Někdy může pilné studium exaktních věd přinést ovoce – stanete se nejen známými celému světu, ale také bohatými. Ceny se ovšem udělují za nic a v moderní vědě je spousta neprokázaných teorií, teorémů a problémů, které se s rozvojem vědy množí, vezměte si alespoň sešity Kourovka nebo Dněstr, jakési sbírky s neřešitelnými fyzikálními a matematickými, a nejen , úkoly. Existují však i skutečně složité věty, které nebyly vyřešeny více než tucet let, a za ně vypsal American Clay Institute ocenění ve výši 1 milionu amerických dolarů za každou. Až do roku 2002 činil celkový jackpot 7 milionů, protože se jednalo o sedm „problémů tisíciletí“, ale ruský matematik Grigory Perelman vyřešil Poincarého domněnku epickým opuštěním milionu, aniž by dokonce otevřel dveře americkým matematikům, kteří mu chtěli dát jeho čest. vydělané bonusy. Zapneme tedy Teorii velkého třesku pro pozadí a náladu a uvidíme, za co ještě můžete ukrojit kulatou sumu.
Rovnost tříd P a NP
Zjednodušeně řečeno, problém rovnosti P = NP zní takto: pokud lze kladnou odpověď na nějakou otázku zkontrolovat poměrně rychle (v polynomiálním čase), pak je pravda, že odpověď na tuto otázku lze nalézt poměrně rychle (také v polynomiální čas a pomocí polynomiální paměti)? Jinými slovy, opravdu není snazší ověřit si řešení problému, než ho najít? Pointa je, že některé výpočty a výpočty se snáze řeší algoritmicky než hrubou silou, a tím šetří spoustu času a zdrojů.
Hodgeova hypotéza
Hodgeova domněnka, formulovaná v roce 1941, je taková, že pro zvláště dobré typy prostorů nazývané projektivní algebraické variety jsou tzv. Hodgeovy cykly kombinacemi objektů, které mají geometrickou interpretaci – algebraické cykly.
Zde, zjednodušeně řečeno, můžeme říci následující: ve 20. století byly objeveny velmi složité geometrické tvary, jako jsou zakřivené láhve. Bylo tedy navrženo, že ke konstrukci těchto objektů pro popis je nutné použít zcela záhadné formy, které nemají geometrickou podstatu „tak hrozné vícerozměrné klikyháky-čmáranice“, nebo si stále můžete vystačit s podmíněně standardní algebrou + geometrií .
Riemannova hypotéza
Zde se to lidskou řečí dost těžko vysvětluje, stačí vědět, že řešení tohoto problému bude mít dalekosáhlé důsledky v oblasti distribuce prvočísel. Problém je natolik důležitý a naléhavý, že i odvození protipříkladu hypotézy – dle uvážení akademické rady univerzity lze problém považovat za prokázaný, zde tedy můžete zkusit metodu „z opaku“. I když je možné hypotézu přeformulovat v užším smyslu, i zde Clay Institute vyplatí určitou částku peněz.
Yang-Millsova teorie
Částicová fyzika je jedním z oblíbených témat Dr. Sheldona Coopera. Zde nám kvantová teorie dvou chytrých strýčků říká, že pro jakoukoli jednoduchou měřicí skupinu ve vesmíru existuje hmotnostní vada jiná než nula. Toto tvrzení bylo potvrzeno experimentálními daty a numerickými simulacemi, ale zatím to nikdo nemůže dokázat.
Navier-Stokesovy rovnice
Tady by nám Howard Wolowitz jistě pomohl, kdyby existoval ve skutečnosti - vždyť je to hádanka z hydrodynamiky a základ základů. Rovnice popisují pohyby viskózní newtonovské tekutiny, mají velký praktický význam a hlavně popisují turbulence, které nelze žádným způsobem zařadit do rámce vědy a nelze předvídat jeho vlastnosti a působení. Zdůvodnění konstrukce těchto rovnic by umožnilo neukazovat prstem na oblohu, ale pochopit turbulence zevnitř a učinit letadla a mechanismy stabilnějšími.
Birch-Swinnerton-Dyerova hypotéza
Pravda, tady jsem se snažil vychytat jednoduchá slova, ale je tu tak hustá algebra, že se člověk bez hlubokého ponoření neobejde. Ti, kteří se nechtějí potápět do matanu, musí vědět, že tato hypotéza umožňuje rychle a bezbolestně najít hodnost eliptických křivek, a pokud by tato hypotéza neexistovala, pak by pro výpočet této hodnosti byl zapotřebí list výpočtů. . No, samozřejmě také musíte vědět, že důkaz této hypotézy vás obohatí o milion dolarů.
Je třeba poznamenat, že téměř v každé oblasti již existují pokroky, a dokonce i osvědčené případy pro jednotlivé příklady. Proto neváhejte, jinak to dopadne jako s Fermatovou větou, která po více než 3 stoletích v roce 1994 podlehl Andrewu Wilesovi a přinesla mu Abelovu cenu a asi 6 milionů norských korun (50 milionů rublů při dnešním kurzu) .
