Una riga non è sufficiente qui, devi conoscere formule speciali. L'unica cosa che ci viene richiesta è determinare il diametro o il raggio del cerchio. In alcune attività, queste quantità sono indicate. Ma cosa succede se non abbiamo altro che un disegno? Nessun problema. Diametro e raggio possono essere calcolati utilizzando un normale righello. Ora passiamo al più elementare.
Formule che tutti dovrebbero conoscere
Già quasi 4000 anni fa, gli scienziati hanno scoperto una relazione sorprendente: se dividi la circonferenza di un cerchio per il suo diametro, ottieni lo stesso numero, che è approssimativamente 3,14. Questo valore è stato nominato con questa lettera in Greco antico iniziarono le parole "perimetro" e "circonferenza". Sulla base della scoperta fatta da antichi scienziati, puoi calcolare la lunghezza di qualsiasi cerchio:
Dove P indica la lunghezza (perimetro) del cerchio,
D - diametro, P - numero "Pi".
La circonferenza di un cerchio può essere calcolata anche in termini di raggio (r), che è pari alla metà della lunghezza del diametro. Ecco la seconda formula da ricordare:
Come trovare il diametro di un cerchio?
Rappresenta una corda che passa per il centro della figura. Allo stesso tempo, collega i due punti più distanti del cerchio. Sulla base di ciò, puoi disegnare autonomamente un diametro (raggio) e misurarne la lunghezza con un righello.
Metodo 1: entra triangolo rettangolo nel cerchio
Non sarà difficile calcolare la circonferenza di un cerchio se troviamo il suo diametro. È necessario disegnare in un cerchio in cui l'ipotenusa sarà uguale al diametro del cerchio. Per fare questo, devi avere un righello e un quadrato a portata di mano, altrimenti non funzionerà nulla.
Metodo 2: inserisci qualsiasi triangolo
Sul lato del cerchio, segna tre punti qualsiasi, collegali: otteniamo un triangolo. È importante che il centro del cerchio si trovi nella regione del triangolo, questo può essere fatto a occhio. Disegniamo una mediana su ciascun lato del triangolo, il punto della loro intersezione coinciderà con il centro del cerchio. E quando conosciamo il centro, possiamo facilmente disegnare un diametro usando un righello.
Questo metodo è molto simile al primo, ma può essere utilizzato in assenza di un quadrato o nei casi in cui non è possibile disegnare su una figura, ad esempio su un piatto. È necessario prendere un foglio di carta con angoli retti. Applichiamo il foglio al cerchio in modo che un vertice del suo angolo sia a contatto con il bordo del cerchio. Successivamente, segna con dei punti i punti in cui i lati del foglio si intersecano con la linea del cerchio. Colleghiamo questi punti con una matita e un righello. Se non hai niente a portata di mano, piega semplicemente la carta. Questa linea sarà uguale alla lunghezza del diametro.
Esempio di attività
- Stiamo cercando un diametro usando un quadrato, un righello e una matita secondo il metodo n. 1. Supponiamo che risulti di 5 cm.
- Conoscendo il diametro, possiamo facilmente inserirlo nella nostra formula: P \u003d d P \u003d 5 * 3,14 \u003d 15,7 Nel nostro caso, si è rivelato essere circa 15,7. Ora puoi facilmente spiegare come calcolare la circonferenza di un cerchio senza problemi.
Molti oggetti nel mondo che ci circonda sono rotondi. Si tratta di ruote, aperture rotonde per finestre, tubi, utensili vari e molto altro. Calcola cos'è circonferenza, puoi conoscerne il diametro o il raggio.
Esistono diverse definizioni di questa figura geometrica.
- È una curva chiusa costituita da punti che si trovano alla stessa distanza da un dato punto.
- Questa è una curva composta dai punti A e B, che sono le estremità del segmento, e da tutti i punti da cui A e B sono visibili ad angolo retto. In questo caso, il segmento AB è il diametro.
- Per lo stesso segmento AB, questa curva include tutti i punti C tali che il rapporto AC/BC è costante e non è uguale a 1.
- Si tratta di una curva costituita da punti per i quali vale quanto segue: se si sommano i quadrati delle distanze da un punto a due dati altri punti A e B, si ottiene un numero costante maggiore di 1/2 del segmento che collega A e B. Questa definizione deriva dal teorema di Pitagora.
