Rychle šel dál. Našel dostatečné podmínky pro existenci maxim, naučil se určovat inflexní body, nakreslil tečny ke všem známým křivkám druhého a třetího řádu. Ještě pár let a najde novou čistě algebraickou metodu pro hledání kvadratur pro paraboly a hyperboly libovolného řádu (tj. integrály funkcí tvaru y p = Cx q a y p x q \u003d C), vypočítává plochy, objemy, momenty setrvačnosti rotačních těles. Byl to skutečný průlom. Když to Fermat cítí, začíná hledat komunikaci s tehdejšími matematickými autoritami. Je sebevědomý a touží po uznání.
V roce 1636 napsal první dopis svému reverendovi Marinu Mersennovi: „Svatý otče! Jsem vám nesmírně vděčný za čest, kterou jste mi prokázali tím, že jste mi dali naději, že budeme moci mluvit písemně; ...budu velmi rád, když se od vás dozvím o všech nových pojednáních a knihách o matematice, které se objevily za posledních pět nebo šest let. ... Také jsem našel mnoho analytických metod pro různé problémy, jak numerické, tak geometrické, na které Vietova analýza nestačí. To vše s vámi budu sdílet, kdykoli budete chtít, a navíc bez jakékoli arogance, od které jsem svobodnější a vzdálenější než kterýkoli jiný člověk na světě.
Kdo je otec Mersenne? Jedná se o františkánského mnicha, vědce skromného talentu a skvělého organizátora, který 30 let vedl pařížský matematický kroužek, který se stal skutečným centrem francouzské vědy. Následně se Mersennův kruh dekretem Ludvíka XIV. přemění na Pařížskou akademii věd. Mersenne neúnavně vedl obrovskou korespondenci a jeho cela v klášteře Řádu minimů na Královském náměstí byla jakousi „poštou pro všechny vědce Evropy, od Galilea po Hobbese“. Korespondence pak nahradila vědecké časopisy, které se objevily mnohem později. Setkání v Mersenne se konala každý týden. Jádro kruhu tvořili nejskvělejší přírodovědci té doby: Robertville, Pascal Father, Desargues, Midorge, Hardy a samozřejmě slavný a všeobecně uznávaný Descartes. Rene du Perron Descartes (Cartesius), plášť šlechty, dva rodové statky, zakladatel kartezianismu, „otec“ analytické geometrie, jeden ze zakladatelů nové matematiky a také Mersennův přítel a soudruh na jezuitské koleji. Tento úžasný muž bude Fermatovou noční můrou.
Mersenne shledal Fermatovy výsledky natolik zajímavými, že přivedl provinciála do svého elitního klubu. Farma okamžitě naváže korespondenci s mnoha členy kruhu a doslova usíná s dopisy od samotného Mersenna. Kromě toho zasílá učednickému soudu hotové rukopisy: „Úvod do plochých a pevných míst“ a o rok později – „Metoda hledání maxim a minim“ a „Odpovědi na otázky B. Cavalieriho“. To, co Fermat vysvětlil, bylo naprosto nové, ale senzace se nekonala. Současníci necouvli. Moc tomu nerozuměli, ale našli jednoznačné náznaky, že Fermat si vypůjčil myšlenku maximalizačního algoritmu z pojednání Johannese Keplera s vtipným názvem „Nová stereometrie sudů s vínem“. V Keplerově úvahách skutečně existují věty jako "Objem obrazce je největší, pokud na obou stranách místa největší hodnoty je pokles zpočátku necitlivý." Ale myšlenka malého přírůstku funkce blízko extrému nebyla vůbec ve vzduchu. Nejlepší analytické hlavy té doby nebyly připraveny na manipulaci s malými množstvími. Faktem je, že v té době byla algebra považována za druh aritmetiky, tedy matematika druhého stupně, za primitivní improvizovaný nástroj vyvinutý pro potřeby základní praxe („jen obchodníci dobře počítají“). Tradice předepisovala držet se čistě geometrických metod důkazů, sahající až do starověké matematiky. Fermat byl první, kdo pochopil, že nekonečně malé veličiny lze sčítat a redukovat, ale reprezentovat je jako segmenty je poměrně obtížné.
Trvalo téměř století, než Jean d'Alembert ve své slavné Encyklopedii přiznal: Fermat byl vynálezcem nového kalkulu. Právě u něj se setkáváme s první aplikací diferenciálů pro hledání tečen.“ Na konci 18. století se Joseph Louis Comte de Lagrange vyjádřil ještě jasněji: „Ale geometrové – Fermatovi současníci – tomuto novému druhu kalkulu nerozuměli. Viděli jen zvláštní případy. A tento vynález, který se objevil krátce před Descartovou geometrií, zůstal po čtyřicet let neplodný. Lagrange odkazuje na rok 1674, kdy byly publikovány „Přednášky“ Isaaca Barrowa, které podrobně pokrývají Fermatovu metodu.
