(dal greco λόγος - "parola", "relazione" e ἀριθμός - "numero") numeri b per ragione un(log α b) è chiamato tale numero c, e b= corrente alternata, cioè log α b=c e b=ac sono equivalenti. Il logaritmo ha senso se a > 0, a ≠ 1, b > 0.
In altre parole logaritmo numeri b per ragione un formulato come un esponente a cui un numero deve essere elevato un per ottenere il numero b(il logaritmo esiste solo per i numeri positivi).
Da questa formulazione segue che il calcolo x= log α b, equivale a risolvere l'equazione a x =b.
Per esempio:
log 2 8 = 3 perché 8=2 3 .
Notiamo che la formulazione indicata del logaritmo permette di determinare immediatamente valore del logaritmo quando il numero sotto il segno del logaritmo è una certa potenza della base. Infatti, la formulazione del logaritmo permette di giustificare che se b=a c, quindi il logaritmo del numero b per ragione unè uguale a Insieme a. È anche chiaro che l'argomento del logaritmo è strettamente correlato all'argomento grado di numero.
Si fa riferimento al calcolo del logaritmo logaritmo. Il logaritmo è l'operazione matematica di prendere un logaritmo. Quando si prende un logaritmo, i prodotti dei fattori si trasformano in somme di termini.
Potenziamentoè l'operazione matematica inversa al logaritmo. Quando si potenzia, la base data viene elevata alla potenza dell'espressione su cui viene eseguito il potenziamento. In questo caso, le somme dei termini si trasformano nel prodotto dei fattori.
Molto spesso vengono utilizzati logaritmi reali con base 2 (binaria), e numero di Eulero e ≈ 2.718 (logaritmo naturale) e 10 (decimale).
In questa fase, vale la pena considerare campioni di logaritmi registro 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
E le voci lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 non hanno senso, poiché nella prima di esse un numero negativo è posto sotto il segno del logaritmo, nella seconda - un numero negativo in la base, e nel terzo - e un numero negativo sotto il segno del logaritmo e dell'unità nella base.
Condizioni per la determinazione del logaritmo.
Vale la pena considerare separatamente le condizioni a > 0, a ≠ 1, b > 0. definizione di un logaritmo. Consideriamo perché queste restrizioni vengono prese. Questo ci aiuterà con un'uguaglianza della forma x = log α b, chiamata identità logaritmica di base, che segue direttamente dalla definizione del logaritmo data sopra.
Prendi la condizione a≠1. Poiché uno è uguale a uno per qualsiasi potenza, allora l'uguaglianza x=log α b può esistere solo quando b=1, ma log 1 1 sarà qualsiasi numero reale. Per eliminare questa ambiguità, prendiamo a≠1.
Proviamo la necessità della condizione a>0. In a=0 secondo la formulazione del logaritmo, può esistere solo quando b=0. E poi di conseguenza registro 0 0 può essere qualsiasi numero reale diverso da zero, poiché da zero a qualsiasi potenza diversa da zero è zero. Per eliminare questa ambiguità, la condizione a≠0. E quando un<0 bisognerebbe rifiutare l'analisi dei valori razionali e irrazionali del logaritmo, poiché l'esponente con esponente razionale e irrazionale è definito solo per basi non negative. È per questo motivo che la condizione a>0.
E l'ultima condizione b>0 deriva dalla disuguaglianza a>0, poiché x=log α b, e il valore del grado con base positiva un sempre positivo.
Caratteristiche dei logaritmi.
Logaritmi caratterizzato da distintivo caratteristiche, che ha portato al loro uso diffuso per facilitare notevolmente calcoli accurati. Nella transizione "al mondo dei logaritmi", la moltiplicazione si trasforma in un'addizione molto più facile, la divisione in sottrazione e l'elevazione a potenza e la radice si trasformano rispettivamente in moltiplicazione e divisione per esponente.
La formulazione dei logaritmi e una tabella dei loro valori (per le funzioni trigonometriche) fu pubblicata per la prima volta nel 1614 dal matematico scozzese John Napier. Le tabelle logaritmiche, ingrandite e dettagliate da altri scienziati, furono ampiamente utilizzate nei calcoli scientifici e ingegneristici e rimasero rilevanti fino a quando non iniziarono a essere utilizzate calcolatrici elettroniche e computer.
LOGARITMO
un numero che semplifica molte complesse operazioni aritmetiche. L'uso dei loro logaritmi al posto dei numeri nei calcoli consente di sostituire la moltiplicazione con un'operazione più semplice di addizione, divisione con sottrazione, elevazione a potenza con moltiplicazione ed estrazione di radici con divisione. Descrizione generale. Il logaritmo di un dato numero è l'esponente a cui deve essere elevato un altro numero, chiamato base del logaritmo, per ottenere il numero dato. Ad esempio, il logaritmo in base 10 di 100 è 2. In altre parole, 10 deve essere al quadrato per ottenere 100 (102 = 100). Se n è un numero dato, b è una base e l è un logaritmo, allora bl = n. Il numero n è anche chiamato antilogaritmo alla base b del numero l. Ad esempio, l'antilogaritmo di 2 in base 10 è 100. Questo può essere scritto come logb n = le antilogb l = n. Le principali proprietà dei logaritmi:
Qualsiasi numero positivo diverso da uno può servire come base dei logaritmi, ma, sfortunatamente, risulta che se b e n sono numeri razionali, in rari casi esiste un numero razionale l tale che bl = n. Tuttavia, è possibile definire un numero irrazionale l, ad esempio, tale che 10l = 2; questo numero irrazionale l può essere approssimato con numeri razionali con qualsiasi accuratezza richiesta. Si scopre che nell'esempio sopra, l è approssimativamente uguale a 0,3010 e questo valore approssimativo del logaritmo in base 10 del numero 2 può essere trovato in tabelle di logaritmi decimali a quattro cifre. I logaritmi in base 10 (o logaritmi decimali) sono usati così spesso nei calcoli da essere chiamati logaritmi ordinari e sono scritti come log2 = 0,3010 o log2 = 0,3010, omettendo l'indicazione esplicita della base del logaritmo. I logaritmi in base e, un numero trascendentale approssimativamente uguale a 2,71828, sono detti logaritmi naturali. Si trovano principalmente in lavori sull'analisi matematica e le sue applicazioni a varie scienze. Anche i logaritmi naturali vengono scritti senza indicare esplicitamente la base, ma utilizzando la notazione speciale ln: ad esempio, ln2 = 0,6931, perché e0.6931 = 2.
