У = f(х) і якщо в цій точці до графіка функції можна провести дотичну, не перпендикулярну до осі абсцис, то кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює f"(а). Ми цим вже кілька разів користувалися. Наприклад, § 33 було встановлено, що графік функції у = sin х(синусоїда) на початку координат утворює з віссю абсцис кут 45° (точніше, дотична до графіка на початку координат складає з позитивним напрямом осі х кут 45°), а в прикладі 5 § 33 були знайдені точки на графіку заданої функції, у яких дотична паралельна осі абсцис. У прикладі 2 § 33 було складено рівняння дотичної до графіку функції у = х 2 у точці х = 1 (точніше, у точці (1; 1), але частіше вказують тільки значення абсциси, вважаючи, що якщо значення абсциси відоме, то значення ординати можна знайти із рівняння у = f(х)). У цьому параграфі ми виробимо алгоритм складання рівняння дотичної графіки будь-якої функції.

Нехай дані функція у = f(х) і точка М (а; f(а)), а також відомо, що існує f"(а). Складемо рівняння дотичної до графіка заданої функціїв заданій точці. Це рівняння, як рівняння будь-якої прямої, не паралельної осі ординат, має вигляд у = кх + m, тому завдання полягає у відшуканні значень коефіцієнтів k і m.

З кутовим коефіцієнтомдо проблем немає: ми знаємо, що до = f"(а). Для обчислення значення т скористаємося тим, що пряма шукана проходить через точку М(а; f (а)). Це означає, що, якщо підставити координати точки М в рівняння прямої, отримаємо правильну рівність: f(а) = ка+m, звідки знаходимо, що m = f(а) - ка.
Залишилося підставити знайдені значення коефіцієнтів кит в рівнянняпрямий:

Нами отримано рівняння щодо графіку функції у = f(х) у точці х=а.
Якщо, скажімо,
Підставивши в рівняння (1) знайдені значення а = 1, f(а) = 1 f"(а) = 2, отримаємо: у = 1+2(х-f), тобто у = 2х-1.
Порівняйте цей результат з тим, що був отриманий у прикладі 2 з § 33. Звичайно, вийшло те саме.
Складемо рівняння щодо графіку функції у = tg х на початку координат. Маємо: отже, соs х f"(0) = 1. Підставивши в рівняння (1) знайдені значення а=0, f(а)=0, f"(а)=1, отримаємо: у=х.
Саме тому ми і провели тангенсоіду в § 15 (див. рис. 62) через початок координат під кутом 45 ° до осі абсцис.
Вирішуючи ці достатньо прості приклади, ми фактично користувалися певним алгоритмом, закладеним у формулі (1). Зробимо цей алгоритм очевидним.

АЛГОРИТМ СКЛАДАННЯ РІВНЯННЯ ЩОДО ДО ГРАФІКА ФУНКЦІЇ у = f(x)

1) Позначити абсцис точки торкання літерою а.
2) Обчислити 1(а).
3) Знайти f"(х) і обчислити f"(а).
4) Підставити знайдені числа а, f(а), (а) у формулу (1).

приклад 1.Скласти рівняння щодо графіку функції у точці х = 1.
Скористаємося алгоритмом, враховуючи, що в цьому прикладі

На рис. 126 зображена гіпербола, побудована пряма у = 2-х.
Креслення підтверджує наведені викладки: дійсно, пряма у = 2-х стосується гіперболи в точці (1; 1).

Відповідь:у = 2-х.
приклад 2.До графіку функції провести дотику так, щоб вона була паралельна прямій у = 4х - 5.
Уточнимо формулювання завдання. Вимога "провести дотичну" зазвичай означає "скласти рівняння дотичної". Це логічно, бо якщо людина змогла скласти рівняння дотичної, то навряд чи вона відчуватиме труднощі з побудовою на координатній площині прямої за її рівнянням.
Скористаємося алгоритмом складання рівняння дотичної, враховуючи, що в даному прикладі Але на відміну від попереднього прикладу є неясність: не вказано явно абсцису точки дотику.
Почнемо міркувати так. Шукальна дотична має бути паралельна прямий у = 4х-5. Дві прямі паралельні тоді й лише тоді, коли рівні їхні кутові коефіцієнти. Значить, кутовий коефіцієнт дотичної повинен дорівнювати кутовому коефіцієнту заданої прямої: Отже, значення ми можемо знайти з рівняння f"(а)= 4.
Маємо:
З рівняння Отже, є дві дотичні завдання, що задовольняють умові: одна в точці з абсцисою 2, інша в точці з абсцисою -2.
Тепер можна діяти за алгоритмом.