Mimo jiné se rychle ukázalo, že Fermat více tíhne k formulování nových problémů, než k pokornému řešení problémů navrhovaných měřiči. V éře duelů byla výměna úkolů mezi vědci obecně přijímána jako forma vyjasnění otázek souvisejících s řetězcem velení. Míru však Farma zjevně nezná. Každý z jeho dopisů je výzvou obsahující desítky složitých nevyřešených problémů a na ta nejneočekávanější témata. Zde je příklad jeho stylu (adresovaný Frenicle de Bessy): „Položce, jaký je nejmenší čtverec, který po zmenšení o 109 a přičtení k jedné dá čtverec? Pokud mi nepošlete obecné řešení, pošlete mi kvocient pro tato dvě čísla, který jsem zvolil malý, abych vám to příliš nedělalo potíže. Až dostanu vaši odpověď, navrhnu vám další věci. Bez zvláštních výhrad je zřejmé, že v mém návrhu je požadováno najít celá čísla, protože v případě zlomkových čísel by mohl dosáhnout cíle i nejnepatrnější aritmetik. Fermat se často opakoval, několikrát formuloval stejné otázky a otevřeně blafoval a tvrdil, že má neobvykle elegantní řešení navrhovaného problému. Nebyly tam žádné přímé chyby. Některých z nich si všimli současníci a některé zákeřné výroky uváděly čtenáře v omyl po celá staletí.
Mersennův kruh reagoval adekvátně. Jen Robertville, jediný člen kroužku, který měl problémy s původem, zachovává přátelský tón dopisů. Dobrý pastýř otec Mersenne se pokusil uvažovat s „tulouseským drzým“. Farma se ale vymlouvat nehodlá: „Ctihodný otče! Píšete mi, že předkládání mých nemožných problémů rozlítilo a zchladilo pány Saint-Martina a Frenicla a že to byl důvod ukončení jejich dopisů. Chci jim však namítnout, že to, co se na první pohled zdá nemožné, ve skutečnosti není a že existuje mnoho problémů, které, jak řekl Archimédes...“ atd.
Farma je však neupřímná. Právě Frenicleovi poslal problém najít pravoúhlý trojúhelník s celočíselnými stranami, jejichž obsah se rovná druhé mocnině celého čísla. Poslal to, i když věděl, že problém zjevně nemá řešení.
Nejnepřátelštější pozici vůči Fermatovi zaujal Descartes. V jeho dopise Mersennovi z roku 1938 čteme: „protože jsem zjistil, že je to ta samá osoba, která se předtím pokusila vyvrátit mou „dioptriku“, a protože jste mě informovali, že ji poslal poté, co si přečetl moji „geometrii“ a s překvapením, že jsem nenašel totéž, tedy (jak mám důvod si to vykládat) poslal s cílem vstoupit do rivality a ukázat, že o tom ví víc než já, a protože více vašich dopisů, dozvěděl, že má pověst velmi znalého geometra, pak se považuji za povinnost mu odpovědět. Descartes později svou odpověď slavnostně označí jako „malý soud matematiky proti panu Fermatovi“.
Je snadné pochopit, co významného vědce rozzuřilo. Za prvé, ve Fermatově úvahách se neustále objevují souřadnicové osy a reprezentace čísel segmenty – zařízení, které Descartes komplexně rozvíjí ve své právě publikované „Geometrii“. Fermat přichází na myšlenku nahradit kresbu vlastními výpočty, v některých ohledech dokonce konzistentnější než Descartes. Za druhé Fermat bravurně demonstruje účinnost své metody hledání minim na příkladu problému nejkratší dráhy světelného paprsku, zpřesňuje a doplňuje Descarta jeho „Dioptrickou“.
Zásluhy Descarta jako myslitele a inovátora jsou obrovské, ale otevřeme moderní „Matematickou encyklopedii“ a podívejme se na seznam pojmů spojených s jeho jménem: „Kartézské souřadnice“ (Leibniz, 1692), „Kartézský list“, „Descartes ovály“. Žádný z jeho argumentů nevstoupil do dějin jako Descartův teorém. Descartes je především ideolog: je zakladatelem filozofické školy, tvoří pojmy, zdokonaluje systém označení písmen, ale nových specifických technik je v jeho tvůrčím odkazu málo. Naproti tomu Pierre Fermat píše málo, ale při každé příležitosti dokáže vymyslet spoustu vtipných matematických triků (viz tamtéž „Fermatův teorém“, „Fermatův princip“, „Fermatova metoda nekonečného sestupu“). Asi si zcela oprávněně záviděli. Srážka byla nevyhnutelná. S jezuitským zprostředkováním z Mersenne vypukla válka, která trvala dva roky. Ukázalo se však, že Mersenne byl těsně před historií i zde: divoký boj mezi dvěma titány, jejich napjatá, mírně řečeno, polemika přispěla k pochopení klíčových pojmů matematické analýzy.
Fermat jako první ztrácí zájem o diskusi. Zjevně mluvil přímo s Descartem a už nikdy svého protivníka neurazil. V jednom ze svých posledních děl „Synthesis for Refraction“, jehož rukopis zaslal de la Chaumbrovi, se Fermat slovo po slově zmiňuje o „nejučenějším Descartovi“ a všemi možnými způsoby zdůrazňuje jeho prioritu v otázkách optiky. Mezitím právě tento rukopis obsahoval popis slavného „Fermatova principu“, který poskytuje vyčerpávající vysvětlení zákonů odrazu a lomu světla. Curtsey Descartesovi v díle této úrovně byly zcela zbytečné.
