Rýchlo sa pohol ďalej. Našiel dostatočné podmienky pre existenciu maxím, naučil sa určovať inflexné body, nakreslil dotyčnice ku všetkým známym krivkám druhého a tretieho rádu. Ešte pár rokov a nájde novú čisto algebraickú metódu na hľadanie kvadratút pre paraboly a hyperboly ľubovoľného rádu (t. j. integrály funkcií tvaru y p = Cx q a y p x q \u003d C), vypočítava plochy, objemy, momenty zotrvačnosti rotačných telies. Bol to skutočný prielom. Keď to Fermat cíti, začína hľadať komunikáciu s vtedajšími matematickými autoritami. Je sebavedomý a túži po uznaní.
V roku 1636 napísal prvý list svojmu reverendovi Marinovi Mersennovi: „Svätý otec! Som vám nesmierne vďačný za česť, ktorú ste mi preukázali tým, že ste mi dali nádej, že sa budeme môcť porozprávať písomne; ...budem veľmi rád, že sa mi ozvete o všetkých nových pojednaniach a knihách o matematike, ktoré sa objavili za posledných päť alebo šesť rokov. ... Našiel som aj mnoho analytických metód na rôzne úlohy, numerické aj geometrické, na ktoré Vietov rozbor nestačí. O toto všetko sa s vami podelím, kedykoľvek budete chcieť, a navyše bez akejkoľvek arogancie, od ktorej som slobodnejší a vzdialenejší ako ktorýkoľvek iný človek na svete.
Kto je otec Mersenne? Ide o františkánskeho mnícha, vedca so skromným talentom a úžasného organizátora, ktorý 30 rokov viedol parížsky matematický krúžok, ktorý sa stal skutočným centrom francúzskej vedy. Následne sa kruh Mersenne dekrétom Ľudovíta XIV. premení na Parížsku akadémiu vied. Mersenne neúnavne viedol rozsiahlu korešpondenciu a jeho cela v kláštore Rádu minimov na Kráľovskom námestí bola akousi „poštou pre všetkých vedcov Európy, od Galilea po Hobbesa“. Korešpondencia potom nahradila vedecké časopisy, ktoré sa objavili oveľa neskôr. Stretnutia v Mersenne sa konali každý týždeň. Jadro kruhu tvorili najbrilantnejší prírodovedci tej doby: Robertville, Pascal Father, Desargues, Midorge, Hardy a samozrejme slávny a všeobecne uznávaný Descartes. Rene du Perron Descartes (Cartesius), plášť šľachty, dva rodinné majetky, zakladateľ kartezianizmu, „otec“ analytickej geometrie, jeden zo zakladateľov novej matematiky, ako aj Mersennov priateľ a súdruh na jezuitskom kolégiu. Tento úžasný muž bude Fermatovou nočnou morou.
Mersenne považoval Fermatove výsledky za dostatočne zaujímavé na to, aby priviedol provinciála do svojho elitného klubu. Farma okamžite nadviaže korešpondenciu s mnohými členmi krúžku a doslova zaspí s listami od samotného Mersenna. Okrem toho posiela učňovskému súdu dokončené rukopisy: „Úvod do plochých a pevných miest“ a o rok neskôr – „Metóda hľadania maxím a miním“ a „Odpovede na otázky B. Cavalieriho“. To, čo Fermat vysvetlil, bolo absolútne nové, no senzácia sa nekonala. Súčasníci sa nepohli. Veľa tomu nerozumeli, ale našli jednoznačné náznaky, že Fermat si požičal myšlienku maximalizačného algoritmu z pojednania Johannesa Keplera s vtipným názvom „Nová stereometria vínnych sudov“. V Keplerovom uvažovaní sú totiž vety ako "Objem obrazca je najväčší, ak na oboch stranách miesta s najväčšou hodnotou je pokles spočiatku necitlivý." Ale myšlienka malého prírastku funkcie blízko extrému nebola vôbec vo vzduchu. Najlepšie analytické mysle tej doby neboli pripravené na manipuláciu s malými množstvami. Faktom je, že v tom čase bola algebra považovaná za druh aritmetiky, teda matematika druhého stupňa, primitívny improvizovaný nástroj vyvinutý pre potreby základnej praxe („len obchodníci dobre rátajú“). Tradícia predpisovala dodržiavať čisto geometrické metódy dôkazov, siahajúce až do starovekej matematiky. Fermat ako prvý pochopil, že možno pridávať a zmenšovať nekonečne malé množstvá, ale je dosť ťažké ich reprezentovať ako segmenty.
Trvalo takmer storočie, kým Jean d'Alembert vo svojej slávnej Encyklopédii priznal: Fermat bol vynálezcom nového kalkulu. Práve u neho sa stretávame s prvou aplikáciou diferenciálov na hľadanie dotyčníc.“ Na konci 18. storočia sa Joseph Louis Comte de Lagrange vyjadril ešte jasnejšie: „Ale geometri – Fermatovi súčasníci – nerozumeli tomuto novému druhu kalkulu. Videli len špeciálne prípady. A tento vynález, ktorý sa objavil krátko pred Descartovou geometriou, zostal štyridsať rokov bezvýsledný. Lagrange odkazuje na rok 1674, kedy boli publikované „Prednášky“ Isaaca Barrowa, ktoré podrobne pokrývajú Fermatovu metódu.
