приклад 1.Дана функція f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Напишемо рівняння щодо графіку функції f(x) у точці графіка з абсцисою x 0 = 1.

Рішення.Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Тоді f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Рівняння дотичної має вигляд:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Відповідь. y = 10x – 8.

приклад 2.Дана функція f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Напишемо рівняння щодо графіку функції f(x), паралельної прямої y = 2x – 11.

Рішення.Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5) '= 3 x 2 – 6x + 2.

Так як до графіка функції f(x) у точці з абсцисою x 0 паралельна прямий y = 2x- 11, то її кутовий коефіцієнт дорівнює 2, тобто ( x 0) = 2. Знайдемо цю абсцису з умови, що 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ця рівність справедлива лише за x 0 = 0 і при x 0 = 2. Так як у тому та в іншому випадку f(x 0) = 5, то пряма y = 2x + bстосується графіка функції або у точці (0; 5), або у точці (2; 5).

У першому випадку вірна числова рівність 5 = ​​2×0 + b, звідки b= 5, а у другому випадку вірна числова рівність 5 = ​​2×2 + b, звідки b = 1.

Отже, існує дві дотичні y = 2x+ 5 та y = 2x+ 1 до графіку функції f(x), паралельні прямий y = 2x – 11.

Відповідь. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

приклад 3.Дана функція f(x) = x 2 – 6x+ 7. Напишемо рівняння щодо графіку функції f(x), що проходить через точку A (2; –5).

Рішення.Так як f(2) -5, то точка Aне належить графіку функції f(x). Нехай x 0 - абсцис точки торкання.

Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (x 2 – 6x+ 1) '= 2 x – 6.

Тоді f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Рівняння дотичної має вигляд:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Бо точка Aналежить дотичній, то справедливо числова рівність

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

звідки x 0 = 0 або x 0 = 4. Це означає, що через точку Aможна провести дві дотичні до графіку функції f(x).

Якщо x 0 = 0, то рівняння дотичної має вигляд y = –6x+ 7. Якщо x 0 = 4, то рівняння дотичної має вигляд y = 2x – 9.

Відповідь. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

приклад 4.Дано функції f(x) = x 2 – 2x+ 2 та g(x) = –x 2 – 3. Напишемо рівняння загальної щодо графіків цих функції.

Рішення.Нехай x 1 - абсциса точки торкання прямої з графіком функції f(x), а x 2 - абсцис точки торкання тієї ж прямої з графіком функції g(x).

Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (x 2 – 2x+ 2) '= 2 x – 2.

Тоді f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. Рівняння дотичної має вигляд:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Знайдемо похідну функції g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

Стосовна- Це пряма, що проходить через точку кривої і збігається з нею в цій точці з точністю до першого порядку (рис.1).

Інше визначення: це граничне положення січеї при Δ x→0.

Пояснення: Візьмемо пряму, що перетинає криву у двох точках: Аі b(Див. малюнок). Це січна. Повертатимемо її за годинниковою стрілкою доти, доки вона не здобуде тільки одну загальну точку з кривою. Так ми отримаємо дотичну.

Суворе визначення дотичної:

Стосовна графіку функції f, що диференціюється в точці xо, - Це пряма, що проходить через точку ( xо; f(xо)) і має кутовий коефіцієнт f′( xо).

Кутовий коефіцієнт має прямий вигляд y =kx +b. Коефіцієнт kі є кутовим коефіцієнтомцієї прямої.

Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу гострого кута, що утворюється цією прямою з віссю абсцис:

Тут кут α – це кут між прямою y =kx +bі позитивним (тобто проти годинникової стрілки) напрямом осі абсцис. Він називається кутом нахилу прямий(Рис.1 і 2).

Якщо кут нахилу прямий y =kx +bгострий, то кутовий коефіцієнт є позитивним числом. Графік зростає (рис.1).

Якщо кут нахилу прямий y =kx +bтупий, то кутовий коефіцієнт є негативним числом. Графік зменшується (рис.2).

