmente completato la dimostrazione della congettura di Taniyama-Shimura.
Nel 1993, il matematico inglese Andrew Wiles ha presentato al mondo la sua dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat (Wiles ha letto il suo sensazionale rapporto in una conferenza al Sir Isaac Newton Institute di Cambridge), il cui lavoro è durato più di sette anni.
Mentre il clamore continuava sulla stampa, iniziarono i lavori seri per verificare le prove. Ogni elemento di prova deve essere attentamente esaminato prima che la prova possa essere considerata rigorosa e accurata. Wiles ha trascorso un'estate frenetica aspettando il feedback dei revisori, sperando di poter ottenere la loro approvazione. A fine agosto gli esperti hanno riscontrato un giudizio non sufficientemente motivato.
Si è scoperto che questa decisione contiene un grossolano errore, sebbene in generale sia vero. Wiles non si è arreso, ha chiesto l'aiuto di un noto specialista in teoria dei numeri Richard Taylor, e già nel 1994 hanno pubblicato una dimostrazione corretta e integrata del teorema. La cosa più sorprendente è che questo lavoro occupava ben 130 (!) pagine nella rivista matematica Annals of Mathematics. Ma la storia non finì nemmeno qui: l'ultimo punto fu fatto solo l'anno successivo, il 1995, quando fu pubblicata la versione finale e “ideale”, dal punto di vista matematico, della dimostrazione.
“...mezzo minuto dopo l'inizio della cena festiva in occasione del suo compleanno, ho dato a Nadia il manoscritto della bozza completa” (Andrew Wales). Ho già detto che i matematici sono persone strane?
Questa volta non c'erano dubbi sulla prova. Due articoli sono stati sottoposti alla più attenta analisi e nel maggio 1995 sono stati pubblicati negli Annals of Mathematics.
È passato molto tempo da quel momento, ma c'è ancora un'opinione nella società sull'irrisolvibilità dell'ultimo teorema di Fermat. Ma anche chi è a conoscenza della dimostrazione trovata continua a lavorare in questa direzione: poche persone sono soddisfatte che il Grande Teorema richieda una soluzione di 130 pagine!
Pertanto, ora le forze di tanti matematici (per lo più dilettanti, non scienziati professionisti) vengono lanciate alla ricerca di una dimostrazione semplice e concisa, ma questo percorso, molto probabilmente, non porterà da nessuna parte ...
fonte
1Murad:
Abbiamo considerato l'uguaglianza Zn = Xn + Yn come l'equazione di Diofanto o il Grande Teorema di Fermat, e questa è la soluzione dell'equazione (Zn- Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn. Allora Zn =-(Xn + Yn) è una soluzione dell'equazione (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn. Queste equazioni e soluzioni sono correlate alle proprietà degli interi e alle operazioni su di essi. Quindi non conosciamo le proprietà degli interi?! Con una conoscenza così limitata, non riveleremo la verità.
Considera le soluzioni Zn = +(Xn + Yn) e Zn =-(Xn + Yn) quando n = 1. Gli interi + Z sono formati usando 10 cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. Sono divisibili per 2 numeri interi +X - pari, ultima cifra a destra: 0, 2, 4, 6, 8 e +Y - dispari, ultima cifra a destra: 1, 3, 5, 7, 9, t . e. + X = + Y. Il numero di Y = 5 - dispari e X = 5 - numeri pari è: Z = 10. Soddisfa l'equazione: (Z - X) X = (Z - Y) Y, e la soluzione + Z = + X + Y = + (X + Y).
Gli interi -Z consistono nell'unione di -X per pari e -Y per dispari e soddisfano l'equazione:
(Z + X) X = (Z + Y) Y, e la soluzione -Z = - X - Y = - (X + Y).
Se Z/X = Y o Z / Y = X, allora Z = XY; Z / -X = -Y o Z / -Y = -X, quindi Z = (-X)(-Y). La divisione è controllata dalla moltiplicazione.
I numeri positivi e negativi a una cifra sono costituiti da 5 numeri dispari e 5 numeri dispari.
Consideriamo il caso n = 2. Allora Z2 = X2 + Y2 è una soluzione dell'equazione (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 e Z2 = -(X2 + Y2) è una soluzione dell'equazione (Z2 + X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Abbiamo considerato Z2 = X2 + Y2 il teorema di Pitagora, e quindi la soluzione Z2 = -(X2 + Y2) è lo stesso teorema. Sappiamo che la diagonale di un quadrato lo divide in 2 parti, dove la diagonale è l'ipotenusa. Allora valgono le uguaglianze: Z2 = X2 + Y2, e Z2 = -(X2 + Y2) dove X e Y sono lati. E più soluzioni R2 = X2 + Y2 e R2 =- (X2 + Y2) sono cerchi, i centri sono l'origine del sistema di coordinate quadrate e con raggio R. Possono essere scritti come (5n)2 = (3n)2 + ( 4n)2 , dove n sono numeri interi positivi e negativi, e sono 3 numeri consecutivi. Anche le soluzioni sono numeri XY a 2 bit che iniziano a 00 e finiscono a 99 ed è 102 = 10x10 e conta 1 secolo = 100 anni.
Considera le soluzioni quando n = 3. Allora Z3 = X3 + Y3 sono soluzioni dell'equazione (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3.
Numeri a 3 bit XYZ inizia da 000 e termina con 999 ed è 103 = 10x10x10 = 1000 anni = 10 secoli
Da 1000 cubi della stessa dimensione e colore, puoi creare un rubik di circa 10. Considera un rubik dell'ordine +103=+1000 - rosso e -103=-1000 - blu. Sono costituiti da 103 = 1000 cubi. Se scomponiamo e mettiamo i cubi in fila o uno sopra l'altro, senza spazi vuoti, otteniamo un segmento orizzontale o verticale di lunghezza 2000. Rubik è un cubo grande, ricoperto di piccoli cubi, a partire dalla dimensione 1butto = 10st. -21, e non puoi aggiungere o sottrarre un cubo.
- (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
- (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
- (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
Ogni numero intero è 1. Aggiungi 1 (uno) 9 + 9 = 18, 10 + 9 = 19, 10 + 10 = 20, 11 + 10 = 21 e i prodotti:
111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321.
0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
Queste operazioni possono essere eseguite su calcolatrici a 20 bit.
È noto che +(n3 - n) è sempre divisibile per +6 e - (n3 - n) è divisibile per -6. Sappiamo che n3 - n = (n-1)n(n+1). Si tratta di 3 numeri consecutivi (n-1)n(n+1), dove n è pari, quindi divisibile per 2, (n-1) e (n+1) dispari, divisibile per 3. Quindi (n-1) n(n+1) è sempre divisibile per 6. Se n=0, allora (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, allora (n-1) n(n+1)=(19)(20)(21).
Sappiamo che 19 x 19 = 361. Ciò significa che un quadrato è circondato da 360 quadrati, e quindi un cubo è circondato da 360 cubi. L'uguaglianza è soddisfatta: 6 n - 1 + 6n. Se n=60, allora 360 - 1 + 360, e n=61, allora 366 - 1 + 366.
Le seguenti generalizzazioni derivano dalle affermazioni di cui sopra:
n5 - 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1)n(n +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
(n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3 )…3210
n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! =n! (n+1).
0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n +1)2.
Se 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
= 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
Qualsiasi numero intero n è una potenza di 10, ha: – n e +n, +1/ n e -1/ n, pari e dispari:
- (n + n +…+ n) = -n2; – (nxnx…xn) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
+ (n + n +…+ n) =+n2; + (nxnx…xn) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
È chiaro che se un numero intero viene aggiunto a se stesso, aumenterà di 2 volte e il prodotto sarà un quadrato: X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = axa = a2. Questo era considerato il teorema di Vieta: un errore!
Se aggiungiamo e sottraiamo il numero b al numero dato, la somma non cambia, ma cambia il prodotto, ad esempio:
X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2.
X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) \u003d a2- b.
X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2.
X = a + √b i, Y = a - √bi, X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
Se mettiamo numeri interi invece di lettere aeb, otteniamo paradossi, assurdità e sfiducia nella matematica.