Okrem iného sa rýchlo ukázalo, že Fermat viac inklinoval k formulovaniu nových problémov ako k pokornému riešeniu problémov, ktoré navrhli merači. V ére duelov bola výmena úloh medzi odborníkmi všeobecne akceptovaná ako forma objasňovania otázok týkajúcich sa reťazca velenia. Farma však opatrenie zjavne nepozná. Každý z jeho listov je výzvou obsahujúcou desiatky zložitých nevyriešených problémov a na tie najneočakávanejšie témy. Tu je príklad jeho štýlu (adresovaný Frenicle de Bessy): „Položka, aký je najmenší štvorec, ktorý po zmenšení o 109 a pripočítaní k jednej dostane štvorec? Ak mi nepošlete všeobecné riešenie, pošlite mi kvocient pre tieto dve čísla, ktorý som zvolil malý, aby som vám to veľmi nerobil. Keď dostanem vašu odpoveď, navrhnem vám ďalšie veci. Bez zvláštnych výhrad je jasné, že v mojom návrhu je potrebné nájsť celé čísla, keďže v prípade zlomkových čísel by sa k cieľu mohol dostať aj ten najbezvýznamnejší aritmetik. Fermat sa často opakoval, viackrát formuloval tie isté otázky a otvorene blafoval a tvrdil, že na navrhovaný problém má nezvyčajne elegantné riešenie. Nevyskytli sa žiadne priame chyby. Niektoré z nich si všimli už súčasníci a niektoré zákerné výroky zavádzali čitateľov po stáročia.
Mersennov kruh reagoval adekvátne. Len Robertville, jediný člen krúžku, ktorý mal problémy s pôvodom, zachováva priateľský tón listov. Dobrý pastier, otec Mersenne, sa snažil uvažovať s „drzým z Toulouse“. Farma sa však nemieni ospravedlňovať: „Ctihodný otec! Píšete mi, že predloženie mojich nemožných problémov rozhnevalo a schladilo pánov Saint-Martina a Frenicla a že to bol dôvod ukončenia ich listov. Chcem im však namietať, že to, čo sa na prvý pohľad zdá nemožné, v skutočnosti nie je a že existuje veľa problémov, ktoré, ako povedal Archimedes...“ atď.
Farma je však neúprimná. Práve Frenicleovi poslal problém nájsť pravouhlý trojuholník s celočíselnými stranami, ktorých obsah sa rovná druhej mocnine celého čísla. Poslal ho, hoci vedel, že problém zjavne nemá riešenie.
Najnepriateľskejšiu pozíciu voči Fermatovi zaujal Descartes. V jeho liste Mersennovi z roku 1938 čítame: „pretože som zistil, že ide o tú istú osobu, ktorá sa predtým pokúsila vyvrátiť moju „dioptriku“, a keďže ste ma informovali, že ju poslal potom, čo si prečítal moju „geometriu“ a s prekvapením, že som nenašiel to isté, t.j. (ako mám dôvod si to vykladať) poslal s cieľom vstúpiť do súperenia a ukázať, že o tom vie viac ako ja, a keďže viac vašich listov, dozvedel, že mal povesť veľmi dobre informovaného geometra, potom sa považujem za povinný odpovedať mu. Descartes neskôr slávnostne označí svoju odpoveď ako „malý proces matematiky proti pánovi Fermatovi“.
Je ľahké pochopiť, čo pobúrilo významného vedca. Po prvé, vo Fermatových úvahách sa neustále objavujú súradnicové osi a reprezentácia čísel segmentmi – zariadenie, ktoré Descartes komplexne rozvíja vo svojej práve publikovanej „Geometrii“. Fermat prichádza k myšlienke nahradiť kresbu výpočtami sám, v niektorých ohľadoch dokonca konzistentnejší ako Descartes. Po druhé, Fermat bravúrne demonštruje účinnosť svojej metódy hľadania miním na príklade problému najkratšej dráhy svetelného lúča, spresňuje a dopĺňa Descarta svojou „Dioptrickou“.
Zásluhy Descarta ako mysliteľa a inovátora sú obrovské, ale otvorme si modernú „Matematickú encyklopédiu“ a pozrime sa na zoznam výrazov spojených s jeho menom: „Kartézske súradnice“ (Leibniz, 1692), „Kartézsky list“, „Descartes“. ovály“. Žiadny z jeho argumentov sa nezapísal do dejín ako Descartova veta. Descartes je predovšetkým ideológ: je zakladateľom filozofickej školy, tvorí pojmy, zdokonaľuje systém písmenových označení, no v jeho tvorivom dedičstve je málo nových špecifických techník. Naproti tomu Pierre Fermat píše málo, ale pri každej príležitosti dokáže vymyslieť množstvo vtipných matematických trikov (pozri tamtiež „Fermatova veta“, „Fermatov princíp“, „Fermatova metóda nekonečného zostupu“). Asi si celkom oprávnene závideli. Zrážka bola nevyhnutná. S jezuitským sprostredkovaním z Mersenne vypukla vojna, ktorá trvala dva roky. Mersenne sa však aj tu ukázal byť tesne pred históriou: krutý boj medzi dvoma titánmi, ich napätá, mierne povedané, polemika prispela k pochopeniu kľúčových pojmov matematickej analýzy.
Fermat ako prvý stráca záujem o diskusiu. Očividne hovoril priamo s Descartesom a svojho protivníka už nikdy neurazil. V jednom zo svojich posledných diel „Synthesis for Refraction“, ktorého rukopis poslal de la Chaumbrovi, Fermat slovo po slove spomína „najučenejšieho Descarta“ a všetkými možnými spôsobmi zdôrazňuje jeho prioritu v otázkach optiky. Medzitým práve tento rukopis obsahoval opis slávneho „Fermatovho princípu“, ktorý poskytuje vyčerpávajúce vysvetlenie zákonov odrazu a lomu svetla. Curtsey Descartesovi v diele tejto úrovne boli úplne zbytočné.
