สัญญาณแรกของเส้นขนาน เส้นขนาน เครื่องหมายและเงื่อนไขของเส้นขนาน

บทนี้อุทิศให้กับการศึกษาเส้นขนาน นี่คือชื่อที่กำหนดให้กับเส้นตรงสองเส้นในระนาบที่ไม่ตัดกัน เราเห็นส่วนของเส้นคู่ขนานในสภาพแวดล้อม - นี่คือขอบสองด้านของโต๊ะสี่เหลี่ยม ขอบสองด้านของปกหนังสือ แท่งรถเข็นสองแท่ง ฯลฯ เส้นขนานมีบทบาทสำคัญมากในเรขาคณิต ในบทนี้ คุณจะได้เรียนรู้ว่าสัจพจน์ของเรขาคณิตคืออะไร และสัจพจน์ของเส้นขนานประกอบด้วยอะไร ซึ่งเป็นหนึ่งในสัจพจน์ของเรขาคณิตที่มีชื่อเสียงที่สุด

ในส่วนที่ 1 เราสังเกตว่าเส้นสองเส้นมีจุดร่วมจุดเดียว นั่นคือตัดกัน หรือไม่มีจุดร่วมจุดเดียว นั่นคือไม่ตัดกัน

คำนิยาม

ความขนานของเส้น a และ b แสดงได้ดังนี้ a || ข.

รูปที่ 98 แสดงเส้น a และ b ตั้งฉากกับเส้น c ในข้อ 12 เราพบว่าเส้น a และ b ดังกล่าวไม่ตัดกัน กล่าวคือ เส้นทั้งสองขนานกัน

ข้าว. 98

นอกเหนือจากเส้นคู่ขนานแล้ว มักจะพิจารณาส่วนที่ขนานกัน ทั้งสองส่วนเรียกว่า ขนานหากพวกเขาอยู่บนเส้นขนาน ในรูปที่ 99 และส่วน AB และ CD ขนานกัน (AB || CD) และส่วน MN และ CD ไม่ขนานกัน ในทำนองเดียวกันความขนานของส่วนและเส้นตรง (รูปที่ 99, b), รังสีและเส้นตรง, ส่วนและรังสี, รังสีสองเส้น (รูปที่ 99, c) ถูกกำหนด

ข้าว. 99สัญญาณของความขนานของเส้นสองเส้น

โดยตรงเรียกว่า แบ่งสำหรับเส้น a และ b ถ้ามันตัดกันที่จุดสองจุด (รูปที่ 100) ที่จุดตัดของเส้น a และ b เส้นแบ่ง c จะสร้างมุมแปดมุม ซึ่งระบุด้วยตัวเลขในรูปที่ 100 มุมเหล่านี้บางคู่มีชื่อพิเศษ:

มุมกากบาด: 3 และ 5, 4 และ 6;
มุมด้านเดียว: 4 และ 5, 3 และ 6;
มุมที่สอดคล้องกัน: 1 และ 5, 4 และ 8, 2 และ 6, 3 และ 7

ข้าว. 100

พิจารณาสามสัญญาณของการขนานของเส้นสองเส้นที่เกี่ยวข้องกับคู่ของมุมเหล่านี้

ทฤษฎีบท

การพิสูจน์

สมมติว่าที่จุดตัดของเส้น a และ b โดย secant AB มุมนอนจะเท่ากัน: ∠1 = ∠2 (รูปที่ 101, a)

ให้เราพิสูจน์ว่า || ข. หากมุม 1 และ 2 ถูกต้อง (รูปที่ 101, b) แสดงว่าเส้น a และ b จะตั้งฉากกับเส้น AB และขนานกัน

ข้าว. 101

พิจารณากรณีที่มุม 1 และ 2 ไม่ถูกต้อง

จากตรงกลาง O ของส่วน AB ให้วาด OH ตั้งฉากกับเส้นตรง a (รูปที่ 101, c) บนเส้น b จากจุด B เราแยกส่วน VH 1 ไว้เท่ากับส่วน AH ดังแสดงในรูปที่ 101, c และวาดส่วน OH 1 สามเหลี่ยม ONA และ OH 1 V เท่ากันในสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2) ดังนั้น ∠3 = ∠4 และ ∠5 = ∠6 จากความเท่าเทียมกัน ∠3 = ∠4 เป็นไปตามที่จุด H 1 อยู่บนความต่อเนื่องของรังสี OH นั่นคือ จุด H, O และ H 1 อยู่บนเส้นตรงเดียวกันและจากความเท่าเทียมกัน ∠5 = ∠6 มัน ดังนี้มุม 6 เป็นเส้นตรง (เนื่องจากมุม 5 เป็นมุมฉาก) ดังนั้น เส้น a และ b จึงตั้งฉากกับเส้น HH 1 ดังนั้นพวกมันจึงขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท

การพิสูจน์

ให้ที่จุดตัดของเส้น a และ b ส่วนตัดที่มีมุมตรงกันมีค่าเท่ากัน เช่น ∠1 = ∠2 (รูปที่ 102)

ข้าว. 102

เนื่องจากมุม 2 และ 3 เป็นแนวตั้ง ดังนั้น ∠2 = ∠3 ความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้หมายความว่า ∠1 = ∠3 แต่มุม 1 และ 3 อยู่ในแนวขวาง ดังนั้นเส้น a และ b จึงขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท

การพิสูจน์

ให้ ที่จุดตัดของเส้น a และ b ส่วนตัดที่มีผลรวมของมุมด้านเดียวเท่ากับ 180° เช่น ∠1 + ∠4 = 180° (ดูรูปที่ 102)

เนื่องจากมุม 3 และ 4 อยู่ติดกัน ดังนั้น ∠3 + ∠4 = 180° จากความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้จะตามมาว่ามุมตามขวาง 1 และ 3 เท่ากัน ดังนั้นเส้น a และ b จึงขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

วิธีปฏิบัติในการวาดเส้นขนาน

ข้าว. 103รูปที่ 104 แสดงวิธีการสร้างเส้นขนานโดยใช้รูปตัวทีสแควร์ วิธีนี้ใช้ในการฝึกวาดภาพ

ข้าว. 104วิธีการที่คล้ายกันนี้ถูกใช้เมื่อทำงานช่างไม้โดยใช้มุมเอียงเพื่อทำเครื่องหมายเส้นขนาน (แผ่นไม้สองแผ่นยึดด้วยบานพับ รูปที่ 105)

ข้าว. 105

งาน

186. ในรูป 106 เส้น a และ b ตัดกันโดยเส้น c พิสูจน์ว่า a || ข ถ้า:

ก) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
ข) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45° และมุม 7 ใหญ่กว่ามุม 3 สามเท่า

ข้าว. 106

187. จากรูปที่ 107 พิสูจน์ว่า AB || ดี.อี.

ข้าว. 107

188. ส่วน AB และ CD ตัดกันตรงกลางทั่วไป จงพิสูจน์ว่าเส้น AC และ BD ขนานกัน

189. ใช้ข้อมูลในรูปที่ 108 พิสูจน์ว่า พ.ศ. || ค.ศ.

ข้าว. 108

190. ในรูปที่ 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35° พิสูจน์ว่า DE || เช่น.

ข้าว. 109

191. ส่วน VK คือเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม ABC เส้นตรงลากผ่านจุด K ตัดด้าน BC ที่จุด M เพื่อให้ BM = MK จงพิสูจน์ว่าเส้น KM และ AB ขนานกัน

192. ในรูปสามเหลี่ยม ABC มุม A คือ 40° และมุม ALL ที่อยู่ติดกับมุม ACB คือ 80° พิสูจน์ว่าเส้นแบ่งครึ่งมุม ALL ขนานกับเส้น AB

193. ในรูปสามเหลี่ยม ABC ∠A = 40°, ∠B = 70° เส้น BD ถูกลากผ่านจุดยอด B เพื่อให้รังสี BC เป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม ABD จงพิสูจน์ว่าเส้น AC และ BD ขนานกัน

194. วาดสามเหลี่ยม วาดเส้นตรงขนานกับด้านตรงข้ามผ่านแต่ละจุดยอดของสามเหลี่ยมนี้ โดยใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและไม้บรรทัด

195. วาดสามเหลี่ยม ABC และทำเครื่องหมายจุด D ที่ด้าน AC ผ่านจุด D โดยใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและไม้บรรทัด วาดเส้นตรงขนานกับอีกสองด้านของรูปสามเหลี่ยม