Často, když mluvíme se studenty střední školy o výzkumné práci v matematice, slyším toto: "Co nového lze v matematice objevit?" Ale opravdu: možná byly učiněny všechny ty velké objevy a teorémy byly prokázány?
8. srpna 1900 na Mezinárodním kongresu matematiků v Paříži matematik David Hilbert nastínil seznam problémů, o kterých věřil, že budou vyřešeny ve dvacátém století. Na seznamu bylo 23 položek. Dosud jich bylo vyřešeno dvacet jedna. Posledním vyřešeným problémem na Gilbertově seznamu byla slavná Fermatova věta, kterou vědci nedokázali vyřešit 358 let. V roce 1994 navrhl své řešení Brit Andrew Wiles. Ukázalo se, že je to pravda.Po vzoru Gilberta na konci minulého století se mnozí matematici snažili formulovat podobné strategické úkoly pro 21. století. Jeden takový seznam proslavil bostonský miliardář Landon T. Clay. V roce 1998 byl na jeho náklady založen Clay Mathematics Institute v Cambridge (Massachusetts, USA) a byly zřízeny ceny za řešení řady důležitých problémů moderní matematiky. 24. května 2000 odborníci ústavu vybrali sedm problémů - podle počtu milionů dolarů přidělených na ceny. Seznam se nazývá Problémy tisíciletí:
1. Cookův problém (formulován v roce 1971)
Řekněme, že jste ve velké společnosti a chcete se ujistit, že tam bude i váš přítel. Pokud vám bude řečeno, že sedí v rohu, pak bude stačit zlomek vteřiny, abyste se pohledem ujistili, že informace jsou pravdivé. Při absenci těchto informací budete nuceni obejít celou místnost a podívat se na hosty. To naznačuje, že řešení problému často zabere více času než kontrola správnosti řešení.
Stephen Cook formuloval problém: může být kontrola správnosti řešení problému delší než získání samotného řešení, bez ohledu na ověřovací algoritmus. Tento problém je také jedním z neřešených problémů v oblasti logiky a informatiky. Jeho řešení by mohlo způsobit revoluci v základech kryptografie používané při přenosu a ukládání dat.
2. Riemannova hypotéza (formulovaná v roce 1859)
Některá celá čísla nelze vyjádřit jako součin dvou menších celých čísel, například 2, 3, 5, 7 a tak dále. Taková čísla se nazývají prvočísla a hrají důležitou roli v čisté matematice a jejích aplikacích. Rozdělení prvočísel mezi řadu všech přirozených čísel nemá žádnou pravidelnost. Německý matematik Riemann však učinil předpoklad týkající se vlastností posloupnosti prvočísel. Pokud se Riemannova hypotéza prokáže, způsobí revoluci v našich znalostech šifrování a povede k bezprecedentním průlomům v internetové bezpečnosti.
3. Birchova a Swinnerton-Dyerova hypotéza (formulovaná v roce 1960)
Souvisí s popisem množiny řešení některých algebraických rovnic v několika proměnných s celočíselnými koeficienty. Příkladem takové rovnice je výraz x2 + y2 = z2. Euclid poskytl úplný popis řešení této rovnice, ale pro složitější rovnice je nalezení řešení extrémně obtížné.
4. Hodgeova hypotéza (formulovaná v roce 1941)
Ve 20. století objevili matematici mocnou metodu pro studium tvaru složitých objektů. Hlavní myšlenkou je použít místo samotného předmětu jednoduché „cihly“, které jsou slepené a tvoří jeho podobu. Hodgeova hypotéza je spojena s některými předpoklady o vlastnostech takových „cihel“ a předmětů.
5. Navierovy - Stokesovy rovnice (formulované v roce 1822)
Pokud se budete plavit na lodi po jezeře, budou vznikat vlny, a pokud poletíte v letadle, budou ve vzduchu vznikat turbulentní proudy. Předpokládá se, že tyto a další jevy jsou popsány rovnicemi známými jako Navier-Stokesovy rovnice. Řešení těchto rovnic jsou neznámá a ani se neví, jak je řešit. Je potřeba ukázat, že řešení existuje a je dostatečně hladkou funkcí. Řešení tohoto problému umožní výrazně změnit metody provádění hydro- a aerodynamických výpočtů.
6. Poincareho problém (formulován v roce 1904)
Pokud natáhnete gumičku přes jablko, můžete páskou pomalu pohybovat, aniž byste opustili povrch, stlačit ji do bodu. Na druhou stranu, pokud je stejná gumička kolem donutu správně natažena, neexistuje způsob, jak pásku stlačit do bodu, aniž by se pásek roztrhl nebo nezlomil. Povrch jablka je prý jednoduše spojený, ale povrch koblihy nikoliv. Ukázalo se, že je tak obtížné dokázat, že je prostě propojena pouze sféra, že matematici stále hledají správnou odpověď.
