Radicenesimo grado e le sue principali proprietà
Livello numero reale un con un indicatore naturale P c'è un lavoro P fattori, ciascuno dei quali è uguale a un:
a1 = a; a2 = a a; un n =
Per esempio,
25 = 2 2 2 2 2 = 32,
Cinque volte
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.
4 volte
Numero reale un chiamato la base del titolo e un numero naturale n - indicatore di grado.
Le principali proprietà dei gradi con esponenti naturali derivano direttamente dalla definizione: il grado di un numero positivo con qualsiasi P e N positivo; il grado di un numero negativo con esponente pari è positivo, con numero dispari è negativo.
Per esempio,
(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.
Le azioni con gradi vengono eseguite secondo quanto segue regole.
1. Per moltiplicare potenze con la stessa base basta sommare gli esponenti, e lasciare la base uguale, cioè
Ad esempio, p5∙p3 = p5+3 =p8
2. Per dividere i gradi con le stesse basi, è sufficiente sottrarre l'indicatore del divisore dall'indicatore del dividendo e lasciare la base uguale, ovvero
https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">
2. Per elevare una potenza a potenza basta moltiplicare gli esponenti, lasciando uguale la base, cioè
(ap)m = a pag. Ad esempio, (23)2 = 26.
4. Per elevare un prodotto a potenza basta elevare ogni fattore a tale potenza e moltiplicare i risultati, cioè
(un b)P= un ∙bP.
Per esempio, (2y3)2= 4y6.
5. Per elevare una frazione a potenza, è sufficiente elevare separatamente numeratore e denominatore a questa potenza e dividere il primo risultato per il secondo, cioè
https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">
Nota che queste formule a volte sono utili da leggere da destra a sinistra. In questo caso, diventano regole. Ad esempio, nel caso 4, apvp= (avv)p otteniamo la seguente regola: a per moltiplicare potenze con gli stessi esponenti basta moltiplicare le basi, lasciando uguale l'esponente.
L'utilizzo di questa regola è efficace, ad esempio, nel calcolo del seguente prodotto
(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1.
Diamo ora la definizione di radice.
La radice ennesima di un numero reale un chiamato un numero reale X, di cui è l'ennesima potenza un.
Ovviamente, in accordo con le proprietà di base dei gradi con esponenti naturali, da qualsiasi numero positivo si hanno due valori opposti della radice di un grado pari, ad esempio i numeri 4 e -4 sono le radici quadrate di 16 , poiché (-4) 2 \u003d 42 \u003d 16 e i numeri 3 e -3 sono le quarte radici di 81, poiché (-3)4 = 34 = 81.
Inoltre, non esiste una radice pari di un numero negativo, perché una potenza pari di qualsiasi numero reale non è negativa. Per quanto riguarda la radice di grado dispari, per ogni numero reale c'è solo una radice di grado dispari da questo numero. Ad esempio, 3 è la terza radice di 27 perché Z3 = 27 e -2 è la quinta radice di -32 perché (-2)5 = 32.
In connessione con l'esistenza di due radici di grado pari da un numero positivo, introduciamo il concetto di radice aritmetica per eliminare questa ambiguità della radice.
Viene chiamato il valore non negativo della radice n-esima di un numero non negativo radice aritmetica.
Ad esempio, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.
Va ricordato che quando si risolvono equazioni irrazionali, le loro radici sono sempre considerate aritmetiche.
Notiamo la proprietà principale della radice dell'ennesimo grado.
Il valore della radice non cambierà se gli indicatori della radice e il grado dell'espressione della radice vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero naturale, cioè
Esempio 7. Ridurre a un denominatore comune e
Ho guardato di nuovo il piatto... E, andiamo!
Cominciamo con uno semplice:
Apetta un minuto. questo, il che significa che possiamo scriverlo in questo modo:
Fatto? Ecco il prossimo per te:
Le radici dei numeri risultanti non sono esattamente estratte? Non preoccuparti, ecco alcuni esempi:
Ma cosa succede se non ci sono due moltiplicatori, ma di più? Stesso! La formula di moltiplicazione delle radici funziona con un numero qualsiasi di fattori:
Ora completamente indipendente:
Risposte: Ben fatto! D'accordo, tutto è molto semplice, l'importante è conoscere la tabellina!
Divisione delle radici
Abbiamo capito la moltiplicazione delle radici, ora passiamo alla proprietà della divisione.
Lascia che ti ricordi che la formula in generale è simile a questa:
E questo significa questo la radice del quoziente è uguale al quoziente delle radici.