Якщо пряма паралельна осі абсцис, то кут нахилу прямий дорівнює нулю. У цьому випадку кутовий коефіцієнт прямий теж дорівнює нулю (оскільки тангенс нуля є нуль). Рівняння прямої мати вигляд y = b (рис.3).

Якщо кут нахилу прямий дорівнює 90º (π/2), тобто вона перпендикулярна до осі абсцис, то пряма задається рівністю x =c, де c- Деяке дійсне число(Рис.4).

Рівняння щодо графіку функціїy = f(x) у точці xо:

Приклад: Знайдемо рівняннядотичної до графіку функції f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 у точці з абсцисою 2.

Рішення .

Дотримуємося алгоритму.

1) Крапка торкання xодорівнює 2. Обчислимо f(xо):

f(xо) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Знаходимо f′( x). Для цього застосовуємо формули диференціювання, викладені у попередньому розділі. Згідно з цими формулами, х 2 = 2х, а х 3 = 3х 2 . Значить:

f′( x) = 3х 2 – 2 ∙ 2х = 3х 2 – 4х.

Тепер, використовуючи отримане значення f′( x), обчислимо f′( xо):

f′( xо) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Отже, у нас є всі необхідні дані: xо = 2, f(xо) = 1, f ′( xо) = 4. Підставляємо ці числа в рівняння дотичної та знаходимо остаточне рішення:

у = f(xо) + f′( xо) (x – x про) = 1 + 4 ∙ (х - 2) = 1 + 4х - 8 = -7 + 4х = 4х - 7.

Відповідь: у = 4х - 7.

Ця математична програма знаходить рівняння щодо графіку функції \(f(x) \) в заданій користувачем точці \(a \).

Програма не лише виводить рівняння дотичної, а й відображає процес розв'язання задачі.

Цей калькулятор онлайн може бути корисним учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольним роботамта іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завданняз математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братівабо сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Якщо вам потрібно знайти похідну функції, то для цього ми маємо завдання Знайти похідну.

Якщо ви не знайомі з правилами введення функцій, рекомендуємо ознайомитися з ними.

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Кутовий коефіцієнт прямий

Нагадаємо, що графіком лінійної функції (y=kx+b) є пряма. Число \ (k = tg \ alpha \) називають кутовим коефіцієнтом прямої, а кут \(\alpha \) - кутом між цією прямою та віссю Ox

Якщо \(k>0\), то \(0 Якщо \(kРівняння щодо графіки функції)

Якщо точка М(а; f(a)) належить графіку функції у = f(x) і якщо в цій точці до графіка функції можна провести дотичну, не перпендикулярну до осі абсцис, то з геометричного сенсу похідної випливає, що кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює f (a). Далі ми виробимо алгоритм складання рівняння щодо графіку будь-якої функції.

Нехай дані функція у = f(x) і точка М(а; f(a)) на графіку цієї функції; нехай відомо, що існує f"(a). Складемо рівняння дотичної до графіка заданої функціїв заданій точці. Це рівняння, як рівняння будь-якої прямої, не паралельної осі ординат, має вигляд y = kx + b, тому завдання полягає у знаходженні значень коефіцієнтів k та b.

З кутовим коефіцієнтом k все зрозуміло: відомо, що k = f"(a). Для обчислення значення b скористаємося тим, що пряма пряма проходить через точку М(а; f(a)). Це означає, що якщо підставити координати точки М в рівняння прямий, отримаємо правильну рівність: \(f(a)=ka+b \), тобто \(b = f(a) - ka \).

Залишилося підставити знайдені значення коефіцієнтів k і b рівняння прямої:

Нами отримано рівняння дотичної до графіка функції\(y = f(x) \) у точці \(x=a \).

