Qualche anno fa sono stato sorpreso di apprendere che oggi nelle scuole (anche in molte scuole di fisica e matematica), nei circoli, e anche nei casi di “prove”, non insegnano a dividere i polinomi, o polinomi, in una colonna. La cosa divertente è che gli scolari conoscono lo schema di Horner e lo usano per dividere i polinomi. Sembra che si creda che la divisione in una colonna sia troppo difficile per una mente fragile, ma è abbastanza capace di memorizzare una tavoletta che consente la divisione per un polinomio di primo grado. Naturalmente, allo stesso tempo, a nessuno importa che gli scolari capiscano perché è possibile dividere in questo modo. Per colmare una lacuna evidente nell'educazione di questi ragazzi, fornisco qui un metodo per dividere un polinomio per un polinomio per una colonna, che in realtà è abbastanza semplice e consente di dividere in polinomi di grado arbitrario.
Cominciamo con il fatto che per due polinomi e (non dovrebbe essere identicamente uguale a zero) è vero. Se il resto è zero, allora diciamo che è divisibile per senza resto.
E ora diamo un'occhiata agli esempi: è più facile imparare a dividere i polinomi su di essi.
Esempio 1 Dividi per (nota che entrambi i polinomi sono scritti in ordine decrescente). Per prima cosa scriverò cosa dovrebbe accadere e poi darò spiegazioni su come ottenerlo.
In primo luogo, il membro più anziano del dividendo - questo - è diviso per il membro più anziano del divisore, cioè per. Il risultato risultante, che è uguale a , sarà il membro principale del quoziente. Ora moltiplichiamo il divisore per questo polinomio (otteniamo) e sottraiamo il risultato dal dividendo. Il resto lo prendiamo noi. Il termine senior di questo resto, che è di nuovo diviso per il termine senior del divisore, che è uguale, otteniamo, che sarà il secondo membro del quoziente. Il divisore moltiplicato per questo termine viene sottratto dal primo resto. Otteniamo il secondo resto, che è zero. Questo completa il processo di divisione.
È facile verificarlo
In generale, la divisione termina non appena il grado del resto risultante è inferiore (rigorosamente inferiore!) al grado del divisore. Diamo un'occhiata a un altro esempio.
Esempio 2 Dividiamo per.
La divisione è completata perché il grado dell'ultimo resto è minore del grado del divisore (), in altre parole, il termine più alto del resto non è completamente divisibile per il termine più alto del divisore.
Visita medica. In effetti, è facile verificarlo
Dichiarazione
resto privato incompleto.
Commento
Per qualsiasi polinomi $A(x)$ e $B(x)$ (il grado di $B(x)$ è maggiore di 0) ci sono polinomi univoci $Q(x)$ e $R(x)$ dal condizione dell'affermazione.
- Il resto dopo aver diviso il polinomio $x^(4) + 3x^(3) +5$ per $x^(2) + 1$ è $3x + 4$:$x^(4) + 3x^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1)(x^(2) + 1) +3x + 4.$
- Il resto dopo aver diviso il polinomio $x^(4) + 3x^(3) +5$ per $x^(4) + 1$ è $3x^(3) + 4$:$x^(4) + 3x ^( 3) +5 = 1 \cpunto (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4.$
- Il resto dopo aver diviso il polinomio $x^(4) + 3x^(3) +5$ per $x^(6) + 1$ è $x^(4) + 3x^(3) +5$:$x ^( 4) + 3x^(3) +5 = 0 \cdot (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$
Dichiarazione
Per due polinomi qualsiasi $A(x)$ e $B(x)$ (dove il grado del polinomio $B(x)$ è diverso da zero), esiste una rappresentazione polinomiale $A(x)$ nella forma $A(x) = Q (x)B(x) + R(x)$, dove $Q(x)$ e $R(x)$ sono polinomi e il grado di $R(x)$ è minore di il grado di $B(x).$
Prova
Dimostreremo l'asserzione per induzione sul grado del polinomio $A(x).$ Indichiamolo con $n$. Se $n = 0$, l'affermazione è vera: $A(x)$ può essere rappresentata come $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ Ora, si dimostri l'affermazione per polinomi di grado $n \ leqm$. Dimostriamo l'asserzione per polinomi di grado $k= n+1.$
Sia il grado del polinomio $B(x)$ uguale a $m$. Considera tre casi: $k< m$, $k = m$ и $k >m$ e dimostrare l'asserzione per ciascuno di essi.