приклад 3.З точки (0; 1) провести дотичну до графіка функції
Скористаємося алгоритмом складання рівняння дотичної, враховуючи, що в даному прикладі Зауважимо, що і тут, як у прикладі 2, не зазначено явно абсцис точки дотику. Проте діємо за алгоритмом.

За умовою дотична проходить через точку (0; 1). Підставивши в рівняння (2) значення х = 0, у = 1, отримаємо:
Як бачите, у цьому прикладі лише на четвертому кроці алгоритму нам вдалося знайти абсцис точки торкання. Підставивши значення а = 4 до рівняння (2), отримаємо:

На рис. 127 представлена ​​геометрична ілюстрація розглянутого прикладу: побудований графік функції

У § 32 ми зазначили, що для функції у = f(х), що має похідну у фіксованій точці х, справедливо наближена рівність:

Для зручності подальших міркувань змінимо позначення: замість х будемо писати а, замість писатим х і відповідно замість писатим х-а. Тоді написана вище наближена рівність набуде вигляду:

А тепер погляньте на рис. 128. До графіку функції у = f(х) проведена дотична у точці М(а; f(а)). Відзначено точку х на осі абсцис поблизу а. Зрозуміло, що f(х) - ордината графіка функції у зазначеній точці x. А що таке f(а) + f"(а) (х-а)? Це ордината дотичної, що відповідає тій же точці х - див. формулу (1). У чому сенс наближеної рівності (3)? для обчислення наближеного значення функції беруть значення дотичної ординати.

приклад 4.Знайти наближене значення числового виразу 1,02 7 .
Мова йдепро відшукання значення функції у = х 7 у точці х = 1,02. Скористаємося формулою (3), врахувавши, що у цьому прикладі
У результаті отримуємо:

Якщо ми скористаємося калькулятором, то отримаємо: 1,02 7 = 1,148685667...
Як бачите, точність наближення цілком прийнятна.
Відповідь: 1,02 7 =1,14.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас

Календарно-тематичне планування з математики, відеоз математики онлайн , Математика в школі

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

У цій статті ми розберемо всі типи завдань на перебування

Згадаймо геометричний зміст похідної: якщо до графіка функції в точці проведена дотична, то коефіцієнт нахилу дотичної (рівний тангенсу кута між дотичною і позитивним напрямом осі) дорівнює похідній функції в точці.

Візьмемо на дотичній довільну точку з координатами:

І розглянемо прямокутний трикутник:

У цьому трикутнику

Звідси

Це і є рівняння дотичної, проведеної графіку функції у точці .

Щоб написати рівняння дотичної, нам достатньо знати рівняння функції та точку, в якій проведено дотичну. Тоді ми зможемо знайти і .

Є три основних типи завдань на складання рівняння дотичної.

1. Дана точка торкання

2. Даний коефіцієнт нахилу дотичної, тобто значення похідної функції у точці .

3. Дано координати точки, через яку проведено дотичну, але яка не є точкою дотику.

Розглянемо кожен тип завдань.

1 . Написати рівняння щодо графіку функції у точці .

.

б) Знайдемо значення похідної у точці . Спочатку знайдемо похідну функції

Підставимо знайдені значення рівняння дотичної:

Розкриємо дужки у правій частині рівняння. Отримаємо:

Відповідь: .

2 . Знайти абсциси точок, у яких дотичні до графіка функції паралельні осі абсцис.

Якщо дотична паралельна осі абсцис, отже кут між дотичною та позитивним напрямком осі дорівнює нулю, отже тангенс кута нахилу дотичної дорівнює нулю. Значить значення похідної функції у точках дотику дорівнює нулю.

а) Знайдемо похідну функції .

б) Прирівняємо похідну до нуля і знайдемо значення, в яких дотична паралельна осі:

Прирівняємо кожен множник до нуля, отримаємо:

Відповідь: 0; 3;

3 . Написати рівняння щодо графіку функції , паралельних прямий .