Алгоритм знаходження рівняння щодо графіка функції \(y=f(x) \)
1. Позначити абсцис точки торкання буквою \(a \)
2. Обчислити \(f(a) \)
3. Знайти \(f"(x) \) та обчислити \(f"(a) \)
4. Підставити знайдені числа \(a, f(a), f"(a) \) у формулу \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)

Рівняння щодо графіку функції

П. Романов, Т. Романова,
м. Магнітогорськ,
Челябінська обл.

Рівняння щодо графіку функції

Статтю опубліковано за підтримки Готельного комплексу «ІТАКА+». Зупиняючись у місті суднобудівників в Сєвєродвінську, ви не зіткнетесь з проблемою пошуку тимчасового житла. , на сайті готельного комплексу «ІТАКА+» http://itakaplus.ru, ви зможете легко та швидко зняти квартиру в місті, на будь-який термін, з добовою оплатою.

на сучасному етапірозвитку освіти як одне з основних його завдань виступає формування творчо мислячої особистості. Здатність до творчості в учнів може бути розвинена лише за умови систематичного залучення їх до основ дослідницької діяльності. Фундаментом для застосування учнями своїх творчих сил, здібностей та обдарувань є сформовані повноцінні знання та вміння. У зв'язку з цим проблема формування системи базових знань та умінь з кожної теми шкільного курсу математики має важливе значення. При цьому повноцінні вміння повинні бути дидактичною метою не окремих завдань, а ретельно продуманої системи. У найширшому розумінні під системою розуміється сукупність взаємозалежних елементів, що володіє цілісністю і стійкою структурою.

Розглянемо методику навчання учнів складання рівняння щодо графіку функції. По суті, всі завдання на відшукання рівняння дотичної зводяться до необхідності відбору з множини (пучка, сімейства) прямих тих з них, які задовольняють певну вимогу - є дотичним до графіка деякої функції. При цьому безліч прямих, з якого здійснюється відбір, може бути задано двома способами:

а) точкою, що лежить на площині xOy (центральний пучок прямих);
б) кутовим коефіцієнтом (паралельний пучок прямих).

У зв'язку з цим щодо теми «Доторна до графіку функції» з метою вичленування елементів системи нами було виділено два типи завдань:

1) завдання на дотичну, задану точкою, якою вона проходить;
2) завдання на дотичну, задану її кутовим коефіцієнтом.

Навчання вирішення завдань на дотичну здійснювалося за допомогою алгоритму, запропонованого А.Г. Мордковичем. Його принципова відмінністьвід вже відомих полягає в тому, що абсциса точки дотику позначається буквою a (замість x0), у зв'язку з чим рівняння дотичної набуває вигляду

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(порівняйте з y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Цей методичний прийом, на наш погляд, дозволяє учням швидше та легше усвідомити, де в загальному рівнянні дотичної записані координати поточної точки, а де – точки торкання.

Алгоритм складання рівняння щодо графіку функції y = f(x)

1. Позначити буквою a абсцис точки торкання.
2. Знайти f(a).
3. Знайти f"(x) і f"(a).
4. Підставити знайдені числа a, f(a), f "(a) в загальне рівняннядотичної y = f(a) = f "(a)(x - a).

Цей алгоритм може бути складений на основі самостійного виділення учнями операцій та послідовності їх виконання.

Практика показала, що послідовне рішення кожної з ключових завдань за допомогою алгоритму дозволяє формувати вміння написання рівняння щодо графіку функції поетапно, а кроки алгоритму служать опорними пунктами дій. Цей підхід відповідає теорії поетапного формування розумових дій, розробленої П.Я. Гальперіним та Н.Ф. Тализіна.

У першому типі завдань було виділено дві ключові задачі:

• дотична проходить через точку, що лежить на кривій (завдання 1);
• дотична проходить через точку, що не лежить на кривій (завдання 2).

Завдання 1. Складіть рівняння щодо графіку функції у точці M(3; - 2).