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: ในบทเรียนนี้ คุณจะได้ทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของ "เส้นขนาน" เรียนรู้วิธีที่คุณสามารถตรวจสอบให้แน่ใจว่าเส้นขนานกัน และคุณสมบัติของมุมที่เกิดจากเส้นขนานและเส้นตัด

เส้นขนาน

คุณรู้ว่าแนวคิดของ "เส้นตรง" เป็นหนึ่งในแนวคิดที่เรียกว่าไม่ได้กำหนดของเรขาคณิต

คุณรู้อยู่แล้วว่าเส้นตรงสองเส้นสามารถตรงกันได้ นั่นคือมีจุดร่วมทั้งหมด ตัดกันได้ นั่นคือมีจุดร่วมหนึ่งจุด เส้นตัดกันที่มุมต่าง ๆ ในขณะที่มุมระหว่างเส้นถือเป็นมุมที่เล็กที่สุดที่เกิดขึ้น กรณีพิเศษของจุดตัดสามารถพิจารณาได้ในกรณีของการตั้งฉากเมื่อมุมที่เกิดจากเส้นตรงคือ 90 0 .

แต่เส้นสองเส้นอาจไม่มีจุดร่วมกัน กล่าวคือ เส้นทั้งสองอาจไม่ตัดกัน เส้นดังกล่าวเรียกว่า ขนาน.

ทำงานกับทรัพยากรทางการศึกษาทางอิเล็กทรอนิกส์ « ».

เพื่อทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของ "เส้นขนาน" ให้ทำงานในเนื้อหาของบทเรียนวิดีโอ

ตอนนี้คุณรู้คำจำกัดความของเส้นขนานแล้ว

จากเนื้อหาของบทเรียนวิดีโอ คุณได้เรียนรู้เกี่ยวกับมุมประเภทต่างๆ ที่เกิดขึ้นเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกับมุมที่สาม

คู่ของมุม 1 และ 4; เรียก 3 และ 2 มุมด้านเดียวภายใน(พวกเขาอยู่ระหว่างบรรทัด กและ ข).

คู่ของมุม 5 และ 8; เรียกว่า 7 และ 6 มุมด้านเดียวภายนอก(พวกเขาอยู่นอกเส้น กและ ข).

คู่ของมุม 1 และ 8; 3 และ 6; 5 และ 4; 7 และ 2 เรียกว่ามุมด้านเดียวทางด้านขวา กและ ขและแยก ค. อย่างที่คุณเห็น ในมุมที่สอดคล้องกันคู่หนึ่ง จะมีมุมหนึ่งอยู่ระหว่างด้านขวา กและ ขและอื่น ๆ นอกพวกเขา

สัญญาณของเส้นขนาน

เห็นได้ชัดว่าการใช้คำจำกัดความเป็นไปไม่ได้ที่จะสรุปได้ว่าเส้นสองเส้นขนานกัน ดังนั้นเพื่อสรุปว่าเส้นสองเส้นขนานกันให้ใช้ สัญญาณ.

คุณสามารถกำหนดหนึ่งในนั้นได้โดยทำความคุ้นเคยกับเนื้อหาในส่วนแรกของบทเรียนวิดีโอ:

ทฤษฎีบท 1. เส้นสองเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นที่สามไม่ตัดกัน นั่นคือขนานกัน

คุณจะทำความคุ้นเคยกับสัญญาณอื่น ๆ ของความขนานของเส้นตรงโดยพิจารณาจากความเท่าเทียมกันของมุมบางคู่โดยทำงานกับเนื้อหาของส่วนที่สองของบทเรียนวิดีโอ"สัญญาณของเส้นคู่ขนาน".

ดังนั้นคุณควรรู้สัญญาณของเส้นขนานอีกสามสัญญาณ

ทฤษฎีบท 2 (เครื่องหมายแรกของเส้นขนาน). หากที่จุดตัดของเส้นสองเส้นตัดกัน มุมโกหกเท่ากัน แสดงว่าเส้นนั้นขนานกัน

ทำซ้ำเครื่องหมายแรกของเส้นคู่ขนานอีกครั้งโดยทำงานกับทรัพยากรทางการศึกษาอิเล็กทรอนิกส์ « ».