Дотична паралельна прямий. Коефіцієнт нахилу цієї прямої дорівнює -1. Так як дотична паралельна цій прямій, отже, коефіцієнт нахилу дотичної теж дорівнює -1. Тобто ми знаємо коефіцієнт нахилу дотичної, а, тим самим, значення похідної в точці торкання.

Це другий тип завдань на знаходження рівняння дотичної.

Отже, ми маємо функцію і значення похідної у точці дотику.

а) Знайдемо точки, у яких похідна функції дорівнює -1.

Спочатку знайдемо рівняння похідної.

Прирівняємо похідну до -1.

Знайдемо значення функції у точці.

(за умовою)

.

б) Знайдемо рівняннящо стосується графіку функції у точці .

Знайдемо значення функції у точці.

(за умовою).

Підставимо ці значення до рівняння дотичної:

.

Відповідь:

4 . Написати рівняння щодо кривої , проходить через точку

Спочатку перевіримо, чи точка не є точкою торкання. Якщо точка є точкою торкання, вона належить графіку функції, і її координати повинні задовольняти рівнянню функції. Підставимо координати точки рівняння функції.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} не є точкою торкання.

Це останній тип завдань на знаходження рівняння дотичної. Першим ділом нам потрібно знайти абсцису точки дотику.

Знайдемо значення.

Нехай – точка торкання. Крапка належить дотичну до графіку функції. Якщо ми підставимо координати цієї точки до рівняння дотичної, то отримаємо правильну рівність:

.

Значення функції у точці дорівнює .

Знайдемо значення похідної функції у точці.

Спочатку знайдемо похідну функції. Це.

Похідна в точці дорівнює .

Підставимо вирази для і рівняння дотичної. Отримаємо рівняння щодо:

Вирішимо це рівняння.

Скоротимо чисельник і знаменник дробу на 2:

Наведемо праву частину рівняння до спільного знаменника. Отримаємо:

Спростимо чисельник дробу і помножимо обидві частини на - це вираз строго більше за нуль.

Отримаємо рівняння

Вирішимо його. Для цього зведемо обидві частини у квадрат і перейдемо до системи.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2)) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Розв'яжемо перше рівняння.

Вирішимо квадратне рівняння, отримаємо

Другий корінь не задовольняє умову title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Напишемо рівняння дотичної до кривої в точці. Для цього підставимо значення рівняння – ми його вже записували.

Відповідь:
.

на сучасному етапірозвитку освіти як одне з основних його завдань виступає формування творчо мислячої особистості. Здатність до творчості в учнів може бути розвинена лише за умови систематичного залучення їх до основ дослідницької діяльності. Фундаментом для застосування учнями своїх творчих сил, здібностей та обдарувань є сформовані повноцінні знання та вміння. У зв'язку з цим проблема формування системи базових знань та умінь з кожної теми шкільного курсуматематики має важливе значення. При цьому повноцінні вміння мають бути дидактичною метоюне окремих завдань, а ретельно продуманої їхньої системи. У найширшому розумінні під системою розуміється сукупність взаємозалежних елементів, що володіє цілісністю і стійкою структурою.

Розглянемо методику навчання учнів складання рівняння щодо графіку функції. По суті, всі завдання на відшукання рівняння дотичної зводяться до необхідності відбору з множини (пучка, сімейства) прямих тих з них, які задовольняють певну вимогу - є дотичним до графіка деякої функції. При цьому безліч прямих, з якого здійснюється відбір, може бути задано двома способами:

а) точкою, що лежить на площині xOy (центральний пучок прямих);
б) кутовим коефіцієнтом (паралельний пучок прямих).

У зв'язку з цим щодо теми «Доторна до графіку функції» з метою вичленування елементів системи нами було виділено два типи завдань:

1) завдання на дотичну, задану точкою, якою вона проходить;
2) завдання на дотичну, задану її кутовим коефіцієнтом.

Навчання вирішення завдань на дотичну здійснювалося за допомогою алгоритму, запропонованого А.Г. Мордковичем. Його принципова відмінністьвід вже відомих полягає в тому, що абсциса точки дотику позначається буквою a (замість x0), у зв'язку з чим рівняння дотичної набуває вигляду

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(порівняйте з y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Цей методичний прийом, на наш погляд, дозволяє учням швидше та легше усвідомити, де в загальному рівнянні дотичної записані координати поточної точки, а де – точки торкання.

