บางครั้งการศึกษาอย่างขยันขันแข็งเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ที่แน่นอนสามารถเกิดผลได้ - คุณจะไม่เพียงเป็นที่รู้จักไปทั่วโลกเท่านั้น แต่ยังร่ำรวยอีกด้วย อย่างไรก็ตาม มีการมอบรางวัลให้โดยเปล่าประโยชน์ และในวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ มีทฤษฎี ทฤษฎีบท และปัญหาที่ไม่ได้รับการพิสูจน์มากมายที่ทวีคูณขึ้นเมื่อวิทยาศาสตร์พัฒนาขึ้น ใช้โน้ตบุ๊ก Kourovka หรือ Dniester อย่างน้อย คอลเลกชั่นที่มีทั้งทางกายภาพและทางคณิตศาสตร์ที่แก้ไม่ได้ และไม่เพียงเท่านั้น , งาน อย่างไรก็ตาม ยังมีทฤษฎีบทที่ซับซ้อนอย่างแท้จริงซึ่งไม่ได้รับการแก้ไขมานานกว่าสิบปี และสำหรับพวกเขา American Clay Institute ได้มอบรางวัลเป็นจำนวนเงิน 1 ล้านดอลลาร์สหรัฐสำหรับแต่ละรายการ จนถึงปี 2002 แจ็กพอตทั้งหมดคือ 7 ล้าน เนื่องจากมี "ปัญหาแห่งสหัสวรรษ" เจ็ดข้อ แต่ Grigory Perelman นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียได้แก้ไขการคาดเดาของ Poincaré โดยการละทิ้งล้านครั้งอย่างยิ่งใหญ่ โดยไม่ได้เปิดประตูให้นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันที่ต้องการมอบความจริงใจให้กับเขา โบนัสที่ได้รับ ดังนั้นเราจึงเปิดทฤษฎีบิ๊กแบงสำหรับพื้นหลังและอารมณ์ และดูว่าอะไรที่คุณสามารถตัดผลรวมเป็นวงกลมได้
ความเท่าเทียมกันของคลาส P และ NP
กล่าวอย่างง่าย ๆ ปัญหาความเท่าเทียมกัน P = NP เป็นดังนี้: หากคำตอบในเชิงบวกสำหรับคำถามบางคำถามสามารถตรวจสอบได้อย่างรวดเร็ว (ในเวลาพหุนาม) จริงหรือไม่ที่คำตอบสำหรับคำถามนี้สามารถพบได้อย่างรวดเร็ว (เช่น เวลาพหุนามและการใช้หน่วยความจำพหุนาม)? กล่าวอีกนัยหนึ่งคือการตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาไม่ง่ายกว่าการค้นหาหรือไม่? สิ่งสำคัญที่สุดคือการคำนวณและการคำนวณบางอย่างสามารถแก้อัลกอริทึมได้ง่ายกว่าการใช้กำลังเดรัจฉาน ดังนั้นจึงช่วยประหยัดเวลาและทรัพยากรได้มาก
สมมติฐานฮอดจ์
การคาดคะเนของ Hodge ซึ่งกำหนดขึ้นในปี 1941 คือสำหรับช่องว่างที่ดีโดยเฉพาะที่เรียกว่าพันธุ์พีชคณิตแบบโปรเจกทีฟ วัฏจักรฮ็อดจ์ที่เรียกว่าเป็นการรวมกันของวัตถุที่มีการตีความทางเรขาคณิต - วัฏจักรพีชคณิต
เมื่ออธิบายง่ายๆ เราสามารถพูดได้ดังนี้ ในศตวรรษที่ 20 มีการค้นพบรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนมาก เช่น ขวดโค้ง ดังนั้นจึงมีข้อเสนอแนะว่าในการสร้างวัตถุเหล่านี้เพื่ออธิบายจำเป็นต้องใช้รูปแบบที่ทำให้งงโดยสมบูรณ์ซึ่งไม่มีสาระสำคัญทางเรขาคณิต .
สมมติฐานรีมันน์
มันค่อนข้างอธิบายยากในภาษามนุษย์ เพียงพอที่จะรู้ว่าการแก้ปัญหานี้จะมีผลกระทบอย่างกว้างขวางในด้านการกระจายของจำนวนเฉพาะ ปัญหามีความสำคัญและเร่งด่วนมากจนแม้แต่การได้มาซึ่งตัวอย่างแย้งของสมมติฐาน - ขึ้นอยู่กับดุลยพินิจของสภาวิชาการของมหาวิทยาลัย ปัญหาสามารถได้รับการพิจารณาว่าได้รับการพิสูจน์แล้ว ดังนั้นคุณสามารถลองใช้วิธีการ "จากด้านตรงข้าม" ได้ที่นี่ แม้ว่าจะเป็นไปได้ที่จะปรับสมมติฐานใหม่ในแง่ที่แคบลง แม้แต่ที่นี่ สถาบันเคลย์ก็จะจ่ายเงินจำนวนหนึ่ง
ทฤษฎีหยางมิลส์
Particle Physics เป็นหนึ่งในหัวข้อโปรดของ Dr. Sheldon Cooper ทฤษฎีควอนตัมของลุงที่ฉลาดสองคนบอกเราว่าสำหรับกลุ่มมาตรวัดทั่วไปในอวกาศ มีข้อบกพร่องจำนวนมากที่ไม่ใช่ศูนย์ ข้อความนี้กำหนดขึ้นโดยข้อมูลการทดลองและการจำลองเชิงตัวเลข แต่จนถึงขณะนี้ยังไม่มีใครพิสูจน์ได้
สมการเนเวียร์-สโตกส์
ที่นี่ Howard Wolowitz จะช่วยเราได้อย่างแน่นอน ถ้าเขามีอยู่จริง - เพราะนี่คือปริศนาจากอุทกพลศาสตร์และรากฐานของฐานราก สมการอธิบายการเคลื่อนที่ของของไหลของนิวตันที่มีความหนืด มีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมาก และที่สำคัญที่สุดคือ อธิบายถึงความปั่นป่วน ซึ่งไม่สามารถขับเคลื่อนเข้าไปในกรอบของวิทยาศาสตร์ได้ไม่ว่าด้วยวิธีใด และไม่สามารถคาดการณ์คุณสมบัติและการกระทำของมันได้ เหตุผลในการสร้างสมการเหล่านี้จะทำให้ไม่ต้องชี้นิ้วขึ้นไปบนท้องฟ้า แต่เพื่อให้เข้าใจถึงความปั่นป่วนจากภายในและทำให้เครื่องบินและกลไกต่างๆ มีเสถียรภาพมากขึ้น
สมมติฐาน Birch-Swinnerton-Dyer
จริงอยู่ ฉันพยายามจะหยิบคำศัพท์ง่ายๆ แต่มีพีชคณิตที่หนาแน่นซึ่งเราไม่สามารถทำได้โดยไม่ต้องแช่ลึกลงไป บรรดาผู้ที่ไม่ต้องการดำดิ่งสู่มาทันจำเป็นต้องรู้ว่าสมมติฐานนี้ช่วยให้คุณค้นหาอันดับของเส้นโค้งวงรีได้อย่างรวดเร็วและไม่ลำบาก และหากไม่มีสมมติฐานนี้ จำเป็นต้องมีแผ่นการคำนวณเพื่อคำนวณอันดับนี้ . แน่นอนว่าคุณต้องรู้ด้วยว่าการพิสูจน์สมมติฐานนี้จะทำให้คุณมีเงินล้านเหรียญ
ควรสังเกตว่าในเกือบทุกด้านมีความก้าวหน้าอยู่แล้วและแม้แต่กรณีที่ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับตัวอย่างแต่ละรายการ ดังนั้น อย่ารีรอ ไม่เช่นนั้นจะกลายเป็นเหมือนทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ ซึ่งยอมจำนนต่อแอนดรูว์ ไวลส์หลังจากผ่านไปกว่า 3 ศตวรรษในปี 1994 และทำให้เขาได้รับรางวัล Abel Prize และประมาณ 6 ล้านโครนนอร์เวย์ (50 ล้านรูเบิลตามอัตราแลกเปลี่ยนปัจจุบัน) .