Bene, diamo un'occhiata agli esempi:
Questa è tutta scienza. Ed ecco un esempio:
Non tutto è liscio come nel primo esempio, ma come puoi vedere, non c'è nulla di complicato.
E se l'espressione fosse simile a questa:
Devi solo applicare la formula al contrario:
Ed ecco un esempio:
Puoi anche vedere questa espressione:
Tutto è uguale, solo qui devi ricordare come tradurre le frazioni (se non ricordi, guarda l'argomento e torna!). Ricordato? Ora decidiamo!
Sono sicuro che hai affrontato tutto, tutto, ora proviamo a costruire radici in un grado.
Esponenziale
Cosa succede se la radice quadrata è al quadrato? È semplice, ricorda il significato della radice quadrata di un numero: questo è un numero la cui radice quadrata è uguale a.
Quindi, se eleviamo al quadrato un numero la cui radice quadrata è uguale, cosa otteniamo?
Beh, certo, !
Diamo un'occhiata agli esempi:
Tutto è semplice, giusto? E se la radice è in un grado diverso? Va bene!
Attenersi alla stessa logica e ricordare le proprietà e le possibili azioni con i gradi.
Leggi la teoria sull'argomento "" e tutto ti diventerà estremamente chiaro.
Ad esempio, ecco un'espressione:
In questo esempio, il grado è pari, ma cosa succede se è dispari? Ancora una volta, applica le proprietà di potenza e calcola tutto:
Con questo tutto sembra essere chiaro, ma come estrarre la radice da un numero in un grado? Ecco, ad esempio, questo:
Abbastanza semplice, vero? E se il grado è maggiore di due? Seguiamo la stessa logica usando le proprietà dei gradi:
Bene, è tutto chiaro? Quindi risolvi i tuoi esempi:
Ed ecco le risposte:
Introduzione sotto il segno della radice
Quello che non abbiamo imparato a fare con le radici! Resta solo da esercitarsi a inserire il numero sotto il segno della radice!
È abbastanza facile!
Diciamo che abbiamo un numero
Cosa possiamo farci? Bene, ovviamente, nascondi la tripla sotto la radice, ricordando che la tripla è la radice quadrata di!
Perchè ne abbiamo bisogno? Sì, solo per espandere le nostre capacità durante la risoluzione di esempi:
Ti piace questa proprietà delle radici? Rende la vita molto più facile? Per me è giusto! Solo dobbiamo ricordare che possiamo inserire solo numeri positivi sotto il segno della radice quadrata.
Prova tu stesso questo esempio:
Sei riuscito? Vediamo cosa dovresti ottenere:
Ben fatto! Sei riuscito a inserire un numero sotto il segno della radice! Passiamo a qualcosa di altrettanto importante: considera come confrontare i numeri contenenti una radice quadrata!
Confronto delle radici
Perché dovremmo imparare a confrontare i numeri che contengono una radice quadrata?
Molto semplice. Spesso, nelle espressioni grandi e lunghe incontrate all'esame, otteniamo una risposta irrazionale (vi ricordate di cosa si tratta? Ne abbiamo già parlato oggi!)
Dobbiamo posizionare le risposte ricevute sulla linea delle coordinate, ad esempio, per determinare quale intervallo è adatto per risolvere l'equazione. Ed è qui che sorge l'inconveniente: non c'è la calcolatrice sull'esame e, senza di essa, come immaginare quale numero è più grande e quale è più piccolo? Questo è tutto!
Ad esempio, determina quale è maggiore: o?
Non dirai subito. Bene, usiamo la proprietà parsed di aggiungere un numero sotto il segno della radice?
Poi avanti:
Ebbene, ovviamente, maggiore è il numero sotto il segno della radice, maggiore è la radice stessa!
Quelli. se significa.
Da ciò concludiamo fermamente che E nessuno ci convincerà del contrario!
Estrarre radici da grandi numeri
Prima di allora, abbiamo introdotto un fattore sotto il segno della radice, ma come eliminarlo? Devi solo estrarlo ed estrarre ciò che viene estratto!
Era possibile andare dall'altra parte e scomporsi in altri fattori:
Non male, vero? Ognuno di questi approcci è corretto, decidi come ti senti a tuo agio.
Il factoring è molto utile quando si risolvono attività non standard come questa:
Non ci spaventiamo, agiamo! Scomponiamo ogni fattore sotto la radice in fattori separati:
E ora provalo tu stesso (senza calcolatrice! Non sarà all'esame):
È questa la fine? Non ci fermiamo a metà!
Questo è tutto, non è poi così spaventoso, giusto?
Accaduto? Bravo, hai ragione!
