اولین علامت خطوط موازی. خطوط موازی، علائم و شرایط خطوط موازی

این فصل به بررسی خطوط موازی اختصاص دارد. این نامی است که به دو خط مستقیم در یک صفحه داده می شود که همدیگر را قطع نمی کنند. ما بخش هایی از خطوط موازی را در محیط می بینیم - اینها دو لبه یک میز مستطیل شکل، دو لبه جلد کتاب، دو میله اتوبوس و غیره هستند. خطوط موازی نقش بسیار مهمی در هندسه دارند. در این فصل، شما در مورد اینکه بدیهیات هندسه چیست و بدیهیات خطوط موازی از چه چیزهایی تشکیل شده است - یکی از معروف ترین بدیهیات هندسه - خواهید آموخت.

در بخش 1 اشاره کردیم که دو خط یا یک نقطه مشترک دارند، یعنی همدیگر را قطع می کنند، یا یک نقطه مشترک ندارند، یعنی همدیگر را قطع نمی کنند.

تعریف

موازی خطوط a و b به صورت زیر نشان داده می شود: a || ب

شکل 98 خطوط a و b را عمود بر خط c نشان می دهد. در بخش 12 ما مشخص کردیم که چنین خطوط a و b متقاطع نیستند، یعنی موازی هستند.

برنج. 98

همراه با خطوط موازی، بخش های موازی اغلب در نظر گرفته می شوند. دو بخش نامیده می شوند موازیاگر روی خطوط موازی قرار بگیرند. در شکل 99، و قطعات AB و CD موازی هستند (AB || CD)، و قطعات MN و CD موازی نیستند. به طور مشابه، موازی یک قطعه و یک خط مستقیم (شکل 99، ب)، یک پرتو و یک خط مستقیم، یک قطعه و یک پرتو، دو پرتو (شکل 99، ج) تعیین می شود.

برنج. 99نشانه های موازی دو خط

مستقیم با نامیده می شود جدا کردنبا توجه به خطوط a و b، اگر آنها را در دو نقطه قطع کند (شکل 100). در محل تلاقی خطوط a و b، مقطع c هشت زاویه را تشکیل می دهد که با اعداد در شکل 100 نشان داده شده است. برخی از جفت‌های این زاویه‌ها نام‌های خاصی دارند:

گوشه های متقاطع: 3 و 5، 4 و 6;
گوشه های یک طرفه: 4 و 5، 3 و 6;
زوایای مربوطه: 1 و 5، 4 و 8، 2 و 6، 3 و 7.

برنج. 100

سه علامت موازی بودن دو خط مرتبط با این جفت زاویه را در نظر بگیرید.

قضیه

اثبات

فرض کنید که در محل تقاطع خطوط a و b توسط یک قطع کننده AB، زوایای قرار گرفته برابر هستند: ∠1 = ∠2 (شکل 101، a).

اجازه دهید ثابت کنیم که یک || ب اگر زوایای 1 و 2 راست باشند (شکل 101، b)، آنگاه خطوط a و b عمود بر خط AB و بنابراین موازی هستند.

برنج. 101

زمانی که زاویه های 1 و 2 درست نیستند را در نظر بگیرید.

از وسط O قطعه AB یک OH عمود بر خط مستقیم a رسم کنید (شکل 101، ج). روی خط b از نقطه B، مطابق شکل 101، ج، قطعه VH 1 برابر با قطعه AH را کنار می گذاریم و قطعه OH 1 را می کشیم. مثلث ONA و OH 1 V در دو ضلع و زاویه بین آنها برابر هستند (AO = BO، AN = VN 1، ∠1 = ∠2)، بنابراین ∠3 = ∠4 و ∠5 = ∠6. از تساوی ∠3 = ∠4 نتیجه می شود که نقطه H 1 در ادامه پرتو OH قرار دارد، یعنی نقاط H، O و H 1 روی یک خط مستقیم قرار دارند و از تساوی ∠5 = ∠6 آن را نشان می دهد. به این ترتیب زاویه 6 یک خط مستقیم است (زیرا زاویه 5 یک زاویه قائمه است). بنابراین خطوط a و b بر خط HH 1 عمود هستند پس موازی هستند. قضیه ثابت شده است.