Nota! Ci sono anche altre definizioni. Un cerchio è un'area all'interno di un cerchio. Il perimetro di un cerchio è la sua lunghezza. Secondo varie definizioni, un cerchio può includere o meno la curva stessa, che è il suo confine.
Definizione di cerchio
Formule
Come calcolare la circonferenza di un cerchio usando il raggio? Questo viene fatto con una semplice formula:
dove L è il valore desiderato,
π è il numero pi, approssimativamente uguale a 3,1413926.
Di solito, per trovare il valore desiderato, è sufficiente utilizzare π fino alla seconda cifra decimale, ovvero 3,14, questo fornirà la precisione desiderata. Sulle calcolatrici, in particolare quelle ingegneristiche, potrebbe essere presente un pulsante che inserisce automaticamente il valore del numero π.
Notazione
Per trovare attraverso il diametro, c'è la seguente formula:
Se L è già noto, puoi facilmente scoprire il raggio o il diametro. Per fare ciò, L deve essere diviso rispettivamente per 2π o π.
Se un cerchio è già dato, devi capire come trovare la circonferenza da questi dati. L'area di un cerchio è S = πR2. Da qui troviamo il raggio: R = √(S/π). Quindi
L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).
Anche calcolare l'area in termini di L è facile: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)
Riassumendo, possiamo dire che ci sono tre formule principali:
- per il raggio – L = 2πR;
- attraverso il diametro - L = πD;
- attraverso l'area di un cerchio – L = 2√(Sπ).
Pi
Senza il numero π, non sarà possibile risolvere il problema in esame. Il numero π è stato trovato per la prima volta come il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro. Questo è stato fatto dagli antichi babilonesi, egizi e indiani. Lo hanno trovato abbastanza accuratamente: i loro risultati differivano dal valore ora noto di π di non più dell'1%. La costante è stata approssimata da frazioni come 25/8, 256/81, 339/108.
Inoltre, il valore di questa costante è stato considerato non solo dal punto di vista della geometria, ma anche dal punto di vista dell'analisi matematica attraverso le somme di serie. La notazione per questa costante con la lettera greca π fu usata per la prima volta da William Jones nel 1706 e divenne popolare dopo il lavoro di Eulero.
È ormai noto che questa costante è un infinito non periodico decimale, è irrazionale, cioè non può essere rappresentato come un rapporto di due numeri interi. Con l'aiuto di calcoli sui supercomputer nel 2011, hanno appreso il segno di 10 trilioni di una costante.
È interessante! Per memorizzare i primi caratteri del numero π sono state inventate varie regole mnemoniche. Alcuni ti consentono di archiviare grande numero numeri, ad esempio, una poesia francese ti aiuterà a ricordare pi greco fino a 126 caratteri.
Se hai bisogno della circonferenza, il calcolatore online ti aiuterà in questo. Esistono molti di questi calcolatori, devono solo inserire il raggio o il diametro. Alcuni hanno entrambe queste opzioni, altri calcolano il risultato solo tramite R. Alcuni calcolatori possono calcolare il valore desiderato con una precisione diversa, è necessario specificare il numero di cifre decimali. Inoltre, utilizzando i calcolatori online, puoi calcolare l'area di un cerchio.
Tali calcolatori sono facili da trovare con qualsiasi motore di ricerca. Ci sono anche applicazioni mobili, che aiuterà a risolvere il problema di come trovare la circonferenza di un cerchio.
Video utile: circonferenza
Uso pratico
Risolvere un problema del genere è spesso necessario per ingegneri e architetti, ma nella vita di tutti i giorni può tornare utile anche la conoscenza delle formule necessarie. Ad esempio, è necessario avvolgere una torta cotta in una forma con un diametro di 20 cm con una striscia di carta, quindi non sarà difficile trovare la lunghezza di questa striscia:
L \u003d πD \u003d 3,14 * 20 \u003d 62,8 cm.
Un altro esempio: devi costruire una recinzione attorno a una piscina circolare a una certa distanza. Se il raggio della piscina è di 10 m e la recinzione deve essere posizionata a una distanza di 3 m, allora R per il cerchio risultante sarà di 13 m, quindi la sua lunghezza è:
L \u003d 2πR \u003d 2 * 3,14 * 13 \u003d 81,68 m.