Рішення. Точка M(3; – 2) є точкою торкання, оскільки

1. a = 3 – абсцис точки дотику.
2. f(3) = - 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f "(3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 - рівняння дотичної.

Завдання 2. Напишіть рівняння всіх, що стосуються графіка функції y = – x 2 – 4x + 2, що проходять через точку M(– 3; 6).

Рішення. Точка M(– 3; 6) не є точкою торкання, оскільки f(– 3) 6 (рис. 2).

2. f(a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f "(a) = - 2a - 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – рівняння дотичної.

Відносна проходить через точку M(– 3; 6), отже, її координати задовольняють рівняння дотичної.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Якщо a = - 4, то рівняння дотичної має вигляд y = 4x + 18.

Якщо a = - 2, то рівняння дотичної має вигляд y = 6.

У другому типі ключовими завданнями будуть такі:

• дотична паралельна до деякої прямої (завдання 3);
• дотична проходить під деяким кутом до цієї прямої (завдання 4).

Завдання 3. Напишіть рівняння всіх, що стосуються графіка функції y = x 3 – 3x 2 + 3, паралельних прямій y = 9x + 1.

Рішення.

1. a – абсцису точки торкання.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.

Але, з іншого боку, f "(a) = 9 (умова паралельності). Отже, треба розв'язати рівняння 3a 2 – 6a = 9. Його коріння a = – 1, a = 3 (рис. 3).

4. 1) a = - 1;
2) f(-1) = - 1;
3) f "(-1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – рівняння дотичної;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 – рівняння дотичної.

Завдання 4. Напишіть рівняння щодо функції y = 0,5x 2 – 3x + 1, що проходить під кутом 45° до прямої y = 0 (рис. 4).

Рішення. З умови f "(a) = tg 45 ° знайдемо a: a - 3 = 1^ a = 4.

1. a = 4 – абсцис точки дотику.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) = 4 - 3 = 1.
4. y = - 3 + 1 (x - 4).

y = x – 7 – рівняння дотичної.

Нескладно показати, що розв'язання будь-якого іншого завдання зводиться до вирішення однієї або кількох ключових задач. Розглянемо як приклад такі дві задачі.

1. Напишіть рівняння дотичних до параболи y = 2x 2 – 5x – 2, якщо дотичні перетинаються під прямим кутом і одна з них стосується параболи в точці з абсцисою 3 (рис. 5).

Рішення. Оскільки дана абсцис точки торкання, то перша частина рішення зводиться до ключового завдання 1.

1. a = 3 – абсцис точки дотику однієї зі сторін прямого кута.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – рівняння першої дотичної.

Нехай a - Кут нахилу першої дотичної. Оскільки дотичні перпендикулярні, то – кут нахилу другої дотичної. З рівняння y = 7x – 20 першої дотичної маємо tg a = 7. Знайдемо

Це означає, що кутовий коефіцієнт другої дотичної дорівнює .

Подальше рішення зводиться до ключового завдання 3.

Нехай B(c; f(c)) є точка торкання другої прямої, тоді

1. – абсцису другої точки торкання.
2.
3.
4.
- Рівняння другої дотичної.

Примітка. Кутовий коефіцієнт дотичної може бути знайдений простіше, якщо учням відоме співвідношення коефіцієнтів перпендикулярних до прямих k 1 k 2 = – 1.

2. Напишіть рівняння всіх загальних, що стосуються графіків функцій

Рішення. Завдання зводиться до пошуку абсцис точок торкання загальних дотичних, тобто до вирішення ключового завдання 1 у загальному вигляді, складання системи рівнянь та подальшого її вирішення (рис. 6).

1. Нехай a – абсцис точки дотику, що лежить на графіку функції y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f"(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Нехай c – абсцису точки торкання, що лежить на графіку функції
2.
3. f"(c) = c.
4.

Оскільки дотичні загальні, то

Отже, y = x + 1 та y = - 3x - 3 - загальні дотичні.