Алгоритм складання рівняння щодо графіку функції y = f(x)

1. Позначити буквою a абсцис точки торкання.
2. Знайти f(a).
3. Знайти f"(x) і f"(a).
4. Підставити знайдені числа a, f(a), f "(a) в загальне рівняннядотичної y = f(a) = f "(a)(x - a).

Цей алгоритм може бути складений на основі самостійного виділення учнями операцій та послідовності їх виконання.

Практика показала, що послідовне рішення кожної з ключових завдань за допомогою алгоритму дозволяє формувати вміння написання рівняння щодо графіку функції поетапно, а кроки алгоритму служать опорними пунктами дій. Цей підхідвідповідає теорії поетапного формування розумових процесів, розробленої П.Я. Гальперіним та Н.Ф. Тализіна.

У першому типі завдань було виділено дві ключові задачі:

• дотична проходить через точку, що лежить на кривій (завдання 1);
• дотична проходить через точку, що не лежить на кривій (завдання 2).

Завдання 1. Складіть рівняння щодо графіку функції у точці M(3; - 2).

Рішення. Точка M(3; – 2) є точкою торкання, оскільки

1. a = 3 – абсцис точки дотику.
2. f(3) = - 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f "(3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 - рівняння дотичної.

Завдання 2. Напишіть рівняння всіх, що стосуються графіка функції y = – x 2 – 4x + 2, що проходять через точку M(– 3; 6).

Рішення. Точка M(– 3; 6) не є точкою дотику, оскільки f(– 3) 6 (рис. 2).

2. f(a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f "(a) = - 2a - 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – рівняння дотичної.

Відносна проходить через точку M(– 3; 6), отже, її координати задовольняють рівняння дотичної.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Якщо a = - 4, то рівняння дотичної має вигляд y = 4x + 18.

Якщо a = - 2, то рівняння дотичної має вигляд y = 6.

У другому типі ключовими завданнями будуть такі:

• дотична паралельна до деякої прямої (завдання 3);
• дотична проходить під деяким кутом до цієї прямої (завдання 4).

Завдання 3. Напишіть рівняння всіх, що стосуються графіка функції y = x 3 – 3x 2 + 3, паралельних прямій y = 9x + 1.

1. a – абсцису точки торкання.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.

Але, з іншого боку, f "(a) = 9 (умова паралельності). Отже, треба розв'язати рівняння 3a 2 – 6a = 9. Його коріння a = – 1, a = 3 (рис. 3).

4. 1) a = - 1;
2) f(-1) = - 1;
3) f "(-1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – рівняння дотичної;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 – рівняння дотичної.

Завдання 4. Напишіть рівняння щодо функції y = 0,5x 2 – 3x + 1, що проходить під кутом 45° до прямої y = 0 (рис. 4).

Рішення. З умови f "(a) = tg 45 ° знайдемо a: a - 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – абсцис точки дотику.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) = 4 - 3 = 1.
4. y = - 3 + 1 (x - 4).

y = x – 7 – рівняння дотичної.

Нескладно показати, що розв'язання будь-якого іншого завдання зводиться до вирішення однієї або кількох ключових задач. Розглянемо як приклад такі дві задачі.

1. Напишіть рівняння дотичних до параболи y = 2x 2 – 5x – 2, якщо дотичні перетинаються під прямим кутом і одна з них стосується параболи в точці з абсцисою 3 (рис. 5).

Рішення. Оскільки дана абсцис точки торкання, то перша частина рішення зводиться до ключового завдання 1.

1. a = 3 – абсцис точки дотику однієї зі сторін прямого кута.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – рівняння першої дотичної.

Нехай a – кут нахилу першої дотичної. Оскільки дотичні перпендикулярні, то – кут нахилу другої дотичної. З рівняння y = 7x – 20 першої дотичної маємо tg a = 7. Знайдемо

Це означає, що кутовий коефіцієнт другої дотичної дорівнює .

Подальше рішення зводиться до ключового завдання 3.

Нехай B(c; f(c)) є точка торкання другої прямої, тоді

1. – абсцису другої точки торкання.
2.
3.
4.
- Рівняння другої дотичної.