ดังนั้นเมื่อพิสูจน์สัญญาณแรกของความขนานของเส้นจะใช้เครื่องหมายของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม (ทั้งสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา) เช่นเดียวกับเครื่องหมายของความขนานของเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นเดียว

แบบฝึกหัด 1.

จดการกำหนดเครื่องหมายแรกของความขนานของเส้นและหลักฐานในสมุดบันทึกของคุณ

ทฤษฎีบท 3 (เกณฑ์ที่สองสำหรับเส้นขนาน). ถ้าที่จุดตัดของเส้นตัดสองเส้นมีมุมที่เท่ากัน แสดงว่าเส้นนั้นขนานกัน

ทำซ้ำเครื่องหมายที่สองของเส้นคู่ขนานโดยทำงานกับทรัพยากรทางการศึกษาอิเล็กทรอนิกส์ « ».

เมื่อพิสูจน์เกณฑ์ที่สองสำหรับเส้นขนาน จะใช้คุณสมบัติของมุมแนวตั้งและเกณฑ์แรกสำหรับเส้นขนาน

ภารกิจที่ 2

จดสูตรเครื่องหมายที่สองของการขนานของเส้นและหลักฐานในสมุดบันทึกของคุณ

ทฤษฎีบท 4 (เกณฑ์ที่สามสำหรับเส้นขนาน). หากที่จุดตัดของเส้นตัดสองเส้น ผลรวมของมุมด้านเดียวเท่ากับ 180 0 แสดงว่าเส้นนั้นขนานกัน

ทำซ้ำเครื่องหมายที่สามของเส้นคู่ขนานอีกครั้งโดยทำงานกับทรัพยากรทางการศึกษาอิเล็กทรอนิกส์ « ».

ดังนั้น เมื่อพิสูจน์เกณฑ์แรกสำหรับเส้นขนาน จะใช้คุณสมบัติของมุมที่อยู่ติดกันและเกณฑ์แรกสำหรับเส้นขนาน

ภารกิจที่ 3

จดสูตรเครื่องหมายที่สามของการขนานของเส้นและหลักฐานในสมุดบันทึกของคุณ

เพื่อฝึกฝนการแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดให้ทำงานกับวัสดุของทรัพยากรการศึกษาทางอิเล็กทรอนิกส์ « ».

สัญญาณของเส้นขนานใช้ในการแก้ปัญหา

ตอนนี้พิจารณาตัวอย่างการแก้ปัญหาสำหรับสัญญาณของการขนานของเส้นโดยทำงานกับเนื้อหาของบทเรียนวิดีโอ“ การแก้ปัญหาในหัวข้อ“ สัญญาณของเส้นขนาน”

ตอนนี้ตรวจสอบตัวเองโดยทำภารกิจควบคุมทรัพยากรการศึกษาอิเล็กทรอนิกส์ให้เสร็จ « ».

ใครก็ตามที่ต้องการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นสามารถทำงานกับเนื้อหาของวิดีโอสอนได้ "ปัญหาสัญญาณบนเส้นคู่ขนาน".

คุณสมบัติของเส้นขนาน

เส้นขนานมีชุดของคุณสมบัติ

คุณจะพบว่าคุณสมบัติเหล่านี้คืออะไรโดยทำงานกับเนื้อหาของวิดีโอสอน "คุณสมบัติของเส้นขนาน".

ดังนั้น ข้อเท็จจริงสำคัญที่คุณควรรู้คือสัจพจน์ของความคู่ขนาน

สัจพจน์ของการขนาน. ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด เราสามารถลากเส้นขนานกับเส้นที่กำหนด และยิ่งกว่านั้น มีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น

ตามที่คุณได้เรียนรู้จากเนื้อหาของบทเรียนวิดีโอ ตามสัจพจน์นี้ คุณสามารถกำหนดผลที่ตามมาได้สองแบบ

ผลที่ตามมา 1.ถ้าเส้นหนึ่งตัดกับเส้นขนานเส้นหนึ่ง เส้นนั้นจะตัดกับเส้นขนานอีกเส้นหนึ่ง

ผลที่ตามมา 2.ถ้าเส้นสองเส้นขนานกับเส้นที่สาม แสดงว่าเส้นนั้นขนานกัน

ภารกิจที่ 4

จดสูตรของผลสรุปสูตรและผลพิสูจน์ลงในสมุดบันทึกของคุณ

คุณสมบัติของมุมที่เกิดจากเส้นขนานและเส้นตัดเป็นทฤษฎีบทที่ผกผันกับเครื่องหมายที่สอดคล้องกัน