Guarda anche NUMERO e . Utilizzo di tabelle di logaritmi ordinari. Il logaritmo ordinario di un numero è l'esponente a cui devi aumentare 10 per ottenere il numero dato. Poiché 100 = 1, 101 = 10 e 102 = 100, otteniamo immediatamente log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 e così via. per potenze intere crescenti di 10. Allo stesso modo, 10-1 = 0.1, 10-2 = 0.01 e quindi log0.1 = -1, log0.01 = -2 e così via. per tutte le potenze intere negative di 10. I logaritmi usuali dei numeri rimanenti sono racchiusi tra i logaritmi delle potenze intere più vicine di 10; log2 deve essere racchiuso tra 0 e 1, log20 tra 1 e 2 e log0.2 tra -1 e 0. Pertanto, il logaritmo ha due parti, un intero e un decimale racchiuso tra 0 e 1. La parte intera è chiamata caratteristica del logaritmo ed è determinata dal numero stesso, la parte frazionaria è detta mantissa e la si può trovare dalle tabelle. Inoltre, log20 = log(2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Il logaritmo di 2 è 0,3010, quindi log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Allo stesso modo, log0.2 = log(2e10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0,3010 - 1. Sottraendo, otteniamo log0.2 = - 0,6990. Tuttavia, è più conveniente rappresentare log0.2 come 0.3010 - 1 o come 9.3010 - 10; si può anche formulare una regola generale: tutti i numeri ottenuti da un dato numero moltiplicando per una potenza di 10 hanno la stessa mantissa uguale alla mantissa di un dato numero. Nella maggior parte delle tabelle vengono fornite le mantisse di numeri compresi tra 1 e 10, poiché le mantisse di tutti gli altri numeri possono essere ottenute da quelle fornite nella tabella. La maggior parte delle tabelle fornisce logaritmi a quattro o cinque cifre decimali, sebbene ci siano tabelle a sette cifre e tabelle con ancora più cifre decimali. Imparare a usare tali tabelle è più facile con gli esempi. Per trovare log3.59, prima di tutto, notiamo che il numero 3.59 è compreso tra 100 e 101, quindi la sua caratteristica è 0. Troviamo il numero 35 nella tabella (a sinistra) e ci spostiamo lungo la riga fino alla colonna che ha il numero 9 in alto; l'intersezione di questa colonna e della riga 35 è 5551, quindi log3,59 = 0,5551. Per trovare la mantissa di un numero con quattro cifre significative, è necessario ricorrere all'interpolazione. In alcune tabelle, l'interpolazione è facilitata dalle parti proporzionali riportate nelle ultime nove colonne sul lato destro di ogni pagina della tabella. Trova ora log736.4; il numero 736.4 è compreso tra 102 e 103, quindi la caratteristica del suo logaritmo è 2. Nella tabella troviamo la riga a sinistra della quale è 73 e la colonna 6. All'intersezione di questa riga e questa colonna c'è il numero 8669. Tra le parti lineari troviamo la colonna 4. All'intersezione della riga 73 e della colonna 4 c'è il numero 2. Sommando 2 a 8669, otteniamo la mantissa - è uguale a 8671. Pertanto, log736.4 = 2, 8671.
logaritmi naturali. Le tabelle e le proprietà dei logaritmi naturali sono simili alle tabelle e alle proprietà dei logaritmi ordinari. La principale differenza tra i due è che la parte intera del logaritmo naturale non è significativa nel determinare la posizione del punto decimale, e quindi la differenza tra la mantissa e la caratteristica non gioca un ruolo particolare. Logaritmi naturali dei numeri 5.432; 54.32 e 543.2 sono, rispettivamente, 1.6923; 3.9949 e 6.2975. La relazione tra questi logaritmi diventa evidente se si considerano le differenze tra loro: log543.2 - log54.32 = 6.2975 - 3.9949 = 2.3026; l'ultimo numero non è altro che il logaritmo naturale del numero 10 (scritto così: ln10); log543.2 - log5.432 = 4.6052; l'ultimo numero è 2ln10. Ma 543.2 = 10*54.32 = 102*5.432. Quindi, per il logaritmo naturale di un dato numero a, si possono trovare i logaritmi naturali di numeri uguali ai prodotti del numero a e qualsiasi potenza di n del numero 10, se ln10 moltiplicato per n è aggiunto a lna, cioè ln(a*10n) = lna + nln10 = lna + 2.3026n. Ad esempio, ln0.005432 = ln(5.432*10-3) = ln5.432 - 3ln10 = 1.6923 - (3*2.3026) = - 5.2155. Pertanto, le tabelle dei logaritmi naturali, come le tabelle dei logaritmi ordinari, contengono solitamente solo i logaritmi di numeri da 1 a 10. Nel sistema dei logaritmi naturali si può parlare di antilogaritmi, ma più spesso si parla di una funzione esponenziale o di un esponenziale . Se x = lny, allora y = ex e y è chiamato esponente di x (per comodità tipografica, si scrive spesso y = exp x). L'esponente svolge il ruolo dell'antilogaritmo del numero x. Utilizzando tabelle di logaritmi decimali e naturali, è possibile creare tabelle di logaritmi in qualsiasi base diversa da 10 ed e. Se logb a = x, allora bx = a, e quindi logc bx = logc a o xlogc b = logc a, oppure x = logc a/logc b = logb a. Pertanto, utilizzando questa formula di inversione da una tabella di logaritmi in base c, si possono costruire tabelle di logaritmi in qualsiasi altra base b. Il fattore 1/logc b è chiamato modulo del passaggio dalla base c alla base b. Nulla impedisce, ad esempio, di utilizzare la formula di inversione, o il passaggio da un sistema di logaritmi all'altro, di trovare i logaritmi naturali dalla tabella dei logaritmi ordinari o di effettuare la transizione inversa. Ad esempio, log105.432 = log 5,432/loge 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923 x 0,4343 = 0,7350. Il numero 0,4343, per il quale occorre moltiplicare il logaritmo naturale di un dato numero per ottenere il logaritmo ordinario, è il modulo di transizione al sistema dei logaritmi ordinari.