7. Yang-Millsovy rovnice (formulované v roce 1954)
Rovnice kvantové fyziky popisují svět elementárních částic. Fyzikové Yang a Mills, kteří objevili spojení mezi geometrií a fyzikou elementárních částic, napsali své vlastní rovnice. Našli tedy způsob, jak sjednotit teorie elektromagnetických, slabých a silných interakcí. Yang-Millsovy rovnice implikovaly existenci částic, které byly skutečně pozorovány v laboratořích po celém světě, takže Yang-Millsova teorie je přijímána většinou fyziků, navzdory skutečnosti, že tato teorie stále nedokáže předpovědět hmotnosti elementárních částic.
Myslím, že tento materiál zveřejněný na blogu je zajímavý nejen pro studenty, ale i pro školáky, kteří se matematice vážně věnují. Při výběru témat a oblastí výzkumu je na co myslet.
Neřešitelné problémy jsou 7 nejzajímavějších matematických problémů. Každý z nich byl najednou navržen známými vědci, zpravidla ve formě hypotéz. Po mnoho desetiletí si matematici po celém světě lámali hlavu nad jejich řešením. Ti, kteří uspějí, budou odměněni milionem amerických dolarů, které nabízí Clay Institute.
Clay Institute
Toto jméno je soukromá nezisková organizace se sídlem v Cambridge ve státě Massachusetts. V roce 1998 ji založili harvardský matematik A. Jeffey a podnikatel L. Clay. Cílem ústavu je popularizovat a rozvíjet matematické znalosti. Aby toho dosáhla, organizace uděluje ocenění vědcům a sponzorům slibného výzkumu.
Na začátku 21. století nabídl Clay Mathematical Institute cenu těm, kteří řeší problémy, které jsou známé jako nejtěžší neřešitelné problémy, a jejich seznam nazval Problémy tisíciletí. Z „Hilbertova seznamu“ obsahoval pouze Riemannovu hypotézu.
Výzvy tisíciletí
Seznam Clay Institute původně obsahoval:
- hypotéza Hodgeova cyklu;
- rovnice kvantové teorie Yang-Mills;
- Poincarého hypotéza;
- problém rovnosti tříd P a NP;
- Riemannova hypotéza;
- na existenci a hladkost jeho řešení;
- Problém Birch-Swinnerton-Dyer.
Tyto otevřené matematické problémy jsou velmi zajímavé, protože mohou mít mnoho praktických implementací.
Co dokázal Grigory Perelman?
V roce 1900 slavný filozof Henri Poincaré navrhl, že každá jednoduše připojená kompaktní 3-varitura bez hranic je homeomorfní k 3-kouli. Jeho důkaz v obecném případě nebyl nalezen po celé století. Jen v letech 2002-2003 publikoval petrohradský matematik G. Perelman řadu článků s řešením Poincarého problému. Měly účinek vybuchující bomby. V roce 2010 byla Poincarého hypotéza vyřazena ze seznamu „Nevyřešených problémů“ Clay Institute a Perelmanovi bylo nabídnuto, že kvůli němu dostane značnou odměnu, kterou ten odmítl, aniž by vysvětlil důvody svého rozhodnutí.
Nejsrozumitelnější vysvětlení toho, co se ruskému matematikovi podařilo dokázat, může být představa, že se gumový kotouč natáhne na koblihu (torus) a poté se snaží okraje jeho obvodu stáhnout do jednoho bodu. Je zřejmé, že to není možné. Další věc, pokud tento experiment provedete s míčem. V tomto případě zdánlivě trojrozměrná koule, vzniklá z disku, jehož obvod byl přitažen do bodu hypotetickou šňůrou, bude v chápání běžného člověka trojrozměrná, ale z bodu dvourozměrná z pohledu matematiky.
Poincaré navrhl, že trojrozměrná koule je jediným trojrozměrným „objektem“, jehož povrch lze stáhnout do jediného bodu, a Perelman to dokázal. Seznam „Neřešitelných problémů“ tedy dnes tvoří 6 problémů.
Yang-Millsova teorie
Tento matematický problém byl navržen jeho autory v roce 1954. Vědecká formulace teorie je následující: pro jakoukoliv jednoduchou kompaktní kalibrační skupinu existuje kvantová prostorová teorie vytvořená Yangem a Millsem a zároveň má nulovou hmotnostní vadu.
Mluvíme-li jazykem srozumitelným běžnému člověku, interakce mezi přírodními objekty (částice, tělesa, vlny atd.) jsou rozděleny do 4 typů: elektromagnetické, gravitační, slabé a silné. Po mnoho let se fyzici pokoušeli vytvořit obecnou teorii pole. Měl by se stát nástrojem pro vysvětlení všech těchto interakcí. Yang-Millsova teorie je matematický jazyk, pomocí kterého bylo možné popsat 3 ze 4 hlavních přírodních sil. Neplatí pro gravitaci. Nelze tedy mít za to, že Yangovi a Millsovi se podařilo vytvořit teorii pole.