قضیه

اثبات

اجازه دهید در محل تلاقی خطوط a و b سکانس با زوایای مربوطه برابر باشد، برای مثال ∠1 = ∠2 (شکل 102).

برنج. 102

از آنجایی که زوایای 2 و 3 عمودی هستند، پس ∠2 = ∠3. این دو برابری نشان می دهد که ∠1 = ∠3. اما زوایای 1 و 3 متقاطع هستند، بنابراین خطوط a و b موازی هستند. قضیه ثابت شده است.

قضیه

اثبات

فرض کنید، در محل تقاطع خطوط a و b، سکونت با مجموع زوایای یک طرفه 180 درجه باشد، برای مثال ∠1 + ∠4 = 180 درجه (شکل 102 را ببینید).

از آنجایی که زوایای 3 و 4 مجاورند، پس ∠3 + ∠4 = 180 درجه. از این دو تساوی نتیجه می شود که زوایای متقاطع 1 و 3 مساوی هستند، بنابراین خطوط a و b موازی هستند. قضیه ثابت شده است.

روش های عملی برای ترسیم خطوط موازی

برنج. 103شکل 104 روشی را برای ساخت خطوط موازی با استفاده از T-square نشان می دهد. این روش در تمرین نقاشی استفاده می شود.

برنج. 104روش مشابهی در هنگام انجام کار نجاری استفاده می شود، جایی که از یک اریب برای علامت گذاری خطوط موازی استفاده می شود (دو تخته چوبی که با یک لولا بسته می شوند، شکل 105).

برنج. 105

وظایف

186. در شکل 106 خطوط a و b با خط c قطع شده اند. ثابت کنید که یک || ب اگر:

الف) ∠1 = 37 درجه، ∠7 = 143 درجه؛
ب) ∠1 = ∠6;
ج) ∠l = 45 درجه و زاویه 7 سه برابر بزرگتر از زاویه 3 است.

برنج. 106

187. مطابق شکل 107 ثابت کنید که AB || D.E.

برنج. 107

188. قطعات AB و CD در وسط مشترک خود قطع می شوند. ثابت کنید که خطوط AC و BD موازی هستند.

189. با استفاده از داده های شکل 108 ثابت کنید که BC || آگهی.

برنج. 108

190. در شکل 109 AB = قبل از میلاد، AD = DE، ∠C = 70 درجه، ∠EAC = 35 درجه. ثابت کنید که DE || مانند.

برنج. 109

191. قطعه VK نیمساز مثلث ABC است. یک خط مستقیم از نقطه K کشیده می شود و ضلع BC را در نقطه M قطع می کند تا BM = MK. ثابت کنید که خطوط KM و AB موازی هستند.

192. در مثلث ABC، زاویه A 40 درجه و زاویه ALL مجاور زاویه ACB 80 درجه است. ثابت کنید که نیمساز زاویه ALL با خط AB موازی است.

193. در مثلث ABC ∠A = 40°، ∠B = 70°. خط BD از راس B رسم می شود به طوری که پرتو BC نیمساز زاویه ABD است. ثابت کنید که خطوط AC و BD موازی هستند.

194. یک مثلث بکشید. از هر رأس این مثلث، با استفاده از یک مربع رسم و یک خط کش، یک خط مستقیم به موازات ضلع مقابل بکشید.

195. مثلث ABC را رسم کنید و نقطه D را در ضلع AC علامت بزنید. از نقطه D با استفاده از یک مربع رسم و یک خط کش، خطوط مستقیم موازی با دو ضلع دیگر مثلث بکشید.

اهداف درس: در این درس با مفهوم "خطوط موازی" آشنا می شوید، یاد می گیرید که چگونه می توانید از موازی بودن خطوط اطمینان حاصل کنید و همچنین زوایایی که توسط خطوط موازی و یک سکنت تشکیل می شوند دارای چه ویژگی هایی هستند.

خطوط موازی

می دانید که مفهوم «خط مستقیم» یکی از مفاهیم به اصطلاح تعریف نشده هندسه است.