Co se stalo? Proč Fermat, odkládajíc hrdost, šel ke smíření? Při čtení Fermatových dopisů z těch let (1638 - 1640) lze předpokládat nejjednodušší věc: během tohoto období se jeho vědecké zájmy dramaticky změnily. Opouští módní cykloidu, přestává se zajímat o tangenty a oblasti a na dlouhých 20 let zapomíná na svou metodu hledání maxima. S velkými zásluhami v matematice spojité se Fermat zcela ponoří do matematiky diskrétní a nenávistné geometrické kresby přenechá svým odpůrcům. Čísla jsou jeho novou vášní. Ve skutečnosti celá „Teorie čísel“, jako samostatná matematická disciplína, vděčí za svůj vznik výhradně životu a dílu Fermata.
<…>Po Fermatově smrti vydal jeho syn Samuel v roce 1670 výtisk Aritmetiky patřící jeho otci pod názvem „Šest knih aritmetiky Alexandrijského Diofanta s komentáři L. G. Basche a poznámkami P. de Fermata, senátora z Toulouse“. Kniha také obsahovala některé Descartovy dopisy a plný text Jacquese de Biglyho Nový objev v umění analýzy, založený na Fermatových dopisech. Publikace měla neuvěřitelný úspěch. Před užaslými specialisty se otevřel nevídaný jasný svět. Neočekávanost, a co je nejdůležitější, přístupnost, demokratický charakter Fermatových číselně teoretických výsledků daly vzniknout mnoha napodobením. V té době málokdo chápal, jak se počítá plocha paraboly, ale každý student mohl pochopit formulaci Fermatovy poslední věty. Začal skutečný hon na neznámé a ztracené dopisy vědce. Až do konce XVII století. Každé jeho slovo, které se našlo, bylo zveřejněno a znovu publikováno. Ale pohnutá historie vývoje Fermatových myšlenek teprve začínala.
Neřešitelné problémy jsou 7 nejzajímavějších matematických problémů. Každý z nich byl najednou navržen známými vědci, zpravidla ve formě hypotéz. Po mnoho desetiletí si matematici po celém světě lámali hlavu nad jejich řešením. Ti, kteří uspějí, budou odměněni milionem amerických dolarů, které nabízí Clay Institute.
Clay Institute
Toto jméno je soukromá nezisková organizace se sídlem v Cambridge ve státě Massachusetts. V roce 1998 ji založili harvardský matematik A. Jeffey a podnikatel L. Clay. Cílem ústavu je popularizovat a rozvíjet matematické znalosti. Aby toho dosáhla, organizace uděluje ocenění vědcům a sponzorům slibného výzkumu.
Na začátku 21. století nabídl Clay Mathematical Institute cenu těm, kteří řeší problémy, které jsou známé jako nejtěžší neřešitelné problémy, a jejich seznam nazval Problémy tisíciletí. Z „Hilbertova seznamu“ obsahoval pouze Riemannovu hypotézu.
Výzvy tisíciletí
Seznam Clay Institute původně obsahoval:
- hypotéza Hodgeova cyklu;
- rovnice kvantové teorie Yang-Mills;
- Poincarého hypotéza;
- problém rovnosti tříd P a NP;
- Riemannova hypotéza;
- na existenci a hladkost jeho řešení;
- Problém Birch-Swinnerton-Dyer.
Tyto otevřené matematické problémy jsou velmi zajímavé, protože mohou mít mnoho praktických implementací.
Co dokázal Grigory Perelman?
V roce 1900 slavný filozof Henri Poincaré navrhl, že každá jednoduše připojená kompaktní 3-varitura bez hranic je homeomorfní k 3-kouli. Jeho důkaz v obecném případě nebyl nalezen po celé století. Jen v letech 2002-2003 publikoval petrohradský matematik G. Perelman řadu článků s řešením Poincarého problému. Měly účinek vybuchující bomby. V roce 2010 byla Poincarého hypotéza vyřazena ze seznamu „Nevyřešených problémů“ Clay Institute a Perelmanovi bylo nabídnuto, že kvůli němu dostane značnou odměnu, kterou ten odmítl, aniž by vysvětlil důvody svého rozhodnutí.
Nejsrozumitelnější vysvětlení toho, co se ruskému matematikovi podařilo dokázat, může být představa, že se gumový kotouč natáhne na koblihu (torus) a poté se snaží okraje jeho obvodu stáhnout do jednoho bodu. Zjevně to není možné. Další věc, pokud tento experiment provedete s míčem. V tomto případě zdánlivě trojrozměrná koule, vzniklá z disku, jehož obvod byl přitažen do bodu hypotetickou šňůrou, bude v chápání běžného člověka trojrozměrná, ale z bodu dvourozměrná z pohledu matematiky.
Poincaré navrhl, že trojrozměrná koule je jediným trojrozměrným „objektem“, jehož povrch lze stáhnout do jediného bodu, a Perelman to dokázal. Seznam „Neřešitelných problémů“ tedy dnes tvoří 6 problémů.