Navíc nelinearita navržených rovnic je extrémně obtížně řešitelná. Pro malé vazebné konstanty je lze přibližně vyřešit ve formě řady poruchové teorie. Zatím však není jasné, jak lze tyto rovnice vyřešit silnou vazbou.
Navier-Stokesovy rovnice
Tyto výrazy popisují procesy, jako je proudění vzduchu, proudění tekutin a turbulence. Pro některé speciální případy již byla nalezena analytická řešení Navier-Stokesovy rovnice, ale zatím se to nikomu nepodařilo pro obecnou rovnici. Numerické simulace pro konkrétní hodnoty rychlosti, hustoty, tlaku, času a tak dále mohou zároveň dosáhnout vynikajících výsledků. Nezbývá než doufat, že se někomu podaří aplikovat Navier-Stokesovy rovnice v opačném směru, tedy s jejich pomocí vypočítat parametry, případně prokázat, že neexistuje žádná metoda řešení.
Problém Birch-Swinnerton-Dyer
Do kategorie „Nevyřešené problémy“ patří i hypotéza navržená anglickými vědci z University of Cambridge. Již před 2300 lety podal starověký řecký vědec Euclid úplný popis řešení rovnice x2 + y2 = z2.
Pokud pro každé z prvočísel spočítáte počet bodů na křivce modulo, dostanete nekonečnou množinu celých čísel. Pokud to konkrétně „nalepíte“ do 1 funkce komplexní proměnné, dostanete Hasse-Weilovu zeta funkci pro křivku třetího řádu, označovanou písmenem L. Obsahuje informace o modulovém chování všech prvočísel najednou .
Brian Burch a Peter Swinnerton-Dyer uvažovali o eliptických křivkách. Struktura a počet množiny jejích racionálních řešení podle ní souvisí s chováním L-funkce u identity. V současnosti neprokázaná Birch-Swinnerton-Dyerova domněnka závisí na popisu algebraických rovnic 3. stupně a je jediným relativně jednoduchým obecným způsobem výpočtu hodnosti eliptických křivek.
Abychom pochopili praktický význam tohoto úkolu, stačí říci, že v moderní kryptografii je celá třída asymetrických systémů založena na eliptických křivkách a domácí standardy digitálního podpisu jsou založeny na jejich aplikaci.
Rovnost tříd p a np
Pokud jsou ostatní výzvy tisíciletí čistě matematické, pak tato souvisí se skutečnou teorií algoritmů. Problém týkající se rovnosti tříd p a np, známý také jako Cooke-Levinův problém, lze formulovat srozumitelným jazykem následovně. Předpokládejme, že kladnou odpověď na určitou otázku lze zkontrolovat dostatečně rychle, tj. v polynomiálním čase (PT). Je tedy správné tvrzení, že odpověď na něj lze najít poměrně rychle? Ještě jednodušší to zní takto: opravdu není obtížnější řešení problému zkontrolovat, než jej najít? Pokud se někdy prokáže rovnost tříd p a np, pak lze pro PV vyřešit všechny výběrové problémy. O pravdivosti tohoto tvrzení v tuto chvíli mnoho odborníků pochybuje, ačkoli nemohou prokázat opak.
Riemannova hypotéza
Do roku 1859 nebyl identifikován žádný vzor, který by popisoval, jak jsou prvočísla distribuována mezi přirozená čísla. Možná to bylo způsobeno tím, že věda se zabývala jinými otázkami. Do poloviny 19. století se však situace změnila a staly se jedním z nejrelevantnějších, kterými se matematika začala zabývat.
Riemannova hypotéza, která se objevila v tomto období, je předpokladem, že v distribuci prvočísel existuje určitý vzorec.
Dnes se mnoho moderních vědců domnívá, že pokud se to prokáže, bude třeba revidovat mnoho základních principů moderní kryptografie, které tvoří základ významné části mechanismů elektronického obchodování.
Podle Riemannovy hypotézy se povaha rozložení prvočísel může výrazně lišit od toho, co se v současnosti předpokládá. Faktem je, že zatím nebyl objeven žádný systém v distribuci prvočísel. Například je tu problém „dvojčat“, rozdíl mezi nimi je 2. Tato čísla jsou 11 a 13, 29. Další prvočísla tvoří shluky. Jsou to 101, 103, 107 atd. Vědci už dlouho tušili, že takové shluky existují mezi velmi velkými prvočísly. Pokud budou nalezeny, bude zpochybněna stabilita moderních krypto klíčů.
Hypotéza Hodgeova cyklu
Tento dosud neřešený problém byl formulován v roce 1941. Hodgeova hypotéza naznačuje možnost aproximace tvaru libovolného předmětu „slepením“ jednoduchých těles vyšších rozměrů. Tato metoda je známá a úspěšně používaná již dlouhou dobu. Není však známo, do jaké míry lze zjednodušení provést.
