Sappiamo già che l'insieme dei numeri reali $R$ è formato da numeri razionali e irrazionali.
I numeri razionali possono sempre essere rappresentati come decimali (periodici finiti o infiniti).
I numeri irrazionali sono scritti come decimali infiniti ma non ricorrenti.
L'insieme dei numeri reali $R$ include anche gli elementi $-\infty $ e $+\infty $, per i quali le disuguaglianze $-\infty
Considera i modi per rappresentare i numeri reali.
Frazioni comuni
Le frazioni ordinarie si scrivono usando due numeri naturali e una barra frazionaria orizzontale. La barra frazionaria sostituisce effettivamente il segno di divisione. Il numero sotto la linea è il denominatore (divisore), il numero sopra la linea è il numeratore (divisibile).
Definizione
Una frazione si dice propria se il suo numeratore è minore del denominatore. Al contrario, una frazione si dice impropria se il suo numeratore è maggiore o uguale al suo denominatore.
Per le frazioni ordinarie esistono regole di confronto semplici, praticamente ovvie ($m$,$n$,$p$ sono numeri naturali):
- di due frazioni con gli stessi denominatori, quella con il numeratore più grande è maggiore, cioè $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ per $m>n$;
- di due frazioni con gli stessi numeratori, quella con denominatore minore è maggiore, ovvero $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ per $ m
- una frazione propria è sempre minore di uno; la frazione impropria è sempre maggiore di uno; una frazione il cui numeratore è uguale al denominatore è uguale a uno;
- Qualsiasi frazione impropria è maggiore di qualsiasi frazione propria.
Numeri decimali
La notazione di un numero decimale (frazione decimale) ha la forma: parte intera, punto decimale, parte frazionaria. La notazione decimale di una frazione ordinaria si ottiene dividendo l'"angolo" del numeratore per il denominatore. Ciò può comportare una frazione decimale finita o una frazione decimale periodica infinita.
Definizione
Le cifre frazionarie sono dette cifre decimali. In questo caso, la prima cifra dopo la virgola è chiamata decima cifra, la seconda - la cifra dei centesimi, la terza - la cifra dei millesimi, ecc.
Esempio 1
Determiniamo il valore del numero decimale 3.74. Otteniamo: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.
Il numero decimale può essere arrotondato. In questo caso, è necessario specificare la cifra a cui viene eseguito l'arrotondamento.
La regola di arrotondamento è la seguente:
- tutte le cifre a destra di questa cifra vengono sostituite con zeri (se queste cifre sono prima del punto decimale) o scartate (se queste cifre sono dopo il punto decimale);
- se la prima cifra che segue la cifra indicata è minore di 5, la cifra di questa cifra non viene modificata;
- se la prima cifra che segue la cifra data è 5 o più, la cifra di questa cifra viene aumentata di uno.
Esempio 2
- Arrotondiamo il numero 17302 al migliaio più vicino: 17000.
- Arrotondiamo il numero 17378 al centinaio più vicino: 17400.
- Arrotondiamo il numero 17378,45 alle decine: 17380.
- Arrotondiamo il numero 378.91434 al centesimo più vicino: 378.91.
- Arrotondiamo il numero 378.91534 al centesimo più vicino: 378.92.
Conversione di un numero decimale in una frazione comune.
Caso 1
Un numero decimale è un decimale finale.
Il metodo di conversione è mostrato nell'esempio seguente.
Esempio 2
Abbiamo: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.
Riduci a un denominatore comune e ottieni:
La frazione può essere ridotta: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.
Caso 2
Un numero decimale è un decimale ricorrente infinito.
Il metodo di trasformazione si basa sul fatto che la parte periodica di una frazione decimale periodica può essere considerata come la somma dei membri di una progressione geometrica decrescente infinita.
Esempio 4
$0,\sinistra(74\destra)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\lpunti $. Il primo membro della progressione è $a=0.74$, il denominatore della progressione è $q=0.01$.
Esempio 5
$0,5\sinistra(8\destra)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Il primo membro della progressione è $a=0.08$, il denominatore della progressione è $q=0.1$.
La somma dei termini di una progressione geometrica decrescente infinita si calcola con la formula $s=\frac(a)(1-q) $, dove $a$ è il primo termine e $q$ è il denominatore della progressione $ \sinistra (0
Esempio 6
Convertiamo la frazione decimale periodica infinita $0,\left(72\right)$ in una normale.
Il primo membro della progressione è $a=0.72$, il denominatore della progressione è $q=0.01$. Otteniamo: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 )(11)$. Quindi $0,\sinistra(72\destra)=\frac(8)(11) $.
Esempio 7
Convertiamo la frazione decimale periodica infinita $0.5\left(3\right)$ in una normale.
Il primo membro della progressione è $a=0.03$, il denominatore della progressione è $q=0.1$. Otteniamo: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30)$.
Quindi $0,5\sinistra(3\destra)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)(30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.
I numeri reali possono essere rappresentati da punti sulla linea dei numeri.
In questo caso, chiamiamo l'asse numerico una retta infinita, su cui sono selezionati l'origine (punto $O$), la direzione positiva (indicata da una freccia) e la scala (per visualizzare i valori).
Tra tutti i numeri reali e tutti i punti dell'asse numerico c'è una corrispondenza biunivoca: ogni punto corrisponde a un solo numero e, viceversa, ogni numero corrisponde a un solo punto. Pertanto, l'insieme dei numeri reali è continuo e infinito allo stesso modo in cui l'asse dei numeri è continuo e infinito.