Tavoli speciali. I logaritmi sono stati originariamente inventati per utilizzare le loro proprietà logab = loga + logb e loga/b = loga - logb per convertire i prodotti in somme e quozienti in differenze. In altre parole, se si conoscono loga e logb, allora con l'aiuto dell'addizione e della sottrazione possiamo facilmente trovare il logaritmo del prodotto e il quoziente. In astronomia, tuttavia, è spesso necessario trovare log(a + b) o log(a - b) dati i valori di loga e logb. Certo, sarebbe possibile trovare prima aeb dalle tabelle dei logaritmi, quindi eseguire l'addizione o la sottrazione indicata e, sempre facendo riferimento alle tabelle, trovare i logaritmi richiesti, ma tale procedura richiederebbe tre visite alle tabelle . Z. Leonelli nel 1802 pubblicò le tavole dei cosiddetti. I logaritmi gaussiani - i logaritmi dell'addizione di somme e differenze - che hanno permesso di limitarci a un solo ricorso alle tabelle. Nel 1624, I. Keplero propose tabelle di logaritmi proporzionali, cioè logaritmi di numeri a/x, dove a è una costante positiva. Queste tabelle sono utilizzate principalmente da astronomi e navigatori. I logaritmi proporzionali per a = 1 sono detti logaritmi e vengono utilizzati nei calcoli quando si ha a che fare con prodotti e quozienti. Il logaritmo del numero n è uguale al logaritmo del reciproco del numero; quelli. colonia = log1/n = - logn. Se log2 = 0,3010, allora colog2 = - 0,3010 = 0,6990 - 1. Il vantaggio dell'utilizzo dei logaritmi è che quando si calcola il valore del logaritmo di espressioni come pq/r, la tripla somma dei decimali positivi di logp + logq + cologr è più facile da trovare rispetto alla somma mista e differenza logp + logq - logr.
Storia. Il principio alla base di qualsiasi sistema di logaritmi è noto da molto tempo e può essere fatto risalire all'antica matematica babilonese (circa 2000 aC). A quei tempi si utilizzava l'interpolazione tra valori tabulari di potenze intere positive per calcolare l'interesse composto. Molto più tardi, Archimede (287-212 aC) utilizzò i poteri del 108 per trovare un limite superiore al numero di granelli di sabbia necessari per riempire completamente l'universo allora conosciuto. Archimede ha richiamato l'attenzione sulla proprietà degli esponenti che sta alla base dell'efficacia dei logaritmi: il prodotto delle potenze corrisponde alla somma degli esponenti. Alla fine del Medioevo e all'inizio del New Age, i matematici iniziarono sempre più a fare riferimento al rapporto tra progressioni geometriche e aritmetiche. M. Stiefel nel suo saggio Arithmetic of Integers (1544) ha fornito una tabella dei poteri positivi e negativi del numero 2:
Stiefel ha notato che la somma dei due numeri nella prima riga (la riga degli esponenti) è uguale all'esponente di due, che corrisponde al prodotto dei due numeri corrispondenti nella riga in basso (la riga degli esponenti). In connessione con questa tabella, Stiefel ha formulato quattro regole che sono equivalenti alle quattro regole moderne per le operazioni sugli esponenti o quattro regole per le operazioni sui logaritmi: la somma nella riga superiore corrisponde al prodotto nella riga inferiore; la sottrazione nella riga superiore corrisponde alla divisione nella riga inferiore; la moltiplicazione nella riga superiore corrisponde all'esponenziazione nella riga inferiore; la divisione nella riga superiore corrisponde all'estrazione della radice nella riga inferiore. Apparentemente, regole simili a quelle di Stiefel indussero J. Napier a introdurre formalmente il primo sistema di logaritmi nella Descrizione della stupefacente tavola dei logaritmi, pubblicata nel 1614. Ma il pensiero di Napier si è occupato del problema della conversione dei prodotti in somme sin da quando più Dieci anni prima della pubblicazione del suo lavoro, Napier ricevette dalla Danimarca la notizia che all'osservatorio di Tycho Brahe i suoi assistenti avevano un metodo per convertire i prodotti in somme. Il metodo menzionato nella comunicazione di Napier era basato sull'uso di formule trigonometriche del tipo
Pertanto le tavole di Napier consistevano principalmente nei logaritmi di funzioni trigonometriche. Sebbene il concetto di base non fosse esplicitamente incluso nella definizione proposta da Napier, il numero equivalente alla base del sistema dei logaritmi nel suo sistema era giocato dal numero (1 - 10-7)ґ107, approssimativamente pari a 1/e . Indipendentemente da Napier e quasi simultaneamente a lui, un sistema di logaritmi, di tipo abbastanza simile, fu inventato e pubblicato da J. Burgi a Praga, che pubblicò le Tavole delle progressioni aritmetiche e geometriche nel 1620. Erano tavole di antilogaritmi in base (1 + 10-4)*10 4, una discreta approssimazione del numero e. Nel sistema di Napier, il logaritmo del numero 107 era preso come zero e, man mano che i numeri diminuivano, i logaritmi aumentavano. Quando G. Briggs (1561-1631) visitò Napier, entrambi convennero che sarebbe stato più conveniente utilizzare il numero 10 come base e considerare il logaritmo di uno uguale a zero. Quindi, all'aumentare dei numeri, i loro logaritmi aumenterebbero. Così abbiamo ottenuto il moderno sistema dei logaritmi decimali, una tabella di cui Briggs pubblicò nella sua opera Logarithmic Arithmetic (1620). I logaritmi in base e, sebbene non esattamente quelli introdotti da Napier, sono spesso chiamati non-Pier. I termini "caratteristico" e "mantissa" sono stati proposti da Briggs. I primi logaritmi, per ragioni storiche, utilizzavano approssimazioni ai numeri 1/e ed e. Un po 'più tardi, l'idea dei logaritmi naturali è stata associata allo studio delle aree sotto l'iperbole xy = 1 (Fig. 1). Nel 17° secolo è stato dimostrato che l'area delimitata da questa curva, l'asse x e le ordinate x = 1 e x = a (in Fig. 1 quest'area è coperta da punti più spessi e rari) aumenta esponenzialmente quando a aumenta in modo esponenziale. È questa dipendenza che sorge nelle regole per le azioni su esponenti e logaritmi. Ciò ha dato motivo di chiamare i logaritmi di Napier "logaritmi iperbolici".