จากเนื้อหาของบทเรียนวิดีโอ คุณได้เรียนรู้คุณสมบัติของมุมนอนไขว้

ทฤษฎีบท 5 (ทฤษฎีบทผกผันกับเกณฑ์แรกสำหรับเส้นขนาน). เมื่อเส้นขนานสองเส้นตัดกับเส้นขวาง มุมนอนจะเท่ากัน

ภารกิจที่ 5

ทำซ้ำคุณสมบัติแรกของเส้นคู่ขนานอีกครั้งโดยทำงานกับทรัพยากรทางการศึกษาทางอิเล็กทรอนิกส์ « ».

ทฤษฎีบท 6 (ทฤษฎีบทผกผันกับเกณฑ์ที่สองสำหรับเส้นขนาน). เมื่อเส้นขนานสองเส้นตัดกัน มุมที่สัมพันธ์กันจะเท่ากัน

ภารกิจที่ 6

จดข้อความของทฤษฎีบทนี้และข้อพิสูจน์ในสมุดบันทึกของคุณ

ทำซ้ำคุณสมบัติที่สองของเส้นคู่ขนานอีกครั้งโดยทำงานกับทรัพยากรทางการศึกษาทางอิเล็กทรอนิกส์ « ».

ทฤษฎีบท 7 (ทฤษฎีบทผกผันกับเกณฑ์ที่สามของเส้นขนาน). เมื่อเส้นขนานสองเส้นตัดกัน ผลรวมของมุมด้านเดียวคือ 180 0 .

ภารกิจที่ 7

จดข้อความของทฤษฎีบทนี้และข้อพิสูจน์ในสมุดบันทึกของคุณ

ทำซ้ำคุณสมบัติที่สามของเส้นคู่ขนานอีกครั้งโดยทำงานกับทรัพยากรทางการศึกษาทางอิเล็กทรอนิกส์ « ».

คุณสมบัติทั้งหมดของเส้นขนานยังใช้ในการแก้ปัญหา

พิจารณาตัวอย่างทั่วไปของการแก้ปัญหาโดยการใช้สื่อการสอนวิดีโอ "เส้นขนานและปัญหาเกี่ยวกับมุมระหว่างเส้นขนานกับเส้นตัด".

มุมที่สอดคล้องกัน: 1 และ 5, 4 และ 8, 2 และ 6, 3 และ 7;

มุมขวางภายใน: 3 และ 5, 4 และ 6;

มุมขวางภายนอก: 1 และ 7, 2 และ 8;

มุมด้านเดียวภายใน: 3 และ 6, 4 และ 5;

มุมด้านเดียวภายนอก: 1 และ 8, 2 และ 7.

ดังนั้น ∠ 2 = ∠ 4 และ ∠ 8 = ∠ 6 แต่จากการพิสูจน์แล้ว ∠ 4 = ∠ 6

ดังนั้น ∠ 2 = ∠ 8

3. มุมตามลำดับ 2 และ 6 เท่ากัน เนื่องจาก ∠ 2 = ∠ 4 และ ∠ 4 = ∠ 6 นอกจากนี้ เรายังตรวจสอบให้แน่ใจว่ามุมที่เกี่ยวข้องอื่นๆ เท่ากัน

4. ผลรวม มุมด้านเดียวภายใน 3 และ 6 จะเป็น 2d เพราะผลรวม มุมที่อยู่ติดกัน 3 และ 4 เท่ากับ 2d = 180 0 และ ∠ 4 สามารถแทนที่ด้วย ∠ 6 ที่เหมือนกันได้ ตรวจสอบให้แน่ใจด้วยว่า ผลรวมของมุม 4 กับ 5 เท่ากับ 2d

5. ผลรวม มุมด้านเดียวภายนอกจะเป็น 2d เพราะมุมเหล่านี้เท่ากันตามลำดับ มุมด้านเดียวภายในเช่นมุม แนวตั้ง.