บ่อยครั้ง เมื่อฉันพูดคุยกับนักเรียนมัธยมเกี่ยวกับงานวิจัยทางคณิตศาสตร์ ฉันได้ยินสิ่งต่อไปนี้: "อะไรใหม่ๆ ที่สามารถค้นพบได้ในวิชาคณิตศาสตร์" แต่จริงๆ แล้ว: บางทีอาจมีการค้นพบที่ยิ่งใหญ่ทั้งหมดและทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว?
เมื่อวันที่ 8 สิงหาคม 1900 ที่การประชุมระหว่างประเทศของนักคณิตศาสตร์ในปารีส นักคณิตศาสตร์ David Hilbert ได้สรุปรายการปัญหาที่เขาเชื่อว่าจะได้รับการแก้ไขในศตวรรษที่ 20 มี 23 รายการในรายการ ยี่สิบเอ็ดคนได้รับการแก้ไขแล้ว ปัญหาสุดท้ายที่แก้ไขได้ในรายการของกิลเบิร์ตคือทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของแฟร์มาต์ ซึ่งนักวิทยาศาสตร์ไม่สามารถแก้ไขได้เป็นเวลา 358 ปี ในปี 1994 ชาวอังกฤษ Andrew Wiles เสนอวิธีแก้ปัญหาของเขา มันกลับกลายเป็นจริงตามแบบอย่างของกิลเบิร์ตเมื่อปลายศตวรรษที่ผ่านมา นักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามกำหนดภารกิจเชิงกลยุทธ์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับศตวรรษที่ 21 หนึ่งในรายชื่อดังกล่าวโด่งดังจากมหาเศรษฐีชาวบอสตัน แลนดอน ที. เคลย์ ในปี 1998 ด้วยค่าใช้จ่ายของเขา Clay Mathematics Institute ก่อตั้งขึ้นในเคมบริดจ์ (แมสซาชูเซตส์, สหรัฐอเมริกา) และมีการจัดตั้งรางวัลสำหรับการแก้ปัญหาที่สำคัญหลายประการในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เมื่อวันที่ 24 พฤษภาคม พ.ศ. 2543 ผู้เชี่ยวชาญของสถาบันได้เลือกปัญหาเจ็ดข้อ - ตามจำนวนล้านดอลลาร์ที่จัดสรรสำหรับรางวัล รายการนี้เรียกว่าปัญหารางวัลสหัสวรรษ:
1. ปัญหาของแม่ครัว (สูตรปี 1971)
สมมติว่าคุณอยู่ในบริษัทขนาดใหญ่ต้องการให้แน่ใจว่าเพื่อนของคุณอยู่ที่นั่นด้วย หากคุณได้รับแจ้งว่าเขานั่งอยู่ตรงหัวมุม เสี้ยววินาทีก็เพียงพอแล้วที่จะทำให้แน่ใจว่าข้อมูลนั้นเป็นความจริง ในกรณีที่ไม่มีข้อมูลนี้ คุณจะถูกบังคับให้ไปทั่วทั้งห้องโดยมองไปที่แขก นี่แสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหามักใช้เวลามากกว่าการตรวจสอบความถูกต้องของวิธีแก้ปัญหา
Stephen Cook เป็นผู้กำหนดปัญหาขึ้นมา: สามารถตรวจสอบความถูกต้องของวิธีแก้ปัญหาได้นานกว่าการหาวิธีแก้ปัญหาเอง โดยไม่คำนึงถึงอัลกอริธึมการตรวจสอบ ปัญหานี้ยังเป็นหนึ่งในปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ไขในด้านตรรกะและวิทยาการคอมพิวเตอร์ โซลูชันของมันสามารถปฏิวัติพื้นฐานของการเข้ารหัสที่ใช้ในการส่งและจัดเก็บข้อมูล
2. สมมติฐานรีมันน์ (กำหนดขึ้นในปี พ.ศ. 2402)
จำนวนเต็มบางจำนวนไม่สามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเต็มที่น้อยกว่าสองจำนวนได้ เช่น 2, 3, 5, 7 และอื่นๆ ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนเฉพาะและมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และการประยุกต์ การกระจายของจำนวนเฉพาะระหว่างชุดของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดไม่เป็นไปตามความสม่ำเสมอใดๆ อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน รีมันน์ ได้ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับคุณสมบัติของลำดับจำนวนเฉพาะ หากสมมติฐานของรีมันน์ได้รับการพิสูจน์ มันจะปฏิวัติความรู้ของเราเกี่ยวกับการเข้ารหัสและนำไปสู่ความก้าวหน้าที่ไม่เคยมีมาก่อนในความปลอดภัยทางอินเทอร์เน็ต
3. สมมติฐาน Birch และ Swinnerton-Dyer (กำหนดขึ้นในปี 1960)
เชื่อมโยงกับคำอธิบายชุดคำตอบของสมการพีชคณิตบางตัวในตัวแปรหลายตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ตัวอย่างของสมการดังกล่าวคือนิพจน์ x2 + y2 = z2 ยูคลิดให้คำอธิบายทั้งหมดเกี่ยวกับคำตอบของสมการนี้ แต่สำหรับสมการที่ซับซ้อนกว่านี้ การหาคำตอบจะกลายเป็นเรื่องยากมาก
4. สมมติฐานฮอดจ์ (กำหนดขึ้นในปี พ.ศ. 2484)
ในศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์ได้ค้นพบวิธีที่มีประสิทธิภาพในการศึกษารูปร่างของวัตถุที่ซับซ้อน แนวคิดหลักคือการใช้ "อิฐ" ธรรมดาๆ แทนตัววัตถุ ซึ่งติดกาวเข้าด้วยกันและสร้างรูปลักษณ์ สมมติฐานฮอดจ์เชื่อมโยงกับสมมติฐานบางประการเกี่ยวกับคุณสมบัติของ "อิฐ" และวัตถุดังกล่าว
5. สมการ Navier - Stokes (กำหนดขึ้นในปี 1822)
หากคุณล่องเรือในทะเลสาบ คลื่นก็จะเกิดขึ้น และหากคุณบินในเครื่องบิน กระแสน้ำเชี่ยวกรากก็จะเกิดขึ้นในอากาศ สันนิษฐานว่าปรากฏการณ์เหล่านี้และอื่นๆ อธิบายได้ด้วยสมการที่เรียกว่าสมการเนเวียร์-สโตกส์ คำตอบของสมการเหล่านี้ไม่เป็นที่รู้จัก และไม่รู้ด้วยซ้ำว่าจะแก้อย่างไร จำเป็นต้องแสดงว่ามีวิธีแก้ปัญหาอยู่และเป็นฟังก์ชันที่ราบรื่นเพียงพอ การแก้ปัญหานี้จะทำให้สามารถเปลี่ยนวิธีการคำนวณทางอุทกพลศาสตร์และแอโรไดนามิกได้อย่างมีนัยสำคัญ
6. ปัญหา Poincare (กำหนดขึ้นในปี ค.ศ. 1904)