Nyní víte, jaké neřešitelné problémy v tuto chvíli existují. Jsou předmětem výzkumu tisíců vědců po celém světě. Zbývá doufat, že v blízké budoucnosti budou vyřešeny a jejich praktická aplikace pomůže lidstvu vstoupit do nového kola technologického rozvoje.
Na světě není tolik lidí, kteří nikdy neslyšeli o Fermatově poslední větě – možná je to jediný matematický problém, který se stal tak široce známým a stal se skutečnou legendou. Je zmíněna v mnoha knihách a filmech, přičemž hlavním kontextem téměř všech zmínek je nemožnost větu dokázat.
Ano, tato věta je velmi slavná a v jistém smyslu se stala „modlou“ uctívanou amatérskými i profesionálními matematiky, ale málokdo ví, že její důkaz byl nalezen, a to se stalo již v roce 1995. Ale nejdřív.
Takže Fermatova poslední věta (často nazývaná poslední Fermatova věta), formulovaná v roce 1637 skvělým francouzským matematikem Pierrem Fermatem, je velmi jednoduchá a srozumitelná každému člověku se středoškolským vzděláním. Říká, že vzorec a na mocninu n + b na mocninu n \u003d c na mocninu n nemá žádná přirozená (tedy nezlomková) řešení pro n> 2. Vše se zdá být jednoduché a jasné , ale nejlepší matematici a obyčejní amatéři bojovali o hledání řešení více než tři a půl století.
Proč je tak slavná? Teď to zjistíme...
Existuje málo dokázaných, neprokázaných a přesto neprokázaných vět? Jde o to, že Fermatův poslední teorém je největším kontrastem mezi jednoduchostí formulace a složitostí důkazu. Fermatova poslední věta je neuvěřitelně obtížný úkol, a přesto její formulaci pochopí každý s 5 ročníky střední školy, ale důkazem to zdaleka není ani každý profesionální matematik. Ani ve fyzice, ani v chemii, ani v biologii, ani v téže matematice neexistuje jediný problém, který by byl formulován tak jednoduše, ale zůstal tak dlouho nevyřešený. 2. Z čeho se skládá?
Začněme pythagorejskými kalhotami Formulace je opravdu jednoduchá – na první pohled. Jak víme z dětství, "Pythagorejské kalhoty jsou si ze všech stran rovné." Problém vypadá tak jednoduše, protože byl založen na matematickém tvrzení, které každý zná – Pythagorově větě: v každém pravoúhlém trojúhelníku se čtverec postavený na přeponě rovná součtu čtverců postavených na nohách.
V 5. století př. Kr. Pythagoras založil pythagorejské bratrstvo. Pythagorejci mimo jiné studovali celočíselné trojnásobky splňující rovnici x²+y²=z². Dokázali, že existuje nekonečně mnoho pythagorejských trojic a získali obecné vzorce pro jejich nalezení. Asi se snažili hledat trojky a vyšší stupně. Přesvědčeni, že to nefunguje, Pythagorejci zanechali svých marných pokusů. Členové bratrstva byli více filozofové a estéti než matematici.
To znamená, že je snadné vybrat sadu čísel, která dokonale splňují rovnost x² + y² = z²
Počínaje 3, 4, 5 - žák základní školy skutečně chápe, že 9 + 16 = 25.
Nebo 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Skvělé.
No, ukázalo se, že ne. Tady trik začíná. Jednoduchost je zřejmá, protože je těžké dokázat ne přítomnost něčeho, ale naopak nepřítomnost. Když je potřeba dokázat, že řešení existuje, lze a měl by se jednoduše předložit toto řešení.
Dokázat absenci je obtížnější: někdo například říká: taková a taková rovnice nemá řešení. Dát ho do louže? snadné: bam - a tady to je, řešení! (uveďte řešení). A je to, soupeř je poražen. Jak prokázat nepřítomnost?
Říct: „Taková řešení jsem nenašel“? Nebo jste možná špatně hledali? A co když jsou, jen hodně velké, no, takové, že ani supervýkonný počítač ještě nemá dost síly? To je to, co je těžké.
Vizuálně to lze znázornit takto: vezmeme-li dva čtverce vhodných velikostí a rozebereme je na jednotkové čtverce, pak z tohoto svazku jednotkových čtverců získáme třetí čtverec (obr. 2): 
A totéž udělejme se třetím rozměrem (obr. 3) – nefunguje to. Není dostatek kostek nebo zbývají další:
Ale matematik 17. století, Francouz Pierre de Fermat, nadšeně studoval obecnou rovnici x n + y n \u003d z n. A nakonec došel k závěru: pro n>2 celočíselná řešení neexistují. Fermatův důkaz je nenávratně ztracen. Rukopisy hoří! Zůstává jen jeho poznámka v Diophantusově Aritmetice: "Našel jsem skutečně úžasný důkaz tohoto tvrzení, ale okraje jsou zde příliš úzké na to, aby to obsáhly."