- $ k< m$
Il polinomio $A(x)$ può essere rappresentato come$A(x) = 0 \cpunto B(x) + A(x).$
L'affermazione è stata fatta.
- $k = m$
Lascia che i polinomi $A(x)$ e $B(x)$ abbiano la forma$A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \dots + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(dove ) \: a_(n+1) \neq 0;$
$B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \dots + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(dove ) \: b_(n+1) \neq 0.$
Rappresentiamo $A(x)$ come
$A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Grande(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) - A(x)\Grande).$
Si noti che il grado del polinomio $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ è al massimo $n+1$, quindi questa rappresentazione è il desiderato e l'affermazione è soddisfatta.
- $ k > m $
Rappresentiamo il polinomio $A(x)$ nella forma$A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (dove) \: a_(n+1) \neq 0.$
Considera il polinomio $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1).$ può essere rappresentato come $A" (x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, dove il grado del polinomio $R"(x)$ è minore di $m$, quindi la rappresentazione per $A(x) $ può essere riscritto come
$A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) .$
Si noti che il grado del polinomio $xR"(x)$ è minore di $m+1$, cioè minore di $k$. Allora $xR"(x)$ soddisfa l'ipotesi induttiva e può essere rappresentato come $ xR "(x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, dove il grado del polinomio $R""(x)$ è minore di $m$. Riscrivi la rappresentazione per $ A(x)$ come
$A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$
$= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$
Il grado del polinomio $R""(x) + a_(0)$ è minore di $m$, quindi l'affermazione è vera.
L'affermazione è stata provata.
In questo caso viene chiamato il polinomio $R(x)$ resto dalla divisione di $A(x)$ per $B(x)$ e $Q(x)$ - privato incompleto.
Se il resto di $R(x)$ è un polinomio zero, allora $A(x)$ si dice divisibile per $B(x)$.
Ricordiamo che dividere un numero naturale a per un numero naturale b significa rappresentare il numero a nella forma:
dove il quoziente c e il resto r sono interi non negativi e il resto r soddisfa la disuguaglianza:
Se dividiamo i polinomi tra loro, si verifica una situazione simile.
Infatti, quando si eseguono operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione su polinomi, il risultato sarà sempre un polinomio. In particolare, moltiplicando due polinomi diversi da zero, il grado del prodotto sarà uguale alla somma dei gradi dei fattori.
Tuttavia, di conseguenza divisione dei polinomi il polinomio non si ottiene sempre.
Dicono che un polinomio è completamente (senza resto) divisibile per un altro polinomio se il risultato della divisione è un polinomio.
Se un polinomio non è divisibile per un altro polinomio, allora sempre può essere fatto divisione di polinomi con resto, per cui sia il quoziente che il resto saranno polinomi.
Definizione. Dividi il polinomio un(X) ad un polinomio b(X) con il resto- significa rappresentare un polinomio un(X) come
un(X) = b(X) c(X) + r(X) ,
dove è il polinomio c(X) è un quoziente e il polinomio r(X) è il resto, e il grado del resto soddisfa la disuguaglianza:
È importante notare che la formula
un(X) = b(X) c(X) + r(X)
è identità , cioè. uguaglianza valida per tutti i valori della variabile x .
Dividendo (con o senza resto) un polinomio per un polinomio di grado minore nel quoziente, si ottiene un polinomio il cui grado è uguale alla differenza tra i gradi del dividendo e del divisore.
Un modo per dividere i polinomi con un resto è divisione dei polinomi per "angolo", che è un'analogia completa con come accade quando si dividono numeri interi.
Passiamo ora alla descrizione di questo metodo di divisione dei polinomi.
Esempio. Avendo precedentemente disposto i polinomi in potenze decrescenti della variabile, dividiamo il polinomio
2X 4 - X 3 + 5X 2 - 8X + 1
ad un polinomio
X 2 - X + 1 .