หากคุณเอาหนังยางพันทับแอปเปิ้ล คุณสามารถขยับเทปได้ช้าๆ โดยไม่ต้องออกจากพื้นผิว แล้วบีบให้แน่น ในทางกลับกัน หากรัดยางรัดเส้นเดิมไว้รอบโดนัทอย่างเหมาะสม ไม่มีทางที่จะรัดสายให้ถึงจุดโดยไม่ทำให้สายขาดหรือทำให้โดนัทหักได้ กล่าวกันว่าพื้นผิวของแอปเปิ้ลเชื่อมต่อกันอย่างเรียบง่าย แต่พื้นผิวของโดนัทไม่ได้เชื่อมต่อ ปรากฎว่าเป็นเรื่องยากมากที่จะพิสูจน์ว่ามีเพียงทรงกลมเท่านั้นที่เชื่อมต่อกันซึ่งนักคณิตศาสตร์ยังคงมองหาคำตอบที่ถูกต้อง
7. สมการ Yang-Mills (กำหนดขึ้นในปี 1954)
สมการของฟิสิกส์ควอนตัมอธิบายโลกของอนุภาคมูลฐาน นักฟิสิกส์ Yang และ Mills ค้นพบความเชื่อมโยงระหว่างเรขาคณิตกับฟิสิกส์อนุภาคมูลฐาน ได้เขียนสมการของตนเอง ดังนั้นพวกเขาจึงพบวิธีที่จะรวมทฤษฎีของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ปฏิสัมพันธ์ที่อ่อนแอและรุนแรง สมการ Yang-Mills บอกเป็นนัยถึงการมีอยู่ของอนุภาคที่สังเกตได้จริงในห้องปฏิบัติการทั่วโลก ดังนั้นนักฟิสิกส์ส่วนใหญ่จึงยอมรับทฤษฎี Yang-Mills แม้ว่าทฤษฎีนี้จะยังคงล้มเหลวในการทำนายมวลของอนุภาคมูลฐานก็ตาม
ฉันคิดว่าเนื้อหาที่ตีพิมพ์ในบล็อกนี้ไม่เพียงแค่น่าสนใจสำหรับนักเรียนเท่านั้น แต่สำหรับเด็กนักเรียนที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์อย่างจริงจังด้วย มีบางอย่างที่ต้องคำนึงถึงเมื่อเลือกหัวข้อและขอบเขตการวิจัย
ปัญหาที่แก้ไม่ได้คือ 7 ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจที่สุด แต่ละคนได้รับการเสนอในคราวเดียวโดยนักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงในรูปแบบของสมมติฐาน เป็นเวลาหลายทศวรรษแล้วที่นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกใช้สมองกับการแก้ปัญหา ผู้ที่ประสบความสำเร็จจะได้รับรางวัลเป็นล้านเหรียญสหรัฐจาก Clay Institute
สถาบันเคลย์
ชื่อนี้เป็นองค์กรไม่แสวงหาผลกำไรเอกชนที่มีสำนักงานใหญ่ในเมืองเคมบริดจ์ รัฐแมสซาชูเซตส์ ก่อตั้งขึ้นในปี 2541 โดยนักคณิตศาสตร์ฮาร์วาร์ด เอ. เจฟฟีย์ และนักธุรกิจแอล. เคลย์ จุดมุ่งหมายของสถาบันคือการเผยแพร่และพัฒนาความรู้ทางคณิตศาสตร์ เพื่อให้บรรลุสิ่งนี้ องค์กรได้มอบรางวัลให้กับนักวิทยาศาสตร์และผู้สนับสนุนการวิจัยที่มีแนวโน้มว่าจะเป็นเช่นนั้น
ในตอนต้นของศตวรรษที่ 21 สถาบัน Clay Mathematical ได้เสนอรางวัลให้กับผู้ที่แก้ปัญหาที่เรียกว่าปัญหาที่แก้ไม่ตกที่ยากที่สุด โดยเรียกรายการปัญหารางวัล Millennium Prize Problems จาก "Hilbert List" มีเพียงสมมติฐานของรีมันน์เท่านั้น
ความท้าทายแห่งสหัสวรรษ
รายการ Clay Institute เดิมรวมถึง:
- สมมติฐานวัฏจักรฮ็อดจ์;
- สมการของทฤษฎีควอนตัม
- สมมติฐาน Poincaré;
- ปัญหาความเท่าเทียมกันของคลาส P และ NP
- สมมติฐานรีมันน์;
- เกี่ยวกับการดำรงอยู่และความราบรื่นของการแก้ปัญหา
- ปัญหาเบิร์ช-สวินเนอร์ตัน-ไดเออร์
ปัญหาทางคณิตศาสตร์แบบเปิดเหล่านี้เป็นที่น่าสนใจอย่างยิ่งเพราะสามารถนำไปใช้ได้จริงหลายอย่าง
Grigory Perelman พิสูจน์อะไร
ในปี 1900 นักปรัชญาชื่อดังอย่าง Henri Poincaré ได้แนะนำว่าท่อร่วม 3-manifold ขนาดกะทัดรัดที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายๆ โดยไม่มีขอบเขต จะเป็น homeomorphic กับ 3-sphere ไม่พบหลักฐานในกรณีทั่วไปเป็นเวลาหนึ่งศตวรรษ เฉพาะในปี 2545-2546 นักคณิตศาสตร์แห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก G. Perelman ได้ตีพิมพ์บทความจำนวนหนึ่งพร้อมวิธีแก้ไขปัญหาPoincaré พวกเขาได้รับผลกระทบจากระเบิด ในปี 2010 สมมติฐานPoincaréถูกแยกออกจากรายการ "Unsolved Problems" ของ Clay Institute และ Perelman เองก็ได้รับการเสนอให้รับค่าตอบแทนจำนวนมากเนื่องจากเขาซึ่งฝ่ายหลังปฏิเสธโดยไม่อธิบายเหตุผลในการตัดสินใจของเขา
คำอธิบายที่เข้าใจได้มากที่สุดเกี่ยวกับสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียสามารถพิสูจน์ได้โดยจินตนาการว่าแผ่นยางถูกดึงลงบนโดนัท (ทอรัส) จากนั้นพวกเขาก็พยายามดึงขอบของเส้นรอบวงให้เป็นจุดเดียว เห็นได้ชัดว่าเป็นไปไม่ได้ อีกอย่าง ถ้าคุณทำการทดลองนี้กับลูกบอล ในกรณีนี้ ทรงกลมที่ดูเหมือนสามมิติซึ่งเป็นผลมาจากดิสก์ ซึ่งเส้นรอบวงซึ่งถูกดึงไปยังจุดหนึ่งด้วยสายสมมุติฐาน จะเป็นสามมิติในความเข้าใจของคนธรรมดา แต่จากจุดนั้นจะเป็นสองมิติ ในมุมมองของคณิตศาสตร์
Poincaréแนะนำว่าทรงกลมสามมิติเป็น "วัตถุ" สามมิติเพียงชิ้นเดียวที่พื้นผิวสามารถหดตัวไปยังจุดเดียวและ Perelman สามารถพิสูจน์สิ่งนี้ได้ ดังนั้น รายการ "ปัญหาที่แก้ไม่ได้" ในวันนี้จึงประกอบด้วย 6 ปัญหา
ทฤษฎีหยางมิลส์
ปัญหาทางคณิตศาสตร์นี้ถูกเสนอโดยผู้เขียนในปี 1954 สูตรทางวิทยาศาสตร์ของทฤษฎีนี้มีดังต่อไปนี้: สำหรับกลุ่มเกจคอมแพคธรรมดาใดๆ ทฤษฎีเชิงพื้นที่ควอนตัมที่สร้างขึ้นโดย Yang and Mills ยังคงมีอยู่ และในขณะเดียวกันก็มีข้อบกพร่องด้านมวลเป็นศูนย์
