Теорема Вієта (точніше, теорема, обернена до теореми Вієта) дозволяє скоротити час на розв'язання квадратних рівнянь. Тільки треба вміти нею користуватися. Як навчитися вирішувати квадратні рівняння з теореми Вієта? Це нескладно, якщо трохи поміркувати.
Зараз ми говоритимемо лише про рішення за теоремою Вієта наведеного квадратного рівняння. Наведене квадратне рівняння — це рівняння, в якому a, тобто коефіцієнт перед x², дорівнює одиниці. Не наведені квадратні рівняння вирішити за теоремою Вієта теж можна, але там уже, як мінімум, одне з коренів — не ціле число. Їх вгадувати складніше.
Теорема, обернена теоремі Вієта, говорить: якщо числа x1 і x2 такі, що
то x1 і x2 - коріння квадратного рівняння
При розв'язанні квадратного рівняння за теоремою Вієта можливі лише 4 варіанти. Якщо запам'ятати хід міркувань, знаходити ціле коріння можна навчитися дуже швидко.
I. Якщо q - позитивне число,
це означає, що коріння x1 та x2 — числа однакового знака (оскільки лише при множенні чисел з однаковими знаками виходить позитивне число).
І.а. Якщо -p - позитивне число, (відповідно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
I.b. Якщо -p - Негативне число, (відповідно, p>0), то обидва корені - негативні числа (складали числа одного знака, отримали негативне число).
ІІ. Якщо q - від'ємне число,
це означає, що коріння x1 і x2 мають різні знаки (при множенні чисел від'ємне число виходить лише у випадку, коли знаки у множників різні). У цьому випадку x1+x2 є вже не сумою, а різницею (адже при додаванні чисел з різними знакамими віднімаємо з більшого за модулем менше). Тому x1+x2 показує, на скільки одне відрізняється коріння x1 і x2, тобто, на скільки один корінь більше за інший (за модулем).
II.a. Якщо -p - позитивне число, (тобто p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Якщо -p - Негативне число, (p>0), то більший (за модулем) корінь - від'ємне число.
Розглянемо розв'язання квадратних рівнянь за теоремою Вієта на прикладах.
Розв'язати наведене квадратне рівняння за теоремою Вієта:
Тут q=12>0, тому коріння x1 і x2 числа одного знака. Їхня сума дорівнює -p=7>0, тому обидва корені — позитивні числа. Підбираємо цілі числа, добуток яких дорівнює 12. Це 1 і 12, 2 і 6, 3 і 4. Сума дорівнює 7 у пари 3 і 4. Отже, 3 і 4 — коріння рівняння.
У цьому прикладі q=16>0, отже, коріння x1 і x2 — числа одного знака. Їхня сума -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Тут q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то більша кількість позитивна. Отже, коріння 5 та -3.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
Будь-яке повне квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0можна привести до вигляду x 2 + (b/a) x + (c/a) = 0, якщо попередньо розділити кожен доданок на коефіцієнт a перед x 2. А якщо ввести нові позначення (b/a) = pі (c/a) = q, то матимемо рівняння x 2 + px + q = 0, яке в математиці називається наведеним квадратним рівнянням.
Коріння наведеного квадратного рівняння та коефіцієнти pі qзв'язані між собою. Це підтверджується теорема Вієта, названою так на честь французького математика Франсуа Вієта, який жив наприкінці XVI ст.
Теорема. Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 + px + q = 0дорівнює другому коефіцієнту p, взятому з протилежним знаком, а добуток коріння – вільному члену q.
Запишемо дані співвідношення у такому вигляді:
Нехай x 1і x 2різне коріння наведеного рівняння x 2 + px + q = 0. Відповідно до теореми Вієта x 1 + x 2 = -pі x 1 · x 2 = q.
Для доказу підставимо кожен із коренів x 1 і x 2 до рівняння. Отримуємо дві вірні рівності:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Віднімемо з першої рівності другу. Отримаємо: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Перші два доданки розкладаємо за формулою різниці квадратів:
(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0
За умовами коріння x 1 і x 2 різні. Тому ми можемо скоротити рівність на (x 1 – x 2) ≠ 0 та виразити p.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x1+x2) = -p.
Першу рівність доведено.
Для доказу другої рівності підставимо на перше рівняння
x 1 2 + px 1 + q = 0 замість коефіцієнта p дорівнює йому число - (x 1 + x 2):
x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q = 0
Перетворивши ліву частину рівняння, отримуємо:
x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q = 0;
x 1 x 2 = q, що потрібно було довести.
Теорема Вієта хороша тим, що, навіть не знаючи коренів квадратного рівняння, ми можемо обчислити їх суму та добуток .