Video utile: cerchio - raggio, diametro, circonferenza
Risultato
Il perimetro di un cerchio può essere facilmente calcolato da formule semplici, compreso il diametro o il raggio. Puoi anche trovare il valore desiderato attraverso l'area del cerchio. Calcolatrici online o applicazioni mobili aiuteranno a risolvere questo problema, in cui è necessario entrare singolareè il diametro o il raggio.
1. Più difficile da trovare circonferenza attraverso il diametro Diamo prima un'occhiata a questa opzione.
Esempio: Trova la circonferenza di un cerchio il cui diametro è di 6 cm. Usiamo la formula sopra per la circonferenza di un cerchio, ma prima dobbiamo trovare il raggio. Per fare ciò, dividiamo il diametro di 6 cm per 2 e otteniamo il raggio del cerchio di 3 cm.
Dopodiché, tutto è estremamente semplice: moltiplichiamo il numero Pi per 2 e per il raggio risultante di 3 cm.
2 * 3,14 * 3 cm = 6,28 * 3 cm = 18,84 cm.
2. E ora diamo di nuovo un'occhiata all'opzione semplice trova la circonferenza di un cerchio di raggio 5 cm
Soluzione: il raggio di 5 cm viene moltiplicato per 2 e moltiplicato per 3,14. Non allarmarti, perché riorganizzare i fattori non influisce sul risultato e formula della circonferenza può essere applicato in qualsiasi ordine.
5 cm * 2 * 3,14 = 10 cm * 3,14 = 31,4 cm - questa è la circonferenza trovata per un raggio di 5 cm!
Calcolatore di circonferenza online
Il nostro calcolatore di circonferenza eseguirà istantaneamente tutti questi calcoli non complicati e scriverà la soluzione in una riga con commenti. Calcoleremo la circonferenza per un raggio di 3, 5, 6, 8 o 1 cm, oppure il diametro è 4, 10, 15, 20 dm, il nostro calcolatore non si preoccupa di quale valore del raggio trovare la circonferenza.
Tutti i calcoli saranno accurati, testati dai matematici. I risultati possono essere utilizzati per risolvere problemi scolastici in geometria o matematica, nonché per calcoli di lavoro nella costruzione o nella riparazione e decorazione di locali, quando sono richiesti calcoli accurati utilizzando questa formula.
Prima capiamo la differenza tra un cerchio e un cerchio. Per vedere questa differenza, è sufficiente considerare cosa sono entrambe le figure. Questo è un numero infinito di punti nel piano, situati a uguale distanza da un unico punto centrale. Ma se anche il cerchio consiste di spazio interno, allora non appartiene al cerchio. Si scopre che un cerchio è sia un cerchio che lo delimita (o-circle (g)ness), sia un numero innumerevole di punti che si trovano all'interno del cerchio.
Per ogni punto L giacente sulla circonferenza vale l'uguaglianza OL=R. (La lunghezza del segmento OL è uguale al raggio del cerchio).
Un segmento di linea che collega due punti su un cerchio è accordo.
Una corda che passa direttamente per il centro di un cerchio è diametro questo cerchio (D) . Il diametro può essere calcolato utilizzando la formula: D=2R
Circonferenza calcolato dalla formula: C=2\pi R
Area di un cerchio: S=\pi R^(2)
arco di cerchio chiamato quella parte di esso, che si trova tra due dei suoi punti. Questi due punti definiscono due archi di cerchio. L'accordo CD sottende due archi: CMD e CLD. Gli stessi accordi sottendono gli stessi archi.
Angolo centraleè l'angolo tra due raggi.
lunghezza dell'arco può essere trovato utilizzando la formula:
- Usando misura di grado: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Usando una misura in radianti: CD = \alpha R
Il diametro che è perpendicolare alla corda divide in due la corda e gli archi che attraversa.
Se le corde AB e CD della circonferenza si intersecano nel punto N, allora i prodotti dei segmenti delle corde separati dal punto N sono uguali tra loro.
AN\cdot NB = CN \cdot ND
Tangente al cerchio
Tangente a un cerchioÈ consuetudine chiamare una linea retta che ha un punto in comune con un cerchio.
Se una linea ha due punti in comune, viene chiamata secante.
Se disegni un raggio nel punto di contatto, sarà perpendicolare alla tangente al cerchio.
Tracciamo due tangenti da questo punto al nostro cerchio. Si scopre che i segmenti delle tangenti saranno uguali tra loro e il centro del cerchio si troverà sulla bisettrice dell'angolo con il vertice in questo punto.