การพูดในภาษาที่คนธรรมดาเข้าใจได้ ปฏิสัมพันธ์ระหว่างวัตถุธรรมชาติ (อนุภาค วัตถุ คลื่น ฯลฯ) แบ่งออกเป็น 4 ประเภท ได้แก่ แม่เหล็กไฟฟ้า แรงโน้มถ่วง อ่อนแอ และแข็งแรง เป็นเวลาหลายปีที่นักฟิสิกส์พยายามสร้างทฤษฎีสนามทั่วไป ควรเป็นเครื่องมือในการอธิบายการโต้ตอบทั้งหมดเหล่านี้ ทฤษฎี Yang-Mills เป็นภาษาทางคณิตศาสตร์ที่สามารถอธิบาย 3 ใน 4 พลังหลักของธรรมชาติได้ ใช้ไม่ได้กับแรงโน้มถ่วง ดังนั้นจึงไม่สามารถถือได้ว่า Yang and Mills ประสบความสำเร็จในการสร้างทฤษฎีภาคสนาม
นอกจากนี้ ความไม่เป็นเชิงเส้นของสมการที่เสนอทำให้แก้ได้ยากมาก สำหรับค่าคงที่คัปปลิ้งขนาดเล็ก พวกมันสามารถแก้ไขได้ในรูปของทฤษฎีการรบกวนหลายชุด อย่างไรก็ตาม ยังไม่ชัดเจนว่าสมการเหล่านี้สามารถแก้ไขได้ด้วยการมีเพศสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งได้อย่างไร
สมการเนเวียร์-สโตกส์
สำนวนเหล่านี้อธิบายกระบวนการต่างๆ เช่น การไหลของอากาศ การไหลของของไหล และความปั่นป่วน สำหรับกรณีพิเศษบางกรณี พบคำตอบเชิงวิเคราะห์ของสมการเนเวียร์-สโตกส์แล้ว แต่จนถึงขณะนี้ยังไม่มีใครประสบความสำเร็จในการทำเช่นนี้สำหรับสมการทั่วไป ในเวลาเดียวกัน การจำลองเชิงตัวเลขสำหรับค่าเฉพาะของความเร็ว ความหนาแน่น ความดัน เวลา และอื่นๆ สามารถบรรลุผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยมได้ ยังคงหวังว่าใครบางคนจะสามารถใช้สมการของเนเวียร์-สโต๊คส์ไปในทิศทางตรงกันข้าม นั่นคือ คำนวณพารามิเตอร์ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา หรือพิสูจน์ว่าไม่มีวิธีแก้ไข
ปัญหาเบิร์ช-สวินเนอร์ตัน-ไดเออร์
หมวดหมู่ "ปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ไข" ยังรวมถึงสมมติฐานที่เสนอโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษจากมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ แม้กระทั่งเมื่อ 2300 ปีที่แล้ว Euclid นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณได้ให้คำอธิบายที่สมบูรณ์เกี่ยวกับการแก้สมการ x2 + y2 = z2
หากแต่ละจำนวนเฉพาะนับจำนวนจุดบนเส้นโค้งแบบมอดูโลมัน คุณจะได้ชุดจำนวนเต็มอนันต์ หากคุณ "ติด" ให้เป็น 1 ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน คุณจะได้ฟังก์ชัน Hasse-Weil zeta สำหรับเส้นโค้งอันดับสาม ซึ่งเขียนแทนด้วยตัวอักษร L ซึ่งมีข้อมูลเกี่ยวกับพฤติกรรมโมดูโลของจำนวนเฉพาะทั้งหมดพร้อมกัน .
Brian Burch และ Peter Swinnerton-Dyer คาดเดาเกี่ยวกับเส้นโค้งวงรี ตามโครงสร้างและจำนวนของชุดของคำตอบที่มีเหตุผลนั้นสัมพันธ์กับพฤติกรรมของฟังก์ชัน L ที่เอกลักษณ์ การคาดเดาของ Birch-Swinnerton-Dyer ที่ไม่ได้รับการพิสูจน์ในปัจจุบันขึ้นอยู่กับคำอธิบายของสมการพีชคณิตระดับ 3 และเป็นวิธีทั่วไปที่ค่อนข้างง่ายในการคำนวณอันดับของเส้นโค้งวงรี
เพื่อให้เข้าใจถึงความสำคัญในทางปฏิบัติของงานนี้ ก็เพียงพอที่จะกล่าวได้ว่าในการเข้ารหัสสมัยใหม่ ระบบอสมมาตรทั้งคลาสนั้นใช้เส้นโค้งวงรี และมาตรฐานลายเซ็นดิจิทัลในประเทศจะขึ้นอยู่กับการใช้งาน
ความเท่าเทียมกันของคลาส p และ np
หากส่วนที่เหลือของความท้าทายแห่งสหัสวรรษเป็นคณิตศาสตร์ล้วนๆ ข้อนี้เกี่ยวข้องกับทฤษฎีอัลกอริทึมจริง ปัญหาเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของคลาส p และ np หรือที่เรียกว่าปัญหา Cooke-Levin สามารถกำหนดได้ในภาษาที่เข้าใจได้ดังนี้ สมมติว่าคำตอบเชิงบวกสำหรับคำถามบางข้อสามารถตรวจสอบได้เร็วพอ เช่น ในเวลาพหุนาม (PT) แล้วคำกล่าวนั้นถูกต้องหรือไม่ที่หาคำตอบได้ค่อนข้างเร็ว? ฟังดูง่ายกว่านี้: การตรวจสอบวิธีแก้ไขปัญหาไม่ยากกว่าการค้นหาจริงหรือ หากมีการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของคลาส p และ np ปัญหาการเลือกทั้งหมดสามารถแก้ไขได้สำหรับ PV ในขณะนี้ ผู้เชี่ยวชาญหลายคนสงสัยความจริงของคำกล่าวนี้ แม้ว่าพวกเขาจะไม่สามารถพิสูจน์สิ่งที่ตรงกันข้ามได้
สมมติฐานรีมันน์
จนถึงปี พ.ศ. 2402 ไม่มีการระบุรูปแบบใดที่จะอธิบายว่าจำนวนเฉพาะถูกกระจายไปตามจำนวนธรรมชาติอย่างไร บางทีนี่อาจเป็นเพราะวิทยาศาสตร์จัดการกับปัญหาอื่น อย่างไรก็ตาม ในช่วงกลางของศตวรรษที่ 19 สถานการณ์ได้เปลี่ยนไป และพวกเขากลายเป็นหนึ่งในสิ่งที่เกี่ยวข้องมากที่สุดที่คณิตศาสตร์เริ่มรับมือ
สมมติฐานรีมันน์ซึ่งปรากฏในช่วงเวลานี้เป็นสมมติฐานว่ามีรูปแบบบางอย่างในการกระจายจำนวนเฉพาะ
ทุกวันนี้ นักวิทยาศาสตร์สมัยใหม่หลายคนเชื่อว่าหากได้รับการพิสูจน์แล้ว จะต้องแก้ไขหลักการพื้นฐานหลายประการของการเข้ารหัสสมัยใหม่ ซึ่งเป็นพื้นฐานของส่วนสำคัญของกลไกอีคอมเมิร์ซ
ตามสมมติฐานของรีมันน์ ลักษณะของการกระจายของจำนวนเฉพาะอาจแตกต่างอย่างมากจากสิ่งที่สันนิษฐานไว้ในปัจจุบัน ความจริงก็คือจนถึงขณะนี้ยังไม่มีการค้นพบระบบในการแจกแจงจำนวนเฉพาะ ตัวอย่างเช่น มีปัญหาของ "ฝาแฝด" ซึ่งมีความแตกต่างระหว่าง 2 ซึ่งคือ 2 ตัวเลขเหล่านี้คือ 11 และ 13, 29 ตัวเลขเฉพาะอื่นๆ ในรูปแบบคลัสเตอร์ เหล่านี้คือ 101, 103, 107 เป็นต้น นักวิทยาศาสตร์สงสัยมานานแล้วว่ากระจุกดังกล่าวมีอยู่ในจำนวนเฉพาะที่มีขนาดใหญ่มาก หากพบว่ามีความเสถียรของรหัสลับที่ทันสมัยจะมีปัญหา