Yang-Millsova teorie
Tento matematický problém byl navržen jeho autory v roce 1954. Vědecká formulace teorie je následující: pro jakoukoliv jednoduchou kompaktní kalibrační skupinu existuje kvantová prostorová teorie vytvořená Yangem a Millsem a zároveň má nulovou hmotnostní vadu.
Mluvíme-li jazykem srozumitelným běžnému člověku, interakce mezi přírodními objekty (částice, tělesa, vlny atd.) jsou rozděleny do 4 typů: elektromagnetické, gravitační, slabé a silné. Po mnoho let se fyzici pokoušeli vytvořit obecnou teorii pole. Měl by se stát nástrojem pro vysvětlení všech těchto interakcí. Yang-Millsova teorie je matematický jazyk, pomocí kterého bylo možné popsat 3 ze 4 hlavních přírodních sil. Neplatí pro gravitaci. Nelze tedy mít za to, že Yangovi a Millsovi se podařilo vytvořit teorii pole.
Navíc nelinearita navržených rovnic je extrémně obtížně řešitelná. Pro malé vazebné konstanty je lze přibližně vyřešit ve formě řady poruchové teorie. Zatím však není jasné, jak lze tyto rovnice vyřešit silnou vazbou.
Navier-Stokesovy rovnice
Tyto výrazy popisují procesy, jako je proudění vzduchu, proudění tekutin a turbulence. Pro některé speciální případy již byla nalezena analytická řešení Navier-Stokesovy rovnice, ale zatím se to nikomu nepodařilo pro obecnou rovnici. Numerické simulace pro konkrétní hodnoty rychlosti, hustoty, tlaku, času a tak dále mohou zároveň dosáhnout vynikajících výsledků. Nezbývá než doufat, že se někomu podaří aplikovat Navier-Stokesovy rovnice v opačném směru, tedy s jejich pomocí vypočítat parametry, případně prokázat, že neexistuje žádná metoda řešení.
Problém Birch-Swinnerton-Dyer
Do kategorie „Nevyřešené problémy“ patří i hypotéza navržená anglickými vědci z University of Cambridge. Již před 2300 lety podal starověký řecký vědec Euclid úplný popis řešení rovnice x2 + y2 = z2.
Pokud pro každé z prvočísel spočítáte počet bodů na křivce modulo, dostanete nekonečnou množinu celých čísel. Pokud to konkrétně „nalepíte“ do 1 funkce komplexní proměnné, dostanete Hasse-Weilovu zeta funkci pro křivku třetího řádu, označovanou písmenem L. Obsahuje informace o modulovém chování všech prvočísel najednou .
Brian Burch a Peter Swinnerton-Dyer uvažovali o eliptických křivkách. Struktura a počet množiny jejích racionálních řešení podle ní souvisí s chováním L-funkce u identity. V současnosti neprokázaná Birch-Swinnerton-Dyerova domněnka závisí na popisu algebraických rovnic 3. stupně a je jediným relativně jednoduchým obecným způsobem výpočtu hodnosti eliptických křivek.
Abychom pochopili praktický význam tohoto úkolu, stačí říci, že v moderní kryptografii je celá třída asymetrických systémů založena na eliptických křivkách a domácí standardy digitálního podpisu jsou založeny na jejich aplikaci.
Rovnost tříd p a np
Pokud jsou ostatní výzvy tisíciletí čistě matematické, pak tato souvisí se skutečnou teorií algoritmů. Problém týkající se rovnosti tříd p a np, známý také jako Cooke-Levinův problém, lze formulovat srozumitelným jazykem následovně. Předpokládejme, že kladnou odpověď na určitou otázku lze zkontrolovat dostatečně rychle, tj. v polynomiálním čase (PT). Je tedy správné tvrzení, že odpověď na něj lze najít poměrně rychle? Ještě jednodušší to zní takto: opravdu není obtížnější řešení problému zkontrolovat, než jej najít? Pokud se někdy prokáže rovnost tříd p a np, pak lze pro PV vyřešit všechny výběrové problémy. O pravdivosti tohoto tvrzení v tuto chvíli mnoho odborníků pochybuje, ačkoli nemohou prokázat opak.
Riemannova hypotéza
Do roku 1859 nebyl identifikován žádný vzor, který by popisoval, jak jsou prvočísla distribuována mezi přirozená čísla. Možná to bylo způsobeno tím, že věda se zabývala jinými otázkami. Do poloviny 19. století se však situace změnila a staly se jedním z nejrelevantnějších, kterými se matematika začala zabývat.
Riemannova hypotéza, která se objevila v tomto období, je předpokladem, že v distribuci prvočísel existuje určitý vzorec.
Dnes se mnoho moderních vědců domnívá, že pokud se to prokáže, bude třeba revidovat mnoho základních principů moderní kryptografie, které tvoří základ významné části mechanismů elektronického obchodování.