Čo sa stalo? Prečo Fermat, odkladajúc hrdosť, šiel na zmierenie? Pri čítaní Fermatových listov z tých rokov (1638 - 1640) možno predpokladať najjednoduchšiu vec: v tomto období sa jeho vedecké záujmy dramaticky zmenili. Opúšťa módnu cykloidu, prestáva sa zaujímať o tangenty a oblasti a na dlhých 20 rokov zabúda na svoju metódu hľadania maxima. Fermat, ktorý má veľké zásluhy v matematike spojitého, sa úplne ponorí do diskrétnej matematiky a nenávistné geometrické kresby prenecháva svojim oponentom. Čísla sú jeho novou vášňou. V skutočnosti celá „Teória čísel“, ako samostatná matematická disciplína, vďačí za svoj vznik výlučne Fermatovmu životu a dielu.
<…>Po Fermatovej smrti vydal jeho syn Samuel v roku 1670 výtlačok Aritmetiky patriaci jeho otcovi pod názvom „Šesť kníh aritmetiky Alexandrijského Diofanta s komentármi L. G. Basche a poznámkami P. de Fermata, senátora z Toulouse“. Kniha tiež obsahovala niektoré Descartove listy a úplný text Jacquesa de Biglyho Nový objav v umení analýzy, založený na Fermatových listoch. Publikácia mala neuveriteľný úspech. Pred užasnutými odborníkmi sa otvoril nevídaný svetlý svet. Neočakávanosť, a čo je najdôležitejšie, dostupnosť, demokratický charakter Fermatových číselných teoretických výsledkov viedli k mnohým napodobňovaniu. V tom čase málokto chápal, ako sa vypočítava plocha paraboly, ale každý študent mohol pochopiť formuláciu Fermatovej poslednej vety. Začal sa skutočný hon na neznáme a stratené listy vedca. Až do konca XVII storočia. Každé jeho slovo, ktoré sa našlo, bolo publikované a znovu publikované. Ale búrlivá história vývoja Fermatových myšlienok sa len začínala.
Neriešiteľné problémy sú 7 najzaujímavejších matematických problémov. Každá z nich bola navrhnutá známymi vedcami, spravidla vo forme hypotéz. Po mnoho desaťročí si matematici na celom svete lámali hlavu nad ich riešením. Tí, ktorí uspejú, budú odmenení miliónom amerických dolárov, ktoré ponúka Clay Institute.
Clay Institute
Tento názov je súkromná nezisková organizácia so sídlom v Cambridge v štáte Massachusetts. V roku 1998 ju založili harvardský matematik A. Jeffey a podnikateľ L. Clay. Cieľom ústavu je popularizovať a rozvíjať matematické poznatky. Na dosiahnutie tohto cieľa organizácia udeľuje ocenenia vedcom a sponzorom sľubným výskumom.
Začiatkom 21. storočia ponúkol Clay Mathematical Institute cenu tým, ktorí riešia problémy, ktoré sú známe ako najťažšie neriešiteľné problémy, pričom ich zoznam nazval Problémy tisícročnej ceny. Z „Hilbertovho zoznamu“ obsahoval iba Riemannovu hypotézu.
Výzvy tisícročia
Zoznam Clay Institute pôvodne obsahoval:
- hypotéza Hodgeovho cyklu;
- rovnice kvantovej teórie Yang-Mills;
- Poincarého hypotéza;
- problém rovnosti tried P a NP;
- Riemannova hypotéza;
- na existenciu a hladkosť jeho riešení;
- Problém Birch-Swinnerton-Dyer.
Tieto otvorené matematické problémy sú veľmi zaujímavé, pretože môžu mať mnoho praktických implementácií.
Čo dokázal Grigory Perelman
V roku 1900 slávny filozof Henri Poincaré navrhol, že každá jednoducho spojená kompaktná 3-roztoka bez hraníc je homeomorfná s 3-guľou. Jeho dôkaz vo všeobecnom prípade sa nenašiel celé storočie. Len v rokoch 2002-2003 publikoval petrohradský matematik G. Perelman množstvo článkov s riešením Poincarého problému. Mali efekt vybuchujúcej bomby. V roku 2010 bola hypotéza Poincarého vylúčená zo zoznamu „Nevyriešených problémov“ Clay Institute a samotnému Perelmanovi bola ponúknutá značná odmena, ktorá mu patrí, čo tento odmietol bez toho, aby vysvetlil dôvody svojho rozhodnutia.
Najzrozumiteľnejšie vysvetlenie toho, čo sa ruskému matematikovi podarilo dokázať, možno poskytnúť tak, že si na šišku (torus) natiahneme gumený kotúč a potom sa snažia stiahnuť okraje jeho obvodu do jedného bodu. Očividne to nie je možné. Ďalšia vec, ak urobíte tento experiment s loptou. V tomto prípade zdanlivo trojrozmerná guľa, ktorá je výsledkom disku, ktorého obvod bol pritiahnutý do bodu hypotetickou šnúrou, bude v chápaní bežného človeka trojrozmerná, ale od bodu dvojrozmerná. z pohľadu matematiky.
Poincaré navrhol, že trojrozmerná guľa je jediným trojrozmerným „objektom“, ktorého povrch sa dá stiahnuť do jedného bodu, a Perelman to dokázal. Zoznam „Neriešiteľných problémov“ teda dnes pozostáva zo 6 problémov.