สมมติฐานวงจรฮ็อดจ์
ปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ไขนี้จัดทำขึ้นในปี พ.ศ. 2484 สมมติฐานของฮอดจ์ชี้ให้เห็นถึงความเป็นไปได้ในการประมาณรูปร่างของวัตถุใดๆ โดยการ "ติดกาว" วัตถุธรรมดาที่มีมิติสูงกว่าเข้าด้วยกัน วิธีนี้เป็นที่รู้จักและประสบความสำเร็จมาอย่างยาวนาน อย่างไรก็ตาม ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าการทำให้เข้าใจง่ายขึ้นได้มากน้อยเพียงใด
ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าปัญหาที่แก้ไม่ได้ในขณะนี้คืออะไร เป็นหัวข้อของการวิจัยโดยนักวิทยาศาสตร์หลายพันคนทั่วโลก ยังคงหวังว่าในอนาคตอันใกล้พวกเขาจะได้รับการแก้ไขและการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติของพวกเขาจะช่วยให้มนุษยชาติเข้าสู่การพัฒนาเทคโนโลยีรอบใหม่
มีคนไม่มากนักในโลกที่ไม่เคยได้ยินทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์มาก่อน บางทีนี่อาจเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์เพียงปัญหาเดียวที่เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางและกลายเป็นตำนานที่แท้จริง มีการกล่าวถึงในหนังสือและภาพยนตร์หลายเล่ม ในขณะที่บริบทหลักของการกล่าวถึงเกือบทั้งหมดคือความเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบท
ใช่ ทฤษฎีบทนี้มีชื่อเสียงมากและในแง่หนึ่งได้กลายเป็น "ไอดอล" ที่นักคณิตศาสตร์มือสมัครเล่นและมืออาชีพบูชา แต่มีเพียงไม่กี่คนที่รู้ว่ามีการค้นพบข้อพิสูจน์ และสิ่งนี้เกิดขึ้นในปี 1995 แต่สิ่งแรกก่อน
ดังนั้น ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (มักเรียกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์) ซึ่งคิดค้นขึ้นในปี ค.ศ. 1637 โดยปิแอร์ แฟร์มาต์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้เก่งกาจ มีลักษณะที่เรียบง่ายและเข้าใจได้สำหรับทุกคนที่มีการศึกษาระดับมัธยมศึกษา มันบอกว่าสูตร a ยกกำลัง n + b ยกกำลัง n \u003d c ยกกำลัง n ไม่มีคำตอบที่เป็นธรรมชาติ (นั่นคือ ไม่เป็นเศษส่วน) สำหรับ n> 2 ทุกอย่างดูเรียบง่ายและชัดเจน แต่นักคณิตศาสตร์ที่เก่งที่สุดและมือสมัครเล่นธรรมดาต่างต่อสู้กันเพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหามานานกว่าสามศตวรรษครึ่ง
ทำไมเธอถึงมีชื่อเสียงมาก? ตอนนี้เรามาดูกัน...
มีทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว ไม่ได้รับการพิสูจน์ และยังไม่ได้พิสูจน์เพียงไม่กี่ข้อหรือไม่? ประเด็นคือทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์คือความแตกต่างที่ใหญ่ที่สุดระหว่างความเรียบง่ายของสูตรและความซับซ้อนของการพิสูจน์ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นงานที่ยากอย่างไม่น่าเชื่อ แต่ทุกคนที่มีระดับมัธยมศึกษา 5 เกรดสามารถเข้าใจสูตรได้ แต่ข้อพิสูจน์นั้นยังห่างไกลจากนักคณิตศาสตร์มืออาชีพทุกคน ไม่ว่าในฟิสิกส์ เคมี หรือชีววิทยา หรือคณิตศาสตร์เดียวกันก็ไม่มีปัญหาใดที่จะกำหนดสูตรง่ายๆ ได้ แต่ยังไม่ได้รับการแก้ไขเป็นเวลานาน 2. ประกอบด้วยอะไรบ้าง?
มาเริ่มกันที่กางเกงพีทาโกรัส ถ้อยคำนั้นง่ายมาก - ได้อย่างรวดเร็วก่อน อย่างที่เราทราบตั้งแต่วัยเด็กว่า "กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกด้าน" โจทย์ดูเรียบง่ายมากเพราะอิงจากข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ทุกคนรู้ - ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างจากด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขา
ในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช พีทาโกรัสก่อตั้งภราดรพีทาโกรัส ชาวพีทาโกรัสได้ศึกษาจำนวนเต็มสามเท่าตามสมการ x²+y²=z² พวกเขาพิสูจน์ว่ามีสามพีทาโกรัสมากมายนับไม่ถ้วนและได้รับสูตรทั่วไปสำหรับการค้นหาพวกมัน พวกเขาอาจพยายามมองหาสามเท่าและองศาที่สูงกว่า โดยเชื่อว่าวิธีนี้ใช้ไม่ได้ผล ชาวพีทาโกรัสจึงละทิ้งความพยายามที่ไร้ประโยชน์ สมาชิกของภราดรภาพเป็นนักปรัชญาและสุนทรียศาสตร์มากกว่านักคณิตศาสตร์
นั่นคือ ง่ายต่อการเลือกชุดตัวเลขที่ตอบสนองความเท่าเทียมกันอย่างสมบูรณ์แบบ x² + y² = z²
เริ่มตั้งแต่ 3, 4, 5 - แน่นอน นักเรียนชั้นประถมศึกษาเข้าใจว่า 9 + 16 = 25
หรือ 5, 12, 13: 25 + 144 = 169 เยี่ยมมาก
ปรากฎว่าพวกเขาไม่ได้ นี่คือจุดเริ่มต้นของเคล็ดลับ ความเรียบง่ายนั้นชัดเจน เพราะเป็นการยากที่จะพิสูจน์ว่าไม่มีบางสิ่งบางอย่าง แต่ในทางกลับกัน การไม่มีอยู่จริง เมื่อจำเป็นต้องพิสูจน์ว่ามีวิธีแก้ไข เราสามารถและควรนำเสนอวิธีแก้ปัญหานี้
เป็นการยากกว่าที่จะพิสูจน์ว่าไม่มีตัวตน ตัวอย่างเช่น มีคนพูดว่า: สมการดังกล่าวไม่มีคำตอบ เอาเขาลงบ่อ? ง่าย: แบม - และนี่คือทางออก! (ให้ทางออก). และนั่นแหละ ฝ่ายตรงข้ามก็พ่ายแพ้ วิธีการพิสูจน์การขาดงาน?