Podle Riemannovy hypotézy se povaha rozložení prvočísel může výrazně lišit od toho, co se v současnosti předpokládá. Faktem je, že zatím nebyl objeven žádný systém v distribuci prvočísel. Například je tu problém „dvojčat“, rozdíl mezi nimi je 2. Tato čísla jsou 11 a 13, 29. Další prvočísla tvoří shluky. Jsou to 101, 103, 107 atd. Vědci už dlouho tušili, že takové shluky existují mezi velmi velkými prvočísly. Pokud budou nalezeny, bude zpochybněna stabilita moderních krypto klíčů.
Hypotéza Hodgeova cyklu
Tento dosud neřešený problém byl formulován v roce 1941. Hodgeova hypotéza navrhuje možnost aproximace tvaru libovolného předmětu „slepením“ jednoduchých těles vyšších rozměrů. Tato metoda je známá a úspěšně používaná již dlouhou dobu. Není však známo, do jaké míry lze zjednodušení provést.
Nyní víte, jaké neřešitelné problémy v tuto chvíli existují. Jsou předmětem výzkumu tisíců vědců po celém světě. Zbývá doufat, že v blízké budoucnosti budou vyřešeny a jejich praktická aplikace pomůže lidstvu vstoupit do nového kola technologického rozvoje.
Někdy může pilné studium exaktních věd přinést ovoce – stanete se nejen známými celému světu, ale také bohatými. Ceny se ovšem udělují za nic a v moderní vědě je spousta neprokázaných teorií, teorémů a problémů, které se s rozvojem vědy množí, vezměte si alespoň sešity Kourovka nebo Dněstr, jakési sbírky s neřešitelnými fyzikálními a matematickými, a nejen , úkoly. Existují však i skutečně složité věty, které nebyly vyřešeny více než tucet let, a za ně vypsal American Clay Institute ocenění ve výši 1 milionu amerických dolarů za každou. Až do roku 2002 činil celkový jackpot 7 milionů, protože se jednalo o sedm „problémů tisíciletí“, ale ruský matematik Grigory Perelman vyřešil Poincarého domněnku epickým opuštěním milionu, aniž by dokonce otevřel dveře americkým matematikům, kteří mu chtěli dát jeho čest. vydělané bonusy. Zapneme tedy Teorii velkého třesku pro pozadí a náladu a uvidíme, za co ještě můžete ukrojit kulatou sumu.
Rovnost tříd P a NP
Zjednodušeně řečeno, problém rovnosti P = NP zní takto: pokud lze kladnou odpověď na nějakou otázku zkontrolovat poměrně rychle (v polynomiálním čase), pak je pravda, že odpověď na tuto otázku lze nalézt poměrně rychle (také v polynomiální čas a pomocí polynomiální paměti)? Jinými slovy, opravdu není snazší ověřit si řešení problému, než ho najít? Pointa je, že některé výpočty a výpočty se snáze řeší algoritmicky než hrubou silou, a tím šetří spoustu času a zdrojů.
Hodgeova hypotéza
Hodgeova domněnka, formulovaná v roce 1941, je taková, že pro zvláště dobré typy prostorů nazývané projektivní algebraické variety jsou tzv. Hodgeovy cykly kombinacemi objektů, které mají geometrickou interpretaci – algebraické cykly.
Zde, zjednodušeně řečeno, můžeme říci následující: ve 20. století byly objeveny velmi složité geometrické tvary, jako jsou zakřivené láhve. Bylo tedy navrženo, že ke konstrukci těchto objektů pro popis je nutné použít zcela záhadné formy, které nemají geometrickou podstatu „tak hrozné vícerozměrné klikyháky-čmáranice“, nebo si stále můžete vystačit s podmíněně standardní algebrou + geometrií .
Riemannova hypotéza
Zde se to lidskou řečí dost těžko vysvětluje, stačí vědět, že řešení tohoto problému bude mít dalekosáhlé důsledky v oblasti distribuce prvočísel. Problém je natolik důležitý a naléhavý, že i odvození protipříkladu hypotézy – dle uvážení akademické rady univerzity lze problém považovat za prokázaný, zde tedy můžete zkusit metodu „z opaku“. I když je možné hypotézu přeformulovat v užším smyslu, i zde Clay Institute vyplatí určitou částku peněz.
Yang-Millsova teorie
Částicová fyzika je jedním z oblíbených témat Dr. Sheldona Coopera. Zde nám kvantová teorie dvou chytrých strýčků říká, že pro jakoukoli jednoduchou měřicí skupinu ve vesmíru existuje hmotnostní vada jiná než nula. Toto tvrzení bylo potvrzeno experimentálními daty a numerickými simulacemi, ale zatím to nikdo nemůže dokázat.
Navier-Stokesovy rovnice
Tady by nám Howard Wolowitz jistě pomohl, kdyby existoval ve skutečnosti - vždyť je to hádanka z hydrodynamiky a základ základů. Rovnice popisují pohyby viskózní newtonovské tekutiny, mají velký praktický význam a hlavně popisují turbulence, které nelze žádným způsobem zařadit do rámce vědy a nelze předvídat jeho vlastnosti a působení. Zdůvodnění konstrukce těchto rovnic by umožnilo neukazovat prstem na oblohu, ale pochopit turbulence zevnitř a učinit letadla a mechanismy stabilnějšími.