Ve skutečnosti se věta bez důkazu nazývá hypotéza. Ale Fermat má pověst toho, že se nikdy nemýlí. I když nezanechal důkaz o žádném prohlášení, bylo to následně potvrzeno. Navíc Fermat dokázal svou tezi pro n=4. Takže hypotéza francouzského matematika vstoupila do dějin jako poslední Fermatova věta.
Po Fermatovi pracovali na hledání důkazu takové velké mozky jako Leonhard Euler (v roce 1770 navrhl řešení pro n = 3),
Adrien Legendre a Johann Dirichlet (tito vědci společně našli důkaz pro n = 5 v roce 1825), Gabriel Lame (který našel důkaz pro n = 7) a mnoho dalších. V polovině 80. let minulého století bylo jasné, že vědecký svět je na cestě ke konečnému řešení Fermatovy poslední věty, ale teprve v roce 1993 matematici viděli a uvěřili, že sága trvající tři století o nalezení důkazu Poslední Fermatova věta byla téměř u konce.
Je snadné ukázat, že stačí dokázat Fermatovu větu pouze pro prvočíslo n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Pro kompozit n zůstává důkaz platný. Ale prvočísel je nekonečně mnoho...
V roce 1825 pomocí metody Sophie Germain dokázaly matematičky Dirichlet a Legendre nezávisle na sobě větu pro n=5. V roce 1839 ukázal Francouz Gabriel Lame pravdivost věty pro n=7 stejnou metodou. Postupně byla věta dokázána pro téměř všech n méně než sto.
Konečně německý matematik Ernst Kummer v brilantní studii ukázal, že matematické metody 19. století nemohou větu obecně dokázat. Cena Francouzské akademie věd, založená v roce 1847 za důkaz Fermatovy věty, zůstala nepřidělena.
V roce 1907 se bohatý německý průmyslník Paul Wolfskel rozhodl vzít si život kvůli nešťastné lásce. Jako správný Němec stanovil datum a čas sebevraždy: přesně o půlnoci. Poslední den sepsal závěť a napsal dopisy přátelům a příbuzným. Obchod skončil před půlnocí. Musím říct, že Pavla zajímala matematika. Protože neměl co dělat, zašel do knihovny a začal číst Kummerův slavný článek. Najednou se mu zdálo, že Kummer udělal chybu ve svých úvahách. Wolfskehl s tužkou v ruce začal analyzovat tuto část článku. Uplynula půlnoc, přišlo ráno. Mezera v důkazu byla vyplněna. A samotný důvod sebevraždy teď vypadal naprosto směšně. Pavel roztrhal dopisy na rozloučenou a přepsal závěť.
Brzy zemřel přirozenou smrtí. Dědicové byli pěkně překvapeni: 100 000 marek (více než 1 000 000 současných liber šterlinků) bylo převedeno na účet Královské vědecké společnosti v Göttingenu, která ve stejném roce vyhlásila soutěž o Wolfskelovu cenu. 100 000 marek se opíralo o dokazování Fermatovy věty. Za vyvrácení teorému se neměl platit ani fenig...
Většina profesionálních matematiků považovala hledání důkazu Fermatovy poslední věty za ztracený případ a rezolutně odmítla ztrácet čas takovým marným cvičením. Ale amatéři dovádějí ke slávě. Pár týdnů po oznámení zasáhla univerzitu v Göttingenu lavina „důkazů“. Profesor E. M. Landau, jehož povinností bylo analyzovat zaslané důkazy, rozdal svým studentům karty:
Vážení (y). . . . . . . .
Děkuji za rukopis, který jste poslal s důkazem Fermatovy poslední věty. První chyba je na stránce ... na řádku ... . Kvůli tomu celý důkaz ztrácí platnost.
Profesor E. M. Landau
V roce 1963 Paul Cohen, čerpající z Gödelových zjištění, prokázal neřešitelnost jednoho z třiadvaceti Hilbertových problémů, hypotézy kontinua. Co když je Fermatův poslední teorém také neřešitelný?! Ale opravdoví fanatici Velké věty vůbec nezklamali. Nástup počítačů nečekaně dal matematikům novou metodu důkazu. Po druhé světové válce skupiny programátorů a matematiků dokázaly Fermatovu poslední větu pro všechny hodnoty n do 500, poté do 1 000 a později do 10 000.
V 80. letech Samuel Wagstaff zvýšil limit na 25 000 a v 90. letech matematici tvrdili, že Fermatův poslední teorém platí pro všechny hodnoty n až do 4 milionů. Ale pokud se od nekonečna odečte byť jen bilion bilionů, nezmenší se. Matematiky statistiky nepřesvědčí. Dokázat Velkou větu znamenalo dokázat ji pro VŠECHNY n jít do nekonečna.