Ora prova questo esempio:
E un esempio è un osso duro da decifrare, quindi non puoi capire immediatamente come affrontarlo. Ma noi, ovviamente, siamo nei denti.
Bene, iniziamo a fare il factor, vero? Immediatamente notiamo che puoi dividere un numero per (richiama i segni di divisibilità):
E ora, prova tu stesso (di nuovo, senza calcolatrice!):
Bene, ha funzionato? Bravo, hai ragione!
Riassumendo
- La radice quadrata (radice quadrata aritmetica) di un numero non negativo è un numero non negativo il cui quadrato è uguale.
. - Se prendiamo solo la radice quadrata di qualcosa, otteniamo sempre un risultato non negativo.
- Proprietà della radice aritmetica:
- Quando si confrontano le radici quadrate, è necessario ricordare che maggiore è il numero sotto il segno della radice, maggiore è la radice stessa.
Ti piace la radice quadrata? Tutto chiaro?
Abbiamo cercato di spiegarti senz'acqua tutto ciò che devi sapere nell'esame sulla radice quadrata.
È il tuo turno. Scrivici se questo argomento è difficile per te o meno.
Hai imparato qualcosa di nuovo o tutto era già così chiaro.
Scrivi nei commenti e buona fortuna per gli esami!
Il materiale di questo articolo dovrebbe essere considerato come parte dell'argomento trasformazione di espressioni irrazionali. Qui, usando esempi, analizzeremo tutte le sottigliezze e le sfumature (di cui ce ne sono molte) che sorgono quando si eseguono trasformazioni basate sulle proprietà delle radici.
Navigazione della pagina.
Richiama le proprietà delle radici
Dato che ci occuperemo della trasformazione delle espressioni utilizzando le proprietà delle radici, non fa male ricordare le principali, o meglio ancora scriverle su carta e metterle davanti a sé.
Per prima cosa vengono studiate le radici quadrate e le loro seguenti proprietà (a, b, a 1, a 2, ..., a k sono numeri reali):
E successivamente, l'idea della radice viene ampliata, viene introdotta la definizione della radice dell'ennesimo grado e vengono considerate tali proprietà (a, b, a 1, a 2, ..., a k sono numeri reali, m, n, n 1, n 2, ... , n k - numeri naturali):
Conversione di espressioni con numeri sotto i segni della radice
Come al solito, imparano prima a lavorare con le espressioni numeriche e solo dopo passano alle espressioni con variabili. Faremo lo stesso, e prima tratteremo la trasformazione di espressioni irrazionali contenenti solo espressioni numeriche sotto i segni delle radici, e già più avanti nel prossimo paragrafo introdurremo variabili sotto i segni delle radici.
Come può essere usato per trasformare le espressioni? Molto semplice: ad esempio, possiamo sostituire un'espressione irrazionale con un'espressione, o viceversa. Ovvero, se l'espressione convertita contiene un'espressione che corrisponde all'espressione della parte sinistra (destra) di una qualsiasi delle proprietà elencate delle radici, allora può essere sostituita dall'espressione corrispondente dalla parte destra (sinistra). Questa è la trasformazione delle espressioni usando le proprietà delle radici.
Facciamo qualche altro esempio.
Semplifichiamo l'espressione 
. I numeri 3, 5 e 7 sono positivi, quindi possiamo tranquillamente applicare le proprietà delle radici. Qui puoi agire diversamente. Ad esempio, una radice basata su proprietà può essere rappresentata come , e una radice basata su proprietà con k=3 come , con questo approccio, la soluzione sarà simile a questa: 
Era possibile fare diversamente, sostituendo con , e poi con , in questo caso la soluzione sarebbe questa: 
Sono possibili altre soluzioni, ad esempio: 
Diamo un'occhiata a un altro esempio. Trasformiamo l'espressione. Guardando l'elenco delle proprietà delle radici, selezioniamo da esso le proprietà di cui abbiamo bisogno per risolvere l'esempio, è chiaro che due di esse e qui sono utili, che sono valide per qualsiasi a . Abbiamo: 
In alternativa, è possibile prima trasformare le espressioni sotto i segni di radice usando 
e quindi applicare le proprietà delle radici
Fino a questo punto, abbiamo convertito espressioni che contengono solo radici quadrate. È tempo di lavorare con radici che hanno altri indicatori.
Esempio.
Trasforma l'espressione irrazionale 
.
Soluzione.
Per proprietà 
il primo fattore di un dato prodotto può essere sostituito dal numero −2:
Vai avanti. In virtù della proprietà, il secondo fattore può essere rappresentato come, e non fa male sostituire 81 con la quadrupla potenza di tre, poiché il numero 3 compare nei restanti fattori sotto i segni delle radici:
Si consiglia di sostituire la radice della frazione con il rapporto delle radici della forma, che può essere ulteriormente trasformata: 
. abbiamo 
L'espressione risultante dopo aver eseguito operazioni con due assumerà la forma e resta da trasformare il prodotto delle radici.