Soluzione. Descriviamo l'algoritmo per dividere i polinomi per un "angolo" in passaggi:
- Dividere il primo termine del dividendo 2X 4 al primo mandato del divisore X 2. Noi abbiamo primo membro del privato 2X 2 .
- Moltiplicare primo membro del privato 2X 2 su divisore X 2 - X+ 1 e il risultato della moltiplicazione
- Sottraiamo dal dividendo il polinomio scritto sotto di esso. Noi abbiamo primo resto
- Dividere il primo termine del resto X 3 al primo mandato del divisore X 2. Noi abbiamo secondo membro del privato X .
- Moltiplicare secondo membro del privato x acceso divisore X 2 - X + 1 , e il risultato della moltiplicazione
- Sottrarre dal primo resto il polinomio scritto sotto di esso. Noi abbiamo secondo resto
- Dividere primo termine di secondo resto 4X 2 su primo termine divisore X 2. Noi abbiamo terzo membro del privato 4 .
- Moltiplicare terzo membro del privato 4 in poi divisore X 2 - X + 1 , e il risultato della moltiplicazione
2X 4 - 2X 3 + 2X 2
scrivi sotto divisibile 2X 4 - X 3 + 5X 2 - 8X + 1 .
X 3 + 3X 2 - 8X .
Se questo resto fosse uguale a zero, o fosse un polinomio il cui grado è minore del grado del divisore (in questo caso minore di 2), allora il processo di divisione sarebbe completato. Tuttavia, questo non è il caso e la divisione continua.
X 3 - X 2 +X
scrivi sotto il primo X 3 + 3X 2 - 8X .
4X 2 - 9X + 1 .
Se questo resto fosse uguale a zero, o se fosse un polinomio il cui grado è minore del grado del divisore, allora il processo di divisione sarebbe completato. Tuttavia, questo non è il caso e la divisione continua.
Cominciamo con alcune definizioni. Un'espressione nella forma $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x ^(n)+a_(1)x^ (n-1)+a_(2)x^(n-2)+\lpunti+a_(n-1)x+a_n$. Ad esempio, l'espressione $4x^(14)+87x^2+4x-11$ è un polinomio il cui grado è $14$. Può essere indicato come segue: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.
Il coefficiente $a_0$ è detto coefficiente direttivo del polinomio $P_n(x)$. Ad esempio, per il polinomio $4x^(14)+87x^2+4x-11$, il coefficiente principale è $4$ (il numero prima di $x^(14)$). Il numero $a_n$ è chiamato membro libero del polinomio $P_n(x)$. Ad esempio, per $4x^(14)+87x^2+4x-11$ l'intercetta è $(-11)$. Passiamo ora al teorema, su cui, appunto, si baserà la presentazione del materiale in questa pagina.
Per due polinomi qualsiasi $P_n(x)$ e $G_m(x)$ si possono trovare i polinomi $Q_p(x)$ e $R_k(x)$ tali che l'uguaglianza
\begin(equazione) P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end(equazione)
e $ k< m$.
La frase "dividi il polinomio $P_n(x)$ per il polinomio $G_m(x)$" significa "rappresenta il polinomio $P_n(x)$ nella forma (1)". Chiameremo il polinomio $P_n(x)$ divisibile, il polinomio $G_m(x)$ il divisore, il polinomio $Q_p(x)$ il quoziente di $P_n(x)$ diviso per $G_m(x)$, e il polinomio $ R_k(x)$ - resto dopo aver diviso $P_n(x)$ per $G_m(x)$. Ad esempio, per i polinomi $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ e $G_4(x)=3x^4+4x^2+ 2 $ puoi ottenere questa uguaglianza:
$$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$
Qui il polinomio $P_6(x)$ è divisibile, il polinomio $G_4(x)$ è un divisore, il polinomio $Q_2(x)=4x^2+x$ è il quoziente di $P_6(x)$ diviso per $G_4(x) $, e il polinomio $R_3(x)=2x^3+1$ è il resto dopo aver diviso $P_6(x)$ per $G_4(x)$. Noto che il grado del resto (cioè 3) è inferiore al grado del divisore (cioè 4), quindi la condizione di uguaglianza è soddisfatta.