Funzione logaritmica. C'è stato un tempo in cui i logaritmi erano considerati solo un mezzo di calcolo, ma nel XVIII secolo, principalmente a causa del lavoro di Eulero, si formò il concetto di funzione logaritmica. Il grafico di tale funzione y = lnx, le cui ordinate crescono in progressione aritmetica, mentre le ascisse aumentano in progressione geometrica, è mostrato in Fig. 2a. In Fig. 2b. (Le curve y = logx e y = 10x hanno una forma simile alle curve y = lnx e y = ex.) Sono state proposte anche definizioni alternative della funzione logaritmica, ad esempio,
Grazie al lavoro di Eulero divennero note le relazioni tra logaritmi e funzioni trigonometriche nel piano complesso. Dall'identità eix = cos x + i sin x (dove l'angolo x è misurato in radianti), Eulero conclude che ogni numero reale diverso da zero ha infiniti logaritmi naturali; sono tutti complessi per i numeri negativi e tutti tranne uno per i numeri positivi. Poiché eix = 1 non solo per x = 0, ma anche per x = ± 2kp, dove k è un qualsiasi intero positivo, uno qualsiasi dei numeri 0 ± 2kpi può essere preso come logaritmo naturale del numero 1; e, similmente, i logaritmi naturali di -1 sono numeri complessi della forma (2k + 1)pi, dove k è un intero. Affermazioni simili valgono anche per logaritmi generali o altri sistemi di logaritmi. Inoltre, la definizione di logaritmi può essere generalizzata utilizzando le identità di Eulero per includere i logaritmi complessi di numeri complessi. Una definizione alternativa della funzione logaritmica è fornita dall'analisi funzionale. Se f(x) è una funzione continua di un numero reale x avente le seguenti tre proprietà: f(1) = 0, f(b) = 1, f(uv) = f(u) + f(v), allora f(x ) è definito come il logaritmo del numero x in base b. Questa definizione presenta una serie di vantaggi rispetto alla definizione data all'inizio di questo articolo.
Applicazioni. I logaritmi sono stati originariamente utilizzati esclusivamente per semplificare i calcoli e questa applicazione è ancora una delle loro più importanti. Il calcolo di prodotti, quozienti, potenze e radici è facilitato non solo dall'ampia disponibilità di tavole dei logaritmi pubblicate, ma anche dall'uso dei cosiddetti. regolo calcolatore - uno strumento informatico, il cui principio si basa sulle proprietà dei logaritmi. Il righello è dotato di scale logaritmiche, ad es. la distanza dal numero 1 a qualsiasi numero x viene scelta come log x; spostando una scala rispetto all'altra, è possibile tracciare le somme o le differenze dei logaritmi, il che consente di leggere prodotti o parziali dei numeri corrispondenti direttamente dalla scala. Sfruttare la presentazione dei numeri in forma logaritmica permette il cosiddetto. carta logaritmica per il tracciamento (carta con scale logaritmiche stampate su entrambi gli assi delle coordinate). Se una funzione soddisfa una legge di potenza della forma y = kxn, il suo grafico logaritmico appare come una retta, perché log y = log k + n log x è un'equazione lineare in log y e log x. Al contrario, se il grafico logaritmico di una qualche dipendenza funzionale ha la forma di una retta, allora questa dipendenza è una legge di potenza. La carta semilogaritmica (dove l'asse y è su una scala logaritmica e l'ascissa è su una scala uniforme) è utile quando è necessario identificare funzioni esponenziali. Equazioni della forma y = kbrx sorgono ogni volta che una quantità, come popolazione, materiale radioattivo o saldo bancario, diminuisce o aumenta a un tasso proporzionale alla popolazione attuale, al materiale radioattivo o al denaro. Se tale dipendenza viene applicata alla carta semilogaritmica, il grafico apparirà come una linea retta. La funzione logaritmica sorge in connessione con una varietà di forme naturali. I fiori in infiorescenze di girasole si allineano in spirali logaritmiche, le conchiglie del mollusco Nautilus, le corna della pecora di montagna e i becchi dei pappagalli sono attorcigliati. Tutte queste forme naturali sono esempi della curva nota come spirale logaritmica perché la sua equazione in coordinate polari è r = aebq, o lnr = lna + bq. Tale curva è descritta da un punto mobile, la cui distanza dal polo cresce in modo esponenziale e l'angolo descritto dal suo vettore raggio cresce aritmetico. L'ubiquità di una tale curva, e di conseguenza della funzione logaritmica, è ben illustrata dal fatto che essa si trova in regioni tanto lontane e del tutto diverse quanto il contorno della camma eccentrica e la traiettoria di certi insetti che volano verso la luce.
Enciclopedia Collier. - Società aperta. 2000 .
Guarda cos'è "LOGARIFM" in altri dizionari:
- (Greco, da relazione logos, e numero arithmos). Il numero di una progressione aritmetica corrispondente al numero di una progressione geometrica. Dizionario di parole straniere incluso nella lingua russa. Chudinov A.N., 1910. LOGARIFM Greco, da logos, relazione, ... ... Dizionario di parole straniere della lingua russa
Il numero N dato alla base a è l'esponente della potenza di y a cui bisogna elevare il numero a per ottenere N; quindi, N = ay. Il logaritmo è solitamente indicato con logaN. Logaritmo in base e? 2.718... è detto naturale e indicato con lnN.… … Grande dizionario enciclopedico
- (dal greco logos ratio e numero arithmos) numeri N in base a (O ... Enciclopedia moderna
Con lo sviluppo della società, la complessità della produzione, si sviluppò anche la matematica. Movimento dal semplice al complesso. Dal consueto metodo contabile di addizione e sottrazione, con la loro ripetuta ripetizione, si è giunti al concetto di moltiplicazione e divisione. La riduzione dell'operazione ripetuta moltiplicata divenne il concetto di esponenziazione. Le prime tavole della dipendenza dei numeri dalla base e del numero di esponenziazione furono compilate nell'VIII secolo dal matematico indiano Varasena. Da loro, puoi contare il tempo in cui si verificano i logaritmi.
Cenni storici
La rinascita dell'Europa nel XVI secolo stimolò anche lo sviluppo della meccanica. T ha richiesto una grande quantità di calcolo associati alla moltiplicazione e divisione di numeri a più cifre. I tavoli antichi facevano un ottimo servizio. Hanno permesso di sostituire operazioni complesse con operazioni più semplici: addizione e sottrazione. Un grande passo avanti fu il lavoro del matematico Michael Stiefel, pubblicato nel 1544, in cui realizzò l'idea di molti matematici. Ciò ha permesso di utilizzare le tabelle non solo per i gradi sotto forma di numeri primi, ma anche per quelli razionali arbitrari.
Nel 1614, lo scozzese John Napier, sviluppando queste idee, introdusse per la prima volta il nuovo termine "logaritmo di un numero". Sono state compilate nuove tabelle complesse per il calcolo dei logaritmi di seno e coseno, nonché tangenti. Ciò ridusse notevolmente il lavoro degli astronomi.