พูดว่า: "ฉันไม่พบวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว"? หรือบางทีคุณค้นหาไม่ดี? และถ้าพวกมันมีขนาดใหญ่มากเท่านั้น แม้แต่คอมพิวเตอร์ที่มีพลังมหาศาลก็ยังไม่มีความแข็งแกร่งเพียงพอ นี่คือสิ่งที่ยาก
ในรูปแบบภาพ สามารถแสดงได้ดังนี้: หากเรานำสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองช่องที่มีขนาดเหมาะสมและแยกชิ้นส่วนออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส หน่วย สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สามจะได้มาจากกลุ่มสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยนี้ (รูปที่ 2): 
และทำเช่นเดียวกันกับมิติที่สาม (รูปที่ 3) - มันใช้งานไม่ได้ มีลูกบาศก์ไม่เพียงพอหรือเหลืออีกก้อน:
แต่ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ นักคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 17 ได้ศึกษาสมการทั่วไปอย่างกระตือรือร้น x n + y n \u003d z n และในที่สุด เขาสรุปว่า สำหรับจำนวนเต็ม n>2 คำตอบไม่มีอยู่จริง หลักฐานของแฟร์มาต์สูญหายไปอย่างแก้ไขไม่ได้ ต้นฉบับลุกเป็นไฟ! สิ่งที่เหลืออยู่คือคำพูดของเขาในวิชาเลขคณิตของ Diophantus: "ฉันได้พบข้อพิสูจน์ที่น่าทึ่งอย่างแท้จริงเกี่ยวกับข้อเสนอนี้ แต่ระยะขอบที่นี่แคบเกินไปที่จะเก็บเอาไว้"
อันที่จริง ทฤษฎีบทที่ไม่มีข้อพิสูจน์เรียกว่าสมมติฐาน แต่แฟร์มาต์มีชื่อเสียงว่าไม่เคยผิด แม้ว่าเขาจะไม่ได้ทิ้งหลักฐานของคำให้การใด ๆ แต่ก็ได้รับการยืนยันในภายหลัง นอกจากนี้ Fermat ยังพิสูจน์วิทยานิพนธ์ของเขาสำหรับ n=4 ดังนั้นสมมติฐานของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสจึงลงไปในประวัติศาสตร์ว่าเป็นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์
หลังจากแฟร์มาต์จิตใจที่ยอดเยี่ยมเช่น Leonhard Euler ทำงานเพื่อค้นหาข้อพิสูจน์ (ในปี 1770 เขาเสนอวิธีแก้ปัญหาสำหรับ n = 3)
Adrien Legendre และ Johann Dirichlet (นักวิทยาศาสตร์เหล่านี้ร่วมกันค้นพบข้อพิสูจน์สำหรับ n = 5 ในปี 1825), Gabriel Lame (ผู้ค้นพบข้อพิสูจน์สำหรับ n = 7) และอื่นๆ อีกมากมาย ในช่วงกลางทศวรรษที่ 80 ของศตวรรษที่ผ่านมา เป็นที่ชัดเจนว่าโลกวิทยาศาสตร์กำลังอยู่ในทางที่นำไปสู่คำตอบสุดท้ายของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ แต่เฉพาะในปี 1993 นักคณิตศาสตร์เท่านั้นที่ได้เห็นและเชื่อว่าตำนานสามศตวรรษในการค้นหาข้อพิสูจน์ของ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ใกล้จะจบลงแล้ว
มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าเพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์สำหรับไพรม์ n เท่านั้น: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … สำหรับคอมโพสิต n การพิสูจน์ยังคงใช้ได้ แต่มีจำนวนเฉพาะมากมายนับไม่ถ้วน...
ในปี 1825 นักคณิตศาสตร์หญิง Dirichlet และ Legendre ใช้วิธีการของ Sophie Germain ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับ n=5 อย่างอิสระ ในปี ค.ศ. 1839 ชาวฝรั่งเศส Gabriel Lame ได้แสดงความจริงของทฤษฎีบทสำหรับ n=7 โดยใช้วิธีการเดียวกัน ค่อยๆ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้วเกือบทั้งหมด n น้อยกว่าร้อย
ในที่สุด นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Ernst Kummer ได้แสดงให้เห็นในการศึกษาที่ยอดเยี่ยมว่าวิธีการทางคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 19 ไม่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทในรูปแบบทั่วไปได้ รางวัลของ French Academy of Sciences ซึ่งก่อตั้งขึ้นในปี พ.ศ. 2390 เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ยังคงไม่ได้รับมอบหมาย
ในปี 1907 Paul Wolfskel นักอุตสาหกรรมชาวเยอรมันผู้มั่งคั่งตัดสินใจปลิดชีพตัวเองเพราะความรักที่ไม่สมหวัง เช่นเดียวกับชาวเยอรมันจริงๆ เขากำหนดวันที่และเวลาของการฆ่าตัวตาย: ตอนเที่ยงคืนพอดี ในวันสุดท้ายเขาได้ทำพินัยกรรมและเขียนจดหมายถึงเพื่อนและญาติ ธุรกิจสิ้นสุดก่อนเที่ยงคืน ฉันต้องบอกว่าพอลสนใจวิชาคณิตศาสตร์ ไม่มีอะไรทำ เขาไปที่ห้องสมุดและเริ่มอ่านบทความที่มีชื่อเสียงของ Kummer ดูเหมือนว่า Kummer จะทำผิดพลาดในการให้เหตุผลของเขาในทันใด Wolfskehl ด้วยดินสอในมือเริ่มวิเคราะห์ส่วนนี้ของบทความนี้ เที่ยงคืนผ่านไป เช้ามา ช่องว่างในการพิสูจน์ถูกเติมเต็ม และเหตุผลของการฆ่าตัวตายในตอนนี้ก็ดูไร้สาระสิ้นดี พอลฉีกจดหมายอำลาและเขียนพินัยกรรมใหม่
ในไม่ช้าเขาก็เสียชีวิตด้วยสาเหตุตามธรรมชาติ ทายาทรู้สึกประหลาดใจมาก: 100,000 คะแนน (มากกว่า 1,000,000 ปอนด์ในปัจจุบัน) ถูกโอนไปยังบัญชีของ Royal Scientific Society of Göttingen ซึ่งในปีเดียวกันนั้นได้ประกาศการแข่งขันเพื่อชิงรางวัล Wolfskel Prize 100,000 คะแนนขึ้นอยู่กับการพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ ไม่ควรจ่าย pfennig สำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบท ...
นักคณิตศาสตร์มืออาชีพส่วนใหญ่มองว่าการค้นหาข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์นั้นเป็นสาเหตุที่หายไป และปฏิเสธที่จะเสียเวลากับแบบฝึกหัดที่เปล่าประโยชน์ดังกล่าวอย่างเด็ดขาด แต่มือสมัครเล่นสนุกสนานไปกับความรุ่งโรจน์ ไม่กี่สัปดาห์หลังจากการประกาศ "หลักฐาน" ถล่มมหาวิทยาลัย Göttingen ศาสตราจารย์ E. M. Landau ซึ่งมีหน้าที่วิเคราะห์หลักฐานที่ส่งไป แจกการ์ดให้นักเรียนของเขา:
เรียน (ส) . . . . . . .