Alcuni sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali sono chiamati intervalli numerici. Gli elementi di un intervallo numerico sono numeri $x\in R$ che soddisfano una certa disuguaglianza. Sia $a\in R$, $b\in R$ e $a\le b$. In questo caso, i tipi di lacune possono essere i seguenti:
- Intervallo $\sinistra(a,\; b\destra)$. Allo stesso tempo $ a
- Segmento $\sinistra$. Inoltre, $a\le x\le b$.
- Semisegmenti o semiintervalli $\left$. Allo stesso tempo $ a \le x
- Intervalli infiniti, ad esempio $a
Di grande importanza è anche una specie di intervallo, chiamato intorno di un punto. L'intorno di un dato punto $x_(0) \in R$ è un intervallo arbitrario $\left(a,\; b\right)$ contenente questo punto al suo interno, cioè $a 0$ - 10° raggio.
Il valore assoluto del numero
Il valore assoluto (o modulo) di un numero reale $x$ è un numero reale non negativo $\left|x\right|$, definito dalla formula: $\left|x\right|=\left\(\ begin(array)(c) (\; \; x\; \; (\rm acceso)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm acceso)\; \; x
Geometricamente, $\left|x\right|$ indica la distanza tra i punti $x$ e 0 sull'asse reale.
Proprietà dei valori assoluti:
- segue dalla definizione che $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
- per il modulo della somma e per il modulo della differenza di due numeri, le disuguaglianze $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ sinistra|x-y\destra|\le \sinistra|x\destra|+\sinistra|y\destra|$ e anche $\sinistra|x+y\destra|\ge \sinistra|x\destra|-\sinistra|y \destra|$,$\ sinistra|x-y\destra|\ge \sinistra|x\destra|-\sinistra|y\destra|$;
- il modulo del prodotto e il modulo del quoziente di due numeri soddisfano le uguaglianze $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ e $\left |\frac(x)( y) \right|=\frac(\sinistra|x\destra|)(\sinistra|y\destra|) $.
Sulla base della definizione del valore assoluto per un numero arbitrario $a>0$, si può anche stabilire l'equivalenza delle seguenti coppie di disuguaglianze:
- se $ \sinistra|x\destra|
- se $\sinistra|x\destra|\le a$ allora $-a\le x\le a$;
- se $\left|x\right|>a$ allora o $xa$;
- se $\left|x\right|\ge a$, allora $x\le -a$ o $x\ge a$.
Esempio 8
Risolvi la disuguaglianza $\left|2\cdot x+1\right|
Questa disuguaglianza è equivalente alle disuguaglianze $-7
Da qui otteniamo: $-8
Sappiamo già che l'insieme dei numeri reali $R$ è formato da numeri razionali e irrazionali.
I numeri razionali possono sempre essere rappresentati come decimali (periodici finiti o infiniti).
I numeri irrazionali sono scritti come decimali infiniti ma non ricorrenti.
L'insieme dei numeri reali $R$ include anche gli elementi $-\infty $ e $+\infty $, per i quali le disuguaglianze $-\infty
Considera i modi per rappresentare i numeri reali.
Frazioni comuni
Le frazioni ordinarie si scrivono usando due numeri naturali e una barra frazionaria orizzontale. La barra frazionaria sostituisce effettivamente il segno di divisione. Il numero sotto la linea è il denominatore (divisore), il numero sopra la linea è il numeratore (divisibile).
Definizione
Una frazione si dice propria se il suo numeratore è minore del denominatore. Al contrario, una frazione si dice impropria se il suo numeratore è maggiore o uguale al suo denominatore.
Per le frazioni ordinarie esistono regole di confronto semplici, praticamente ovvie ($m$,$n$,$p$ sono numeri naturali):
- di due frazioni con gli stessi denominatori, quella con il numeratore più grande è maggiore, cioè $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ per $m>n$;
- di due frazioni con gli stessi numeratori, quella con denominatore minore è maggiore, ovvero $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ per $ m
- una frazione propria è sempre minore di uno; la frazione impropria è sempre maggiore di uno; una frazione il cui numeratore è uguale al denominatore è uguale a uno;
- Qualsiasi frazione impropria è maggiore di qualsiasi frazione propria.
Numeri decimali
La notazione di un numero decimale (frazione decimale) ha la forma: parte intera, punto decimale, parte frazionaria. La notazione decimale di una frazione ordinaria si ottiene dividendo l'"angolo" del numeratore per il denominatore. Ciò può comportare una frazione decimale finita o una frazione decimale periodica infinita.
Definizione
Le cifre frazionarie sono dette cifre decimali. In questo caso, la prima cifra dopo la virgola è chiamata decima cifra, la seconda - la cifra dei centesimi, la terza - la cifra dei millesimi, ecc.
Esempio 1
Determiniamo il valore del numero decimale 3.74. Otteniamo: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.
Il numero decimale può essere arrotondato. In questo caso, è necessario specificare la cifra a cui viene eseguito l'arrotondamento.