Cominciarono ad apparire nuove tabelle, che furono utilizzate con successo dagli scienziati per tre secoli. Passò molto tempo prima che la nuova operazione in algebra assumesse la sua forma definitiva. È stato definito il logaritmo e ne sono state studiate le proprietà.
Solo nel XX secolo, con l'avvento della calcolatrice e del computer, l'umanità abbandonò le antiche tavole che avevano funzionato con successo per tutto il XIII secolo.
Oggi chiamiamo il logaritmo di b per basare a il numero x, che è la potenza di a, per ottenere il numero b. Questo è scritto come una formula: x = log a(b).
Ad esempio, log 3(9) sarà uguale a 2. Questo è ovvio se si segue la definizione. Se eleviamo 3 alla potenza di 2, otteniamo 9.
Pertanto, la definizione formulata pone solo una restrizione, i numeri aeb devono essere reali.
Varietà di logaritmi
La definizione classica è chiamata logaritmo reale ed è in realtà una soluzione dell'equazione a x = b. L'opzione a = 1 è borderline e non interessa. Nota: 1 per qualsiasi potenza è 1.
Valore reale del logaritmo definito solo se la base e l'argomento sono maggiori di 0 e la base non deve essere uguale a 1.
Posto speciale nel campo della matematica riprodurre i logaritmi, che saranno nominati in base al valore della loro base:
Regole e restrizioni
La proprietà fondamentale dei logaritmi è la regola: il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma logaritmica. log abp = log a(b) + log a(p).
Come variante di questa affermazione, sarà: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), la funzione quoziente è uguale alla differenza delle funzioni.
È facile vedere dalle due regole precedenti che: log a(b p) = p * log a(b).
Altre proprietà includono:
Commento. Non commettere un errore comune: il logaritmo della somma non è uguale alla somma dei logaritmi.
Per molti secoli, l'operazione di ricerca del logaritmo è stata un'operazione piuttosto dispendiosa in termini di tempo. I matematici usarono la famosa formula della teoria logaritmica dell'espansione in un polinomio:
ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), dove n è un numero naturale maggiore di 1, che determina l'accuratezza del calcolo.
I logaritmi con altre basi sono stati calcolati utilizzando il teorema sul passaggio da una base all'altra e la proprietà del logaritmo del prodotto.
Poiché questo metodo è molto laborioso e quando si risolvono problemi pratici difficile da implementare, utilizzavano tabelle di logaritmi precompilate, che acceleravano notevolmente l'intero lavoro.
In alcuni casi sono stati utilizzati grafici di logaritmi appositamente compilati, che hanno fornito una minore precisione, ma hanno notevolmente accelerato la ricerca del valore desiderato. La curva della funzione y = log a(x), costruita su più punti, permette utilizzando il solito righello di trovare i valori della funzione in qualsiasi altro punto. Per molto tempo, gli ingegneri hanno utilizzato la cosiddetta carta millimetrata per questi scopi.
Nel XVII secolo apparvero le prime condizioni di calcolo analogico ausiliario, che nel XIX secolo avevano acquisito una forma finita. Il dispositivo di maggior successo è stato chiamato regolo calcolatore. Nonostante la semplicità del dispositivo, il suo aspetto ha notevolmente accelerato il processo di tutti i calcoli ingegneristici e questo è difficile da sopravvalutare. Attualmente, poche persone hanno familiarità con questo dispositivo.
L'avvento di calcolatrici e computer ha reso inutile l'uso di qualsiasi altro dispositivo.
Equazioni e disuguaglianze
Le seguenti formule vengono utilizzate per risolvere varie equazioni e disuguaglianze utilizzando i logaritmi:
- Passaggio da una base all'altra: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Come conseguenza della versione precedente: log a(b) = 1 / log b(a).
Per risolvere le disuguaglianze è utile sapere:
- Il valore del logaritmo sarà positivo solo se sia la base che l'argomento sono entrambi maggiori o minori di uno; se almeno una condizione viene violata, il valore del logaritmo sarà negativo.
- Se la funzione del logaritmo viene applicata ai lati destro e sinistro della disuguaglianza e la base del logaritmo è maggiore di uno, il segno della disuguaglianza viene preservato; altrimenti cambia.
Esempi di attività
Considera diverse opzioni per l'utilizzo dei logaritmi e delle loro proprietà. Esempi con risoluzione di equazioni:
Considera l'opzione di posizionare il logaritmo nel grado:
- Compito 3. Calcola 25^log 5(3). Soluzione: nelle condizioni del problema, la notazione è simile alla seguente (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Scriviamola diversamente: 5^log 5(3*2), ovvero il quadrato di un numero come argomento di una funzione può essere scritto come il quadrato della funzione stessa (5^log 5(3))^2. Usando le proprietà dei logaritmi, questa espressione è 3^2. Risposta: come risultato del calcolo otteniamo 9.
Uso pratico
Essendo uno strumento puramente matematico, sembra molto lontano dalla vita reale che il logaritmo sia diventato improvvisamente di grande importanza nella descrizione di oggetti nel mondo reale. È difficile trovare una scienza dove non viene utilizzata. Ciò si applica pienamente non solo ai campi della conoscenza naturali, ma anche umanistici.
Dipendenze logaritmiche
Ecco alcuni esempi di dipendenze numeriche:
Meccanica e fisica
Storicamente, la meccanica e la fisica si sono sempre sviluppate utilizzando metodi di ricerca matematici e allo stesso tempo sono servite da incentivo per lo sviluppo della matematica, compresi i logaritmi. La teoria della maggior parte delle leggi della fisica è scritta nel linguaggio della matematica. Diamo solo due esempi della descrizione delle leggi fisiche usando il logaritmo.
È possibile risolvere il problema del calcolo di una quantità così complessa come la velocità di un razzo usando la formula di Tsiolkovsky, che ha gettato le basi per la teoria dell'esplorazione spaziale:
V = I * ln(M1/M2), dove
- V è la velocità finale dell'aereo.
- I è l'impulso specifico del motore.
- M 1 è la massa iniziale del razzo.
- M 2 - massa finale.
Un altro esempio importante- questo è l'uso nella formula di un altro grande scienziato, Max Planck, che serve a valutare lo stato di equilibrio in termodinamica.
S = k * ln (Ω), dove
- S è una proprietà termodinamica.
- k è la costante di Boltzmann.
- Ω è il peso statistico dei diversi stati.