จากเหตุผลที่พิสูจน์แล้วข้างต้น เราได้รับ ทฤษฎีบทผกผัน

เมื่อที่จุดตัดของเส้นสองเส้นของเส้นที่สามโดยพลการ เราได้สิ่งนั้น:

1. มุมนอนขวางภายในเหมือนกัน

หรือ 2.มุมนอนขวางภายนอกเหมือนกัน

หรือ 3.มุมที่สอดคล้องกันนั้นเหมือนกัน

หรือ 4.ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในเท่ากับ 2d = 180 0 ;

หรือ 5.ผลรวมของด้านเดียวด้านนอกคือ 2d = 180 0 ,

จากนั้นสองบรรทัดแรกจะขนานกัน

บทเรียนวิดีโอ "สัญญาณของการขนานของเส้นสองเส้น" ประกอบด้วยการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่อธิบายสัญญาณที่หมายถึงเส้นขนาน ในเวลาเดียวกัน วิดีโอจะอธิบาย 1) ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความขนานของเส้น ซึ่งมุมที่เท่ากันถูกสร้างขึ้นโดยเส้นแบ่ง 2) เครื่องหมายที่หมายถึงความขนานของเส้นสองเส้น - ที่มุมที่สอดคล้องกันที่เกิดขึ้นเท่ากัน 3) เครื่องหมาย นั่นหมายถึงความขนานของเส้นสองเส้นในกรณีที่เมื่อตัดกันมุมด้านเดียวที่ตัดกันจะรวมกันได้ 180° จุดประสงค์ของบทเรียนวิดีโอนี้คือเพื่อให้นักเรียนรู้จักสัญญาณที่หมายถึงความขนานของเส้นสองเส้น ความรู้ที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติมากมาย เพื่อนำเสนอการพิสูจน์ทฤษฎีบทเหล่านี้ด้วยสายตา เพื่อสร้างทักษะในการพิสูจน์ข้อความทางเรขาคณิต

ข้อดีของบทเรียนวิดีโอเกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่าด้วยความช่วยเหลือของแอนิเมชั่นเสียงประกอบและความเป็นไปได้ของการเน้นสีทำให้มองเห็นได้ในระดับสูงและสามารถใช้แทนการนำเสนอบล็อกมาตรฐานของใหม่ สื่อการศึกษาโดยครู

บทเรียนวิดีโอเริ่มต้นด้วยการแสดงชื่อบนหน้าจอ ก่อนที่จะอธิบายสัญญาณของการขนานของเส้นตรง นักเรียนจะได้รับการแนะนำให้รู้จักกับแนวคิดของการตัด secant หมายถึงเส้นที่ตัดกับเส้นอื่นๆ หน้าจอแสดงเส้น a และ b สองเส้นที่ตัดกับเส้น c เส้น c ที่สร้างขึ้นจะถูกเน้นด้วยสีน้ำเงิน โดยเน้นว่าเป็นส่วนตัดของเส้น a และ b ที่กำหนด ในการพิจารณาสัญญาณของความขนานของเส้นจำเป็นต้องทำความคุ้นเคยกับพื้นที่ตัดกันของเส้น การตัดที่จุดตัดกับเส้นตรงจะสร้างมุม 8 มุม ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8 โดยการวิเคราะห์อัตราส่วนที่เป็นไปได้ในการหาสัญญาณ ของความขนานของเส้นเหล่านี้ โปรดทราบว่ามุม ∠3 และ ∠5 รวมถึง ∠2 และ ∠4 เรียกว่าแนวขวาง คำอธิบายโดยละเอียดจะได้รับโดยใช้แอนิเมชั่นของการจัดเรียงมุมขวางเป็นมุมที่อยู่ระหว่างเส้นขนานและติดกับเส้นซึ่งอยู่ในแนวขวาง จากนั้นให้แนวคิดของมุมด้านเดียว ซึ่งรวมถึงคู่ ∠4 และ ∠5 เช่นเดียวกับ ∠3 และ ∠6 นอกจากนี้ยังมีการระบุคู่ของมุมที่สอดคล้องกันซึ่งมี 4 คู่ในภาพที่สร้างขึ้น - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7

ในส่วนถัดไปของวิดีโอสอน จะมีการพิจารณาสัญญาณสามประการของการขนานกันของสองบรรทัด คำอธิบายแรกจะปรากฏขึ้น ทฤษฎีบทระบุว่าถ้ามุมตัดที่เกิดจากซีแคนต์เท่ากัน เส้นที่กำหนดจะขนานกัน ข้อความนี้มาพร้อมกับภาพวาดซึ่งแสดงเส้นตรงสองเส้น a และ b และ a secant AB สังเกตว่ามุมนอน ∠1 และ ∠2 ที่เกิดขึ้นตามขวางมีค่าเท่ากัน ข้อความนี้ต้องการหลักฐาน