La regola di arrotondamento è la seguente:
- tutte le cifre a destra di questa cifra vengono sostituite con zeri (se queste cifre sono prima del punto decimale) o scartate (se queste cifre sono dopo il punto decimale);
- se la prima cifra che segue la cifra indicata è minore di 5, la cifra di questa cifra non viene modificata;
- se la prima cifra che segue la cifra data è 5 o più, la cifra di questa cifra viene aumentata di uno.
Esempio 2
- Arrotondiamo il numero 17302 al migliaio più vicino: 17000.
- Arrotondiamo il numero 17378 al centinaio più vicino: 17400.
- Arrotondiamo il numero 17378,45 alle decine: 17380.
- Arrotondiamo il numero 378.91434 al centesimo più vicino: 378.91.
- Arrotondiamo il numero 378.91534 al centesimo più vicino: 378.92.
Conversione di un numero decimale in una frazione comune.
Caso 1
Un numero decimale è un decimale finale.
Il metodo di conversione è mostrato nell'esempio seguente.
Esempio 2
Abbiamo: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.
Riduci a un denominatore comune e ottieni:
La frazione può essere ridotta: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.
Caso 2
Un numero decimale è un decimale ricorrente infinito.
Il metodo di trasformazione si basa sul fatto che la parte periodica di una frazione decimale periodica può essere considerata come la somma dei membri di una progressione geometrica decrescente infinita.
Esempio 4
$0,\sinistra(74\destra)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\lpunti $. Il primo membro della progressione è $a=0.74$, il denominatore della progressione è $q=0.01$.
Esempio 5
$0,5\sinistra(8\destra)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Il primo membro della progressione è $a=0.08$, il denominatore della progressione è $q=0.1$.
La somma dei termini di una progressione geometrica decrescente infinita si calcola con la formula $s=\frac(a)(1-q) $, dove $a$ è il primo termine e $q$ è il denominatore della progressione $ \sinistra (0
Esempio 6
Convertiamo la frazione decimale periodica infinita $0,\left(72\right)$ in una normale.
Il primo membro della progressione è $a=0.72$, il denominatore della progressione è $q=0.01$. Otteniamo: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 )(11)$. Quindi $0,\sinistra(72\destra)=\frac(8)(11) $.
Esempio 7
Convertiamo la frazione decimale periodica infinita $0.5\left(3\right)$ in una normale.
Il primo membro della progressione è $a=0.03$, il denominatore della progressione è $q=0.1$. Otteniamo: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30)$.
Quindi $0,5\sinistra(3\destra)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)(30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.
I numeri reali possono essere rappresentati da punti sulla linea dei numeri.
In questo caso, chiamiamo l'asse numerico una retta infinita, su cui sono selezionati l'origine (punto $O$), la direzione positiva (indicata da una freccia) e la scala (per visualizzare i valori).
Tra tutti i numeri reali e tutti i punti dell'asse numerico c'è una corrispondenza biunivoca: ogni punto corrisponde a un solo numero e, viceversa, ogni numero corrisponde a un solo punto. Pertanto, l'insieme dei numeri reali è continuo e infinito allo stesso modo in cui l'asse dei numeri è continuo e infinito.
Alcuni sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali sono chiamati intervalli numerici. Gli elementi di un intervallo numerico sono numeri $x\in R$ che soddisfano una certa disuguaglianza. Sia $a\in R$, $b\in R$ e $a\le b$. In questo caso, i tipi di lacune possono essere i seguenti:
- Intervallo $\sinistra(a,\; b\destra)$. Allo stesso tempo $ a
- Segmento $\sinistra$. Inoltre, $a\le x\le b$.
- Semisegmenti o semiintervalli $\left$. Allo stesso tempo $ a \le x
- Intervalli infiniti, ad esempio $a
Di grande importanza è anche una specie di intervallo, chiamato intorno di un punto. L'intorno di un dato punto $x_(0) \in R$ è un intervallo arbitrario $\left(a,\; b\right)$ contenente questo punto al suo interno, cioè $a 0$ - 10° raggio.
Il valore assoluto del numero
Il valore assoluto (o modulo) di un numero reale $x$ è un numero reale non negativo $\left|x\right|$, definito dalla formula: $\left|x\right|=\left\(\ begin(array)(c) (\; \; x\; \; (\rm acceso)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm acceso)\; \; x
Geometricamente, $\left|x\right|$ indica la distanza tra i punti $x$ e 0 sull'asse reale.
Proprietà dei valori assoluti:
- segue dalla definizione che $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
- per il modulo della somma e per il modulo della differenza di due numeri, le disuguaglianze $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ sinistra|x-y\destra|\le \sinistra|x\destra|+\sinistra|y\destra|$ e anche $\sinistra|x+y\destra|\ge \sinistra|x\destra|-\sinistra|y \destra|$,$\ sinistra|x-y\destra|\ge \sinistra|x\destra|-\sinistra|y\destra|$;
- il modulo del prodotto e il modulo del quoziente di due numeri soddisfano le uguaglianze $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ e $\left |\frac(x)( y) \right|=\frac(\sinistra|x\destra|)(\sinistra|y\destra|) $.
Sulla base della definizione del valore assoluto per un numero arbitrario $a>0$, si può anche stabilire l'equivalenza delle seguenti coppie di disuguaglianze:
- se $ \sinistra|x\destra|
- se $\sinistra|x\destra|\le a$ allora $-a\le x\le a$;
- se $\left|x\right|>a$ allora o $xa$;
- se $\left|x\right|\ge a$, allora $x\le -a$ o $x\ge a$.