Yang-Millsova teória
Tento matematický problém navrhli jeho autori v roku 1954. Vedecká formulácia teórie je nasledovná: pre akúkoľvek jednoduchú kompaktnú meranú skupinu existuje kvantová priestorová teória vytvorená Yangom a Millsom a zároveň má nulový hmotnostný defekt.
Ak hovoríme jazykom zrozumiteľným pre bežného človeka, interakcie medzi prírodnými objektmi (častice, telesá, vlny atď.) sú rozdelené do 4 typov: elektromagnetické, gravitačné, slabé a silné. Fyzici sa dlhé roky pokúšali vytvoriť všeobecnú teóriu poľa. Mal by sa stať nástrojom na vysvetlenie všetkých týchto interakcií. Yang-Millsova teória je matematický jazyk, pomocou ktorého bolo možné opísať 3 zo 4 hlavných prírodných síl. Neplatí pre gravitáciu. Preto nemožno uvažovať, že Yangovi a Millsovi sa podarilo vytvoriť teóriu poľa.
Navyše, nelinearita navrhovaných rovníc spôsobuje, že je extrémne ťažké ich vyriešiť. Pre malé väzbové konštanty ich možno približne vyriešiť vo forme série poruchových teórií. Zatiaľ však nie je jasné, ako možno tieto rovnice vyriešiť silnou väzbou.
Navier-Stokesove rovnice
Tieto výrazy popisujú procesy, ako sú prúdenie vzduchu, prúdenie tekutín a turbulencia. Pre niektoré špeciálne prípady už boli nájdené analytické riešenia Navier-Stokesovej rovnice, ale zatiaľ sa to nikomu nepodarilo pre všeobecnú. Numerické simulácie pre konkrétne hodnoty rýchlosti, hustoty, tlaku, času a tak ďalej môžu zároveň dosiahnuť vynikajúce výsledky. Ostáva dúfať, že sa niekomu podarí aplikovať Navier-Stokesove rovnice v opačnom smere, teda s ich pomocou vypočítať parametre, alebo dokázať, že neexistuje spôsob riešenia.
Problém Birch-Swinnerton-Dyer
Do kategórie „Nevyriešené problémy“ patrí aj hypotéza, ktorú navrhli anglickí vedci z University of Cambridge. Dokonca pred 2300 rokmi dal staroveký grécky vedec Euclid úplný popis riešení rovnice x2 + y2 = z2.
Ak pre každé z prvočísel spočítate počet bodov na krivke modulo, dostanete nekonečnú množinu celých čísel. Ak to konkrétne „nalepíte“ do 1 funkcie komplexnej premennej, dostanete Hasse-Weilovu zeta funkciu pre krivku tretieho rádu, označovanú písmenom L. Obsahuje informácie o modulovom správaní všetkých prvočísel naraz. .
Brian Burch a Peter Swinnerton-Dyer predpokladali o eliptických krivkách. Podľa nej štruktúra a počet množiny jej racionálnych riešení súvisí so správaním L-funkcie pri identite. V súčasnosti nepreukázaná Birch-Swinnerton-Dyerova domnienka závisí od opisu algebraických rovníc 3. stupňa a je jediným relatívne jednoduchým všeobecným spôsobom výpočtu poradia eliptických kriviek.
Aby sme pochopili praktický význam tejto úlohy, stačí povedať, že v modernej kryptografii je celá trieda asymetrických systémov založená na eliptických krivkách a domáce štandardy digitálneho podpisu sú založené na ich aplikácii.
Rovnosť tried p a np
Ak sú ostatné výzvy milénia čisto matematické, potom táto súvisí so skutočnou teóriou algoritmov. Problém týkajúci sa rovnosti tried p a np, známy aj ako Cooke-Levinov problém, možno formulovať zrozumiteľným jazykom nasledovne. Predpokladajme, že kladnú odpoveď na určitú otázku možno skontrolovať dostatočne rýchlo, t. j. v polynomiálnom čase (PT). Je potom správne tvrdenie, že odpoveď naň možno nájsť pomerne rýchlo? Ešte jednoduchšie to znie takto: naozaj nie je ťažšie skontrolovať riešenie problému, ako ho nájsť? Ak sa niekedy preukáže rovnosť tried p a np, potom sa dajú vyriešiť všetky výberové úlohy pre PV. V súčasnosti mnohí odborníci pochybujú o pravdivosti tohto tvrdenia, hoci nevedia dokázať opak.
Riemannova hypotéza
Do roku 1859 nebol identifikovaný žiadny vzor, ktorý by popisoval, ako sú prvočísla rozdelené medzi prirodzené čísla. Možno to bolo spôsobené tým, že veda sa zaoberala inými problémami. Do polovice 19. storočia sa však situácia zmenila a stali sa jednými z najrelevantnejších, ktorými sa matematika začala zaoberať.
Riemannova hypotéza, ktorá sa objavila v tomto období, je predpokladom, že v distribúcii prvočísel existuje určitý vzorec.
Dnes sa mnohí moderní vedci domnievajú, že ak sa to preukáže, bude potrebné zrevidovať mnohé zo základných princípov modernej kryptografie, ktoré tvoria základ významnej časti mechanizmov elektronického obchodu.