กรณีเฉพาะที่พิสูจน์ได้ง่ายที่สุดคือเมื่อมุมที่กำหนดซึ่งเกิดจากกากบาทเป็นมุมฉาก ซึ่งหมายความว่าส่วนตัดตั้งฉากกับเส้น และตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว ในกรณีนี้ เส้น a และ b จะไม่ตัดกัน นั่นคือขนานกัน หลักฐานสำหรับกรณีเฉพาะนี้จะอธิบายโดยใช้ตัวอย่างรูปภาพที่สร้างขึ้นถัดจากตัวเลขแรก โดยเน้นรายละเอียดที่สำคัญของหลักฐานด้วยความช่วยเหลือของแอนิเมชัน

เพื่อพิสูจน์ในกรณีทั่วไป จำเป็นต้องวาดเส้นตั้งฉากเพิ่มเติมจากจุดกึ่งกลางของส่วน AB ไปยังเส้น a นอกจากนี้ บนเส้นตรง b จะมีการลงจุดเซ็กเมนต์ VN 1 ซึ่งเท่ากับเซ็กเมนต์ AH จากจุด H 1 ที่ได้รับในกรณีนี้ จะมีการดึงส่วนที่เชื่อมต่อกับจุด O และ H 1 ถัดไปจะพิจารณาสามเหลี่ยมสองรูป ΔONA และ ΔOBN 1 ซึ่งพิสูจน์ความเท่าเทียมกันโดยเกณฑ์แรกสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมสองรูป ด้าน OA และ OB เท่ากันในการก่อสร้าง เนื่องจากจุด O ถูกทำเครื่องหมายไว้ตรงกลางของส่วน AB ด้าน HA และ H 1 B ก็เท่ากันในการก่อสร้าง เนื่องจากเราแยกส่วน H 1 B ออก เท่ากับ HA และมุม ∠1=∠2 ตามเงื่อนไขของโจทย์ เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นมีค่าเท่ากัน ดังนั้นมุมและด้านที่เหลือที่สอดคล้องกันจึงมีค่าเท่ากันด้วย จากนี้เป็นไปตามที่ส่วน OH 1 เป็นความต่อเนื่องของส่วน OH ซึ่งประกอบขึ้นเป็นหนึ่งส่วน HH 1 โปรดทราบว่าเนื่องจากส่วนที่สร้างขึ้น OH ตั้งฉากกับเส้นตรง a ดังนั้น ตามลำดับ ส่วน HH 1 จึงตั้งฉากกับเส้นตรง a และ b ข้อเท็จจริงนี้หมายความว่า โดยใช้ทฤษฎีบทการขนานสำหรับเส้นที่เส้นหนึ่งตั้งฉากกัน เส้นที่กำหนดให้ a และ b ขนานกัน