Birch-Swinnerton-Dyerova hypotéza
Pravda, tady jsem se snažil vychytat jednoduchá slova, ale je tu tak hustá algebra, že se člověk bez hlubokého ponoření neobejde. Ti, kteří se nechtějí potápět do matanu, musí vědět, že tato hypotéza umožňuje rychle a bezbolestně najít hodnost eliptických křivek, a pokud by tato hypotéza neexistovala, pak by pro výpočet této hodnosti byl zapotřebí list výpočtů. . No, samozřejmě také musíte vědět, že důkaz této hypotézy vás obohatí o milion dolarů.
Je třeba poznamenat, že téměř v každé oblasti již existují pokroky, a dokonce i osvědčené případy pro jednotlivé příklady. Proto neváhejte, jinak to dopadne jako s Fermatovou větou, která po více než 3 stoletích v roce 1994 podlehl Andrewu Wilesovi a přinesla mu Abelovu cenu a asi 6 milionů norských korun (50 milionů rublů při dnešním kurzu) .
Často, když mluvíme se studenty střední školy o výzkumné práci v matematice, slyším toto: "Co nového lze v matematice objevit?" Ale opravdu: možná byly učiněny všechny ty velké objevy a teorémy byly prokázány?
8. srpna 1900 na Mezinárodním kongresu matematiků v Paříži matematik David Hilbert nastínil seznam problémů, o kterých věřil, že budou vyřešeny ve dvacátém století. Na seznamu bylo 23 položek. Dosud jich bylo vyřešeno dvacet jedna. Posledním vyřešeným problémem na Gilbertově seznamu byla slavná Fermatova věta, kterou vědci nedokázali vyřešit 358 let. V roce 1994 navrhl své řešení Brit Andrew Wiles. Ukázalo se, že je to pravda.Po vzoru Gilberta na konci minulého století se mnozí matematici snažili formulovat podobné strategické úkoly pro 21. století. Jeden takový seznam proslavil bostonský miliardář Landon T. Clay. V roce 1998 byl na jeho náklady založen Clay Mathematics Institute v Cambridge (Massachusetts, USA) a byly zřízeny ceny za řešení řady důležitých problémů moderní matematiky. 24. května 2000 odborníci ústavu vybrali sedm problémů - podle počtu milionů dolarů přidělených na ceny. Seznam se nazývá Problémy tisíciletí:
1. Cookův problém (formulován v roce 1971)
Řekněme, že jste ve velké společnosti a chcete se ujistit, že tam bude i váš přítel. Pokud vám bude řečeno, že sedí v rohu, pak bude stačit zlomek vteřiny, abyste se pohledem ujistili, že informace jsou pravdivé. Při absenci těchto informací budete nuceni obejít celou místnost a podívat se na hosty. To naznačuje, že řešení problému často zabere více času než kontrola správnosti řešení.
Stephen Cook formuloval problém: může být kontrola správnosti řešení problému delší než získání samotného řešení, bez ohledu na ověřovací algoritmus. Tento problém je také jedním z neřešených problémů v oblasti logiky a informatiky. Jeho řešení by mohlo způsobit revoluci v základech kryptografie používané při přenosu a ukládání dat.
2. Riemannova hypotéza (formulovaná v roce 1859)
Některá celá čísla nelze vyjádřit jako součin dvou menších celých čísel, například 2, 3, 5, 7 a tak dále. Taková čísla se nazývají prvočísla a hrají důležitou roli v čisté matematice a jejích aplikacích. Rozdělení prvočísel mezi řadu všech přirozených čísel nemá žádnou pravidelnost. Německý matematik Riemann však učinil předpoklad týkající se vlastností posloupnosti prvočísel. Pokud se Riemannova hypotéza prokáže, způsobí revoluci v našich znalostech šifrování a povede k bezprecedentním průlomům v internetové bezpečnosti.
3. Birchova a Swinnerton-Dyerova hypotéza (formulovaná v roce 1960)
Souvisí s popisem množiny řešení některých algebraických rovnic v několika proměnných s celočíselnými koeficienty. Příkladem takové rovnice je výraz x2 + y2 = z2. Euclid poskytl úplný popis řešení této rovnice, ale pro složitější rovnice je nalezení řešení extrémně obtížné.
4. Hodgeova hypotéza (formulovaná v roce 1941)
Ve 20. století objevili matematici mocnou metodu pro studium tvaru složitých objektů. Hlavní myšlenkou je použít místo samotného předmětu jednoduché „cihly“, které jsou slepené a tvoří jeho podobu. Hodgeova hypotéza je spojena s některými předpoklady o vlastnostech takových „cihel“ a předmětů.
5. Navierovy - Stokesovy rovnice (formulované v roce 1822)
Pokud se budete plavit na lodi po jezeře, budou vznikat vlny, a pokud poletíte v letadle, budou ve vzduchu vznikat turbulentní proudy. Předpokládá se, že tyto a další jevy jsou popsány rovnicemi známými jako Navier-Stokesovy rovnice. Řešení těchto rovnic jsou neznámá a ani se neví, jak je řešit. Je potřeba ukázat, že řešení existuje a je dostatečně hladkou funkcí. Řešení tohoto problému umožní výrazně změnit metody provádění hydro- a aerodynamických výpočtů.