Esempio 8
Risolvi la disuguaglianza $\left|2\cdot x+1\right|
Questa disuguaglianza è equivalente alle disuguaglianze $-7
Da qui otteniamo: $-8
n. 1. Proprietà dei numeri razionali.
ordine . Per ogni numero razionale e c'è una regola che permette di identificare univocamente tra di loro uno e solo uno dei tre relazioni: "", "" o "". Questa regola è chiamata regola di ordinamento ed è formulato come segue: due numeri positivi sono collegati dalla stessa relazione di due interi; due numeri non positivi e sono correlati dalla stessa relazione di due numeri non negativi e; se improvvisamente non negativo, ma negativo, allora.
somma delle frazioni
Operazione di addizione
.
regola di somma, che li mette in corrispondenza di un numero razionale . In questo caso, viene chiamato il numero stesso somma
numeri u è indicato e viene chiamato il processo per trovare tale numero somma. La regola della somma ha la seguente forma: 
.
Operazione di moltiplicazione
.
Per tutti i numeri razionali e c'è un cosiddetto regola di moltiplicazione, che li mette in corrispondenza di un numero razionale . In questo caso, viene chiamato il numero stesso opera
numeri ii è indicato e viene anche chiamato il processo per trovare tale numero moltiplicazione. La regola di moltiplicazione è la seguente: 
.
Transitività relazioni di ordine. Per ogni tripla di numeri razionali, e se minore e minore, minore, e se uguale e uguale, uguale.
commutatività aggiunta. Da un cambiamento nei luoghi dei termini razionali, la somma non cambia.
Associatività aggiunta. L'ordine in cui vengono aggiunti tre numeri razionali non influisce sul risultato.
Disponibilitàzero . C'è un numero razionale 0 che conserva ogni altro numero razionale quando sommato.
La presenza di numeri opposti. Ogni numero razionale ha un numero razionale opposto che, sommato, dà 0.
Commutatività della moltiplicazione. Cambiando i luoghi dei fattori razionali, il prodotto non cambia.
Associatività della moltiplicazione. L'ordine in cui vengono moltiplicati tre numeri razionali non influisce sul risultato.
Disponibilitàunità . C'è un numero razionale 1 che conserva ogni altro numero razionale quando moltiplicato.
Disponibilitànumeri reciproci . Ogni numero razionale diverso da zero ha un numero razionale inverso, moltiplicato per il quale si ottiene 1.
distributività moltiplicazione rispetto all'addizione. L'operazione di moltiplicazione è coerente con l'operazione di addizione attraverso la legge di distribuzione:
Collegamento del rapporto d'ordine con l'operazione di addizione. Lo stesso numero razionale può essere aggiunto ai lati sinistro e destro di una disuguaglianza razionale.
Collegamento della relazione d'ordine con l'operazione di moltiplicazione. I lati sinistro e destro di una disuguaglianza razionale possono essere moltiplicati per lo stesso numero razionale positivo.
Assioma di Archimede . Qualunque sia il numero razionale , puoi prendere così tante unità che la loro somma supererà.
n. 2. Modulo di un numero reale.
Definizione . Il modulo di un numero reale non negativo x è il numero stesso: | x | = x; il modulo di un numero reale negativo x è il numero opposto: I x | = - x.
In breve, si scrive così:
2. Il significato geometrico del modulo di un numero reale
Torniamo all'insieme R dei numeri reali e alla sua geometria Modelli- linea numerica. Segniamo due punti aeb sulla linea (due numeri reali aeb), indichiamo con (a, b) la distanza tra i punti aeb (- la lettera dell'alfabeto greco "ro"). Tale distanza è uguale a b - a, se b > a (Fig. 101), è uguale a a - b, se a > b (Fig. 102), infine è zero se a = b.
Tutti e tre i casi sono coperti da una formula:
b) Equazione | x + 3,2 | = 2 riscrivi nella forma | x - (- 3.2) | \u003d 2 e oltre (x, - 3.2) \u003d 2. Ci sono due punti sulla linea delle coordinate che vengono rimossi dal punto - 3.2 a una distanza pari a 2. Questi sono punti - 5.2 e - 1.2 (Fig. . 104). Quindi l'equazione ne ha due radice: -5.2 e -1.2.
№4.INSIEME DI NUMERI REALI
L'unione dell'insieme dei numeri razionali e dell'insieme dei numeri irrazionali è chiamata insieme valido (o Materiale ) numeri . L'insieme dei numeri reali è indicato dal simbolo R. Ovviamente, .
I numeri reali vengono visualizzati asse numerico
Oh punti (fig.). 
In questo caso, ogni numero reale corrisponde a un certo punto dell'asse numerico e ogni punto dell'asse corrisponde a un certo numero reale.
Pertanto, al posto delle parole "numero reale" puoi dire "punto".
n. 5. divari numerici.
|
Tipo di spazio |
immagini geometriche |
Designazione |
Scrivere usando le disuguaglianze |
|
Intervallo |
| ||
|
| |||
|
Mezzo intervallo |
| ||
|
Mezzo intervallo |
| ||
|
| |||
|
| |||
|
fascio aperto |
| ||
|
fascio aperto |
|
n. 6. Funzione numerica.