V roce 1954 se dva mladí přátelé japonští matematici pustili do studia modulárních forem. Tyto formy generují řadu čísel, z nichž každé - svou vlastní řadu. Taniyama náhodou porovnal tyto série se sériemi generovanými eliptickými rovnicemi. Shodovali se! Ale modulární formy jsou geometrické objekty, zatímco eliptické rovnice jsou algebraické. Mezi tak odlišnými objekty nikdy nebylo nalezeno spojení.
Nicméně po pečlivém testování přátelé předložili hypotézu: každá eliptická rovnice má dvojče - modulární formu a naopak. Právě tato hypotéza se stala základem celého trendu v matematice, ale dokud nebyla prokázána hypotéza Taniyama-Shimura, mohla se celá budova každou chvíli zřítit.
V roce 1984 Gerhard Frey ukázal, že řešení Fermatovy rovnice, pokud existuje, může být zahrnuto do nějaké eliptické rovnice. O dva roky později profesor Ken Ribet dokázal, že tato hypotetická rovnice nemůže mít v modulárním světě obdobu. Od nynějška byl Fermatův poslední teorém neoddělitelně spojen s hypotézou Taniyama-Shimura. Když jsme dokázali, že každá eliptická křivka je modulární, docházíme k závěru, že neexistuje žádná eliptická rovnice s řešením Fermatovy rovnice a Fermatova poslední věta by byla okamžitě prokázána. Ale třicet let nebylo možné prokázat hypotézu Taniyama-Shimura a naděje na úspěch byly stále méně a méně.
V roce 1963, když mu bylo pouhých deset let, byl Andrew Wiles již fascinován matematikou. Když se dozvěděl o Velké větě, uvědomil si, že se od ní nemůže odchýlit. Jako školák, student, postgraduální student se na tento úkol připravoval.
Když se Wiles dozvěděl o zjištěních Kena Ribeta, vrhl se do dokazování Taniyama-Shimurovy domněnky. Rozhodl se pracovat v naprosté izolaci a utajení. "Pochopil jsem, že všechno, co má něco společného s Fermatovou poslední větou, je příliš zajímavé... Příliš mnoho diváků záměrně zasahuje do dosažení cíle." Sedm let tvrdé práce se vyplatilo, Wiles konečně dokončil důkaz domněnky Taniyama-Shimura.
V roce 1993 anglický matematik Andrew Wiles představil světu svůj důkaz Fermatovy poslední věty (Wiles četl jeho senzační zprávu na konferenci v Institutu Sira Isaaca Newtona v Cambridge), práce na níž trvala více než sedm let.
Zatímco humbuk v tisku pokračoval, začala seriózní práce na ověření důkazů. Každý důkaz musí být pečlivě prozkoumán, než může být důkaz považován za přísný a přesný. Wiles strávil hektické léto čekáním na zpětnou vazbu recenzentů a doufal, že by mohl získat jejich souhlas. Na konci srpna našli znalci nedostatečně podložený rozsudek.
Ukázalo se, že toto rozhodnutí obsahuje hrubou chybu, i když obecně platí. Wiles se nevzdal, povolal si na pomoc známého specialistu na teorii čísel Richarda Taylora a již v roce 1994 zveřejnili opravený a doplněný důkaz věty. Nejúžasnější na tom je, že tato práce zabrala až 130 (!) stran matematického časopisu Annals of Mathematics. Ani tím ale příběh neskončil - poslední tečka byla učiněna až v následujícím roce 1995, kdy byla zveřejněna konečná a z matematického hlediska „ideální“ verze důkazu.
„...půl minuty po začátku slavnostní večeře u příležitosti jejích narozenin jsem Nadii předal rukopis kompletního důkazu“ (Andrew Wales). Zmínil jsem se, že matematici jsou zvláštní lidé?
Tentokrát o důkazu nebylo pochyb. Dva články byly podrobeny nejpečlivější analýze a v květnu 1995 byly publikovány v Annals of Mathematics.
Od té chvíle uplynulo hodně času, ale ve společnosti stále panuje názor na neřešitelnost Fermatovy poslední věty. Ale i ti, kteří o nalezeném důkazu vědí, pokračují v práci tímto směrem – málokdo je spokojen s tím, že Velká věta vyžaduje řešení 130 stran!
Proto se nyní síly tolika matematiků (většinou amatérů, nikoli profesionálních vědců) vrhají do hledání jednoduchého a stručného důkazu, ale tato cesta s největší pravděpodobností nikam nevede ...
zdroj
1 Murad:
Rovnost Zn = Xn + Yn jsme považovali za Diophantovu rovnici neboli Velkou Fermatovu větu a to je řešení rovnice (Zn- Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn. Pak Zn =-(Xn + Yn) je řešením rovnice (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn. Tyto rovnice a řešení souvisí s vlastnostmi celých čísel a operacemi na nich. Takže neznáme vlastnosti celých čísel?! S takto omezenými znalostmi neodhalíme pravdu.