Podľa Riemannovej hypotézy sa charakter rozloženia prvočísel môže výrazne líšiť od toho, čo sa v súčasnosti predpokladá. Faktom je, že doteraz nebol objavený žiadny systém v rozdeľovaní prvočísel. Napríklad je tu problém „dvojičiek“, medzi ktorými je rozdiel 2. Tieto čísla sú 11 a 13, 29. Ostatné prvočísla tvoria zhluky. Sú to 101, 103, 107 atď. Vedci už dlho predpokladajú, že takéto zhluky existujú medzi veľmi veľkými prvočíslami. Ak sa nájdu, bude otázna stabilita moderných krypto kľúčov.
Hypotéza Hodgeovho cyklu
Tento doteraz nevyriešený problém bol sformulovaný v roku 1941. Hodgeova hypotéza naznačuje možnosť priblíženia tvaru akéhokoľvek predmetu „zlepením“ jednoduchých telies vyšších rozmerov. Táto metóda je známa a úspešne používaná už dlho. Nie je však známe, do akej miery je možné dosiahnuť zjednodušenie.
Teraz viete, aké neriešiteľné problémy momentálne existujú. Sú predmetom výskumu tisícok vedcov po celom svete. Zostáva dúfať, že v blízkej budúcnosti budú vyriešené a ich praktická aplikácia pomôže ľudstvu vstúpiť do nového kola technologického rozvoja.
Niekedy môže usilovné štúdium exaktných vied priniesť ovocie – stanete sa nielen známymi celému svetu, ale aj bohatými. Ocenenia sa však udeľujú za nič a v modernej vede je množstvo neoverených teórií, teórií a problémov, ktoré sa s vývojom vedy množia, vezmite si aspoň zošity Kourovka či Dnester, akési zbierky s neriešiteľnými fyzikálnymi a matematickými a nielen , úlohy. Existujú však aj skutočne zložité vety, ktoré neboli vyriešené viac ako tucet rokov, a za ne vypísal Americký Clay Institute ocenenie vo výške 1 milión amerických dolárov za každú. Do roku 2002 bol celkový jackpot 7 miliónov, keďže tam bolo sedem „problémov tisícročia“, ale ruský matematik Grigory Perelman vyriešil Poincarého domnienku epickým opustením milióna, pričom ani neotvoril dvere americkým matematikom, ktorí mu chceli dať svoj úprimne zarobené bonusy. Zapneme teda teóriu veľkého tresku pre pozadie a náladu a uvidíme, za čo ešte môžete znížiť okrúhlu sumu.
Rovnosť tried P a NP
Zjednodušene povedané, úloha rovnosti P = NP je nasledovná: ak sa dá kladná odpoveď na nejakú otázku skontrolovať pomerne rýchlo (v polynomickom čase), potom je pravda, že odpoveď na túto otázku sa dá nájsť pomerne rýchlo (aj v polynomiálny čas a pomocou polynomiálnej pamäte)? Inými slovami, naozaj nie je jednoduchšie skontrolovať riešenie problému, ako ho nájsť? Pointa je, že niektoré výpočty a výpočty sa dajú ľahšie vyriešiť algoritmicky, a nie hrubou silou, a tým ušetria veľa času a zdrojov.
Hodgeova hypotéza
Hodgeova domnienka, formulovaná v roku 1941, je taká, že pre obzvlášť dobré typy priestorov nazývané projektívne algebraické variety sú takzvané Hodgeove cykly kombináciami objektov, ktoré majú geometrickú interpretáciu – algebraické cykly.
Jednoducho povedané, môžeme povedať nasledovné: v 20. storočí boli objavené veľmi zložité geometrické tvary, ako napríklad zakrivené fľaše. Bolo teda navrhnuté, že na skonštruovanie týchto objektov na popis je potrebné použiť úplne záhadné formy, ktoré nemajú geometrickú podstatu „také hrozné viacrozmerné čmáranice-čmáranice“, alebo si stále môžete vystačiť s podmienene štandardnou algebrou + geometriou. .
Riemannova hypotéza
Tu sa to ľudskou rečou dosť ťažko vysvetľuje, stačí vedieť, že riešenie tohto problému bude mať ďalekosiahle dôsledky v oblasti distribúcie prvočísel. Problém je natoľko dôležitý a naliehavý, že aj odvodenie protipríkladu hypotézy – na uvážení akademickej rady univerzity možno problém považovať za preukázaný, preto tu môžete skúsiť metódu „z opaku“. Aj keď je možné preformulovať hypotézu v užšom zmysle, aj tu Hlinený inštitút vyplatí určitú sumu peňazí.
Yang-Millsova teória
Časticová fyzika je jednou z obľúbených tém Dr. Sheldona Coopera. Tu nám kvantová teória dvoch inteligentných strýkov hovorí, že pre každú skupinu jednoduchých mierok vo vesmíre existuje hmotnostný defekt iný ako nula. Toto tvrdenie bolo preukázané experimentálnymi údajmi a numerickými simuláciami, ale zatiaľ to nikto nemôže dokázať.
Navier-Stokesove rovnice
Tu by nám Howard Wolowitz určite pomohol, keby existoval v realite - koniec koncov, toto je hádanka z hydrodynamiky a základ základov. Rovnice opisujú pohyby viskóznej newtonovskej tekutiny, majú veľký praktický význam a hlavne opisujú turbulencie, ktoré nemožno nijako zaradiť do rámca vedy a nemožno predvídať jej vlastnosti a pôsobenie. Zdôvodnenie konštrukcie týchto rovníc by umožnilo neukazovať prstom na oblohu, ale pochopiť turbulencie zvnútra a urobiť lietadlá a mechanizmy stabilnejšie.