Assegnare un insieme di numeri Se a ciascun numero è assegnato un numero singolo y, poi lo diciamo sul set D numerico funzione :
|
y = f (X), |
Molti D chiamato ambito della funzione e indicato D (f (X)). L'insieme di tutti gli elementi f (X), dove si chiama gamma di funzioni e indicato e (f (X)).
Numero X chiama spesso argomento della funzione o una variabile indipendente e il numero y- variabile dipendente o, appunto, funzione variabile X. Viene chiamato il numero corrispondente al valore valore della funzione in un punto e denota o
Per impostare una funzione f, è necessario specificare:
1) il suo dominio di definizione D (f (X));
2) specificare la regola f, in base al quale ogni valore è associato a un valore y = f (X).
№7. funzione inversa,
Funzione inversa
Se i ruoli di argomento e funzione sono invertiti, allora X diventa una funzione di y. In questo caso si parla di una nuova funzione chiamata funzione inversa. Supponiamo di avere una funzione:
v = tu 2 ,
dove tu- argomento, a v- funzione. Se invertiamo i loro ruoli, otteniamo tu come una funzione v :
Se indichiamo l'argomento in entrambe le funzioni come X , e la funzione attraverso y, allora abbiamo due funzioni:
ognuno dei quali è l'inverso dell'altro.
ESEMPI. Queste funzioni sono inverse tra loro:
1) peccato X e arcosin X, poiché se y= peccato X, poi X= Arcsin y;
2) cos X e Arco X, poiché se y= cos X, poi X= Arco y;
3) abbronzatura X e Arctano X, poiché se y= abbronzatura X, poi X= Arctano y;
4) e X e ln X, poiché se y= e X, poi X=ln y.
Funzioni trigonometriche inverse- funzioni matematiche inverse alle funzioni trigonometriche. Le funzioni trigonometriche inverse di solito includono sei funzioni:
arcoseno(simbolo: arcosin)
arco coseno(simbolo: arccos)
arcotangente(designazione: arctg; nella letteratura straniera arctan)
arcotangente(designazione: arcctg; nella letteratura straniera arccotan)
arcisecante(simbolo: arcsec)
arcosecante(designazione: arccosec; nella letteratura straniera arccsc)
№8. Funzioni elementari di base. Funzioni elementari
Vale la pena notare che le funzioni trigonometriche inverse sono multivalore (infinitamente significative), quando si opera con esse vengono utilizzati i cosiddetti valori principali.
№9. Numeri complessi
sono scritti come: a+ bi. Qui un e b – numeri reali, un io – unità immaginaria, cioè io 2 = –1. Numero un chiamato ascissa, un b – ordinato numero complesso a+ bi. Due numeri complessi a+ bi e un – bi chiamato coniugare numeri complessi.
I numeri reali possono essere rappresentati da punti su una linea retta, come mostrato nella figura, dove il punto A rappresenta il numero 4 e il punto B rappresenta il numero -5. Gli stessi numeri possono essere rappresentati anche dai segmenti OA, OB, tenendo conto non solo della loro lunghezza, ma anche della loro direzione.
Ogni punto M della linea dei numeri rappresenta un numero reale (razionale se il segmento OM è commensurabile con un'unità di lunghezza, e irrazionale se è incommensurabile). Pertanto, non c'è spazio sulla linea dei numeri per i numeri complessi.
Ma i numeri complessi possono essere rappresentati sul piano dei numeri. Per fare ciò, scegliamo un sistema di coordinate rettangolare sul piano, con la stessa scala su entrambi gli assi.
Numero complesso a + b io rappresentato dal punto M, in cui l'ascissa x è uguale all'ascissa un numero complesso e l'ordinata di y è uguale all'ordinata b numero complesso.
NUMERI REALI II
§ 44 Rappresentazione geometrica dei numeri reali
I numeri geometricamente reali, come i numeri razionali, sono rappresentati da punti su una retta.
Permettere l - una retta arbitraria, e O - alcuni dei suoi punti (Fig. 58). Ogni numero reale positivo α porre in corrispondenza il punto A, giacente a destra di O ad una distanza di α unità di lunghezza.
Se, per esempio, α = 2,1356..., allora
2 < α
< 3
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14
ecc. È ovvio che il punto A in questo caso deve trovarsi sulla retta l a destra dei punti corrispondenti ai numeri
2; 2,1; 2,13; ... ,
ma a sinistra dei punti corrispondenti ai numeri
3; 2,2; 2,14; ... .
Si può dimostrare che queste condizioni si definiscono sulla linea l l'unico punto A, che consideriamo l'immagine geometrica di un numero reale α = 2,1356... .
Allo stesso modo, ogni numero reale negativo β porre in corrispondenza il punto B giacente a sinistra di O ad una distanza di | β | unità di lunghezza. Infine, assegniamo il punto O al numero "zero".
Quindi, il numero 1 verrà visualizzato su una linea retta l il punto A, situato a destra di O a una distanza di un'unità di lunghezza (Fig. 59), il numero - √2 - punto B, che giace a sinistra di O a una distanza di √2 unità di lunghezza, ecc.
Mostriamo come su una linea retta l utilizzando un compasso e un righello, puoi trovare i punti corrispondenti ai numeri reali √2, √3, √4, √5, ecc. Per fare ciò, prima di tutto, mostreremo come costruire segmenti le cui lunghezze sono espresse da questi numeri. Sia AB un segmento preso come unità di lunghezza (Fig. 60).