CA = CB
Ora disegniamo una tangente e una secante al cerchio dal nostro punto. Otteniamo che il quadrato della lunghezza del segmento tangente sarà uguale al prodotto dell'intero segmento secante per la sua parte esterna.
AC^(2) = CD \cdot BC
Possiamo concludere: il prodotto di un segmento intero della prima secante per la sua parte esterna è uguale al prodotto di un segmento intero della seconda secante per la sua parte esterna.
AC \cdot BC = EC \cdot DC
Angoli in un cerchio
Le misure in gradi dell'angolo al centro e dell'arco su cui poggia sono uguali.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Angolo inscrittoè un angolo il cui vertice è su una circonferenza ei cui lati contengono corde.
Puoi calcolarlo conoscendo la dimensione dell'arco, poiché è uguale alla metà di questo arco.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Basato su diametro, angolo inscritto, rettilineo.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Angoli inscritti che poggiano sullo stesso arco sono identici.
Gli angoli inscritti basati sulla stessa corda sono identici o la loro somma è uguale a 180^ (\circ) .
\angolo ADB + \angolo AKB = 180^ (\circ)
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
Sulla stessa circonferenza sono i vertici dei triangoli con angoli identici e una data base.
Un angolo con vertice interno alla circonferenza e posto tra due corde è identico alla metà della somma delle grandezze angolari degli archi di circonferenza interni agli angoli dati e verticali.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Un angolo con un vertice esterno al cerchio e situato tra due secanti è identico alla metà della differenza nelle grandezze angolari degli archi di cerchio che sono all'interno dell'angolo.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Cerchio inscritto
Cerchio inscrittoè un cerchio tangente ai lati del poligono.
Nel punto in cui si intersecano le bisettrici degli angoli del poligono, si trova il suo centro.
Un cerchio non può essere inscritto in ogni poligono.
L'area di un poligono con un cerchio inscritto si trova con la formula:
S=pr,
p è il semiperimetro del poligono,
r è il raggio del cerchio inscritto.
Ne consegue che il raggio della circonferenza inscritta è:
r = \frac(S)(p)
Le somme delle lunghezze dei lati opposti saranno identiche se il cerchio è inscritto in un quadrilatero convesso. E viceversa: un cerchio è inscritto in un quadrilatero convesso se le somme delle lunghezze dei lati opposti in esso sono identiche.
AB+DC=AD+BC
È possibile inscrivere un cerchio in uno qualsiasi dei triangoli. Solo un singolo. Nel punto in cui le bisettrici si intersecano angoli interni figura, sarà il centro di questo cerchio inscritto.
Il raggio del cerchio inscritto è calcolato dalla formula:
r = \frac(S)(p) ,
dove p = \frac(a + b + c)(2)
Cerchio circoscritto
Se un cerchio passa attraverso ogni vertice di un poligono, viene chiamato tale cerchio circoscritto a un poligono.
Il centro del cerchio circoscritto sarà nel punto di intersezione delle bisettrici perpendicolari dei lati di questa figura.
Il raggio può essere trovato calcolandolo come il raggio di un cerchio circoscritto a un triangolo definito da 3 vertici qualsiasi del poligono.
Si verifica la seguente condizione: un cerchio può essere circoscritto a un quadrilatero solo se la somma dei suoi angoli opposti è uguale a 180^( \circ) .
\angolo A + \angolo C = \angolo B + \angolo D = 180^ (\circ)
Vicino a qualsiasi triangolo è possibile descrivere un cerchio, e uno e uno solo. Il centro di tale cerchio si troverà nel punto in cui si intersecano le bisettrici perpendicolari dei lati del triangolo.
Il raggio del cerchio circoscritto può essere calcolato con le formule:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4S)
a, b, c sono le lunghezze dei lati del triangolo,
S è l'area del triangolo.
Il teorema di Tolomeo
Infine, considera il teorema di Tolomeo.
Il teorema di Tolomeo afferma che il prodotto delle diagonali è identico alla somma dei prodotti dei lati opposti di un quadrilatero inscritto.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
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Quindi la circonferenza ( C) può essere calcolato moltiplicando la costante π per diametro ( D), o moltiplicando π per il doppio del raggio, poiché il diametro è uguale a due raggi. Di conseguenza, formula della circonferenza sarà simile a questo:
C = πD = 2πR
dove C- circonferenza, π - costante, D- diametro del cerchio, Rè il raggio del cerchio.