6. Poincareho problém (formulován v roce 1904)
Pokud natáhnete gumičku přes jablko, můžete páskou pomalu pohybovat, aniž byste opustili povrch, stlačit ji do bodu. Na druhou stranu, pokud je stejná gumička kolem donutu správně natažena, neexistuje způsob, jak pásku stlačit do bodu, aniž by se pásek roztrhl nebo nezlomil. Povrch jablka je prý jednoduše spojený, ale povrch koblihy nikoliv. Ukázalo se, že je tak obtížné dokázat, že je prostě propojena pouze sféra, že matematici stále hledají správnou odpověď.
7. Yang-Millsovy rovnice (formulované v roce 1954)
Rovnice kvantové fyziky popisují svět elementárních částic. Fyzikové Yang a Mills, kteří objevili spojení mezi geometrií a fyzikou elementárních částic, napsali své vlastní rovnice. Našli tedy způsob, jak sjednotit teorie elektromagnetických, slabých a silných interakcí. Yang-Millsovy rovnice implikovaly existenci částic, které byly skutečně pozorovány v laboratořích po celém světě, takže Yang-Millsova teorie je přijímána většinou fyziků, navzdory skutečnosti, že tato teorie stále nedokáže předpovědět hmotnosti elementárních částic.
Myslím, že tento materiál zveřejněný na blogu je zajímavý nejen pro studenty, ale i pro školáky, kteří se matematice vážně věnují. Při výběru témat a oblastí výzkumu je na co myslet.
Lev Valentinovich Rudi, autor článku „Pierre Fermat a jeho „neprokazatelný“ teorém, po přečtení publikace o jednom ze 100 géniů moderní matematiky, který byl nazván géniem díky řešení Fermatovy věty, nabídl k vydání jeho alternativní názor na toto téma. Na což jsme ochotně zareagovali a jeho článek publikujeme bez zkratek.
Pierre de Fermat a jeho „neprokazatelná“ věta
Letos uplyne 410 let od narození velkého francouzského matematika Pierra de Fermata. Akademik V.M. Tichomirov o P. Fermatovi píše: „Jen jeden matematik byl poctěn tím, že se jeho jméno stalo pojmem. Pokud se řekne „fermatista“, pak mluvíme o člověku posedlém až k nepříčetnosti nějakou neuskutečnitelnou myšlenkou. Toto slovo však nelze připsat samotnému Pierrovi Fermatovi (1601-1665), jedné z nejchytřejších myslí ve Francii.
P. Fermat je muž úžasného osudu: jeden z největších matematiků světa, nebyl to „profesionální“ matematik. Fermat byl povoláním právník. Získal vynikající vzdělání a byl vynikajícím znalcem umění a literatury. Celý život pracoval ve státní službě, posledních 17 let byl poradcem parlamentu v Toulouse. K matematice ho přitahovala nezištná a vznešená láska a právě tato věda mu dala vše, co láska může člověku dát: opojení krásou, rozkoší a štěstím.
V papírech a korespondenci Fermat formuloval mnoho krásných výroků, o kterých napsal, že má jejich důkaz. A postupně bylo takových neprokázaných tvrzení stále méně a nakonec zůstalo jen jedno - jeho tajemná Velká věta!
Pro zájemce o matematiku však Fermatovo jméno mluví za vše bez ohledu na jeho Velkou větu. Byl jedním z nejbystřejších mozků své doby, je považován za zakladatele teorie čísel, výrazně přispěl k rozvoji analytické geometrie, matematické analýzy. Jsme vděčni Fermatovi, že nám otevřel svět plný krásy a tajemství“ (nature.web.ru:8001›db/msg.html…).
Zvláštní však "vděk"!? Matematický svět a osvícené lidstvo ignorovalo Fermatovo 410. výročí. Všechno bylo jako vždy tiché, klidné, každodenní... Nechyběly žádné fanfáry, pochvalné projevy, přípitky. Ze všech matematiků na světě byl pouze Fermat „poctěn“ tak vysokou ctí, že když se řekne „fermatista“, každý pochopí, že mluvíme o poloducha, který je „šíleně posedlý neuskutečnitelným nápadem“ najít ztracený důkaz Fermatovy věty!
Fermas ve své poznámce na okraj Diophantovy knihy napsal: "Našel jsem skutečně úžasný důkaz svého tvrzení, ale okraje knihy jsou příliš úzké, aby se to vešlo." Byl to tedy „moment slabosti matematického génia 17. století“. Tento blázen nechápal, že se „mýlil“, ale s největší pravděpodobností prostě „lhal“, „mazaný“.
Pokud Fermat tvrdil, tak měl důkaz!? Úroveň znalostí nebyla vyšší než úroveň moderního desátého srovnávače, ale pokud se nějaký inženýr pokusí najít tento důkaz, pak je zesměšněn a prohlášen za duševně nemocného. A úplně jiná věc je, pokud americký desetiletý chlapec E. Wiles „přijme jako výchozí hypotézu, že Fermat nemohl umět o mnoho více matematiky než on“ a začne „dokazovat“ tuto „neprokazatelnou větu“. Něco takového je samozřejmě schopen jen „génius“.