Per trasformare i prodotti delle radici, di solito vengono ridotti a un indicatore, per il quale è consigliabile prendere gli indicatori di tutte le radici. Nel nostro caso, LCM(12, 6, 12)=12 , e solo la radice dovrà essere ridotta a questo indicatore, poiché le altre due radici hanno già tale indicatore. Per far fronte a questo compito consente l'uguaglianza, che viene applicata da destra a sinistra. Così 
. Considerando questo risultato, abbiamo
Ora il prodotto delle radici può essere sostituito dalla radice del prodotto e le restanti, già ovvie, trasformazioni possono essere eseguite:
Facciamo una breve versione della soluzione:
Risposta:
.
Separatamente, sottolineiamo che per applicare le proprietà delle radici, è necessario tener conto delle restrizioni imposte ai numeri sotto i segni delle radici (a≥0, ecc.). Ignorarli può portare a risultati errati. Ad esempio, sappiamo che la proprietà vale per a . Sulla base di esso, possiamo tranquillamente andare, ad esempio, da a, poiché 8 è un numero positivo. Ma se prendiamo una radice significativa di un numero negativo, ad esempio, e, in base alla proprietà sopra, la sostituiamo con , allora sostituiremo effettivamente −2 con 2 . Infatti, un . Cioè, per a negativo, l'uguaglianza può essere falsa, così come altre proprietà delle radici possono essere false senza tener conto delle condizioni specificate per esse.
Ma quanto detto nel paragrafo precedente non significa affatto che le espressioni con numeri negativi sotto i segni della radice non possano essere trasformate utilizzando le proprietà delle radici. Devono solo essere "preparati" in anticipo applicando le regole delle operazioni con i numeri o utilizzando la definizione di una radice di grado dispari da un numero negativo, che corrisponde all'uguaglianza, dove −a è un numero negativo (mentre a è positivo) . Ad esempio, non può essere immediatamente sostituito da , poiché −2 e −3 sono numeri negativi, ma consente di passare dalla radice a , e quindi applicare la proprietà della radice dal prodotto: 
. E in uno degli esempi precedenti bisognava passare dalla radice alla radice del diciottesimo grado 
, e così 
.
Quindi, per trasformare le espressioni usando le proprietà delle radici, è necessario
- selezionare la proprietà appropriata dall'elenco,
- assicurati che i numeri sotto la radice soddisfino le condizioni per la proprietà selezionata (in caso contrario, è necessario eseguire trasformazioni preliminari),
- ed eseguire la trasformazione prevista.
Conversione di espressioni con variabili sotto i segni di radice
Per trasformare espressioni irrazionali contenenti non solo numeri ma anche variabili sotto il segno della radice, è necessario applicare con attenzione le proprietà delle radici elencate nel primo paragrafo di questo articolo. Ciò è dovuto principalmente alle condizioni che devono essere soddisfatte dai numeri coinvolti nelle formule. Ad esempio, in base alla formula , l'espressione può essere sostituita da un'espressione solo per quei x valori che soddisfano le condizioni x≥0 e x+1≥0 , poiché la formula specificata è impostata per a≥0 e b≥ 0.
Qual è il pericolo di ignorare queste condizioni? La risposta a questa domanda è chiaramente dimostrata dal seguente esempio. Diciamo che dobbiamo calcolare il valore di un'espressione quando x=−2 . Se sostituiamo immediatamente il numero −2 invece della variabile x, otteniamo il valore di cui abbiamo bisogno 
. E ora immaginiamo che, sulla base di alcune considerazioni, abbiamo convertito l'espressione data nel form , e solo dopo abbiamo deciso di calcolarne il valore. Sostituiamo il numero −2 invece di x e arriviamo all'espressione 
, che non ha senso.
Vediamo cosa succede con range di valori accettabili (ODZ) variabile x quando si passa da un'espressione all'altra. Non a caso abbiamo menzionato l'ODZ, poiché si tratta di uno strumento serio per controllare l'ammissibilità delle trasformazioni eseguite e la modifica dell'ODZ dopo la trasformazione dell'espressione dovrebbe almeno allertare. Non è difficile trovare l'ODZ per queste espressioni. Per l'espressione, la ODZ è determinata dalla disuguaglianza x (x+1)≥0 , la sua soluzione dà l'insieme numerico (−∞, −1]∪∪∪)