شما قبلاً می دانید که دو خط می توانند منطبق شوند، یعنی همه نقاط مشترک داشته باشند، آنها می توانند قطع کنند، یعنی یک نقطه مشترک داشته باشند. خطوط در زوایای مختلف قطع می شوند، در حالی که زاویه بین خطوط کوچکترین زاویه ای است که آنها تشکیل می دهند. یک مورد خاص از تقاطع را می توان مورد عمود بودن در نظر گرفت، زمانی که زاویه تشکیل شده توسط خطوط مستقیم 90 0 باشد.

اما ممکن است دو خط نقاط مشترک نداشته باشند، یعنی با هم تلاقی نداشته باشند. چنین خطوطی نامیده می شود موازی.

با یک منبع آموزشی الکترونیکی کار کنید « ».

برای آشنایی با مفهوم "خطوط موازی" در مواد درس تصویری کار کنید

بنابراین، اکنون تعریف خطوط موازی را می دانید.

از مواد قطعه درس ویدیویی، در مورد انواع مختلف زوایایی که هنگام تقاطع دو خط مستقیم با یک سوم ایجاد می شوند، یاد گرفتید.

جفت زاویه 1 و 4; 3 و 2 نامیده می شوند گوشه های یک طرفه داخلی(آنها بین خطوط قرار دارند آو ب).

جفت زاویه 5 و 8; 7 و 6 نامیده می شوند گوشه های یک طرفه خارجی(آنها خارج از خطوط دراز می کشند آو ب).

جفت زاویه 1 و 8; 3 و 6; 5 و 4; 7 و 2 را زوایای یک طرفه در سمت راست می نامند آو بو سکنت ج. همانطور که می بینید، از جفت زاویه متناظر، یکی بین سمت راست قرار دارد آو بو دیگری خارج از آنها.

علائم خطوط موازی

بدیهی است که با استفاده از تعریف، نمی توان نتیجه گرفت که دو خط موازی هستند. بنابراین، برای اینکه به این نتیجه برسیم که دو خط موازی هستند، استفاده کنید نشانه ها.

با آشنایی با مواد قسمت اول درس ویدیویی، می توانید یکی از آنها را فرموله کنید:

قضیه 1. دو خط عمود بر یک سوم همدیگر را قطع نمی کنند، یعنی موازی هستند.

با کار با مواد قسمت دوم درس تصویری با دیگر نشانه های موازی خطوط مستقیم بر اساس برابری جفت های معینی از زاویه ها آشنا می شوید."نشانه های خطوط موازی".

بنابراین، شما باید سه علامت دیگر از خطوط موازی را بدانید.

قضیه 2 (نخستین علامت خطوط موازی). اگر در محل تقاطع دو خط توسط یک عرضی، زوایای خوابیده با هم برابر باشند، خطوط موازی هستند.

یک بار دیگر با کار با یک منبع آموزشی الکترونیکی اولین علامت خطوط موازی را تکرار کنید « ».

بنابراین هنگام اثبات اولین علامت توازی خطوط از علامت تساوی مثلث ها (در دو ضلع و زاویه بین آنها) و همچنین از علامت موازی خطوط به صورت عمود بر یک خط استفاده می شود.

تمرین 1.

فرمول اولین علامت توازی خطوط و اثبات آن را در دفترچه یادداشت خود بنویسید.

قضیه 3 (معیار دوم برای خطوط موازی). اگر در محل تقاطع دو خط یک سکانس، زوایای مربوطه با هم برابر باشند، خطوط موازی هستند.

یک بار دیگر با کار با منبع آموزشی الکترونیک علامت دوم خطوط موازی را تکرار کنید « ».

هنگام اثبات معیار دوم برای خطوط موازی، از ویژگی زوایای عمودی و معیار اول برای خطوط موازی استفاده می شود.

وظیفه 2.

فرمول علامت دوم خطوط موازی و اثبات آن را در دفترچه یادداشت خود بنویسید.

قضیه 4 (معیار سوم برای خطوط موازی). اگر در محل تقاطع دو خط از یک سکانس، مجموع زوایای یک طرفه 180 0 باشد، آنگاه خطوط موازی هستند.