ขอบคุณสำหรับต้นฉบับที่คุณส่งมาพร้อมหลักฐานของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ข้อผิดพลาดแรกอยู่ที่หน้า ... ที่บรรทัด ... . ด้วยเหตุนี้ การพิสูจน์ทั้งหมดจึงสูญเสียความถูกต้อง
ศาสตราจารย์ อี. เอ็ม. รถม้า
ในปีพ.ศ. 2506 พอล โคเฮนใช้ข้อค้นพบของโกเดล พิสูจน์ให้เห็นถึงความไม่สามารถแก้ไขได้ของหนึ่งในปัญหายี่สิบสามข้อของฮิลแบร์ต นั่นคือ สมมติฐานต่อเนื่อง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์แก้ไม่ได้! แต่ผู้คลั่งไคล้ทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่อย่างแท้จริงก็ไม่ทำให้ผิดหวังเลย การถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์ทำให้นักคณิตศาสตร์มีวิธีการใหม่ในการพิสูจน์โดยไม่คาดคิด หลังสงครามโลกครั้งที่สอง กลุ่มโปรแกรมเมอร์และนักคณิตศาสตร์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สำหรับค่าทั้งหมด n ถึง 500 จากนั้นถึง 1,000 และต่อมาสูงถึง 10,000
ในยุค 80 ซามูเอล แวกสตาฟฟ์ เพิ่มขีดจำกัดเป็น 25,000 และในยุค 90 นักคณิตศาสตร์อ้างว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์นั้นเป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมด n สูงถึง 4 ล้าน แต่ถ้าแม้ลบหนึ่งล้านล้านล้านออกจากอนันต์ มันก็จะไม่เล็กลง นักคณิตศาสตร์ไม่มั่นใจในสถิติ การพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่หมายถึงการพิสูจน์ให้ทุกคนเข้าสู่อนันต์
ในปี 1954 เพื่อนนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นสองคนได้ทำการศึกษารูปแบบโมดูลาร์ แบบฟอร์มเหล่านี้สร้างชุดตัวเลข แต่ละชุด - ชุดของตัวเอง โดยบังเอิญ Taniyama เปรียบเทียบอนุกรมเหล่านี้กับอนุกรมที่สร้างโดยสมการวงรี พวกเขาตรงกัน! แต่รูปแบบโมดูลาร์เป็นวัตถุทางเรขาคณิต ในขณะที่สมการวงรีเป็นพีชคณิต ระหว่างวัตถุต่าง ๆ ดังกล่าวไม่เคยพบการเชื่อมต่อ
อย่างไรก็ตาม หลังจากการทดสอบอย่างรอบคอบแล้ว เพื่อนๆ ก็ได้หยิบยกสมมติฐานขึ้นมา: สมการวงรีทุกสมการจะมีคู่แฝด - รูปแบบโมดูลาร์ และในทางกลับกัน สมมติฐานนี้กลายเป็นรากฐานของแนวโน้มทั้งหมดในวิชาคณิตศาสตร์ แต่จนกระทั่งสมมติฐานทานิยามะ-ชิมูระได้รับการพิสูจน์แล้ว อาคารทั้งหลังอาจพังทลายได้ทุกเมื่อ
ในปี 1984 Gerhard Frey แสดงให้เห็นว่าวิธีแก้ปัญหาของสมการแฟร์มาต์ (ถ้ามี) สามารถรวมไว้ในสมการวงรีบางสมการได้ สองปีต่อมา ศาสตราจารย์เคน ริเบต์ ได้พิสูจน์ว่าสมการสมมุติฐานนี้ไม่มีคู่กันในโลกโมดูลาร์ ต่อจากนี้ไป ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็เชื่อมโยงกับสมมติฐานทานิยามะ-ชิมูระอย่างแยกไม่ออก หลังจากพิสูจน์แล้วว่าเส้นโค้งวงรีใดๆ เป็นแบบโมดูล เราสรุปได้ว่าไม่มีสมการวงรีที่แก้สมการของแฟร์มาต์ได้ และทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็จะได้รับการพิสูจน์ทันที แต่เป็นเวลาสามสิบปีแล้วที่เป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์สมมติฐานของทานิยามะ-ชิมูระ และความหวังที่จะประสบความสำเร็จก็น้อยลงเรื่อยๆ
ในปี 1963 เมื่ออายุได้เพียง 10 ขวบ แอนดรูว์ ไวลส์ก็หลงใหลในวิชาคณิตศาสตร์อยู่แล้ว เมื่อเขาเรียนรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่ เขาก็ตระหนักว่าเขาไม่สามารถเบี่ยงเบนไปจากทฤษฎีนี้ได้ ในฐานะเด็กนักเรียน นักศึกษา นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา เขาเตรียมตัวสำหรับงานนี้
เมื่อรู้ถึงการค้นพบของเคน ริเบต์ ไวล์สก็ได้ทุ่มตัวเองในการพิสูจน์การคาดเดาของทานิยามะ-ชิมูระ เขาตัดสินใจที่จะทำงานอย่างโดดเดี่ยวและเป็นความลับอย่างสมบูรณ์ “ ฉันเข้าใจว่าทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์นั้นน่าสนใจมากเกินไป ... ผู้ชมจำนวนมากเกินไปจงใจขัดขวางความสำเร็จของเป้าหมาย” เจ็ดปีของการทำงานหนักได้รับผลตอบแทน ในที่สุด Wiles ก็เสร็จสิ้นการพิสูจน์การคาดเดาของ Taniyama-Shimura
ในปีพ.ศ. 2536 นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ แอนดรูว์ ไวลส์ ได้นำเสนอข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ให้โลกรู้ (ไวล์สอ่านรายงานอันน่าตื่นเต้นของเขาในการประชุมที่สถาบันเซอร์ไอแซก นิวตันในเคมบริดจ์) ซึ่งใช้เวลานานกว่าเจ็ดปี
ในขณะที่โฆษณายังคงดำเนินต่อไป การทำงานอย่างจริงจังก็เริ่มที่จะตรวจสอบหลักฐาน หลักฐานแต่ละชิ้นต้องได้รับการตรวจสอบอย่างรอบคอบก่อนจึงจะถือว่าการพิสูจน์นั้นเข้มงวดและถูกต้อง Wiles ใช้เวลาช่วงฤดูร้อนอันแสนวุ่นวายเพื่อรอความคิดเห็นจากนักวิจารณ์ โดยหวังว่าเขาจะได้รับการอนุมัติจากพวกเขา เมื่อสิ้นเดือนสิงหาคม ผู้เชี่ยวชาญพบว่าคำตัดสินที่พิสูจน์ได้ไม่เพียงพอ
ปรากฎว่าการตัดสินใจครั้งนี้มีข้อผิดพลาดร้ายแรง แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะเป็นเรื่องจริง Wiles ไม่ยอมแพ้ ขอความช่วยเหลือจากผู้เชี่ยวชาญที่มีชื่อเสียงในทฤษฎีจำนวน Richard Taylor และในปี 1994 พวกเขาได้ตีพิมพ์การพิสูจน์ทฤษฎีบทที่แก้ไขและเพิ่มเติม สิ่งที่น่าทึ่งที่สุดคืองานนี้ใช้หน้ามากถึง 130 (!) ในวารสารคณิตศาสตร์ Annals of Mathematics แต่เรื่องราวไม่ได้จบลงที่นั่นเช่นกัน - จุดสุดท้ายถูกสร้างขึ้นในปีต่อไปเท่านั้น 1995 เมื่อรุ่นสุดท้ายของการพิสูจน์ได้รับการตีพิมพ์และ "อุดมคติ" จากมุมมองทางคณิตศาสตร์
“...ครึ่งนาทีหลังจากการเริ่มงานเลี้ยงอาหารค่ำเนื่องในโอกาสวันเกิดของเธอ ฉันได้มอบต้นฉบับของหลักฐานที่สมบูรณ์ให้นาเดีย” (แอนดรูว์ เวลส์) ฉันพูดถึงว่านักคณิตศาสตร์เป็นคนแปลก ๆ หรือไม่?
คราวนี้ไม่มีข้อสงสัยเกี่ยวกับหลักฐาน บทความสองบทความได้รับการวิเคราะห์อย่างรอบคอบที่สุด และในเดือนพฤษภาคม 2538 ได้รับการตีพิมพ์ในพงศาวดารของคณิตศาสตร์
เวลาผ่านไปนานนับแต่ช่วงเวลานั้น แต่ก็ยังมีความเห็นในสังคมเกี่ยวกับความแก้ไม่ได้ของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ แต่แม้กระทั่งผู้ที่รู้เกี่ยวกับข้อพิสูจน์ที่พบว่ายังคงทำงานในทิศทางนี้ - มีคนเพียงไม่กี่คนที่พอใจที่ทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่ต้องการคำตอบ 130 หน้า!
ดังนั้นตอนนี้กองกำลังของนักคณิตศาสตร์จำนวนมาก (ส่วนใหญ่เป็นมือสมัครเล่นไม่ใช่นักวิทยาศาสตร์มืออาชีพ) ถูกโยนเพื่อค้นหาหลักฐานที่ง่ายและรัดกุม แต่เส้นทางนี้น่าจะไม่นำไปสู่ที่ใด ...