Se $R_k(x)\equiv 0$, allora il polinomio $P_n(x)$ si dice divisibile per il polinomio $G_m(x)$ senza resto. Ad esempio, il polinomio $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ è divisibile per il polinomio $3x^4+15$ senza resto, poiché vale l'uguaglianza:
$$ 21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$
Qui il polinomio $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ è divisibile; polinomio $G_4(x)=3x^4+15$ - divisore; e il polinomio $Q_2(x)=7x^2+2x$ è il quoziente di $P_6(x)$ diviso per $G_4(x)$. Il resto è zero.
Per dividere un polinomio in un polinomio, si usa spesso la divisione per una "colonna" o, come viene anche chiamata, "angolo". Analizzeremo l'implementazione di questo metodo con esempi.
Prima di passare agli esempi, introdurrò un altro termine. Lui non è generalmente accettato, e lo utilizzeremo esclusivamente per la comodità di presentare il materiale. Fino alla fine di questa pagina, chiameremo l'elemento principale del polinomio $P_n(x)$ l'espressione $a_(0)x^(n)$. Ad esempio, per il polinomio $4x^(14)+87x^2+4x-11$ l'elemento iniziale è $4x^(14)$.
Esempio 1
Dividi $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ per $5x^2-x+2$ usando la divisione "colonna".
Quindi abbiamo due polinomi, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ e $G_2(x)=5x^2-x+2$. Il grado del primo è $5$ e il grado del secondo è $2$. Il polinomio $P_5(x)$ è il dividendo e il polinomio $G_2(x)$ è il divisore. Il nostro compito è trovare il quoziente e il resto. Il problema verrà risolto passo dopo passo. Useremo la stessa notazione usata per dividere i numeri:
Primo passo
Dividi l'elemento più alto del polinomio $P_5(x)$ (cioè $10x^5$) per l'elemento più alto del polinomio $Q_2(x)$ (cioè $5x^2$):
$$ \frac(10x^5)(5x^2)=2x^(5-2)=2x^3. $$
L'espressione risultante $2x^3$ è il primo elemento del quoziente:
Moltiplica il polinomio $5x^2-x+2$ per $2x^3$ per ottenere:
$$ 2x^3\cpunto (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$
Scriviamo il risultato:
Ora sottrai il polinomio $10x^5-2x^4+4x^3$ dal polinomio $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+ 5 $$
Qui finisce il primo passo. Il risultato che abbiamo ottenuto può essere scritto in forma espansa:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x +5 $ $
Poiché il grado del polinomio $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (cioè 4) è maggiore del grado del polinomio $5x^2-x+2$ (cioè 2), il la divisione del processo deve essere continuata. Passiamo al secondo passaggio.
Secondo passo
Ora lavoreremo con i polinomi $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ e $5x^2-x+2$. Allo stesso modo del primo passaggio, dividiamo l'elemento principale del primo polinomio (cioè $5x^4$) per l'elemento principale del secondo polinomio (cioè $5x^2$):
$$ \frac(5x^4)(5x^2)=x^(4-2)=x^2. $$
L'espressione risultante $x^2$ è il secondo elemento del quoziente. Aggiungi al quoziente $x^2$
Moltiplica il polinomio $5x^2-x+2$ per $x^2$ per ottenere:
$$ x^2\cpunto (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$
Scriviamo il risultato:
Ora sottrai il polinomio $5x^4-x^3+2x^2$ dal polinomio $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$:
$$ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$
Aggiungiamo questo polinomio già sotto la riga:
Qui finisce il secondo passaggio. Il risultato ottenuto può essere scritto in forma espansa:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2 -2x+5 $$
Poiché il grado del polinomio $-15x^3+23x^2-2x+5$ (cioè 3) è maggiore del grado del polinomio $5x^2-x+2$ (cioè 2), continuiamo la divisione processi. Passiamo al terzo passaggio.