Poiché un cerchio è il confine di un cerchio, la circonferenza di un cerchio può anche essere chiamata la lunghezza di un cerchio o il perimetro di un cerchio.
Problemi per la circonferenza
Compito 1. Trova la circonferenza di un cerchio se il suo diametro è di 5 cm.
Poiché la circonferenza è π moltiplicato per il diametro, allora la circonferenza di un cerchio con un diametro di 5 cm sarà uguale a:
C≈ 3,14 5 = 15,7 (cm)
Compito 2. Trova la circonferenza di un cerchio di raggio 3,5 m.
Innanzitutto, trova il diametro del cerchio moltiplicando la lunghezza del raggio per 2:
D= 3,5 2 = 7 (metro)
Ora trova la circonferenza del cerchio moltiplicando π per diametro:
C≈ 3,14 7 = 21,98 (m)
Compito 3. Trova il raggio di un cerchio la cui lunghezza è 7,85 m.
Per trovare il raggio di un cerchio data la sua lunghezza, dividi la circonferenza per 2. π
Area di un cerchio
L'area di un cerchio è uguale al prodotto del numero π al quadrato del raggio. La formula per trovare l'area di un cerchio:
S = pr 2
dove Sè l'area del cerchio e rè il raggio del cerchio.
Poiché il diametro di un cerchio è il doppio del raggio, il raggio è uguale al diametro diviso per 2:
Problemi per l'area di un cerchio
Compito 1. Trova l'area di un cerchio se il suo raggio è di 2 cm.
Poiché l'area di un cerchio è π moltiplicato per il raggio al quadrato, allora l'area di un cerchio di raggio 2 cm sarà uguale a:
S≈ 3,14 2 2 \u003d 3,14 4 \u003d 12,56 (cm 2)
Compito 2. Trova l'area di un cerchio se il suo diametro è di 7 cm.
Innanzitutto, trova il raggio del cerchio dividendo il suo diametro per 2:
7:2=3.5(cm)
Ora calcoliamo l'area del cerchio usando la formula:
S = pr 2 ≈ 3,14 3,5 2 \u003d 3,14 12,25 \u003d 38,465 (cm 2)
Questo problema può essere risolto in un altro modo. Invece di trovare prima il raggio, puoi usare la formula per trovare l'area di un cerchio in termini di diametro:
| S = π | D 2 | ≈ 3,14 | 7 2 | = 3,14 | 49 | = | 153,86 | \u003d 38,465 (cm 2) |
| 4 | 4 | 4 | 4 |
Compito 3. Trova il raggio del cerchio se la sua area è 12,56 m 2.
Per trovare il raggio di un cerchio data la sua area, dividi l'area del cerchio π , quindi estrarre dal risultato Radice quadrata:
r = √S : π
quindi il raggio sarà:
r≈ √12.56: 3.14 = √4 = 2 (m)
Numero π
La circonferenza degli oggetti che ci circondano può essere misurata utilizzando un nastro di centimetri o una corda (filo), la cui lunghezza può quindi essere misurata separatamente. Ma in alcuni casi è difficile o quasi impossibile misurare la circonferenza, ad esempio la circonferenza interna di una bottiglia o solo la circonferenza disegnata su carta. In questi casi, puoi calcolare la circonferenza di un cerchio se conosci la lunghezza del suo diametro o raggio.
Per capire come si può fare, prendiamo alcuni oggetti rotondi, da cui puoi misurare sia la circonferenza che il diametro. Calcoliamo il rapporto tra lunghezza e diametro, di conseguenza otteniamo la seguente serie di numeri:
Da ciò possiamo concludere che il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro è un valore costante per ogni singolo cerchio e per tutti i cerchi nel loro insieme. Questa relazione è denotata dalla lettera π .
Usando questa conoscenza, puoi usare il raggio o il diametro di un cerchio per trovarne la lunghezza. Ad esempio, per calcolare la circonferenza di un cerchio con un raggio di 3 cm, è necessario moltiplicare il raggio per 2 (quindi otteniamo il diametro) e moltiplicare il diametro risultante per π . Infine, con il numero π abbiamo appreso che la circonferenza di un cerchio di raggio 3 cm è 18,84 cm.