แหล่งที่มา
1 มูราด :
เราถือว่าความเท่าเทียมกัน Zn = Xn + Yn เป็นสมการไดโอแฟนตัสหรือทฤษฎีบทที่ยิ่งใหญ่ของแฟร์มาต์ และนี่คือคำตอบของสมการ (Zn- Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn จากนั้น Zn =-(Xn + Yn) เป็นคำตอบของสมการ (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn สมการและคำตอบเหล่านี้สัมพันธ์กับคุณสมบัติของจำนวนเต็มและการดำเนินการ เราก็เลยไม่รู้คุณสมบัติของจำนวนเต็ม?! ด้วยความรู้ที่จำกัดเช่นนี้ เราจะไม่เปิดเผยความจริง
พิจารณาวิธีแก้ปัญหา Zn = +(Xn + Yn) และ Zn =-(Xn + Yn) เมื่อ n = 1 จำนวนเต็ม + Z เกิดขึ้นโดยใช้ตัวเลข 10 หลัก: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. หารด้วย 2 จำนวนเต็ม +X - คู่, หลักขวาสุดท้าย: 0, 2, 4, 6, 8 และ +Y - คี่, หลักขวาสุดท้าย: 1, 3, 5, 7, 9, t อี + X = + Y จำนวนของ Y = 5 - คี่ และ X = 5 - เลขคู่ คือ: Z = 10. เป็นไปตามสมการ: (Z - X) X = (Z - Y) Y และคำตอบ + Z = + X + Y= +(X + Y).
จำนวนเต็ม -Z ประกอบด้วยการรวมกันของ -X สำหรับคู่และ -Y สำหรับคี่ และเป็นไปตามสมการ:
(Z + X) X = (Z + Y) Y และสารละลาย -Z = - X - Y = - (X + Y)
ถ้า Z/X = Y หรือ Z / Y = X แล้ว Z = XY Z / -X = -Y หรือ Z / -Y = -X จากนั้น Z = (-X)(-Y) กองถูกตรวจสอบโดยการคูณ
ตัวเลขบวกและลบหลักเดียวประกอบด้วย 5 เลขคี่และ 5 เลขคี่
พิจารณากรณี n = 2 แล้ว Z2 = X2 + Y2 เป็นคำตอบของสมการ (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 และ Z2 = -(X2 + Y2) เป็นคำตอบของสมการ (Z2 + X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2 เราถือว่า Z2 = X2 + Y2 เป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส แล้วคำตอบ Z2 = -(X2 + Y2) เป็นทฤษฎีบทเดียวกัน เรารู้ว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบ่งออกเป็น 2 ส่วน โดยที่เส้นทแยงมุมคือด้านตรงข้ามมุมฉาก จากนั้นความเท่าเทียมกันจะถูกต้อง: Z2 = X2 + Y2 และ Z2 = - (X2 + Y2) โดยที่ X และ Y เป็นขา และวิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติม R2 = X2 + Y2 และ R2 =- (X2 + Y2) คือวงกลม จุดศูนย์กลางคือจุดกำเนิดของระบบพิกัดกำลังสอง และมีรัศมี R เขียนได้เป็น (5n)2 = (3n)2 + ( 4n)2 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวกและลบ และเป็นตัวเลข 3 ตัวติดต่อกัน นอกจากนี้ โซลูชันยังเป็นตัวเลข XY แบบ 2 บิตที่เริ่มต้นที่ 00 และสิ้นสุดที่ 99 และเท่ากับ 102 = 10x10 และนับ 1 ศตวรรษ = 100 ปี
พิจารณาคำตอบเมื่อ n = 3 จากนั้น Z3 = X3 + Y3 เป็นคำตอบของสมการ (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3
ตัวเลข 3 บิต XYZ เริ่มต้นที่ 000 และสิ้นสุดที่ 999 และเท่ากับ 103 = 10x10x10 = 1,000 ปี = 10 ศตวรรษ
จาก 1,000 ลูกบาศก์ที่มีขนาดและสีเท่ากัน คุณสามารถสร้างรูบิคได้ประมาณ 10 รูบิค พิจารณารูบิคตามลำดับ +103=+1000 - สีแดง และ -103=-1000 - สีน้ำเงิน ประกอบด้วย 103 = 1,000 ลูกบาศก์ หากเราย่อยสลายและวางลูกบาศก์ในแถวเดียวหรือวางทับกันโดยไม่มีช่องว่างเราจะได้ส่วนแนวนอนหรือแนวตั้งที่มีความยาว 2000 รูบิคเป็นลูกบาศก์ขนาดใหญ่ปกคลุมด้วยลูกบาศก์ขนาดเล็กโดยเริ่มจากขนาด 1butto = 10st -21 และคุณไม่สามารถบวกหรือลบหนึ่งลูกบาศก์ได้
- (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
- (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
- (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
จำนวนเต็มแต่ละตัวคือ 1 บวก 1 (อัน) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21 และผลิตภัณฑ์:
111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321
0111111111x11111111110= 0123456789876543210; 01111111111x111111110= 01234567899876543210.
การดำเนินการเหล่านี้สามารถทำได้บนเครื่องคิดเลข 20 บิต
เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า +(n3 - n) หารด้วย +6 ลงตัวเสมอ และ - (n3 - n) หารด้วย -6 ลงตัว เรารู้ว่า n3 - n = (n-1)n(n+1) นี่คือตัวเลข 3 ตัวติดต่อกัน (n-1)n(n+1) โดยที่ n เป็นเลขคู่ หารด้วย 2 ลงตัว (n-1) และ (n+1) คี่ หารด้วย 3 ลงตัว จากนั้น (n-1) n(n+1) หารด้วย 6 ลงตัวเสมอ ถ้า n=0 แล้ว (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20 แล้ว(n-1) น (n+1)=(19)(20)(21)
เรารู้ว่า 19 x 19 = 361 ซึ่งหมายความว่าหนึ่งสี่เหลี่ยมล้อมรอบด้วย 360 สี่เหลี่ยม จากนั้นหนึ่งลูกบาศก์ล้อมรอบด้วย 360 ลูกบาศก์ เติมเต็มความเท่าเทียมกัน: 6 n - 1 + 6n ถ้า n=60 แล้ว 360 - 1 + 360 และ n=61 แล้ว 366 - 1 + 366
ลักษณะทั่วไปต่อไปนี้ตามมาจากข้อความข้างต้น:
n5 - 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1)n(n +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
(n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3) )…3210
น! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; น! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! = น! (n+1).
0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n +1)2.
ถ้า 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
= 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
จำนวนเต็ม n ใด ๆ ยกกำลัง 10 มี: – n และ +n, +1/ n และ -1/ n คี่และคู่:
- (n + n +…+ n) = -n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
+ (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n
เป็นที่ชัดเจนว่าหากมีการเพิ่มจำนวนเต็มใดๆ ในตัวมันเอง จำนวนเต็มจะเพิ่มขึ้น 2 เท่า และผลิตภัณฑ์จะเป็นกำลังสอง: X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = ก x ก = a2 นี่ถือเป็นทฤษฎีบทของเวียตา - ผิดพลาด!
หากเราบวกและลบตัวเลข b เป็นจำนวนที่กำหนด ผลรวมจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ผลิตภัณฑ์จะเปลี่ยน เช่น
X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2
X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) \u003d a2- b.
X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2
X = a + √b i, Y = a - √bi, X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b
ถ้าเราใส่ตัวเลขจำนวนเต็มแทนตัวอักษร a และ b เราก็จะได้รับความขัดแย้ง ความไร้สาระ และความไม่ไว้วางใจในวิชาคณิตศาสตร์