Примітка. Кутовий коефіцієнт дотичної може бути знайдений простіше, якщо учням відоме співвідношення коефіцієнтів перпендикулярних до прямих k 1 k 2 = – 1.

2. Напишіть рівняння всіх загальних, що стосуються графіків функцій

Рішення. Завдання зводиться до пошуку абсцис точок торкання загальних дотичних, тобто до вирішення ключового завдання 1 загальному вигляді, Складання системи рівнянь і подальшого її вирішення (рис. 6).

1. Нехай a – абсцис точки дотику, що лежить на графіку функції y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f"(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Нехай c – абсцису точки торкання, що лежить на графіку функції
2.
3. f"(c) = c.
4.

Оскільки дотичні загальні, то

Отже, y = x + 1 та y = - 3x - 3 - загальні дотичні.

Основна мета розглянутих завдань – підготувати учнів до самостійного розпізнавання типу ключового завдання при вирішенні складних завдань, що вимагають певних дослідницьких умінь (уміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати, висувати гіпотезу тощо). До таких завдань можна віднести будь-яку задачу, в яку ключове завдання входить як складова. Розглянемо як приклад завдання (зворотне завдання 1) на знаходження функції сімейства її дотичних.

3. При яких b і c прямі y = x та y = – 2x є дотичні до графіка функції y = x 2 + bx + c?

Нехай t – абсцису точки дотику прямої y = x з параболою y = x 2 + bx + c; p – абсцис точки торкання прямої y = – 2x з параболою y = x 2 + bx + c. Тоді рівняння дотичної y = x набуде вигляду y = (2t + b)x + c – t 2 , а рівняння дотичної y = – 2x набуде вигляду y = (2p + b)x + c – p 2 .

Складемо і розв'яжемо систему рівнянь

Відповідь:

Ця математична програма знаходить рівняння щодо графіку функції \(f(x) \) в заданій користувачем точці \(a \).

Програма не лише виводить рівняння дотичної, а й відображає процес розв'язання задачі.

Цей калькулятор онлайн може бути корисним учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольним роботамта іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завданняз математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братівабо сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Якщо вам потрібно знайти похідну функції, то для цього ми маємо завдання Знайти похідну.

Якщо ви не знайомі з правилами введення функцій, рекомендуємо ознайомитися з ними.

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Кутовий коефіцієнт прямий

Нагадаємо, що графіком лінійної функції (y=kx+b) є пряма. Число \ (k = tg \ alpha \) називають кутовим коефіцієнтом прямої, а кут \(\alpha \) - кутом між цією прямою та віссю Ox

Якщо \(k>0\), то \(0 Якщо \(kРівняння щодо графіки функції)

Якщо точка М(а; f(a)) належить графіку функції у = f(x) і якщо в цій точці до графіка функції можна провести дотичну, не перпендикулярну до осі абсцис, то з геометричного сенсупохідною слід, що кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює f"(a). Далі ми виробимо алгоритм складання рівняння дотичної до графіка будь-якої функції.

Нехай дані функція у = f(x) і точка М(а; f(a)) на графіку цієї функції; нехай відомо, що існує f"(a). Складемо рівняння дотичної до графіка заданої функції в заданій точці. Це рівняння, як рівняння будь-якої прямої, не паралельної осі ординат, має вигляд y = kx + b, тому завдання полягає у знаходженні значень коефіцієнтів k та b.

З кутовим коефіцієнтом k все зрозуміло: відомо, що k = f"(a). Для обчислення значення b скористаємося тим, що пряма пряма проходить через точку М(а; f(a)). Це означає, що якщо підставити координати точки М в рівняння прямий, отримаємо правильну рівність: \(f(a)=ka+b \), тобто \(b = f(a) - ka \).

Залишилося підставити знайдені значення коефіцієнтів k і b рівняння прямої:

Нами отримано рівняння дотичної до графіка функції\(y = f(x) \) у точці \(x=a \).

Алгоритм знаходження рівняння щодо графіка функції \(y=f(x) \)
1. Позначити абсцис точки торкання буквою \(a \)
2. Обчислити \(f(a) \)
3. Знайти \(f"(x) \) та обчислити \(f"(a) \)
4. Підставити знайдені числа \(a, f(a), f"(a) \) у формулу \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)