Náhodou jsem narazil na stránku (works.tarefer.ru›50/100086/index.html), kde student Chitské státní technické univerzity Kushenko V.V. o Fermatovi píše: „... Malé městečko Beaumont a všech jeho pět tisíc obyvatel si nedokáže uvědomit, že se zde narodil velký Fermat, poslední matematik-alchymista, který vyřešil nečinné problémy nadcházejících staletí, nejtišší soudní hák , lstivá sfinga, která mučila lidstvo svými hádankami, opatrný a ctnostný byrokrat, podvodník, intrikán, domácí, závistivý člověk, geniální kompilátor, jeden ze čtyř titánů matematiky... Farma téměř nikdy neopustila Toulouse, kde se usadil poté, co se oženil s Louise de Long, dcerou poradce parlamentu. Díky svému tchánovi se dostal do hodnosti poradce a získal kýženou předponu „de“. Syn třetího stavu, praktický potomek bohatých kožedělníků, nacpaný latinskou a františkánskou zbožností, si v reálném životě nekladl velkolepé úkoly...
Ve svém bouřlivém věku žil důkladně a tiše. Nepsal filozofická pojednání jako Descartes, nebyl důvěrníkem francouzských králů, jako Viet, nebojoval, necestoval, nevytvářel matematické kroužky, neměl studenty a za svého života nebyl publikován... Protože farma nenašla žádné vědomé nároky na místo v historii, umírá 12. ledna 1665."
Byl jsem šokován, šokován... A kdo byl první „matematik-alchymista“!? Jaké jsou tyto „nečinné úkoly příštích staletí“!? "Byrokrat, podvodník, intrikán, domácí, závistivec" ... Proč tito zelení mladíci a mladíci tolik pohrdají, pohrdají, cynizují osobu, která žila 400 let před nimi!? Jaké rouhání, nehorázná nespravedlnost!? Ale na tohle všechno nepřišli sami mladíci!? Vymysleli je matematici, „králové věd“, totéž „lidstvo“, které Fermatova „mazaná sfinga“ „mučila svými hádankami“.
Fermat však nemůže nést žádnou odpovědnost za to, že arogantní, ale průměrní potomci více než tři sta let klepali na jeho školní větu. Ponižující, plivající na Fermata, matematici se snaží zachránit svou čest uniformy!? Ale žádná „čest“ už dávno neexistuje, dokonce ani „uniforma“!? Fermatův dětský problém se stal největší hanbou "vybrané, udatné" armády matematiků světa!?
„Králové věd“ byli zostuzeni skutečností, že sedm generací matematických „světel“ nedokázalo dokázat školní větu, což dokázali jak P. Fermat, tak arabský matematik al-Khujandi 700 let před Fermatem!? Pohoršilo je i to, že místo přiznání svých chyb odsoudili P. Fermatu jako podvodníka a začali hustit mýtus o „neprokazatelnosti“ jeho věty!? Matematici si udělali ostudu i tím, že celé století zběsile pronásledovali amatérské matematiky a „mlátili své menší bratry o hlavu“. Toto pronásledování se po utopení Hippase Pythagorem stalo nejhanebnějším činem matematiků v celé historii vědeckého myšlení! Zostudili je také tím, že pod rouškou „důkazu“ Fermatovy věty sklouzli k osvícení lidstva pochybný „výtvor“ E. Wilese, kterému „nerozumějí“ ani ti nejjasnější matematici!?
410. výročí narození P. Fermata je nepochybně dostatečně silným argumentem pro to, aby matematici konečně dostali rozum a přestali vrhat stín na proutí a obnovili dobré, čestné jméno velkého matematika. P. Fermat „nenašel žádné vědomé nároky na místo v dějinách“, ale tato svéhlavá a vrtošivá Paní to sama zapsala do svých letopisů v náručí, ale mnoho horlivých a horlivých „žadatelů“ vyplivla jako žvýkačku. A s tím se nedá nic dělat, jen jedna z jeho mnoha krásných vět navždy vstoupila do historie jménem P. Fermata.
Ale tento jedinečný Fermatův výtvor byl po celé století zahnán do podzemí, postaven mimo zákon a stal se nejopovrženíhodnějším a nejnenáviděnějším úkolem v celé historii matematiky. Ale nadešel čas, aby se toto „ošklivé káčátko“ matematiky proměnilo v krásnou labuť! Fermatova úžasná hádanka si vysloužila právo zaujmout své právoplatné místo v pokladnici matematických znalostí a v každé škole světa, vedle své sestry, Pythagorovy věty.
Takový jedinečný, elegantní problém prostě nemůže mít krásná, elegantní řešení. Pokud má Pythagorova věta 400 důkazů, pak ať má Fermatova věta nejprve pouze 4 jednoduché důkazy. Jsou, postupně jich bude přibývat!? Domnívám se, že 410. výročí P. Fermatu je tou nejvhodnější příležitostí či příležitostí, aby se profesionální matematici vzpamatovali a konečně zastavili tuto nesmyslnou, absurdní, problémovou a naprosto zbytečnou „blokádu“ amatérů!?