Birch-Swinnerton-Dyerova hypotéza
Je pravda, že som sa tu snažil zachytiť jednoduché slová, ale existuje taká hustá algebra, že sa človek nezaobíde bez hlbokého ponorenia. Tí, ktorí sa nechcú potápať do matanu, musia vedieť, že táto hypotéza vám umožňuje rýchlo a bezbolestne nájsť poradie eliptických kriviek, a ak by táto hypotéza neexistovala, na výpočet tejto hodnosti by bol potrebný hárok výpočtov. . No, samozrejme, musíte vedieť aj to, že dôkaz tejto hypotézy vás obohatí o milión dolárov.
Treba poznamenať, že takmer v každej oblasti už existujú pokroky, a dokonca aj osvedčené prípady pre jednotlivé príklady. Preto neváhajte, inak to dopadne ako s Fermatovou vetou, ktorá po viac ako 3 storočiach v roku 1994 podľahla Andrewovi Wilesovi a priniesla mu Abelovu cenu a asi 6 miliónov nórskych korún (50 miliónov rubľov podľa dnešného kurzu) .
Často, keď sa rozprávame so stredoškolákmi o výskumnej práci v matematike, počujem nasledovné: "Aké nové veci sa dajú objaviť v matematike?" Ale naozaj: možno boli urobené všetky veľké objavy a vety boli dokázané?
8. augusta 1900 na medzinárodnom kongrese matematikov v Paríži matematik David Hilbert načrtol zoznam problémov, o ktorých sa domnieval, že budú vyriešené v dvadsiatom storočí. V zozname bolo 23 položiek. Doposiaľ sa ich podarilo vyriešiť dvadsaťjeden. Posledným vyriešeným problémom na Gilbertovom zozname bola slávna Fermatova veta, ktorú vedci nedokázali vyriešiť 358 rokov. V roku 1994 Brit Andrew Wiles navrhol svoje riešenie. Ukázalo sa, že je to pravda.Po vzore Gilberta na konci minulého storočia sa mnohí matematici pokúšali formulovať podobné strategické úlohy pre 21. storočie. Jeden takýto zoznam preslávil bostonský miliardár Landon T. Clay. V roku 1998 bol na jeho náklady založený Clay Mathematics Institute v Cambridge (Massachusetts, USA) a boli zriadené ceny za riešenie množstva dôležitých problémov modernej matematiky. 24. mája 2000 odborníci inštitútu vybrali sedem problémov – podľa počtu miliónov dolárov pridelených na ceny. Zoznam sa nazýva Problémy miléniových cien:
1. Cookov problém (formulovaný v roku 1971)
Povedzme, že ste vo veľkej spoločnosti a chcete sa uistiť, že je tam aj váš priateľ. Ak vám povedia, že sedí v rohu, bude stačiť zlomok sekundy, aby ste sa pohľadom ubezpečili, že informácie sú pravdivé. Pri absencii týchto informácií budete nútení obísť celú miestnosť a pozrieť sa na hostí. To naznačuje, že riešenie problému často zaberie viac času ako kontrola správnosti riešenia.
Stephen Cook sformuloval problém: môže byť kontrola správnosti riešenia problému dlhšia ako získanie samotného riešenia, bez ohľadu na overovací algoritmus. Tento problém je tiež jedným z neriešených problémov v oblasti logiky a informatiky. Jeho riešenie by mohlo spôsobiť revolúciu v základoch kryptografie používanej pri prenose a ukladaní údajov.
2. Riemannova hypotéza (formulovaná v roku 1859)
Niektoré celé čísla nemožno vyjadriť ako súčin dvoch menších celých čísel, napríklad 2, 3, 5, 7 atď. Takéto čísla sa nazývajú prvočísla a hrajú dôležitú úlohu v čistej matematike a jej aplikáciách. Rozdelenie prvočísel medzi radom všetkých prirodzených čísel nemá žiadnu pravidelnosť. Nemecký matematik Riemann však urobil predpoklad týkajúci sa vlastností postupnosti prvočísel. Ak sa preukáže Riemannova hypotéza, spôsobí to revolúciu v našich znalostiach o šifrovaní a povedie to k bezprecedentným prelomom v internetovej bezpečnosti.
3. Birchova a Swinnerton-Dyerova hypotéza (formulovaná v roku 1960)
Súvisí s popisom množiny riešení niektorých algebraických rovníc vo viacerých premenných s celočíselnými koeficientmi. Príkladom takejto rovnice je výraz x2 + y2 = z2. Euklides poskytol úplný popis riešení tejto rovnice, ale pre zložitejšie rovnice je hľadanie riešení mimoriadne ťažké.
4. Hodgeova hypotéza (formulovaná v roku 1941)
V 20. storočí objavili matematici silnú metódu na štúdium tvaru zložitých objektov. Hlavnou myšlienkou je použiť namiesto samotného predmetu jednoduché „tehly“, ktoré sú zlepené dohromady a tvoria jeho podobizeň. Hodgeova hypotéza je spojená s niektorými predpokladmi o vlastnostiach takýchto „tehál“ a predmetov.
5. Navier - Stokesove rovnice (formulované v roku 1822)
Ak sa plavíte na lodi po jazere, vzniknú vlny a ak letíte v lietadle, vo vzduchu vzniknú turbulentné prúdy. Predpokladá sa, že tieto a ďalšie javy sú opísané rovnicami známymi ako Navier-Stokesove rovnice. Riešenia týchto rovníc sú neznáme a ani sa nevie, ako ich vyriešiť. Je potrebné ukázať, že riešenie existuje a je dostatočne hladkou funkciou. Riešenie tohto problému umožní výrazne zmeniť metódy vykonávania hydro- a aerodynamických výpočtov.
6. Poincareho problém (formulovaný v roku 1904)
Ak natiahnete gumičku cez jablko, môžete pásku pomaly posúvať bez toho, aby ste opustili povrch, stlačiť ju do bodu. Na druhej strane, ak je tá istá gumička správne natiahnutá okolo šišky, neexistuje spôsob, ako pásku stlačiť do bodu bez toho, aby sa pásik neroztrhol alebo zlomil. Povrch jablka je vraj jednoducho spojený, ale povrch donutu nie. Ukázalo sa, že je také ťažké dokázať, že iba sféra je jednoducho spojená, že matematici stále hľadajú správnu odpoveď.
7. Yang-Millsove rovnice (formulované v roku 1954)
Rovnice kvantovej fyziky opisujú svet elementárnych častíc. Fyzici Yang a Mills, ktorí objavili spojenie medzi geometriou a fyzikou elementárnych častíc, napísali svoje vlastné rovnice. Našli teda spôsob, ako zjednotiť teórie elektromagnetických, slabých a silných interakcií. Yang-Millsove rovnice predpokladali existenciu častíc, ktoré boli skutočne pozorované v laboratóriách po celom svete, takže Yang-Millsova teória je akceptovaná väčšinou fyzikov, napriek tomu, že táto teória stále nedokáže predpovedať hmotnosti elementárnych častíc.
Myslím si, že tento materiál uverejnený na blogu je zaujímavý nielen pre študentov, ale aj pre školákov, ktorí sa matematike vážne venujú. Pri výbere tém a oblastí výskumu je na čo myslieť.
Lev Valentinovich Rudi, autor článku „Pierre Fermat a jeho „nepreukázateľná“ veta, po prečítaní publikácie o jednom zo 100 géniov modernej matematiky, ktorý bol nazvaný géniom vďaka jeho vyriešeniu Fermatovej vety, ponúkol vydanie jeho alternatívny názor na túto tému. Na čo sme pohotovo zareagovali a jeho článok uverejňujeme bez skratiek.
Pierre de Fermat a jeho „nepreukázateľná“ veta
Tento rok si pripomíname 410. výročie narodenia veľkého francúzskeho matematika Pierra de Fermata. Akademik V.M. Tikhomirov o P. Fermatovi píše: „Len jeden matematik bol poctený tým, že sa jeho meno stalo známym. Ak sa povie „fermatista“, tak hovoríme o človeku posadnutom do nepríčetnosti nejakou nerealizovateľnou predstavou. Toto slovo však nemožno pripísať samotnému Pierrovi Fermatovi (1601-1665), jednej z najbystrejších myslí vo Francúzsku.
P. Fermat je muž úžasného osudu: jeden z najväčších matematikov sveta, nebol „profesionálnym“ matematikom. Fermat bol povolaním právnik. Dostal vynikajúce vzdelanie a bol vynikajúcim znalcom umenia a literatúry. Celý život pracoval v štátnej službe, posledných 17 rokov bol poradcom parlamentu v Toulouse. Nezainteresovaná a vznešená láska ho prilákala k matematike a práve táto veda mu dala všetko, čo môže človeku dať láska: opojenie krásou, rozkošou a šťastím.
Fermat v papieroch a korešpondencii sformuloval mnoho krásnych výrokov, o ktorých napísal, že má ich dôkaz. A postupne bolo takýchto nedokázaných tvrdení čoraz menej a napokon zostalo len jedno – jeho záhadná Veľká veta!
Pre tých, ktorí sa zaujímajú o matematiku, však Fermatovo meno hovorí veľa bez ohľadu na jeho veľkú vetu. Bol jednou z najbystrejších myslí svojej doby, je považovaný za zakladateľa teórie čísel, výrazne prispel k rozvoju analytickej geometrie, matematickej analýzy. Sme vďační Fermatovi, že nám otvoril svet plný krásy a tajomstva“ (nature.web.ru:8001›db/msg.html…).
Zvláštne však „vďačnosť“!? Matematický svet a osvietené ľudstvo ignorovali Fermatovo 410. výročie. Všetko bolo ako vždy tiché, pokojné, každodenné... Nechýbali fanfáry, pochvalné reči, prípitky. Zo všetkých matematikov na svete bol len Fermat „poctený“ takou vysokou poctou, že keď sa povie „fermatista“, každý pochopí, že hovoríme o poloducha, ktorý je „šialene posadnutý nerealizovateľnou myšlienkou“ nájsť stratený dôkaz Fermatovej vety!
Fermas vo svojej poznámke na margo Diofantovej knihy napísal: „Našiel som skutočne úžasný dôkaz môjho tvrdenia, ale okraje knihy sú príliš úzke, aby sa to zmestilo.“ Bol to teda „moment slabosti matematického génia 17. storočia“. Tento hlupák nerozumel, že sa „mýli“, ale s najväčšou pravdepodobnosťou jednoducho „klamal“, „prefíkane“.
Ak Fermat tvrdil, tak mal dôkaz!? Úroveň vedomostí nebola vyššia ako úroveň moderného desiateho ročníka, ale ak sa nejaký inžinier pokúsi nájsť tento dôkaz, potom je zosmiešňovaný a vyhlásený za blázna. A úplne iná vec je, ak americký 10-ročný chlapec E. Wiles „prijme ako počiatočnú hypotézu, že Fermat nemohol vedieť oveľa viac matematiky ako on“ a začne „dokazovať“ túto „nedokázateľnú vetu“. Samozrejme, niečoho takého je schopný len „génius“.
Náhodou som narazil na stránku (works.tarefer.ru›50/100086/index.html), kde študent Štátnej technickej univerzity v Čite Kushenko V.V. o Fermatovi píše: „... Mestečko Beaumont a všetkých jeho päťtisíc obyvateľov si nedokáže uvedomiť, že sa tu narodil veľký Fermat, posledný matematik-alchymista, ktorý vyriešil nečinné problémy nadchádzajúcich storočí, najtichší súdny hák , prefíkaná sfinga, ktorá mučila ľudstvo svojimi hádankami, opatrný a cnostný byrokrat, podvodník, intrigán, domáci, závistlivý človek, geniálny kompilátor, jeden zo štyroch titánov matematiky... Farma takmer nikdy neopustila Toulouse, kde sa usadil po svadbe s Louise de Long, dcérou poradcu parlamentu. Vďaka svojmu svokrovi sa dostal do hodnosti poradcu a získal vytúženú predponu „de“. Syn tretieho stavu, praktický potomok bohatých kožiarov, prešpikovaný latinskou a františkánskou zbožnosťou, si v skutočnom živote nekládol veľkolepé úlohy ...
Vo svojom búrlivom veku žil dôkladne a ticho. Nepísal filozofické pojednania ako Descartes, nebol dôverníkom francúzskych kráľov, ako Viet, nebojoval, necestoval, nevytváral matematické krúžky, nemal študentov a počas svojho života nebol publikovaný ... Keďže farma nenašla žiadne vedomé nároky na miesto v histórii, 12. januára 1665 zomiera."
Bol som šokovaný, šokovaný... A kto bol prvý „matematik-alchymista“!? Aké sú tieto „nečinné úlohy budúcich storočí“!? "Byrokrat, podvodník, intrigán, domáci, závistlivec" ... Prečo títo zelení mladíci a mladíci tak pohŕdajú, opovrhujú a cynizujú osobu, ktorá žila 400 rokov pred nimi!? Aké rúhanie, do očí bijúca nespravodlivosť!? Ale na toto všetko neprišli samotní mladíci!? Vymysleli ich matematici, „králi vied“, to isté „ľudstvo“, ktoré Fermatova „prefíkaná sfinga“ „mučila svojimi hádankami“.
Fermat však nemôže niesť žiadnu zodpovednosť za to, že arogantní, no priemerní potomkovia viac ako tristo rokov klopali na jeho školskú vetu. Ponižujúci, pľujúci na Fermatu, matematici sa snažia zachrániť svoju česť uniformy!? Ale už dávno neexistuje „česť“, dokonca ani „uniforma“!? Fermatov detský problém sa stal najväčšou hanbou „vybranej, udatnej“ armády matematikov sveta!?
„Králi vied“ boli zneuctení skutočnosťou, že sedem generácií matematických „svetelníkov“ nedokázalo dokázať školskú vetu, čo dokázali P. Fermat aj arabský matematik al-Khujandi 700 rokov pred Fermatom!? Dehonestovalo ich aj to, že namiesto priznania omylov odsúdili P. Fermatu ako podvodníka a začali zveľaďovať mýtus o „nepreukázateľnosti“ jeho vety!? Matematici sa hanbili aj tým, že celé storočie horúčkovito prenasledovali amatérskych matematikov a „bili svojich menších bratov o hlavu“. Toto prenasledovanie sa po utopení Hippasu Pytagorasom stalo najhanebnejším činom matematikov v celej histórii vedeckého myslenia! Dehonestovalo ich aj to, že pod rúškom „dôkazu“ Fermatovej vety skĺzli k osvieteniu ľudstva pochybný „výtvor“ E. Wilesa, ktorému „nerozumejú“ ani najjasnejší matematici!?
410. výročie narodenia P. Fermatu je nepochybne dostatočne silným argumentom na to, aby sa matematici konečne spamätali a prestali vrhať tieň na prútený plot a obnovili dobré, čestné meno veľkého matematika. P. Fermat „nenašiel žiadne vedomé nároky na miesto v dejinách“, ale táto svojhlavá a vrtošivá Pani si to sama zapísala do svojich letopisov v náručí, no mnohých horlivých a horlivých „žiadateľov“ vypľula ako žuvačku. A s tým sa nedá nič robiť, len jedna z jeho mnohých krásnych teorém navždy vstúpila do mena P. Fermata.
Ale tento jedinečný Fermatov výtvor bol celé storočie zahnaný do podzemia, postavený mimo zákon a stal sa najopovrhnutiahodnejšou a najnenávidenejšou úlohou v celej histórii matematiky. Nastal však čas, aby sa toto „škaredé káčatko“ matematiky zmenilo na krásnu labuť! Fermatova úžasná hádanka si vyslúžila právo zaujať svoje právoplatné miesto v pokladnici matematických vedomostí a v každej škole sveta, vedľa svojej sestry, Pytagorovej vety.
Takýto jedinečný, elegantný problém jednoducho nemôže mať krásne, elegantné riešenia. Ak má Pytagorova veta 400 dôkazov, potom nech má Fermatova veta najskôr len 4 jednoduché dôkazy. Sú, postupne ich bude pribúdať!? Verím, že 410. výročie P. Fermatu je tou najvhodnejšou príležitosťou či príležitosťou, aby sa profesionálni matematici spamätali a konečne zastavili túto nezmyselnú, absurdnú, problematickú a absolútne zbytočnú „blokádu“ amatérov!?