Теорема Вієта допомагає визначати ціле коріння наведеного квадратного рівняння. Але у багатьох учнів це спричиняє труднощі через те, що вони не знають чіткого алгоритму дії, особливо якщо коріння рівняння має різні знаки.
Отже, наведене квадратне рівняння має вигляд x 2 + px + q = 0 де x 1 і x 2 його коріння. Відповідно до теореми Вієта x 1 + x 2 = -p і x 1 · x 2 = q.
Можна зробити наступний висновок.
Якщо в рівнянні перед останнім членом стоїть знак мінус, то коріння x 1 і x 2 мають різні знаки. Крім того, знак меншого кореня збігається зі знаком другого коефіцієнта рівняння.
Виходячи з того, що при додаванні чисел з різними знаками їх модулі віднімаються, а перед отриманим результатом ставиться знак більшого за модулем числа, слід діяти таким чином:
- визначити такі множники числа q, щоб їхня різниця дорівнювала числу p;
- поставити перед меншим із отриманих чисел знак другого коефіцієнта рівняння; другий корінь матиме протилежний знак.
Розглянемо деякі приклади.
Приклад 1.
Розв'язати рівняння x 2 – 2x – 15 = 0.
Рішення.
Спробуємо вирішити це рівняння за допомогою запропонованих вище правил. Тоді можна точно сказати, що це рівняння матиме два різні корені, т.к. D = b 2 - 4ac = 4 - 4 · (-15) = 64> 0.
Тепер із усіх множників числа 15 (1 і 15, 3 і 5) вибираємо ті, різниця яких дорівнює 2. Це будуть числа 3 і 5. Перед меншим числом ставимо знак «мінус», тобто. знак другого коефіцієнта рівняння. Отже, отримаємо коріння рівняння x 1 = -3 і x 2 = 5.
Відповідь. x 1 = -3 та x 2 = 5.
Приклад 2.
Розв'язати рівняння x 2 + 5x – 6 = 0.
Рішення.
Перевіримо, чи має це рівняння коріння. Для цього знайдемо дискримінант:
D = b 2 - 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Рівняння має два різні корені.
Можливі множники числа 6 - це 2 і 3, 6 і 1. Різниця дорівнює 5 у пари 6 і 1. У цьому прикладі коефіцієнт другого доданку має знак «плюс», тому і менше число матиме такий самий знак. А ось перед другим числом стоятиме знак мінус.
Відповідь: x 1 = -6 та x 2 = 1.
Теорему Вієта можна записати і для повного квадратного рівняння. Так, якщо квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0має коріння x 1 і x 2 , то для них виконуються рівності
x 1 + x 2 = -(b/a)і x 1 · x 2 = (c/a). Проте застосування цієї теореми у квадратному рівнянні досить проблематично, т.к. за наявності коренів, хоча один із них є дробовим числом. А працювати з підбором дробів досить складно. Але все ж таки вихід є.
Розглянемо повне квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Помножимо його ліву та праву частини на коефіцієнт a. Рівняння набуде вигляду (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Тепер введемо нову змінну, наприклад t = ax.
У цьому випадку отримане рівняння перетворитися на наведене квадратне рівняння виду t 2 + bt + ac = 0, коріння якого t 1 і t 2 (за їх наявності) може бути визначено за теоремою Вієта.
У цьому випадку коріння вихідного квадратного рівняння буде
x 1 = (t 1 /a) та x 2 = (t 2 / a).
Приклад 3.
Розв'язати рівняння 15x2 – 11x+2=0.
Рішення.
Складаємо допоміжне рівняння. Помножимо кожне доданок рівняння на 15:
15 2 x 2 - 11 · 15x + 15 · 2 = 0.
Робимо заміну t = 15x. Маємо:
t 2 - 11t + 30 = 0.
За теоремою Вієта корінням даного рівняння будуть t 1 = 5 і t 2 = 6.
Повертаємося до заміни t = 15x:
5 = 15x або 6 = 15x. Таким чином, x 1 = 5/15 та x 2 = 6/15. Скорочуємо та отримуємо остаточну відповідь: x 1 = 1/3 та x 2 = 2/5.
Відповідь. x 1 = 1/3 та x 2 = 2/5.
Щоб освоїти розв'язання квадратних рівнянь за допомогою теореми Вієта, учням необхідно якнайбільше тренуватися. Саме в цьому полягає секрет успіху.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
При вивченні способів розв'язання рівнянь другого порядку в шкільному алгебри курсі, розглядають властивості отриманих коренів. Вони зараз відомі під назвою теореми Вієта. Приклади використання її наводяться у цій статті.
Квадратне рівняння
Рівняння другого порядку являє собою рівність, яка показана на фото нижче.