Основна мета розглянутих завдань – підготувати учнів до самостійного розпізнавання типу ключового завдання під час вирішення складніших завдань, потребують певних дослідницьких умінь (уміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати, висувати гіпотезу тощо. буд.). До таких завдань можна віднести будь-яку задачу, в яку ключове завдання входить як складова. Розглянемо як приклад завдання (зворотне завдання 1) на знаходження функції сімейства її дотичних.

3. При яких b і c прямі y = x та y = – 2x є дотичні до графіка функції y = x 2 + bx + c?

Рішення.

Нехай t – абсцису точки дотику прямої y = x з параболою y = x 2 + bx + c; p – абсцис точки торкання прямої y = – 2x з параболою y = x 2 + bx + c. Тоді рівняння дотичної y = x набуде вигляду y = (2t + b)x + c – t 2 , а рівняння дотичної y = – 2x набуде вигляду y = (2p + b)x + c – p 2 .

Складемо і розв'яжемо систему рівнянь

Відповідь:

Завдання для самостійного вирішення

1. Напишіть рівняння дотичних, проведених до графіка функції y = 2x 2 – 4x + 3 у точках перетину графіка із прямою y = x + 3.

Відповідь: y = - 4x + 3, y = 6x - 9,5.

2. За яких значень a дотична, проведена до графіка функції y = x 2 – ax у точці графіка з абсцисою x 0 = 1, проходить через точку M(2; 3)?

Відповідь: a = 0,5.

3. За яких значень p пряма y = px – 5 стосується кривої y = 3x 2 – 4x – 2?

Відповідь: p 1 = - 10, p 2 = 2.

4. Знайдіть усі загальні точки графіка функції y = 3x – x 3 та дотичної, проведеної до цього графіка через точку P(0; 16).

Відповідь: A(2; - 2), B (- 4; 52).

5. Знайдіть найкоротшу відстань між параболою y = x 2 + 6x + 10 та прямою

Відповідь:

6. На кривій y = x 2 – x + 1 знайдіть точку, в якій дотична до графіка паралельна до прямої y – 3x + 1 = 0.

Відповідь: M(2; 3).

7. Напишіть рівняння щодо графіка функції y = x 2 + 2x – | 4x |, яка стосується його двох точках. Зробіть креслення.

Відповідь: y = 2x - 4.

8. Доведіть, що пряма y = 2x – 1 не перетинає криву y = x 4 + 3x 2 + 2x. Знайдіть відстань між найближчими точками.

Відповідь:

9. На параболі y = x 2 взято дві точки з абсцисами x 1 = 1, x 2 = 3. Через ці точки проведена січна. У якій точці параболи дотична до неї буде паралельна проведеній січній? Напишіть рівняння січної та дотичної.

Відповідь: y = 4x – 3 – рівняння січної; y = 4x – 4 – рівняння дотичної.

10. Знайдіть кут q між дотичними до графіка функції y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, проведеними у точках з абсцисами 0 та 1.

Відповідь: q = 45 °.

11. У яких точках дотична до графіка функції утворює з віссю Ox кут 135°?

Відповідь: A (0; - 1), B (4; 3).

12. У точці A(1; 8) до кривої проведено дотичну. Знайдіть довжину відрізка дотичної, укладеної між осями координат.

Відповідь:

13. Напишіть рівняння всіх загальних дотичних до графіків функцій y = x 2 – x + 1 та y = 2x 2 – x + 0,5.

Відповідь: y = - 3x та y = x.

14. Знайдіть відстань між дотичними до графіка функції паралельними осі абсцис.

Відповідь:

15. Визначте, під якими кутами парабола y = x 2 + 2x – 8 перетинає вісь абсцис.

Відповідь: q 1 = arctg 6, q 2 = arctg (-6).

16. На графіку функції знайдіть усі точки, що стосуються кожної з яких до цього графіка перетинає позитивні півосі координат, відтинаючи від них рівні відрізки.