Chimica
Meno ovvio sarebbe l'uso di formule in chimica contenenti il rapporto dei logaritmi. Ecco solo due esempi:
- L'equazione di Nernst, la condizione del potenziale redox del mezzo in relazione all'attività delle sostanze e la costante di equilibrio.
- Anche il calcolo di costanti come l'indice di autoprolisi e l'acidità della soluzione non è completo senza la nostra funzione.
Psicologia e biologia
Ed è del tutto incomprensibile cosa c'entri la psicologia. Si scopre che la forza della sensazione è ben descritta da questa funzione come il rapporto inverso tra il valore dell'intensità dello stimolo e il valore dell'intensità inferiore.
Dopo gli esempi precedenti, non sorprende più che il tema dei logaritmi sia ampiamente utilizzato anche in biologia. Si possono scrivere interi volumi su forme biologiche corrispondenti a spirali logaritmiche.
Altre aree
Sembra che l'esistenza del mondo sia impossibile senza connessione con questa funzione, e governa tutte le leggi. Soprattutto quando le leggi della natura sono legate a una progressione geometrica. Vale la pena fare riferimento al sito Web MatProfi e ci sono molti esempi simili nelle seguenti aree di attività:
L'elenco potrebbe essere infinito. Dopo aver imparato le leggi di base di questa funzione, puoi immergerti nel mondo della saggezza infinita.
I logaritmi sono un mal di testa tradizionale per molti studenti delle scuole superiori. Soprattutto - equazioni e disuguaglianze con logaritmi. Per qualche ragione, agli studenti delle scuole superiori non piacciono i logaritmi. E quindi hanno paura. E completamente invano.) Perché il logaritmo stesso è un concetto molto, molto semplice. Non credi? Guarda tu stesso! Nella lezione di oggi.
Quindi, andiamo a fare conoscenza.)
Per prima cosa, risolviamo questa semplicissima equazione nella nostra mente:
2x = 4
Questa è l'equazione esponenziale più semplice. È così chiamato per il fatto che l'ignoto X è dentro esponente. Anche se non sai come vengono risolte le equazioni esponenziali, scegli mentalmente x in modo che valga l'uguaglianza. Avanti?! Sì, naturalmente, x = 2. Due quadrato fa quattro.)
E ora cambierò solo un numero in esso. Risolviamo ora questa equazione:
2x = 5
E ancora proviamo a raccogliere X ...
Cosa non viene scelto? Due al quadrato fa quattro. Due al cubo fa otto. E ne abbiamo cinque. Sono scivolati oltre... Cosa fare? Non dirmi che non esiste una X del genere! non ci crederò.)
D'accordo sul fatto che questo è in qualche modo ingiusto: con il quattro l'equazione è risolta nella mente e con il cinque non è più risolta in alcun modo. La matematica non accetta tale discriminazione! Per lei, tutti i numeri sono partner uguali.)
A questo punto, possiamo solo stimare approssimativamente che x - un certo numero frazionario tra due ( 2 2 = 4 ) e triplo ( 2 3 = 8 ). Possiamo anche armeggiare un po' con la calcolatrice e approssimativamente raccogliere, trovare questo numero. Ma un tale trambusto ogni volta ... Sono d'accordo, in qualche modo triste ...
La matematica risolve questo problema in modo molto semplice ed elegante, introducendo concetti di logaritmo.
Allora, cos'è un logaritmo? Torniamo alla nostra misteriosa equazione:
2x = 5
Comprendiamo il problema: dobbiamo trovare un certo numero X, a cui devi aumentare 2 per ottenere 5 . È chiara questa frase? In caso contrario, leggilo di nuovo. E altro ancora... Fino a quando non te ne rendi conto. Perché è molto importante!
Allora chiamiamo questo numero misterioso X logaritmo di cinque in base due! In forma matematica, queste parole si presentano così:
X = registro 2 5
Ed è pronunciato così: "X è il logaritmo di cinque in base due."
Viene chiamato il numero sotto (due). la base del logaritmo. Si scrive dal basso allo stesso modo dell'espressione esponenziale 2 x. È molto facile da ricordare.)
Bene, questo è tutto! Abbiamo risolto un'equazione esponenziale dall'aspetto terribile!
2x = 5
X = registro 2 5
E questo è tutto! Questa è la risposta corretta e completamente completa!
Forse ti dà fastidio che invece di un numero specifico scriva delle lettere e delle icone strane?
Bene, ok, abbiamo convinto ... Soprattutto per te:
X = registro 2 5 = 2.321928095…
Tieni presente che questo numero non finisce mai. Si si! è irrazionale...
Ecco la risposta alla tua domanda, a cosa servono i logaritmi?. Abbiamo bisogno di logaritmi, prima di tutto, per risolvere equazioni esponenziali! Quelli che non si risolvono affatto senza logaritmi ...
Ad esempio, risolvendo l'equazione esponenziale
3x=9
Puoi dimenticare i logaritmi. È immediatamente chiaro che x = 2.
Ma, risolvendo l'equazione, diciamo questo
3x = 7,
Voi circa ottenere questa risposta arruffata:
X ≈ 1,77124375
Ma attraverso il logaritmo è dato intonazione giusta Rispondere:
X = registro 3 7.
E questo è tutto.) Ecco perché scrivono logaritmi invece di brutti numeri irrazionali. Chi ha bisogno di una risposta numerica - conterà su una calcolatrice o almeno su Excel.) E prima, quando non c'erano calcolatrici e computer, c'erano speciali tabelle di logaritmi. Ingombrante e pesante. Proprio come i tavoli Bradys per seno e coseno. E anche questo strumento era... Regolo calcolatore. Il che ha permesso con buona precisione di calcolare molte cose utili. E non solo logaritmi.)
Ecco qui. Ora, impercettibilmente per noi stessi, abbiamo imparato a decidere tutto equazioni esponenziali di questo tipo brutale.
Per esempio:
2x = 13
Nessun problema:
X = registro 2 13
5x = 26
Anche elementare!
X = registro 5 26
11 x = 0,123
E questa non è una domanda:
X = log 11 0,123
Queste sono tutte risposte corrette! Bene, come? Allettante, vero?
Pensiamo ora al significato dell'operazione di ricerca del logaritmo.
Come sappiamo, per ogni azione i matematici cercano di trovare una reazione (es. inversione azione). Per addizione è sottrazione, per moltiplicazione è divisione. A cosa serve l'azione inversa esponenziazione?
Vediamo. Quali sono le nostre principali figure operative quando si sale a potenza? Eccoli:
un = b
un - base,
n - indice,
b - il grado stesso.