Nel punto A, restituiamo una perpendicolare a questo segmento e vi mettiamo da parte il segmento AC, uguale al segmento AB. Quindi, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC, otteniamo; BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2
Pertanto, il segmento BC ha lunghezza √2. Riportiamo ora la perpendicolare al segmento BC nel punto C e scegliamo su di esso il punto D in modo che il segmento CD sia uguale alla lunghezza unitaria AB. Quindi dal triangolo rettangolo BCD troviamo:
ВD \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3
Pertanto, il segmento BD ha lunghezza √3. Continuando ulteriormente il processo descritto, potremmo ottenere segmenti BE, BF, ..., le cui lunghezze sono espresse dai numeri √4, √5, ecc.
Ora in linea l è facile trovare quei punti che servono come rappresentazione geometrica dei numeri √2, √3, √4, √5, ecc.
Mettendo, ad esempio, a destra del punto O il segmento BC (Fig. 61), otteniamo il punto C, che funge da rappresentazione geometrica del numero √2. Allo stesso modo, allontanando il segmento BD a destra del punto O, otteniamo il punto D", che è l'immagine geometrica del numero √3, ecc.
Tuttavia, non si dovrebbe pensare che con l'aiuto di una bussola e un righello su una linea numerica l si può trovare un punto corrispondente a un dato numero reale. È stato dimostrato, ad esempio, che, avendo a disposizione solo un compasso e un righello, è impossibile costruire un segmento la cui lunghezza sia espressa dal numero π = 3,14 ... . Quindi sulla linea dei numeri l utilizzando tali costruzioni è impossibile indicare un punto corrispondente a questo numero, tuttavia tale punto esiste.
Quindi per ogni numero reale α è possibile associare dei punti ben definiti della retta l . Questo punto sarà separato dal punto iniziale O ad una distanza di | α | unità di lunghezza ed essere a destra di O se α > 0, ea sinistra di O se α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l . Anzi, lascia il numero α corrisponde al punto A e al numero β - punto B. Poi, se α > β , allora A sarà a destra di B (Fig. 62, a); Se α < β , quindi A giacerà a sinistra di B (Fig. 62, b).
Parlando nel § 37 della rappresentazione geometrica dei numeri razionali, ci siamo posti la domanda: un punto qualsiasi di una retta può essere considerato un'immagine geometrica di alcuni razionale numeri? A quel tempo non potevamo dare una risposta a questa domanda; ora possiamo rispondere in modo abbastanza definitivo. Ci sono punti sulla linea che fungono da rappresentazione geometrica di numeri irrazionali (ad esempio, √2). Pertanto, non tutti i punti di una retta rappresentano un numero razionale. Ma in questo caso sorge un'altra domanda: un punto qualsiasi della linea reale può essere considerato come un'immagine geometrica di alcuni valido numeri? Questo problema è già stato risolto positivamente.
Sia A un punto arbitrario della retta l , giacente a destra di O (Fig. 63).
La lunghezza del segmento OA è espressa da un numero reale positivo α (vedi § 41). Quindi il punto A è l'immagine geometrica del numero α . Allo stesso modo, è stabilito che ogni punto B, che giace a sinistra di O, può essere considerato come un'immagine geometrica di un numero reale negativo - β , dove β - la lunghezza del segmento VO. Infine, il punto O funge da rappresentazione geometrica del numero zero. È chiaro che due punti distinti della linea l non può essere l'immagine geometrica dello stesso numero reale.
Per le ragioni sopra esposte, si chiama una retta su cui un punto O è indicato come punto "iniziale" (per una data unità di lunghezza) linea numerica.
Conclusione. L'insieme di tutti i numeri reali e l'insieme di tutti i punti della retta reale sono in corrispondenza uno a uno.
Ciò significa che ad ogni numero reale corrisponde un punto ben definito della retta numerica e, viceversa, ad ogni punto della retta numerica, con tale corrispondenza, corrisponde un numero reale ben definito.
Esercizi
320. Scopri quale dei due punti si trova sulla linea dei numeri a sinistra e quale a destra, se questi punti corrispondono a dei numeri:
a) 1.454545... e 1.455454...; c) 0 e - 1,56673...;
b) - 12.0003... e - 12.0002...; d) 13.24... e 13.00....
321. Scopri quale dei due punti è più lontano dal punto di partenza O sulla retta numerica, se questi punti corrispondono a numeri:
a) 5.2397... e 4.4996...; .. c) -0,3567... e 0,3557... .
d) - 15.0001 e - 15.1000...;
322. In questa sezione è stato mostrato che per costruire un segmento di lunghezza √ n usando un compasso e un righello, puoi fare quanto segue: costruire prima un segmento con una lunghezza di √2, poi un segmento con una lunghezza di √3, ecc., fino a raggiungere un segmento con una lunghezza di √ n . Ma per ogni fisso P > 3 questo processo può essere accelerato. Come, ad esempio, inizieresti a costruire un segmento di lunghezza √10?
323*. Come utilizzare un compasso e un righello per trovare un punto sulla linea numerica corrispondente al numero 1 / α , se la posizione del punto corrispondente al numero α , conosciuto?
In questo articolo analizzeremo in dettaglio il valore assoluto di un numero. Daremo varie definizioni del modulo di un numero, introdurremo la notazione e forniremo illustrazioni grafiche. In questo caso, consideriamo vari esempi per trovare il modulo di un numero per definizione. Successivamente, elenchiamo e giustifichiamo le proprietà principali del modulo. Alla fine dell'articolo, parleremo di come viene determinato e trovato il modulo di un numero complesso.