Terzo passo
Ora lavoreremo con i polinomi $-15x^3+23x^2-2x+5$ e $5x^2-x+2$. Allo stesso modo dei passaggi precedenti, dividiamo l'elemento principale del primo polinomio (cioè $-15x^3$) per l'elemento principale del secondo polinomio (cioè $5x^2$):
$$ \frac(-15x^3)(5x^2)=-3x^(2-1)=-3x^1=-3x. $$
L'espressione risultante $(-3x)$ è il terzo elemento del quoziente. Aggiungiamo al quoziente $-3x$
Moltiplica il polinomio $5x^2-x+2$ per $(-3x)$ per ottenere:
$$ -3x\cpunto (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$
Scriviamo il risultato:
Ora sottrai il polinomio $-15x^3+3x^2-6x$ dal polinomio $-15x^3+23x^2-2x+5$:
$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$
Aggiungiamo questo polinomio già sotto la riga:
Qui finisce il terzo passaggio. Il risultato ottenuto può essere scritto in forma espansa:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x +5 $ $
Poiché il grado del polinomio $20x^2+4x+5$ (cioè 2) è uguale al grado del polinomio $5x^2-x+2$ (cioè 2), continuiamo il processo di divisione. Passiamo al quarto passaggio.
Quarto passo
Ora lavoreremo con i polinomi $20x^2+4x+5$ e $5x^2-x+2$. Allo stesso modo dei passaggi precedenti, dividiamo l'elemento principale del primo polinomio (cioè $20x^2$) per l'elemento principale del secondo polinomio (cioè $5x^2$):
$$ \frac(20x^2)(5x^2)=4x^(2-2)=4x^0=4. $$
Il numero risultante $4$ è il quarto elemento del quoziente. Aggiungiamo al quoziente $4$
Moltiplica il polinomio $5x^2-x+2$ per $4$ per ottenere:
$$ 4\cpunto (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $$
Scriviamo il risultato:
Ora sottraiamo il polinomio $20x^2-4x+8$ dal polinomio $20x^2+4x+5$.
Che sia richiesto
(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1).
Qui vengono forniti il prodotto (2x 3 - 7x 2 + x + 1) e un fattore (2x - 1), - è necessario trovare un altro fattore. In questo esempio, è immediatamente chiaro (ma questo non può essere stabilito in generale) che anche l'altro fattore, desiderato, o quoziente, è un polinomio. Questo è chiaro perché questo prodotto ha 4 termini e questo moltiplicatore è solo 2. Tuttavia, è impossibile dire in anticipo quanti termini ha il moltiplicatore desiderato: possono esserci 2 termini, 3 termini, ecc. Ricordando che il termine più alto del prodotto risulta sempre moltiplicando il termine più alto di un fattore per il termine più alto di un altro (vedi moltiplicazione di un polinomio per un polinomio) e che non possono esserci termini come questo, siamo sicuri che 2x 3 (il termine più alto di questo prodotto) deriverà dalla moltiplicazione di 2x (il termine più alto di questo fattore) per il termine principale sconosciuto del moltiplicatore cercato. Per trovare l'ultimo, quindi, dobbiamo dividere 2x 3 per 2x - otteniamo x 2 . Questo è il membro più anziano del privato.
Ricordiamo quindi che quando si moltiplica un polinomio per un polinomio, ogni termine di un polinomio deve essere moltiplicato per ogni termine dell'altro. Pertanto, questo prodotto (2x 3 - 7x 2 + x + 1) è il prodotto del divisore (2x - 1) e di tutti i termini del quoziente. Ma ora possiamo trovare il prodotto del divisore per il primo (più alto) membro del quoziente, cioè (2x - 1) ∙ x 2; otteniamo 2x 3 - x 2 . Conoscendo il prodotto del divisore per tutti i termini del quoziente (it = 2x 3 - 7x 2 + x + 1) e conoscendo il prodotto del divisore per il 1° termine del quoziente (it = 2x 3 - x 2), per sottraendo possiamo trovare il prodotto del divisore per tutti gli altri, tranne il 1°, membri del privato. Ottenere
(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.