Ora pensiamo: se lo sappiamo livello(b) e noto indice proprio questo grado (n), ma devi trovare base (un) , allora cosa facciamo di solito? Correttamente! Estraiamo la radice dell'ennesimo grado! Come questo:
Ora diamo un'occhiata a un'altra situazione: lo sappiamo ancora livello(b), ma questa volta invece dell'esponente n lo sappiamo base(a), ma devi solo trovarlo molto indicatore (n). Cosa faremo?
È qui che i logaritmi vengono in soccorso! Scrivono esattamente così:
"It" (n)è il numero a cui aumentare "un", Ottenere "b". È tutto. Questo è il punto centrale del logaritmo. L'operazione di ricerca del logaritmo è solo una ricerca indicatore lauree in famosi livello e fondazione.
Quindi, per l'esponenziale in matematica, c'è due natura diversa azioni inverse. esso estrazione della radice e trovare il logaritmo. Ma, diciamo per la moltiplicazione, c'è solo un'azione inversa: la divisione. È comprensibile: una qualsiasi delle incognite - che è la prima, che è la seconda - si cerca con un'unica operazione - la divisione.)
Gli esempi più semplici con logaritmi.
Ora le notizie non sono buone. Se il logaritmo è considerato esattamente, allora è deve essere considerato, Sì.
Diciamo se da qualche parte nell'equazione hai
X = tronco d'albero 3 9 ,
Quella risposta non sarà apprezzata. Dobbiamo calcolare il logaritmo e scrivere:
x = 2
E come abbiamo capito quel log 3 9=2? Traduciamo l'uguaglianza dal linguaggio matematico al russo: il logaritmo di nove in base a tre è il numero a cui tre deve essere elevato per ottenere nove. E quale numero ti serve per alzare un tre per ottenere un nove? Beh, certo! Deve essere quadrato. Cioè, due.)
E cos'è, diciamo, log 5 125? E fino a che punto cinque ci danno 125? Nella terza, ovviamente (cioè in un cubo)!
Quindi log 5 125 = 3.
Registro 7 7 = ?
A quale potenza si deve elevare 7 per ottenere 7? Primo!
Ecco la tua risposta: log 7 7 = 1
Che ne dici di un esempio come questo?
Registro 3 1 = ?
E a quale potenza si devono elevare tre per averne uno? Non hai indovinato? Ti ricordi .) Sì! A zero! Qui scriviamo:
Registro 3 1 = 0
Hai il principio? Poi ci alleniamo:
Registro 2 16 = …
Registro 4 64 = …
Registro 13 13 = …
Registro 3 243 = …
Registro 15 1 = …
Risposte (allo sbando): 1; 3; 5; 0; quattro.
Che cosa? Hai dimenticato fino a che punto 3 dà 243? Ebbene, non c'è niente da fare: bisogna riconoscere i gradi dei numeri popolari. In faccia! Bene, la tabellina è un compagno e un assistente affidabile. E non solo nei logaritmi.)
Bene, esempi abbastanza semplici sono stati risolti e ora stiamo facendo un passo avanti. Ricordiamo indicatori negativi e frazionari.)
Risolviamo questo esempio:
Registro 4 0,25 = ?
Hmm ... E a che potenza serve per alzare i quattro per ottenere 0,25? Quindi non puoi dirlo subito. Se lavori solo con indicatori naturali. Ma le lauree in matematica, come sai, non sono solo naturali. È tempo di collegare le nostre conoscenze su negativo indicatori e ricordatelo
0,25 = 1/4 = 4 -1
Pertanto, possiamo tranquillamente scrivere:
Registro 4 0,25 = registro 4 4 -1 = -1.
E questo è tutto.)
Un altro esempio:
Registro 4 2 = ?
A quale potenza devi aumentare 4 per ottenere 2? Per rispondere a questa domanda, dovremo collegare la nostra conoscenza delle radici. E ricorda che il diavolo lo è radice quadrata di quattro:
E la radice quadrata della matematica ti permette di rappresentarla come una laurea! Con un indicatore di 1/2. Quindi scriviamo:
Quindi il nostro logaritmo sarà:
Bene, congratulazioni! Qui siamo con te e abbiamo incontrato i logaritmi. Al livello iniziale più primitivo.) E tu stesso hai visto di persona che non sono affatto così spaventosi come avresti potuto pensare prima. Ma i logaritmi, come qualsiasi altro concetto matematico, hanno le loro proprietà e le loro particolarità. Su entrambi (sulle proprietà e sui chip) - nella prossima lezione.
E ora decidiamo da soli.
Calcolare:
Risposte (allo sbando): 4.4; 0; uno; 6; quattro; 2.
Intervallo accettabile (ODZ) del logaritmo
Parliamo ora delle restrizioni (ODZ - l'area dei valori ammissibili delle variabili).
Ricordiamo che, ad esempio, la radice quadrata non può essere ricavata da numeri negativi; o se abbiamo una frazione, allora il denominatore non può essere uguale a zero. Esistono restrizioni simili per i logaritmi:
Cioè, sia l'argomento che la base devono essere maggiori di zero e la base non può essere uguale.
Perché?
Cominciamo dal semplice: diciamo così. Quindi, ad esempio, il numero non esiste, poiché indipendentemente dal grado in cui innalziamo, risulta sempre. Inoltre, non esiste per nessuno. Ma allo stesso tempo può essere uguale a qualsiasi cosa (per lo stesso motivo: è uguale a qualsiasi grado). Pertanto, l'oggetto non è di alcun interesse ed è stato semplicemente espulso dalla matematica.
Abbiamo un problema simile nel caso: in qualsiasi grado positivo - questo, ma non può essere elevato a una potenza negativa, poiché risulterà una divisione per zero (te lo ricordo).
Quando ci troviamo di fronte al problema dell'elevazione a potenza frazionaria (che è rappresentata come radice:. Ad esempio, (cioè), ma non esiste.
Pertanto, le ragioni negative sono più facili da buttare via che rovinarle.
Bene, poiché la base a è solo positiva per noi, non importa in quale grado la aumentiamo, otterremo sempre un numero rigorosamente positivo. Quindi l'argomento deve essere positivo. Ad esempio, non esiste, poiché non sarà in alcun modo un numero negativo (e anche zero, quindi non esiste nemmeno).
Nei problemi con i logaritmi, il primo passo è scrivere l'ODZ. Faccio un esempio:
Risolviamo l'equazione.
Ricordiamo la definizione: il logaritmo è la potenza a cui si deve elevare la base per ottenere un argomento. E per la condizione, questo grado è uguale a: .
Otteniamo la solita equazione quadratica: . Lo risolviamo usando il teorema di Vieta: la somma delle radici è uguale e il prodotto. Facile da raccogliere, questi sono numeri e.
Ma se prendi e scrivi immediatamente entrambi questi numeri nella risposta, puoi ottenere 0 punti per l'attività. Come mai? Pensiamo a cosa succede se sostituiamo queste radici nell'equazione iniziale?
Questo è chiaramente falso, poiché la base non può essere negativa, cioè la radice è "di terze parti".
Per evitare trucchi così spiacevoli, è necessario annotare l'ODZ anche prima di iniziare a risolvere l'equazione:
Quindi, dopo aver ricevuto le radici e, scartiamo immediatamente la radice e scriviamo la risposta corretta.
Esempio 1(prova a risolverlo da solo) :
Trova la radice dell'equazione. Se ci sono più radici, indica quella più piccola nella tua risposta.
Soluzione:
Prima di tutto, scriviamo l'ODZ:
Ora ricordiamo cos'è un logaritmo: a quale potenza è necessario aumentare la base per ottenere un argomento? Nel secondo. Questo è:
Sembrerebbe che la radice più piccola sia uguale. Ma non è così: secondo l'ODZ, la radice è di terze parti, cioè non è affatto la radice di questa equazione. Pertanto, l'equazione ha una sola radice: .
Risposta: .
Identità logaritmica di base
Ricordiamo la definizione di logaritmo in termini generali:
Sostituisci nella seconda uguaglianza al posto del logaritmo:
Questa uguaglianza è chiamata identità logaritmica di base. Sebbene in sostanza questa uguaglianza sia scritta in modo diverso definizione del logaritmo:
Questo è il potere a cui devi elevare per ottenere.
Per esempio:
Risolvi i seguenti esempi:
Esempio 2
Trova il valore dell'espressione.
Soluzione:
Richiama la regola dalla sezione: cioè quando si eleva un grado a una potenza, gli indicatori vengono moltiplicati. Applichiamolo:
Esempio 3
Prova che.
Soluzione:
Proprietà dei logaritmi
Sfortunatamente, i compiti non sono sempre così semplici: spesso devi prima semplificare l'espressione, portarla nella solita forma e solo allora sarà possibile calcolare il valore. È più facile farlo sapendo proprietà dei logaritmi. Quindi impariamo le proprietà di base dei logaritmi. Dimostrerò ciascuno di essi, perché qualsiasi regola è più facile da ricordare se sai da dove viene.
Tutte queste proprietà devono essere ricordate; senza di esse, la maggior parte dei problemi con i logaritmi non possono essere risolti.
E ora su tutte le proprietà dei logaritmi in modo più dettagliato.
Proprietà 1:
Prova:
Lascia, allora.
Abbiamo: , h.t.d.
Proprietà 2: Somma dei logaritmi
La somma dei logaritmi aventi la stessa base è uguale al logaritmo del prodotto: .
Prova:
Lascia, allora. Lascia, allora.
Esempio: Trova il valore dell'espressione: .
Soluzione: .
La formula che hai appena imparato aiuta a semplificare la somma dei logaritmi, non la differenza, in modo che questi logaritmi non possano essere combinati subito. Ma puoi fare il contrario: "spezzare" il primo logaritmo in due: Ed ecco la semplificazione promessa:
.
Perché è necessario? Bene, per esempio: che importa?
Ora è ovvio che.
Adesso rendilo facile per te:
Compiti:
Risposte:
Proprietà 3: Differenza dei logaritmi:
Prova:
Tutto è esattamente come nel paragrafo 2:
Lascia, allora.
Lascia, allora. Abbiamo:
L'esempio dell'ultimo punto è ora ancora più semplice:
Esempio più complicato: . Indovina come decidere?
Qui va notato che non abbiamo una singola formula sui logaritmi al quadrato. Questo è qualcosa di simile a un'espressione: non può essere semplificato subito.
Pertanto, divaghiamo dalle formule sui logaritmi e pensiamo a quali formule generalmente utilizziamo più spesso in matematica? Fin dalla 7a elementare!
Esso - . Devi abituarti al fatto che sono ovunque! E nei problemi esponenziali, trigonometrici e irrazionali si trovano. Pertanto, devono essere ricordati.
Se guardi da vicino i primi due termini, diventa chiaro che lo è differenza di quadrati:
Risposta per verificare:
Semplifica te stesso.
Esempi
Risposte.
Proprietà 4: Derivazione dell'esponente dall'argomento del logaritmo:
Prova: E qui usiamo anche la definizione del logaritmo: sia, allora. Abbiamo: , h.t.d.
Puoi capire questa regola in questo modo:
Cioè, il grado dell'argomento è anticipato del logaritmo, come coefficiente.
Esempio: Trova il valore dell'espressione.
Soluzione: .
Decidi tu stesso:
Esempi:
Risposte:
Proprietà 5: Derivazione dell'esponente dalla base del logaritmo:
Prova: Lascia, allora.
Abbiamo: , h.t.d.
Ricorda: da motivi grado è reso come inversione numero, a differenza del caso precedente!
Proprietà 6: Derivazione dell'esponente dalla base e argomento del logaritmo:
Oppure se i gradi sono gli stessi: .
Proprietà 7: Transizione alla nuova base:
Prova: Lascia, allora.
Abbiamo: , h.t.d.
Proprietà 8: Scambio della base e dell'argomento del logaritmo:
Prova: Questo è un caso speciale della formula 7: se sostituiamo, otteniamo: , p.t.d.
Diamo un'occhiata a qualche altro esempio.
Esempio 4
Trova il valore dell'espressione.
Usiamo la proprietà dei logaritmi n. 2 - la somma dei logaritmi con la stessa base è uguale al logaritmo del prodotto:
Esempio 5
Trova il valore dell'espressione.
Soluzione:
Usiamo la proprietà dei logaritmi n. 3 e n. 4:
Esempio 6
Trova il valore dell'espressione.
Soluzione:
Usando la proprietà numero 7 - vai alla base 2:
Esempio 7
Trova il valore dell'espressione.
Soluzione:
Ti piace l'articolo?
Se stai leggendo queste righe, allora hai letto l'intero articolo.
Ed è bello!
Ora dicci come ti piace l'articolo?
Hai imparato a risolvere i logaritmi? Se no, qual è il problema?
Scrivici nei commenti qui sotto.
E sì, buona fortuna per gli esami.
All'esame di stato unificato e OGE e in generale nella vita