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Modulo di numero - definizione, notazione ed esempi
Per prima cosa introduciamo designazione del modulo. Il modulo del numero a verrà scritto come , cioè a sinistra ea destra del numero metteremo delle linee verticali che formano il segno del modulo. Facciamo un paio di esempi. Ad esempio, modulo -7 può essere scritto come ; il modulo 4.125 è scritto come , e il modulo è scritto come .
La seguente definizione del modulo si riferisce a, e quindi, a, e a interi, ea numeri razionali e irrazionali, come alle parti costituenti dell'insieme dei numeri reali. Parleremo del modulo di un numero complesso in.
Definizione.
Modulo di aè il numero a stesso, se a è un numero positivo, oppure il numero −a, l'opposto del numero a, se a è un numero negativo, oppure 0, se a=0 .
La definizione sonora del modulo di un numero è spesso scritta nella forma seguente 
, questa notazione significa che se a>0 , se a=0 e se a<0
.
Il record può essere rappresentato in una forma più compatta 
. Questa notazione significa che se (a è maggiore o uguale a 0 ), e se a<0
.
C'è anche un record 
. Qui, il caso in cui a=0 dovrebbe essere spiegato separatamente. In questo caso abbiamo , ma −0=0 , poiché zero è considerato un numero opposto a se stesso.
Portiamo esempi per trovare il modulo di un numero con una definizione data. Ad esempio, troviamo i moduli dei numeri 15 e . Cominciamo con la ricerca. Poiché il numero 15 è positivo, il suo modulo è, per definizione, uguale a questo numero stesso, cioè . Qual è il modulo di un numero? Poiché è un numero negativo, il suo modulo è uguale al numero opposto al numero, cioè al numero 
. In questo modo, .
In conclusione di questo paragrafo, diamo una conclusione, che è molto conveniente applicare in pratica quando si trova il modulo di un numero. Dalla definizione del modulo di un numero segue che il modulo di un numero è uguale al numero sotto il segno del modulo, indipendentemente dal suo segno, e dagli esempi discussi sopra, questo è molto chiaramente visibile. L'istruzione vocale spiega perché viene chiamato anche il modulo di un numero il valore assoluto del numero. Quindi il modulo di un numero e il valore assoluto di un numero sono uno e lo stesso.
Modulo di un numero come distanza
Geometricamente, il modulo di un numero può essere interpretato come distanza. Portiamo determinazione del modulo di un numero in termini di distanza.
Definizione.
Modulo di aè la distanza dall'origine sulla linea delle coordinate al punto corrispondente al numero a.
Questa definizione concorda con la definizione del modulo di un numero data nel primo paragrafo. Spieghiamo questo punto. La distanza dall'origine al punto corrispondente a un numero positivo è uguale a questo numero. Zero corrisponde all'origine, quindi la distanza dall'origine al punto con coordinata 0 è zero (nessun segmento singolo e nessun segmento che costituisce una frazione del segmento unitario deve essere posticipato per arrivare dal punto O al punto con coordinata 0). La distanza dall'origine a un punto con coordinata negativa è uguale al numero opposto alla coordinata del punto dato, poiché è uguale alla distanza dall'origine al punto la cui coordinata è il numero opposto.
Ad esempio, il modulo del numero 9 è 9, poiché la distanza dall'origine al punto con coordinata 9 è nove. Facciamo un altro esempio. Il punto con coordinata −3,25 è a una distanza di 3,25 dal punto O, quindi 
.
La definizione sonora del modulo di un numero è un caso speciale di definizione del modulo della differenza di due numeri.
Definizione.
Modulo differenza di due numeri aeb è uguale alla distanza tra i punti della linea di coordinate con coordinate aeb .
Cioè, se dati punti sulla linea di coordinate A(a) e B(b) , allora la distanza dal punto A al punto B è uguale al modulo della differenza tra i numeri aeb . Se prendiamo come punto B il punto O (punto di riferimento), otterremo la definizione del modulo del numero dato all'inizio di questo paragrafo.
Determinazione del modulo di un numero tramite la radice quadrata aritmetica
A volte trovato determinazione del modulo attraverso la radice quadrata aritmetica.
Ad esempio, calcoliamo i moduli dei numeri −30 e in base a questa definizione. Abbiamo . Allo stesso modo, calcoliamo il modulo di due terzi: 
.
La definizione del modulo di un numero in termini di radice quadrata aritmetica è coerente anche con la definizione data nel primo comma del presente articolo. Mostriamolo. Sia a un numero positivo, mentre il numero −a è negativo. Quindi 
e 
, se a=0 , allora 
.
Proprietà del modulo
Il modulo ha una serie di risultati caratteristici - proprietà del modulo. Ora daremo i principali e più comunemente usati. Nel sostanziare queste proprietà, faremo affidamento sulla definizione del modulo di un numero in termini di distanza.
Cominciamo con la proprietà del modulo più ovvia − modulo di un numero non può essere un numero negativo. In forma letterale, questa proprietà ha la forma per qualsiasi numero a . Questa proprietà è molto facile da giustificare: il modulo di un numero è la distanza e la distanza non può essere espressa come numero negativo.