ทฤษฎีบทถัดไปที่ต้องพิสูจน์คือเครื่องหมายของความเท่าเทียมกันของเส้นขนานโดยความเท่าเทียมกันของมุมที่สอดคล้องกันที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของส่วนตัด ข้อความของทฤษฎีบทที่ระบุจะแสดงบนหน้าจอและนักเรียนสามารถเสนอให้บันทึกได้ การพิสูจน์เริ่มต้นด้วยการสร้างบนหน้าจอของเส้นขนานสองเส้น a และ b ซึ่งสร้างส่วนตัด c เน้นด้วยสีน้ำเงินในภาพ ส่วนที่ตัดกันจะสร้างมุมที่สอดคล้องกัน ∠1 และ ∠2 ซึ่งตามเงื่อนไขจะเท่ากัน มุมที่อยู่ติดกัน ∠3 และ ∠4 จะถูกทำเครื่องหมายด้วย ∠2 เทียบกับมุม ∠3 เป็นมุมแนวตั้ง และมุมดิ่งจะเท่ากันเสมอ นอกจากนี้ มุม ∠ 1 และ ∠ 3 วางตรงข้ามกัน - ความเท่าเทียมกัน (ตามข้อความที่พิสูจน์แล้ว) หมายความว่าเส้น a และ b ขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ส่วนสุดท้ายของวิดีโอสอนมีไว้เพื่อพิสูจน์ข้อความว่าหากผลรวมของมุมด้านเดียวที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นสองเส้นด้วยเส้นตัดเท่ากับ 180 ° เส้นเหล่านี้จะขนานกัน อื่น. หลักฐานแสดงโดยใช้ภาพวาดแสดงเส้น a และ b ตัดกันส่วนค. มุมที่เกิดจากจุดตัดจะถูกทำเครื่องหมายเหมือนกับการพิสูจน์ครั้งก่อน ตามเงื่อนไข ผลรวมของมุม ∠1 และ ∠4 เท่ากับ 180° เป็นที่ทราบกันว่าผลรวมของมุม ∠3 และ ∠4 เท่ากับ 180° เนื่องจากพวกมันอยู่ติดกัน ซึ่งหมายความว่ามุม ∠1 และ ∠3 เท่ากัน ข้อสรุปนี้ให้สิทธิ์ในการยืนยันว่าเส้น a และ b ขนานกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ครูสามารถใช้บทเรียนวิดีโอ "สัญญาณของการขนานกันของเส้นสองเส้น" เป็นบล็อกอิสระที่แสดงการพิสูจน์ของทฤษฎีบทเหล่านี้ แทนที่คำอธิบายของครูหรือที่มาพร้อมกัน คำอธิบายโดยละเอียดทำให้นักเรียนสามารถใช้เนื้อหาเพื่อการศึกษาด้วยตนเอง และจะช่วยในการอธิบายเนื้อหาในการเรียนรู้ทางไกล

1. ถ้าเส้นสองเส้นขนานกับเส้นที่สาม แสดงว่าขนานกัน:

ถ้า ก||คและ ข||ค, ที่ ก||ข.

2. ถ้าเส้นสองเส้นตั้งฉากกับเส้นที่สาม แสดงว่าขนานกัน:

ถ้า ก⊥คและ ข⊥ค, ที่ ก||ข.

สัญญาณที่เหลือของความขนานของเส้นจะขึ้นอยู่กับมุมที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นสองเส้นโดยหนึ่งในสาม

3. ถ้าผลรวมของมุมด้านเดียวภายในเท่ากับ 180° เส้นจะขนานกัน:

ถ้า ∠1 + ∠2 = 180° แล้ว ก||ข.

4. ถ้ามุมที่ตรงกันเท่ากัน เส้นจะขนานกัน:

ถ้า ∠2 = ∠4 แล้ว ก||ข.

5. หากมุมตัดขวางภายในเท่ากัน แสดงว่าเส้นขนานกัน:

ถ้า ∠1 = ∠3 แล้ว ก||ข.

คุณสมบัติของเส้นขนาน

ข้อความที่ตรงกันข้ามกับสัญญาณของการขนานของเส้นคือคุณสมบัติของมัน ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของมุมที่เกิดจากการตัดกันของเส้นคู่ขนานสองเส้นด้วยเส้นที่สาม

1. เมื่อเส้นคู่ขนานสองเส้นตัดกับเส้นที่สาม ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในที่เกิดจากเส้นตรงเหล่านั้นคือ 180°:

ถ้า ก||ขแล้ว ∠1 + ∠2 = 180°

2. เมื่อเส้นขนานสองเส้นตัดกับเส้นที่สาม มุมที่สอดคล้องกันที่เกิดขึ้นจากเส้นเหล่านั้นจะเท่ากัน:

ถ้า ก||ขแล้ว ∠2 = ∠4

3. ที่จุดตัดของเส้นคู่ขนานสองเส้นกับเส้นที่สาม มุมนอนที่เกิดจากเส้นขนานจะเท่ากัน:

ถ้า ก||ขแล้ว ∠1 = ∠3

คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นกรณีพิเศษของแต่ละรายการก่อนหน้า:

4. หากเส้นบนระนาบตั้งฉากกับหนึ่งในสองเส้นขนาน มันก็จะตั้งฉากกับอีกเส้นหนึ่งด้วย:

ถ้า ก||ขและ ค⊥ก, ที่ ค⊥ข.

คุณสมบัติที่ห้าคือสัจพจน์ของเส้นขนาน:

5. ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด สามารถลากเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น