Il termine più alto (–6x 2) di questo prodotto rimanente deve essere il prodotto del termine più alto del divisore (2x) e del termine più alto del resto (tranne il 1° termine) del quoziente. Da qui troviamo il termine senior del quoziente residuo. Abbiamo bisogno di –6x 2 ÷ 2x, otteniamo –3x. Questo è il secondo termine del quoziente desiderato. Possiamo ancora trovare il prodotto del divisore (2x - 1) e del secondo termine quoziente appena trovato, cioè -3x.
Otteniamo (2x - 1) ∙ (-3x) \u003d -6x 2 + 3x. Da questo intero prodotto abbiamo già sottratto il prodotto del divisore per il 1° termine del quoziente e ottenuto il resto -6x 2 + x + 1, che è il prodotto del divisore per il resto, ad eccezione del 1°, termini del quoziente. Sottraendo ad esso il prodotto appena trovato -6x 2 + 3x, otteniamo il resto, che è il prodotto del divisore per tutti gli altri, tranne il 1° e il 2°, membri del quoziente:
-6x 2 + x + 1 - (-6x 2 + 3x) = -6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x = -2x + 1.
Dividendo il termine senior di questo prodotto rimanente (–2x) per il termine senior del divisore (2x), otteniamo il termine senior del resto del quoziente, o il suo terzo termine, (–2x) ÷ 2x = –1, questo è il 3° termine del quoziente.
Moltiplicando il divisore per esso, otteniamo
(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.
Sottraendo questo prodotto del divisore per il 3° termine del quoziente dall'intero prodotto rimasto fino a quel momento, cioè
(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,
vedremo che nel nostro esempio il prodotto è diviso nel resto, fatta eccezione per il 1°, 2° e 3°, membri del quoziente = 0, da cui deduciamo che il quoziente non ha più membri, cioè
(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) = x 2 - 3x - 1.
Dal precedente vediamo: 1) è conveniente disporre i termini del dividendo e del divisore in poteri discendenti, 2) è necessario stabilire una sorta di ordine per eseguire i calcoli. Un ordine così conveniente può essere considerato quello utilizzato in aritmetica quando si dividono numeri multivalore. Di seguito, disponiamo tutti i calcoli precedenti come segue (più brevi spiegazioni sono fornite a lato):
Quelle sottrazioni che sono necessarie qui vengono eseguite cambiando i segni dei termini del sottraendo e questi segni variabili sono scritti sopra.
Sì, è scritto
Ciò significa: il sottraendo era 2x 3 - x 2 e, dopo aver cambiato i segni, abbiamo ottenuto -2x 3 + x 2.
A causa della disposizione accettata dei calcoli, per il fatto che i termini del dividendo e del divisore sono disposti in poteri decrescenti, e per il fatto che i gradi della lettera x in entrambi i polinomi scendono ogni volta di 1, ruotava fuori che tali termini sono scritti uno sotto l'altro (ad esempio: –7x 2 e +x 2) perché è facile lanciarli. Si può notare che non tutti i membri del dividendo sono necessari in ogni momento del calcolo. Ad esempio, il termine +1 non è necessario nel momento in cui è stato trovato il 2° termine del quoziente e questa parte del calcolo può essere semplificata.
Altri esempi:
1. (2a 4 - 3ab 3 - b 4 - 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).
Disporre le lettere a in poteri discendenti e il dividendo e il divisore:
(Si noti che qui, a causa dell'assenza di un termine con un 3 nel dividendo, nella prima sottrazione è risultato che termini non simili -a 2 b 2 e -2a 3 b sono firmati l'uno contro l'altro. Naturalmente, essi non possono essere ridotti ad un mandato ed entrambi sono scritti sotto la riga dell'anzianità).
In entrambi gli esempi occorre prestare maggiore attenzione a termini simili: 1) termini non simili risultano spesso scritti l'uno sotto l'altro e 2) talvolta (come, ad esempio, nell'ultimo esempio, i termini -4a n e -a n alla prima sottrazione) termini simili risultano scritti non uno sotto l'altro.
È possibile effettuare la divisione dei polinomi in un ordine diverso, ovvero: cercare ogni volta il termine più basso o l'intero o il quoziente rimanente. Conviene in questo caso disporre questi polinomi in potenze ascendenti di qualche lettera. Per esempio:
