L'ultima volta abbiamo imparato ad addizionare e sottrarre frazioni (vedi la lezione "Addizione e sottrazione di frazioni"). Il momento più difficile in quelle azioni è stato portare le frazioni a un denominatore comune.
Ora è il momento di affrontare la moltiplicazione e la divisione. La buona notizia è che queste operazioni sono ancora più facili dell'addizione e della sottrazione. Per cominciare, considera il caso più semplice, quando ci sono due frazioni positive senza una parte intera distinta.
Per moltiplicare due frazioni, devi moltiplicare separatamente i loro numeratori e denominatori. Il primo numero sarà il numeratore della nuova frazione e il secondo sarà il denominatore.
Per dividere due frazioni, devi moltiplicare la prima frazione per la seconda "invertita".
Designazione:
Dalla definizione segue che la divisione delle frazioni si riduce a moltiplicazione. Per capovolgere una frazione, basta scambiare numeratore e denominatore. Pertanto, l'intera lezione considereremo principalmente la moltiplicazione.
Come risultato della moltiplicazione, può sorgere una frazione ridotta (e spesso si presenta) - ovviamente, deve essere ridotta. Se, dopo tutte le riduzioni, la frazione si è rivelata errata, l'intera parte dovrebbe essere distinta in essa. Ma quello che sicuramente non accadrà con la moltiplicazione è la riduzione a un denominatore comune: niente metodi trasversali, fattori massimi e multipli minimi comuni.
Per definizione abbiamo:
Moltiplicazione di frazioni con parte intera e frazioni negative
Se c'è una parte intera nelle frazioni, devono essere convertite in improprie e solo allora moltiplicate secondo gli schemi sopra delineati.
Se c'è un meno al numeratore di una frazione, al denominatore o davanti ad essa, può essere tolto dai limiti di moltiplicazione o rimosso del tutto secondo le seguenti regole:
- Più volte meno dà meno;
- Due negativi fanno un affermativo.
Finora, queste regole si incontravano solo quando si sommavano e si sottrae frazioni negative, quando era necessario eliminare l'intera parte. Per un prodotto, possono essere generalizzati per "bruciare" diversi svantaggi contemporaneamente:
- Cancelliamo gli svantaggi in coppia fino a quando non scompaiono completamente. In un caso estremo, un meno può sopravvivere: quello che non ha trovato una corrispondenza;
- Se non sono rimasti meno, l'operazione è completata: puoi iniziare a moltiplicare. Se l'ultimo meno non è barrato, poiché non ha trovato una coppia, lo togliamo dai limiti della moltiplicazione. Ottieni una frazione negativa.
Un compito. Trova il valore dell'espressione:
Traduciamo tutte le frazioni in quelle improprie, quindi eliminiamo gli aspetti negativi al di fuori dei limiti della moltiplicazione. Ciò che resta si moltiplica secondo le regole abituali. Noi abbiamo:
Lascia che ti ricordi ancora una volta che il meno che precede una frazione con una parte intera evidenziata si riferisce specificamente all'intera frazione e non solo alla sua parte intera (questo vale per gli ultimi due esempi).
Fai attenzione anche ai numeri negativi: moltiplicati, vengono racchiusi tra parentesi. Questo viene fatto per separare i meno dai segni di moltiplicazione e rendere l'intera notazione più accurata.
Ridurre le frazioni al volo
La moltiplicazione è un'operazione molto laboriosa. I numeri qui sono piuttosto grandi e, per semplificare il compito, puoi provare a ridurre ulteriormente la frazione prima della moltiplicazione. Infatti, in sostanza, i numeratori ei denominatori delle frazioni sono fattori ordinari e, quindi, possono essere ridotti utilizzando la proprietà di base di una frazione. Dai un'occhiata agli esempi:
Un compito. Trova il valore dell'espressione:
Per definizione abbiamo:
In tutti gli esempi, i numeri che sono stati ridotti e ciò che ne rimane sono contrassegnati in rosso.
Nota: nel primo caso i moltiplicatori sono stati ridotti completamente. Le unità sono rimaste al loro posto, cosa che, in generale, può essere omessa. Nel secondo esempio non è stato possibile ottenere una riduzione completa, ma l'importo totale dei calcoli è comunque diminuito.
Tuttavia, in nessun caso non utilizzare questa tecnica per aggiungere e sottrarre frazioni! Sì, a volte ci sono numeri simili che vuoi semplicemente ridurre. Ecco, guarda:
Non puoi farlo!
L'errore si verifica perché quando si aggiunge una frazione, la somma appare nel numeratore di una frazione e non nel prodotto dei numeri. Pertanto, è impossibile applicare la proprietà principale di una frazione, poiché questa proprietà si occupa specificamente della moltiplicazione dei numeri.
Semplicemente non c'è altro motivo per ridurre le frazioni, quindi la soluzione corretta al problema precedente si presenta così:
La decisione giusta:
Come puoi vedere, la risposta corretta si è rivelata non così bella. In generale, fai attenzione.
Con le frazioni, puoi eseguire tutte le azioni, inclusa la divisione. Questo articolo mostra la divisione delle frazioni ordinarie. Verranno fornite definizioni, verranno presi in considerazione esempi. Soffermiamoci sulla divisione delle frazioni per numeri naturali e viceversa. Si terrà conto della divisione di una frazione ordinaria per un numero misto.
Divisione delle frazioni ordinarie
La divisione è l'inverso della moltiplicazione. Quando si divide, l'incognita è al prodotto noto e un altro fattore, in cui il significato dato è conservato con frazioni ordinarie.
Se è necessario dividere la frazione ordinaria a b per c d, allora per determinare tale numero è necessario moltiplicare per il divisore c d, questo alla fine darà il dividendo a b. Prendiamo un numero e scriviamolo a b · d c , dove d c è il reciproco di c d numero. Le uguaglianze possono essere scritte usando le proprietà della moltiplicazione, ovvero: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , dove l'espressione a b d c è il quoziente della divisione di a b per c d .
Da qui otteniamo e formuliamo la regola per la divisione delle frazioni ordinarie:
Definizione 1
Per dividere una frazione ordinaria a b per c d, è necessario moltiplicare il dividendo per il reciproco del divisore.
Scriviamo la regola come un'espressione: a b: c d = a b d c
Le regole di divisione si riducono a moltiplicazione. Per attenersi ad esso, devi essere esperto nell'esecuzione della moltiplicazione di frazioni ordinarie.
Passiamo alla divisione delle frazioni ordinarie.
Esempio 1
Eseguire la divisione 9 7 per 5 3 . Scrivi il risultato come frazione.
Soluzione
Il numero 5 3 è il reciproco di 3 5 . Devi usare la regola per dividere le frazioni ordinarie. Scriviamo questa espressione come segue: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.
Risposta: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Quando riduci le frazioni, dovresti evidenziare l'intera parte se il numeratore è maggiore del denominatore.
Esempio 2
Dividi 8 15: 24 65 . Scrivi la risposta come una frazione.
Soluzione
La soluzione è passare dalla divisione alla moltiplicazione. Lo scriviamo in questa forma: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
È necessario effettuare una riduzione e questo viene fatto come segue: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9
Selezioniamo la parte intera e otteniamo 13 9 = 1 4 9 .
Risposta: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Divisione di una frazione straordinaria per un numero naturale
Usiamo la regola di dividere una frazione per un numero naturale: per dividere a b per un numero naturale n, devi moltiplicare solo il denominatore per n. Da qui otteniamo l'espressione: a b: n = a b · n .
La regola di divisione è una conseguenza della regola di moltiplicazione. Pertanto, rappresentare un numero naturale come frazione darà un'uguaglianza di questo tipo: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.
Considera questa divisione di una frazione per un numero.
Esempio 3
Dividi la frazione 1645 per il numero 12.
Soluzione
Applica la regola per dividere una frazione per un numero. Otteniamo un'espressione come 16 45: 12 = 16 45 12 .
Riduciamo la frazione. Otteniamo 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .
Risposta: 16 45: 12 = 4 135 .
Divisione di un numero naturale per una frazione comune
La regola di divisione è simile di la regola di dividere un numero naturale per una frazione ordinaria: per dividere un numero naturale n per un ordinario a b occorre moltiplicare il numero n per il reciproco della frazione a b .
Sulla base della regola, abbiamo n: a b \u003d n b a, e grazie alla regola di moltiplicare un numero naturale per una frazione ordinaria, otteniamo la nostra espressione nella forma n: a b \u003d n b a. È necessario considerare questa divisione con un esempio.
Esempio 4
Dividi 25 per 15 28 .
Soluzione
Dobbiamo passare dalla divisione alla moltiplicazione. Scriviamo sotto forma di un'espressione 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Riduciamo la frazione e otteniamo il risultato sotto forma di frazione 46 2 3 .
Risposta: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Divisione di una frazione comune per un numero misto
Quando dividi una frazione ordinaria per un numero misto, puoi facilmente brillare dividendo le frazioni ordinarie. Devi convertire un numero misto in una frazione impropria.
Esempio 5
Dividi la frazione 35 16 per 3 1 8 .
Soluzione
Poiché 3 1 8 è un numero misto, rappresentiamolo come una frazione impropria. Quindi otteniamo 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Ora dividiamo le frazioni. Otteniamo 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Risposta: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
La divisione di un numero misto viene eseguita allo stesso modo dei numeri ordinari.
Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio
I numeri frazionari ordinari incontrano prima gli scolari della quinta elementare e li accompagnano per tutta la vita, poiché nella vita di tutti i giorni è spesso necessario considerare o utilizzare qualche oggetto non interamente, ma in pezzi separati. L'inizio dello studio di questo argomento - condividi. Le azioni sono parti uguali in cui è suddiviso un oggetto. Del resto, non è sempre possibile esprimere, ad esempio, la lunghezza o il prezzo di un prodotto come un numero intero, bisogna tenere conto di parti o quote di qualsiasi misura. Formato dal verbo "schiacciare" - dividere in parti e avendo radici arabe, nell'VIII secolo la stessa parola "frazione" apparve in russo.
In contatto con
Le espressioni frazionarie sono state a lungo considerate la sezione più difficile della matematica. Nel XVII secolo, quando apparvero i primi libri di testo di matematica, furono chiamati "numeri spezzati", cosa molto difficile da mostrare alla comprensione delle persone.
La forma moderna dei residui frazionari semplici, parti dei quali sono separate precisamente da una linea orizzontale, fu promossa per la prima volta da Fibonacci - Leonardo di Pisa. I suoi scritti sono datati 1202. Ma lo scopo di questo articolo è spiegare in modo semplice e chiaro al lettore come avviene la moltiplicazione di frazioni miste con denominatori diversi.
Moltiplicare frazioni con denominatori diversi
Inizialmente, è necessario determinare varietà di frazioni:
- corretta;
- sbagliato;
- misto.
Successivamente, è necessario ricordare come vengono moltiplicati i numeri frazionari con gli stessi denominatori. La regola stessa di questo processo è facile da formulare indipendentemente: il risultato della moltiplicazione di frazioni semplici con gli stessi denominatori è un'espressione frazionaria, il cui numeratore è il prodotto dei numeratori e il denominatore è il prodotto dei denominatori di queste frazioni . Cioè, infatti, il nuovo denominatore è inizialmente il quadrato di uno di quelli esistenti.
Quando si moltiplica frazioni semplici con denominatori diversi per due o più fattori, la regola non cambia:
un/b * c/d = corrente alternata / b*d.
L'unica differenza è che il numero formato sotto la barra frazionaria sarà il prodotto di numeri diversi e, naturalmente, non può essere chiamato il quadrato di un'espressione numerica.
Vale la pena considerare la moltiplicazione di frazioni con denominatori diversi usando esempi:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Gli esempi utilizzano metodi per ridurre le espressioni frazionarie. Puoi ridurre solo i numeri del numeratore con i numeri del denominatore; i fattori adiacenti sopra o sotto la barra frazionaria non possono essere ridotti.
Insieme ai numeri frazionari semplici, c'è il concetto di frazioni miste. Un numero misto è costituito da un numero intero e da una parte frazionaria, ovvero è la somma di questi numeri:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Come funziona la moltiplicazione?
Vengono forniti diversi esempi per la considerazione.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
L'esempio utilizza la moltiplicazione di un numero per parte frazionaria ordinaria, puoi scrivere la regola per questa azione con la formula:
un* b/c = a*b /c.
In effetti, un tale prodotto è la somma di resti frazionari identici e il numero di termini indica questo numero naturale. Caso speciale:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
C'è un'altra opzione per risolvere la moltiplicazione di un numero per un resto frazionario. Devi solo dividere il denominatore per questo numero:
d* e/f = e/f: d.
È utile utilizzare questa tecnica quando il denominatore è diviso per un numero naturale senza resto o, come si suol dire, completamente.
Converti i numeri misti in frazioni improprie e ottieni il prodotto nel modo precedentemente descritto:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Questo esempio implica un modo per rappresentare una frazione mista come una frazione impropria, può anche essere rappresentato come una formula generale:
un bc = a*b+ c / c, dove il denominatore della nuova frazione è formato moltiplicando la parte intera per il denominatore e sommandola al numeratore del resto frazionario originale, e il denominatore rimane lo stesso.
Questo processo funziona anche al contrario. Per selezionare la parte intera e il resto frazionario, è necessario dividere il numeratore di una frazione impropria per il suo denominatore con un "angolo".
Moltiplicazione delle frazioni improprie prodotto nel solito modo. Quando la voce va sotto una singola linea frazionaria, se necessario, è necessario ridurre le frazioni per ridurre i numeri utilizzando questo metodo ed è più facile calcolare il risultato.
Ci sono molti assistenti su Internet per risolvere problemi matematici anche complessi in varie varianti di programma. Un numero sufficiente di tali servizi offre il proprio aiuto nel calcolo della moltiplicazione di frazioni con numeri diversi ai denominatori, i cosiddetti calcolatori online per il calcolo delle frazioni. Sono in grado non solo di moltiplicare, ma anche di eseguire tutte le altre semplici operazioni aritmetiche con frazioni ordinarie e numeri misti. Non è difficile lavorarci, i campi corrispondenti vengono compilati nella pagina del sito, viene selezionato il segno dell'azione matematica e viene premuto "calcola". Il programma conta automaticamente.
Il tema delle operazioni aritmetiche con i numeri frazionari è rilevante in tutta l'istruzione degli scolari medi e superiori. Al liceo, non considerano più le specie più semplici, ma espressioni frazionarie intere, ma la conoscenza delle regole di trasformazione e calcolo, ottenuta in precedenza, viene applicata nella sua forma originale. Una conoscenza di base ben appresa dà piena fiducia nella soluzione di successo dei compiti più complessi.
In conclusione, ha senso citare le parole di Lev Tolstoj, che scrisse: «L'uomo è una frazione. Non è in potere dell'uomo aumentare il suo numeratore - i propri meriti, ma chiunque può diminuire il suo denominatore - la sua opinione di sé, e con questa diminuzione avvicinarsi alla sua perfezione.
1. Per dividere la prima frazione per la seconda, devi moltiplicare il dividendo per un numero inverso al divisore.
Per le frazioni proprie e improprie, la regola di divisione è la seguente:
Per dividere una frazione, moltiplicare il numeratore del dividendo per il denominatore del divisore e moltiplicare il denominatore del dividendo per il numeratore del divisore. Prendiamo il primo prodotto come numeratore e il secondo come denominatore.
Divisione di una frazione per una frazione.
Per dividere una frazione ordinaria di 1 pozzetto per un secondo, diverso da zero, devi:
- moltiplicare il numeratore della 1a frazione per il denominatore della 2a frazione e scrivere il prodotto nel numeratore della frazione risultante;
- Moltiplica il denominatore della 1a frazione per il numeratore della 2a frazione e scrivi il prodotto al denominatore della frazione risultante.
In altre parole, la divisione delle frazioni va in moltiplicazione.
Per dividere una frazione di 1 pozzetto per un secondo, è necessario moltiplicare il dividendo (frazione di 1 pozzetto) per il reciproco del divisore.
Divisione di una frazione per un numero.
Schematicamente, dividendo una frazione per un numero naturale si presenta così:
Per dividere una frazione per un numero naturale, utilizzare il seguente metodo:
Esprimiamo un numero naturale come frazione impropria con numeratore uguale al numero stesso e denominatore uguale a 1.
È la divisione. In questo articolo parleremo divisione delle frazioni ordinarie. In primo luogo, daremo una regola per dividere le frazioni ordinarie e daremo un'occhiata agli esempi di divisione delle frazioni. Successivamente, ci concentreremo sulla divisione di una frazione ordinaria per un numero naturale e un numero per una frazione. Si consideri infine come si effettua la divisione di una frazione ordinaria per un numero misto.
Navigazione della pagina.
Divisione di una frazione comune per una frazione comune
È noto che la divisione è l'inverso della moltiplicazione (vedi il collegamento tra divisione e moltiplicazione). Cioè, la divisione implica la ricerca di un'incognita quando il prodotto e un altro fattore sono noti. Lo stesso senso di divisione si conserva quando si dividono le frazioni ordinarie.
Considera esempi di divisione delle frazioni ordinarie.
Si noti che non dobbiamo dimenticare la riduzione delle frazioni e la selezione della parte intera da una frazione impropria.
Divisione di una frazione comune per un numero naturale
Lo regaliamo subito regola per dividere una frazione per un numero naturale: per dividere la frazione a / b per un numero naturale n, bisogna lasciare lo stesso numeratore e moltiplicare il denominatore per n, cioè .
Questa regola di divisione segue direttamente dalla regola di divisione per le frazioni ordinarie. Infatti, la rappresentazione di un numero naturale come frazione porta alle seguenti uguaglianze 
.
Considera un esempio di divisione di una frazione per un numero.
Esempio.
Dividi la frazione 16/45 per il numero naturale 12.
Soluzione.
Per la regola di dividere una frazione per un numero, abbiamo 
. Facciamo la riduzione: . Questa divisione è completata.
Risposta:
.
Divisione di un numero naturale per una frazione comune
La regola per la divisione delle frazioni è simile regola per dividere un numero naturale per una frazione comune: per dividere un numero naturale n per una frazione ordinaria a / b, occorre moltiplicare il numero n per il reciproco della frazione a / b.
Secondo la regola vocale, , e la regola di moltiplicare un numero naturale per una frazione ordinaria ti consente di riscriverlo nella forma.
Considera un esempio.
Esempio.
Dividi il numero naturale 25 per la frazione 15/28.
Soluzione.
Passiamo dalla divisione alla moltiplicazione, abbiamo 
. Dopo la riduzione e la selezione della parte intera, otteniamo .
Risposta:
.
Divisione di una frazione comune per un numero misto
Divisione di una frazione comune per un numero misto facilmente riducibile alla divisione delle frazioni ordinarie. Per fare questo, è sufficiente