Passiamo alla proprietà successiva del modulo. Il modulo di un numero è uguale a zero se e solo se questo numero è zero. Il modulo di zero è zero per definizione. Zero corrisponde all'origine, nessun altro punto sulla linea delle coordinate corrisponde a zero, poiché ogni numero reale è associato ad un singolo punto sulla linea delle coordinate. Per lo stesso motivo, qualsiasi numero diverso da zero corrisponde a un punto diverso dall'origine. E la distanza dall'origine a qualsiasi punto diverso dal punto O non è uguale a zero, poiché la distanza tra due punti è uguale a zero se e solo se questi punti coincidono. Il ragionamento di cui sopra dimostra che solo il modulo di zero è uguale a zero.
Vai avanti. I numeri opposti hanno moduli uguali, cioè per qualsiasi numero a . Infatti, due punti sulla linea delle coordinate, le cui coordinate sono numeri opposti, sono alla stessa distanza dall'origine, il che significa che i moduli di numeri opposti sono uguali.
La prossima proprietà del modulo è: il modulo del prodotto di due numeri è uguale al prodotto dei moduli di questi numeri, questo è, . Per definizione, il modulo del prodotto dei numeri aeb è o a b se , oppure −(a b) se . Dalle regole di moltiplicazione dei numeri reali consegue che il prodotto dei moduli dei numeri aeb è uguale a a b , , o −(a b) , se , il che dimostra la proprietà considerata.
Il modulo del quoziente di dividere a per b è uguale al quoziente di dividere il modulo di a per il modulo di b, questo è, . Giustifichiamo questa proprietà del modulo. Poiché il quoziente è uguale al prodotto, allora . In virtù della precedente proprietà, abbiamo 
. Resta solo da usare l'uguaglianza , che è valida per la definizione del modulo del numero.
La seguente proprietà del modulo viene scritta come disuguaglianza: 
, a , b e c sono numeri reali arbitrari. La disuguaglianza scritta non è altro che disuguaglianza triangolare. Per chiarire, prendiamo i punti A(a) , B(b) , C(c) sulla retta delle coordinate e consideriamo il triangolo degenere ABC, i cui vertici giacciono sulla stessa retta. Per definizione, il modulo della differenza è uguale alla lunghezza del segmento AB, - alla lunghezza del segmento AC, e - alla lunghezza del segmento CB. Poiché la lunghezza di qualsiasi lato di un triangolo non supera la somma delle lunghezze degli altri due lati, la disuguaglianza 
, quindi, vale anche la disuguaglianza.
La disuguaglianza appena dimostrata è molto più comune nella forma 
. La disuguaglianza scritta è generalmente considerata come una proprietà separata del modulo con la formulazione: “ Il modulo della somma di due numeri non supera la somma dei moduli di questi numeri". Ma la disuguaglianza segue direttamente dalla disuguaglianza , se mettiamo −b invece di b in essa, e prendiamo c=0 .
Modulo numerico complesso
Diamo determinazione del modulo di un numero complesso. Lasciaci dare numero complesso, scritto in forma algebrica , dove xey sono dei numeri reali, che rappresentano, rispettivamente, la parte reale e quella immaginaria di un dato numero complesso z, ed è un'unità immaginaria.
Definizione.
Il modulo di un numero complesso z=x+i y è detta radice quadrata aritmetica della somma dei quadrati delle parti reale e immaginaria di un dato numero complesso.
Il modulo di un numero complesso z è indicato come , quindi la definizione sonora del modulo di un numero complesso può essere scritta come 
.
Questa definizione consente di calcolare il modulo di qualsiasi numero complesso in notazione algebrica. Ad esempio, calcoliamo il modulo di un numero complesso. In questo esempio, la parte reale del numero complesso è , e la parte immaginaria è meno quattro. Quindi, per la definizione del modulo di un numero complesso, abbiamo 
.
L'interpretazione geometrica del modulo di un numero complesso può essere data in termini di distanza, per analogia con l'interpretazione geometrica del modulo di un numero reale.
Definizione.
Modulo numerico complesso z è la distanza dall'inizio del piano complesso al punto corrispondente al numero z in questo piano.
Secondo il teorema di Pitagora, la distanza dal punto O al punto di coordinate (x, y) si trova come , quindi, , dove . Pertanto, l'ultima definizione del modulo di un numero complesso concorda con la prima.
Questa definizione permette anche di indicare immediatamente qual è il modulo di un numero complesso z, se scritto in forma trigonometrica come 
o in forma esponenziale. Qui . Ad esempio, il modulo di un numero complesso 
è 5 e il modulo del numero complesso è .
Si può anche vedere che il prodotto di un numero complesso per il suo complesso coniugato dà la somma dei quadrati delle parti reale e immaginaria. Veramente, . L'uguaglianza risultante ci permette di dare un'ulteriore definizione del modulo di un numero complesso.
Definizione.
Modulo numerico complesso z è la radice quadrata aritmetica del prodotto di questo numero e del suo coniugato complesso, cioè .
In conclusione, notiamo che tutte le proprietà del modulo formulate nella corrispondente sottosezione sono valide anche per i numeri complessi.
Bibliografia.
- Vilenkin N.Ya. ecc. Matematica. Grado 6: libro di testo per le istituzioni educative.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk NG, Neshkov KI, Suvorova SB Algebra: libro di testo per 8 celle. istituzioni educative.
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