Відповідь: A(-3; 11).

17. Пряма y = 2x + 7 і парабола y = x 2 – 1 перетинаються в точках M і N. Знайдіть точку K перетину прямих, що стосуються параболи в точках M і N.

Відповідь: K(1; - 9).

18. За яких значень b пряма y = 9x + b є дотичною до графіка функції y = x 3 – 3x + 15?

Відповідь: - 1; 31.

19. За яких значень k пряма y = kx – 10 має лише одну загальну точку з графіком функції y = 2x 2 + 3x – 2? Для значень k визначте координати точки.

Відповідь: k 1 = - 5, A (- 2; 0); k 2 = 11, B (2; 12).

20. За яких значень b дотична, проведена до графіка функції y = bx 3 – 2x 2 – 4 у точці з абсцисою x 0 = 2, проходить через точку M(1; 8)?

Відповідь: b = - 3.

21. Парабола з вершиною на осі Ox стосується прямої, що проходить через точки A(1; 2) і B(2; 4), у точці B. Знайдіть рівняння параболи.

Відповідь:

22. За якого значення коефіцієнта k парабола y = x 2 + kx + 1 стосується осі Ox?

Відповідь: k = д 2.

23. Знайдіть кути між прямою y = x + 2 та кривою y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Знайдіть відстань між дотичними до графіка функції, що утворюють з позитивним напрямком осі Ox кут 45°.

Відповідь:

30. Знайдіть геометричне місце вершин усіх параболу виду y = x 2 + ax + b, що стосуються прямої y = 4x – 1.

Відповідь: пряма y=4x+3.

Література

1. Звавіч Л.І., Капелюшник Л.Я., Чинкіна М.В. Алгебра та початку аналізу: 3600 завдань для школярів та вступників до вузів. - М., Дрофа, 1999.
2. Мордкович А. Семінар четвертий молодих вчителів. Тема «Додатки похідної». - М., "Математика", № 21/94.
3. Формування знань та умінь на основі теорії поетапного засвоєння розумових дій. / За ред. П.Я. Гальперіна, Н.Ф. Тализіна. - М., МДУ, 1968.

Інструкція

Визначаємо кутовий коефіцієнт дотичної до кривої у точці М.
Крива, що є графіком функції y = f(x), безперервна в деякій околиці точки М (включаючи саму точку М).

Якщо значення f(x0) не існує, то або дотичної немає, або вона проходить вертикально. З огляду на це наявність похідної функції в точці х0 обумовлена ​​існуванням невертикальної дотичної, що стикається з графіком функції в точці (х0, f(х0)). У цьому випадку кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює f"(х0). Таким чином, стає зрозумілим геометричний змістпохідний - розрахунок кутового коефіцієнтадотичної.

Знайдіть значення абсцис точки дотику, яку позначаються буквою «а». Якщо вона збігається із заданою точкою, то «а» буде її х-координаті. Визначте значення функції f(a), підставивши в рівняння функціївеличину абсциси.

Визначте першу похідну рівняння функції f'(x) і підставте значення точки «а».

Візьміть загальне рівняння дотичної, яке визначається як y = f(a) = f(a)(x – a), і підставте в нього знайдені значення a, f(a), f "(a). У результаті буде знайдено рішення графіка та дотичної.

Розв'яжіть завдання іншим способом, якщо задана точка дотику не збіглася з точкою дотику. У цьому випадку необхідно в рівняння дотичної замість цифр підставити "а". Після цього замість літер «х» та «у» підставте значення координат заданої точки. Розв'яжіть рівняння, в якому «а» є невідомою. Поставте отримане значення рівняння дотичної.

Складіть рівняння дотичної з літерою «а», якщо в задачі задано рівняння функціїі рівняння паралельної лінії щодо шуканої дотичної. Після цього необхідно похідну функції, щоб координату біля точки «а». Підставте відповідне значення до рівняння дотичної і вирішіть функцію.