علامت سوم خطوط موازی را یک بار دیگر با کار با یک منبع آموزشی الکترونیکی تکرار کنید « ».

بنابراین هنگام اثبات اولین علامت توازی خطوط از خاصیت زوایای مجاور و اولین علامت توازی خطوط استفاده می شود.

وظیفه 3.

فرمول سومین علامت توازی خطوط و اثبات آن را در دفترچه یادداشت خود بنویسید.

برای تمرین حل ساده ترین مسائل، با مواد منبع آموزشی الکترونیکی کار کنید « ».

از علائم خطوط موازی در حل مسائل استفاده می شود.

اکنون نمونه هایی از حل مسائل را برای نشانه های موازی خطوط، پس از کار با مواد درس ویدیویی در نظر بگیرید.” حل مسائل با موضوع ” علائم خطوط موازی ” .

اکنون با انجام وظایف منبع آموزشی الکترونیکی کنترل، خود را بررسی کنید « ».

هرکسی که بخواهد با حل مسائل پیچیده تر کار کند، می تواند با مواد آموزشی ویدیویی کار کند "مشکلات در علائم خطوط موازی".

ویژگی های خطوط موازی

خطوط موازی دارای مجموعه ای از ویژگی ها هستند.

با کار با مواد آموزش تصویری متوجه خواهید شد که این خواص چیست "خواص خطوط موازی".

بنابراین، یک واقعیت مهم که باید بدانید اصل موازی گرایی است.

اصل توازی. از طریق نقطه ای که روی یک خط معین قرار ندارد، می توان یک خط موازی با یک خط داده شده و علاوه بر این، فقط یک خط رسم کرد.

همانطور که از مطالب درس تصویری آموختید، بر اساس این اصل می توان دو نتیجه را تدوین کرد.

نتیجه 1.اگر خطی یکی از خطوط موازی را قطع کند، خط موازی دیگر را قطع می کند.

نتیجه 2.اگر دو خط با یک سوم موازی باشند، پس آنها با یکدیگر موازی هستند.

وظیفه 4.

فرمول نتیجه های فرمول بندی شده و اثبات آنها را در دفترچه یادداشت خود بنویسید.

خواص زوایایی که توسط خطوط موازی و یک مقطع تشکیل شده اند، قضایای معکوس با علائم مربوطه هستند.

پس از مطالب درس تصویری خاصیت زوایای دروغ گفتن متقاطع را آموختید.

قضیه 5 (قضیه، معکوس معیار اول برای خطوط موازی). وقتی دو خط موازی یک عرضی را قطع می کنند، زوایای قرار گرفته برابر هستند.

وظیفه 5.

با کار با یک منبع آموزشی الکترونیکی اولین ویژگی خطوط موازی را دوباره تکرار کنید « ».

قضیه 6 (قضیه، معکوس معیار دوم برای خطوط موازی). وقتی دو خط موازی همدیگر را قطع می کنند، زوایای مربوطه با هم برابر می شوند.

وظیفه 6.

بیان این قضیه و اثبات آن را در دفترچه یادداشت خود بنویسید.

با کار با یک منبع آموزشی الکترونیکی خاصیت دوم خطوط موازی را دوباره تکرار کنید « ».

قضیه 7 (قضیه، معکوس معیار سوم برای خطوط موازی). وقتی دو خط موازی همدیگر را قطع می کنند، مجموع زوایای یک طرفه 180 0 است.

وظیفه 7.

بیان این قضیه و اثبات آن را در دفترچه یادداشت خود بنویسید.

با کار با منبع آموزشی الکترونیکی خاصیت سوم خطوط موازی را دوباره تکرار کنید « ».

از تمام خصوصیات خطوط موازی نیز در حل مسائل استفاده می شود.

نمونه های معمولی حل مسئله با کار با مواد آموزشی ویدیویی را در نظر بگیرید «خطوط موازی و اشکال در زوایای بین آنها و مقطع».

زوایای مربوطه: 1 و 5، 4 و 8، 2 و 6، 3 و 7;

گوشه های متقاطع داخلی: 3 و 5، 4 و 6;

گوشه های متقاطع خارجی: 1 و 7، 2 و 8;

گوشه های یک طرفه داخلی: 3 و 6، 4 و 5;

گوشه های یک طرفه خارجی: 1 و 8، 2 و 7.

بنابراین، ∠ 2 = ∠ 4 و ∠ 8 = ∠ 6، اما با اثبات ∠ 4 = ∠ 6.

بنابراین، ∠ 2 = ∠ 8.

3. زوایای مربوطه 2 و 6 یکسان هستند، زیرا ∠ 2 = ∠ 4، و ∠ 4 = ∠ 6. ما همچنین مطمئن می شویم که سایر زوایای مربوطه برابر باشند.

4. مجموع گوشه های یک طرفه داخلی 3 و 6 2d خواهند بود زیرا مجموع گوشه های مجاور 3 و 4 برابر است با 2d = 180 0 و ∠ 4 را می توان با ∠ 6 یکسان جایگزین کرد. همچنین مطمئن شوید که مجموع زوایا 4 و 5 برابر است با 2d.

5. مجموع گوشه های یک طرفه خارجی 2d خواهد بود زیرا این زوایا به ترتیب برابر هستند گوشه های یک طرفه داخلیمانند گوشه ها عمودی.

از توجیهی که در بالا ثابت شد، به دست می آوریم قضایای معکوس

هنگامی که در تقاطع دو خط از یک خط سوم دلخواه، به دست می آوریم که:

1. زوایای دروغ گفتن متقاطع داخلی یکسان است.

یا 2.زوایای دروغ گفتن متقاطع خارجی یکسان است.

یا 3.زوایای مربوطه یکسان است.

یا 4.مجموع زوایای یک طرفه داخلی برابر با 2d = 180 0 است.

یا 5.مجموع یک طرفه بیرونی 2d = 180 0 است ,

سپس دو خط اول موازی هستند.

درس تصویری "علائم موازی بودن دو خط" حاوی اثبات قضایایی است که نشانه هایی را توصیف می کند که به معنای خطوط موازی هستند. در عین حال، ویدئو 1) قضیه موازی خطوط را توصیف می کند که در آن زوایای مساوی توسط سکنت ایجاد می شود، 2) علامتی که به معنای موازی بودن دو خط است - در زوایای متناظر تشکیل شده برابر، 3) یک علامت این به معنای موازی بودن دو خط در حالتی است که وقتی آنها را قطع می کنند، مجموع زوایای یک طرفه به 180 درجه می رسد. هدف از این درس تصویری آشنایی دانش آموزان با نشانه هایی است که به معنای توازی دو خط است که آگاهی از آن ها برای حل بسیاری از مسائل کاربردی لازم است تا اثبات این قضایا را به صورت تصویری ارائه کنند و مهارت هایی در اثبات گزاره های هندسی شکل دهند.

مزایای یک درس ویدیویی به این موضوع مربوط می شود که با کمک انیمیشن، همراهی صدا و امکان برجسته سازی رنگ، دید بالایی را فراهم می کند و می تواند به عنوان جایگزینی برای ارائه یک بلوک استاندارد جدید باشد. مطالب آموزشی توسط معلم

درس ویدیویی با نمایش نام روی صفحه شروع می شود. قبل از تشریح نشانه های موازی خطوط مستقیم، دانش آموزان با مفهوم سکانس آشنا می شوند. سکانت به عنوان خطی تعریف می شود که خطوط دیگر را قطع می کند. صفحه دو خط a و b را نشان می دهد که خط c را قطع می کنند. خط ساخته شده c با رنگ آبی برجسته می شود و تاکید می کند که این خط مقطعی از خطوط داده شده a و b است. برای در نظر گرفتن نشانه های موازی خطوط، لازم است با ناحیه تلاقی خطوط بیشتر آشنا شویم. تقاطع در نقاط تقاطع با خطوط مستقیم، 8 زاویه ∠1، ∠2، ∠3، ∠4، ∠5، ∠6، ∠7، ∠8 را تشکیل می دهد که با تجزیه و تحلیل نسبت های آن می توان نشانه هایی را استخراج کرد. موازی بودن این خطوط خاطرنشان می شود که زوایای ∠3 و ∠5 و همچنین ∠2 و ∠4 به صورت ضربدری نامیده می شوند. توضیح مفصلی با کمک انیمیشن از ترتیب زوایای متقاطع به عنوان زوایایی که بین خطوط موازی قرار دارند و به خطوط مجاور قرار دارند، ارائه شده است. سپس مفهوم زاویه های یک طرفه داده می شود که شامل جفت های ∠4 و ∠5 و همچنین ∠3 و ∠6 می شود. جفت‌هایی از زاویه‌های متناظر نیز نشان داده شده‌اند که از میان آنها 4 جفت در تصویر ساخته شده وجود دارد - ∠1-∠5، ∠4-∠8، ∠2-∠6، ∠3-∠7.

در قسمت بعدی فیلم آموزشی سه علامت موازی بودن هر دو خط در نظر گرفته شده است. اولین توضیحات نمایش داده می شود. این قضیه بیان می کند که اگر زوایای متقاطع ایجاد شده توسط سکنت برابر باشند، خطوط داده شده موازی خواهند بود. این عبارت با یک نقاشی همراه است که دو خط مستقیم a و b و یک مقطع AB را نشان می دهد. لازم به ذکر است که زوایای خوابیده ∠1 و ∠2 به صورت ضربدری با یکدیگر برابر هستند. این گفته نیاز به اثبات دارد.

ساده‌ترین مورد خاص زمانی است که زوایای داده شده توسط صلیب‌ها، زوایای قائمه باشند. به این معنی که سکنت بر خطوط عمود است و طبق قضیه ثابت شده در این حالت خطوط a و b قطع نمی شوند یعنی موازی هستند. اثبات این مورد خاص با استفاده از نمونه ای از تصویری که در کنار شکل اول ساخته شده است، توضیح داده شده است که جزئیات مهم اثبات را با کمک انیمیشن برجسته می کند.

برای اثبات آن در حالت کلی، باید یک عمود اضافی از نقطه میانی پاره AB به خط a رسم کرد. علاوه بر این، در خط مستقیم b، یک قطعه VN 1 برابر با قطعه AN ترسیم می شود. از نقطه H 1 به دست آمده در این مورد، قطعه ای رسم می شود که نقاط O و H 1 را به هم متصل می کند. در ادامه دو مثلث ΔONA و ΔOBN 1 در نظر گرفته می شوند که تساوی آنها با معیار اول تساوی دو مثلث ثابت می شود. اضلاع OA و OB از نظر ساختاری برابر هستند، زیرا نقطه O به عنوان وسط قطعه AB مشخص شده است. اضلاع HA و H 1 B نیز از نظر ساختاری برابر هستند، زیرا ما قطعه H 1 B را برابر با HA کنار می گذاریم. و زوایای ∠1=∠2 با توجه به شرط مسئله. از آنجایی که مثلث های تشکیل شده با یکدیگر برابر هستند، پس جفت های باقی مانده از زاویه و اضلاع نیز با یکدیگر برابر هستند. از این نتیجه می شود که قطعه OH 1 ادامه قطعه OH است و یک قطعه HH 1 را تشکیل می دهد. توجه داشته باشید که از آنجایی که قطعه ساخته شده OH بر خط مستقیم a عمود است، به ترتیب، قطعه HH 1 بر خطوط مستقیم a و b عمود است. این واقعیت به این معنی است که با استفاده از قضیه موازی سازی برای خطوطی که یک عمود بر آنها ساخته شده است، خطوط داده شده a و b موازی هستند.

قضیه بعدی که نیاز به اثبات دارد، نشانه تساوی خطوط موازی با تساوی زوایای مربوطه است که در تقاطع یک مقطع تشکیل شده است. بیان قضیه نشان داده شده بر روی صفحه نمایش داده می شود و می تواند برای ضبط توسط دانش آموزان ارائه شود. اثبات با ساختن روی صفحه دو خط موازی a و b شروع می شود که سکانس c به آن ها ساخته می شود. در تصویر با رنگ آبی مشخص شده است. سکنت زوایای مربوطه ∠1 و ∠2 را تشکیل می دهد که بر اساس شرط با یکدیگر برابر هستند. زوایای مجاور ∠3 و ∠4 نیز مشخص شده اند. ∠2 نسبت به زاویه ∠3 یک زاویه عمودی است. و زوایای عمودی همیشه برابر هستند. علاوه بر این، زوایای ∠1 و ∠3 روی یکدیگر قرار دارند - برابری آنها (طبق بیانیه قبلاً اثبات شده) به این معنی است که خطوط a و b موازی هستند. قضیه ثابت شده است.

قسمت آخر آموزش تصویری به اثبات این جمله اختصاص دارد که اگر مجموع زوایای یک طرفه ای که در محل تقاطع دو خط توسط یک خط برش ایجاد می شود برابر با 180 درجه باشد، این خطوط موازی با هر یک خواهند بود. دیگر. اثبات با استفاده از نقاشی نشان می دهد که خطوط a و b را قطع می کند. گوشه های تشکیل شده توسط تقاطع مشابه با اثبات قبلی مشخص شده اند. طبق شرط، مجموع زوایای ∠1 و ∠4 برابر با 180 درجه است. معلوم است که مجموع زوایای ∠3 و ∠4 برابر با 180 درجه است، زیرا آنها مجاور هستند. این بدان معنی است که زاویه های ∠1 و ∠3 با یکدیگر برابر هستند. این نتیجه این حق را می دهد که ادعا کنیم خطوط a و b موازی هستند. قضیه ثابت شده است.

درس تصویری "علائم موازی بودن دو خط" توسط معلم می تواند به عنوان یک بلوک مستقل برای نشان دادن اثبات این قضایا، جایگزین توضیح معلم یا همراه با آن استفاده شود. توضیح دقیق امکان استفاده از مطالب را برای خودآموزی دانش آموزان فراهم می کند و به توضیح مطالب در آموزش از راه دور کمک می کند.

1. اگر دو خط با خط سوم موازی باشند، آنها موازی هستند:

اگر یک آ||جو ب||ج، سپس آ||ب.

2. اگر دو خط بر خط سوم عمود باشند، موازی هستند:

اگر یک آ⊥جو ب⊥ج، سپس آ||ب.

علائم باقی مانده از موازی خطوط بر اساس زوایایی است که در تقاطع دو خط با یک سوم ایجاد می شود.

3. اگر مجموع زوایای یک طرفه داخلی 180 درجه باشد، خطوط موازی هستند:

اگر ∠1 + ∠2 = 180 درجه، پس آ||ب.

4. اگر زوایای مربوطه با هم برابر باشند، خطوط موازی هستند:

اگر ∠2 = ∠4، پس آ||ب.

5. اگر زوایای متقاطع داخلی با هم برابر باشند، خطوط موازی هستند:

اگر ∠1 = ∠3، پس آ||ب.

ویژگی های خطوط موازی

گزاره هایی که معکوس نشانه های توازی خطوط هستند، ویژگی آنهاست. آنها بر اساس خصوصیات زوایایی هستند که از تقاطع دو خط موازی با یک خط سوم تشکیل شده اند.

1. هنگامی که دو خط موازی با یک خط سوم قطع می شوند، مجموع زوایای یک طرفه داخلی تشکیل شده توسط آنها 180 درجه است:

اگر یک آ||ب، سپس ∠1 + ∠2 = 180 درجه.

2. وقتی دو خط موازی با یک خط سوم قطع می شوند، زوایای مربوط به آنها برابر است:

اگر یک آ||ب، سپس ∠2 = ∠4.

3. در محل تقاطع دو خط موازی با یک خط سوم، زوایای خوابیده ای که توسط آنها تشکیل شده است برابر است:

اگر یک آ||ب، سپس ∠1 = ∠3.

ویژگی زیر یک مورد خاص از هر مورد قبلی است:

4. اگر خطی در صفحه بر یکی از دو خط موازی عمود باشد، بر دیگری نیز عمود است:

اگر یک آ||بو ج⊥آ، سپس ج⊥ب.

ویژگی پنجم اصل خطوط موازی است:

5. از طریق نقطه ای که روی یک خط معین قرار ندارد، فقط یک خط را می توان به موازات خط داده شده رسم کرد.