Тут символи a, b, c є деякими числами, що мають назву коефіцієнтів рівняння, що розглядається. Щоб розв'язати рівність, необхідно знайти такі значення x, які роблять його істинним.
Зауважимо, що оскільки максимальне значення ступеня, в яку зводиться ікс, дорівнює двом, тоді кількість коренів у загальному випадку також дорівнює двом.
Для розв'язання цього рівнянь існує кілька способів. У цій статті розглянемо один із них, який передбачає використання так званої теореми Вієта.
Формулювання теореми Вієта
Наприкінці XVI відомий математик Франсуа Вієт (француз) помітив, аналізуючи властивості коренів різних квадратних рівнянь, що певні комбінації їх задовольняють конкретним співвідношенням. Зокрема, цими комбінаціями є їхній твір та сума.
Теорема Вієта встановлює наступне: коріння квадратного рівняння при їх сумі дають відношення коефіцієнтів лінійного до квадратичного взяте зі зворотним знаком, а при їх добутку призводять до відношення вільного члена до квадратичного коефіцієнта.
Якщо загальний вигляд рівняння записано так, як це представлено на фото у попередньому розділі статті, тоді математично цю теорему можна записати у вигляді двох рівностей:
- r 2 + r 1 = -b/a;
- r 1 х r 2 = c/a.
Де r 1 , r 2 - це значення коренів рівняння, що розглядається.
Наведені дві рівності можна використовувати для вирішення низки різних математичних завдань. Використання теореми Вієта у прикладах із рішенням наведено у наступних розділах статті.
Перед тим, як перейти до теореми Вієта, введемо визначення. Квадратне рівняння виду x² + px + q= 0 називається наведеним. У цьому рівнянні старший коефіцієнт дорівнює одиниці. Наприклад, рівняння x² - 3 x- 4 = 0 є наведеним. Будь-яке квадратне рівняння виду ax² + b x + c= 0 можна зробити наведеним, для цього ділимо обидві частини рівняння на а≠ 0. Наприклад, рівняння 4 x² + 4 x- 3 = 0 розподілом на 4 наводиться до вигляду: x² + x- 3/4 = 0. Виведемо формулу коренів наведеного квадратного рівняння, для цього скористаємося формулою коренів квадратного рівняння загального виду: ax² + bx + c = 0
Наведене рівняння x² + px + q= 0 збігається з рівнянням загального виду, у якому а = 1, b = p, c = q.Тому для наведеного квадратного рівняння формула набуває вигляду: 
останній вираз називають формулою коренів наведеного квадратного рівняння, особливо зручно користуватися цією формулою коли р — парне число. Для прикладу вирішимо рівняння x² - 14 x — 15 = 0
У відповідь запишемо рівняння має два корені.
Для наведеного квадратного рівняння з позитивним справедлива така теорема.
Теорема Вієта
Якщо x 1 та x 2 - коріння рівняння x² + px + q= 0, то справедливі формули:
x 1 + x 2 = — р
x 1 * x 2 = q,тобто сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.
З формули коренів наведеного квадратного рівняння маємо:
Складаючи ці рівності, отримуємо: x 1 + x 2 = —нар.
Перемножуючи ці рівності, за формулою різниці квадратів отримуємо:
Зазначимо, що теорема Вієта справедлива і тоді, коли дискримінант дорівнює нулю, якщо вважати, що в цьому випадку квадратне рівняння має два однакові корені: x 1 = x 2 = — р/2.
Не вирішуючи рівняння x² - 13 x+ 30 = 0 знайдемо суму та добуток його коріння x 1 та x 2 . цього рівняння D= 169 - 120 = 49 > 0, тому можна застосувати теорему Вієта: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Розглянемо ще кілька прикладів. Один із коренів рівняння x² — рx- 12 = 0 дорівнює x 1 = 4. Знайти коефіцієнт рта другий корінь x 2 цього рівняння. За теоремою Вієта x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — нар.Так як x 1 = 4, то 4 x 2 = - 12, звідки x 2 = — 3, р = — (x 1 + x 2) = - (4 - 3) = - 1. У відповідь запишемо, другий корінь x 2 = - 3, коефіцієнт р = - 1.
Не вирішуючи рівняння x² + 2 x- 4 = 0 знайдемо суму квадратів його коріння. Нехай x 1 та x 2 - коріння рівняння. За теоремою Вієта x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Так як x 1 ²+ x 2 ² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 , тоді x 1 ²+ x 2 ² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.
Знайдемо суму та добуток коренів рівняння 3 x² + 4 x- 5 = 0. Дане рівняння має два різні корені, так як дискримінант D= 16 + 4*3*5 > 0. Для вирішення рівняння скористаємося теоремою Вієта. Ця теорема доведена для квадратного рівняння. Тому розділимо це рівняння на 3.