Uvažujme řešení Zn = +(Xn + Yn) a Zn =-(Xn + Yn), když n = 1. Celá čísla + Z se tvoří pomocí 10 číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. Jsou dělitelné 2 celými čísly +X - sudé, poslední pravé číslice: 0, 2, 4, 6, 8 a +Y - liché, poslední pravé číslice: 1, 3, 5, 7, 9, t . E. + X = + Y. Počet Y = 5 - lichá a X = 5 - sudá čísla je: Z = 10. Splňuje rovnici: (Z - X) X = (Z - Y) Y, a řešení + Z = + X + Y= +(X + Y).
Celá čísla -Z se skládají ze spojení -X pro sudé a -Y pro liché a splňují rovnici:
(Z + X) X = (Z + Y) Y a roztok -Z = - X - Y = - (X + Y).
Jestliže Z/X = Y nebo Z/Y = X, pak Z = XY; Z/-X = -Y nebo Z/-Y = -X, pak Z = (-X)(-Y). Dělení se kontroluje násobením.
Jednociferná kladná a záporná čísla se skládají z 5 lichých a 5 lichých čísel.
Uvažujme případ n = 2. Pak Z2 = X2 + Y2 je řešením rovnice (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 a Z2 = -(X2 + Y2) je řešením rovnice (Z2 + X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Z2 = X2 + Y2 jsme považovali za Pythagorovu větu a řešení Z2 = -(X2 + Y2) je stejná věta. Víme, že úhlopříčka čtverce jej rozděluje na 2 části, kde úhlopříčka je přepona. Pak platí rovnosti: Z2 = X2 + Y2 a Z2 = -(X2 + Y2), kde X a Y jsou nohy. A více řešení R2 = X2 + Y2 a R2 =- (X2 + Y2) jsou kružnice, středy jsou počátkem čtvercového souřadnicového systému as poloměrem R. Lze je zapsat jako (5n)2 = (3n)2 + ( 4n)2 , kde n jsou kladná a záporná celá čísla a jsou 3 po sobě jdoucí čísla. Řešením jsou také 2bitová čísla XY, která začínají na 00 a končí na 99 a jsou 102 = 10x10 a počítají 1 století = 100 let.
Uvažujme řešení, když n = 3. Pak Z3 = X3 + Y3 jsou řešení rovnice (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3.
3bitová čísla XYZ začíná na 000 a končí na 999 a je 103 = 10x10x10 = 1000 let = 10 století
Z 1000 kostek stejné velikosti a barvy můžete vyrobit rubik asi 10. Uvažujme rubik řádu +103=+1000 - červená a -103=-1000 - modrá. Skládají se ze 103 = 1000 kostek. Pokud kostky rozložíme a položíme do jedné řady nebo na sebe, bez mezer, dostaneme vodorovný nebo svislý segment délky 2000. Rubik je velká kostka, pokrytá malými kostkami, od velikosti 1butto = 10st. -21 a nemůžete k němu přidat ani odečíst jednu krychli.
- (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
- (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
- (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
Každé celé číslo je 1. Sečtěte 1 (jedničky) 9 + 9 = 18, 10 + 9 = 19, 10 + 10 = 20, 11 + 10 = 21 a produkty:
111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321.
0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
Tyto operace lze provádět na 20bitových kalkulačkách.
Je známo, že +(n3 - n) je vždy dělitelné +6 a - (n3 - n) je dělitelné -6. Víme, že n3 - n = (n-1)n(n+1). Toto jsou 3 po sobě jdoucí čísla (n-1)n(n+1), kde n je sudé, pak dělitelné 2, (n-1) a (n+1) liché, dělitelné 3. Potom (n-1) n(n+1) je vždy dělitelné 6. Pokud n=0, pak (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, pak (n-1) n(n+l)=(19)(20)(21).
Víme, že 19 x 19 = 361. To znamená, že jeden čtverec je obklopen 360 čtverci a pak jedna krychle je obklopena 360 krychli. Rovnost je splněna: 6 n - 1 + 6n. Pokud n = 60, pak 360 - 1 + 360 a n = 61, pak 366 - 1 + 366.
Z výše uvedených tvrzení plynou následující zobecnění:
n5 - 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1)n(n +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
(n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3 )…3210
n = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! =n! (n+1).
0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n +1)2.
Pokud 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
= 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
Jakékoli celé číslo n je mocninou 10, má: – n a +n, +1/ n a -1/ n, liché a sudé:
- (n + n +…+ n) = -n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
+ (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x… x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
Je jasné, že pokud se k sobě přičte nějaké celé číslo, zvýší se 2krát a součin bude čtverec: X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = a x a = a2. To bylo považováno za Vietin teorém – omyl!
Pokud k danému číslu přičteme a odečteme číslo b, pak se součet nezmění, ale změní se součin, např.:
X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2.
X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) \u003d a2- b.
X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2.
X = a + √b i, Y = a - √bi, X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
Pokud místo písmen a a b dosadíme celá čísla, dostaneme paradoxy, absurdity a nedůvěru k matematice.