Отже, сума коренів дорівнює -4/3, які твір дорівнює -5/3.
У випадку коріння рівняння ax² + b x + c= 0 пов'язані наступними рівностями: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a,Для отримання цих формул достатньо розділити обидві частини даного квадратного рівняння а ≠ 0 і застосувати до отриманого квадратного рівняння теорему Вієта. Розглянемо приклад, потрібно скласти наведене квадратне рівняння, коріння якого x 1 = 3, x 2 = 4. Так як x 1 = 3, x 2 = 4 - Коріння квадратного рівняння x² + px + q= 0, то за теоремою Вієта р = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. У відповідь запишемо x² - 7 x+ 12 = 0. Під час вирішення деяких завдань застосовується наступна теорема.
Теорема, зворотна теоремі Вієта
Якщо числа р, q, x 1 , x 2 такі, що x 1 + x 2 = — р, x 1 * x 2 = q, то x 1і x 2- Коріння рівняння x² + px + q= 0. Підставимо у ліву частину x² + px + qзамість рвираз - ( x 1 + x 2), а замість q- твір x 1 * x 2.Отримаємо: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2).Таким чином, якщо числа р, q, x 1 та x 2 пов'язані цими співвідношеннями, то при всіх хвиконується рівність x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2),з якого випливає, що x 1 та x 2 - коріння рівняння x² + px + q= 0. Використовуючи теорему, обернену до теореми Вієта, іноді можна підбором знайти коріння квадратного рівняння. Розглянемо приклад, x² - 5 x+ 6 = 0. Тут р = — 5, q= 6. Підберемо два числа x 1 та x 2 так, щоб x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Помітивши, що 6 = 2 * 3, а 2 + 3 = 5, по теоремі, зворотній теоремі Вієта, отримуємо, що x 1 = 2, x 2 = 3 - коріння рівняння x² - 5 x + 6 = 0.
I. Теорема Вієтадля наведеного квадратного рівняння.
Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +px+q=0дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену:
x1+x2=-p; x 1 x 2 =q.
Знайти коріння наведеного квадратного рівняння за допомогою теореми Вієта.
Приклад 1) x 2 -x-30 = 0.Це наведене квадратне рівняння ( x 2 +px+q=0), другий коефіцієнт p=-1, а вільний член q=-30.Спочатку переконаємося, що це рівняння має коріння, і що коріння (якщо вони є) будуть виражатися цілими числами. Для цього достатньо щоб дискримінант був повним квадратом цілого числа.
Знаходимо дискримінант D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Тепер по теоремі Вієта сума коренів має дорівнювати другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, тобто. ( -p), а твір дорівнює вільному члену, тобто. ( q). Тоді:
x 1 + x 2 = 1; x 1 x 2 =-30.Нам треба підібрати такі два числа, щоб їхній твір був рівний -30 , а сума - одиниці. Це числа -5 і 6 . Відповідь: -5; 6.
Приклад 2) x2+6x+8=0.Маємо наведене квадратне рівняння з другим коефіцієнтом р = 6та вільним членом q=8. Переконаємося, що є цілісне коріння. Знайдемо дискримінант D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискримінант D1 є повним квадратом числа 1 Отже, коріння даного рівняння є цілими числами. Підберемо коріння за теоремою Вієта: сума коренів дорівнює -Р = -6, а добуток коріння дорівнює q=8. Це числа -4 і -2 .
Насправді: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Відповідь: -4; -2.
Приклад 3) x 2 +2x-4 = 0. У цьому наведеному квадратному рівнянні другий коефіцієнт р=2, а вільний член q=-4. Знайдемо дискримінант D 1, Оскільки другий коефіцієнт – парне число. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискримінант не є повним квадратом числа, тому, робимо висновок: коріння цього рівняння не є цілими числами і знайти їх за теоремою Вієта не можна.Отже, розв'яжемо дане рівняння, як завжди, за формулами (в даному випадкуза формулами). Отримуємо:
приклад 4).Складіть квадратне рівняння за його корінням, якщо x1=-7, x2=4.
Рішення.Шукане рівняння запишеться у вигляді: x 2 +px+q=0, причому, на підставі теореми Вієта -p = x 1 + x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Тоді рівняння набуде вигляду: x 2 +3x-28 = 0.
приклад 5).Складіть квадратне рівняння за його корінням, якщо:
ІІ. Теорема Вієтадля повного квадратного рівняння ax 2 +bx+c=0.
Сума коренів дорівнює мінус b, поділеному на а, добуток коріння дорівнює з, поділеному на а:
x 1 +x 2 =-b/a; x 1 x 2 = c/a.
