Niekedy môže usilovné štúdium exaktných vied priniesť ovocie – stanete sa nielen známymi celému svetu, ale aj bohatými. Ocenenia sa však udeľujú za nič a v modernej vede je množstvo neoverených teórií, teórií a problémov, ktoré sa s vývojom vedy množia, vezmite si aspoň zošity Kourovka či Dnester, akési zbierky s neriešiteľnými fyzikálnymi a matematickými a nielen , úlohy. Existujú však aj skutočne zložité vety, ktoré neboli vyriešené viac ako tucet rokov, a za ne vypísal Americký Clay Institute ocenenie vo výške 1 milión amerických dolárov za každú. Do roku 2002 bol celkový jackpot 7 miliónov, keďže tam bolo sedem „problémov tisícročia“, ale ruský matematik Grigory Perelman vyriešil Poincarého domnienku epickým opustením milióna, pričom ani neotvoril dvere americkým matematikom, ktorí mu chceli dať svoj úprimne zarobené bonusy. Zapneme teda teóriu veľkého tresku pre pozadie a náladu a uvidíme, za čo ešte môžete znížiť okrúhlu sumu.
Rovnosť tried P a NP
Zjednodušene povedané, úloha rovnosti P = NP je nasledovná: ak sa dá kladná odpoveď na nejakú otázku skontrolovať pomerne rýchlo (v polynomickom čase), potom je pravda, že odpoveď na túto otázku sa dá nájsť pomerne rýchlo (aj v polynomiálny čas a pomocou polynomiálnej pamäte)? Inými slovami, naozaj nie je jednoduchšie skontrolovať riešenie problému, ako ho nájsť? Pointa je, že niektoré výpočty a výpočty sa dajú ľahšie vyriešiť algoritmicky, a nie hrubou silou, a tým ušetria veľa času a zdrojov.
Hodgeova hypotéza
Hodgeova domnienka, formulovaná v roku 1941, je taká, že pre obzvlášť dobré typy priestorov nazývané projektívne algebraické variety sú takzvané Hodgeove cykly kombináciami objektov, ktoré majú geometrickú interpretáciu – algebraické cykly.
Jednoducho povedané, môžeme povedať nasledovné: v 20. storočí boli objavené veľmi zložité geometrické tvary, ako napríklad zakrivené fľaše. Bolo teda navrhnuté, že na skonštruovanie týchto objektov na popis je potrebné použiť úplne záhadné formy, ktoré nemajú geometrickú podstatu „také hrozné viacrozmerné čmáranice-čmáranice“, alebo si stále môžete vystačiť s podmienene štandardnou algebrou + geometriou. .
Riemannova hypotéza
Tu sa to ľudskou rečou dosť ťažko vysvetľuje, stačí vedieť, že riešenie tohto problému bude mať ďalekosiahle dôsledky v oblasti distribúcie prvočísel. Problém je natoľko dôležitý a naliehavý, že aj odvodenie protipríkladu hypotézy – na uvážení akademickej rady univerzity možno problém považovať za preukázaný, preto tu môžete skúsiť metódu „z opaku“. Aj keď je možné preformulovať hypotézu v užšom zmysle, aj tu Hlinený inštitút vyplatí určitú sumu peňazí.
Yang-Millsova teória
Časticová fyzika je jednou z obľúbených tém Dr. Sheldona Coopera. Tu nám kvantová teória dvoch inteligentných strýkov hovorí, že pre každú skupinu jednoduchých mierok vo vesmíre existuje hmotnostný defekt iný ako nula. Toto tvrdenie bolo preukázané experimentálnymi údajmi a numerickými simuláciami, ale zatiaľ to nikto nemôže dokázať.
Navier-Stokesove rovnice
Tu by nám Howard Wolowitz určite pomohol, keby existoval v realite - koniec koncov, toto je hádanka z hydrodynamiky a základ základov. Rovnice opisujú pohyby viskóznej newtonovskej tekutiny, majú veľký praktický význam a hlavne opisujú turbulencie, ktoré nemožno nijako zaradiť do rámca vedy a nemožno predvídať jej vlastnosti a pôsobenie. Zdôvodnenie konštrukcie týchto rovníc by umožnilo neukazovať prstom na oblohu, ale pochopiť turbulencie zvnútra a urobiť lietadlá a mechanizmy stabilnejšie.
Birch-Swinnerton-Dyerova hypotéza
Je pravda, že som sa tu snažil zachytiť jednoduché slová, ale existuje taká hustá algebra, že sa človek nezaobíde bez hlbokého ponorenia. Tí, ktorí sa nechcú potápať do matanu, musia vedieť, že táto hypotéza vám umožňuje rýchlo a bezbolestne nájsť poradie eliptických kriviek, a ak by táto hypotéza neexistovala, na výpočet tejto hodnosti by bol potrebný hárok výpočtov. . No, samozrejme, musíte vedieť aj to, že dôkaz tejto hypotézy vás obohatí o milión dolárov.
Treba poznamenať, že takmer v každej oblasti už existujú pokroky, a dokonca aj osvedčené prípady pre jednotlivé príklady. Preto neváhajte, inak to dopadne ako s Fermatovou vetou, ktorá po viac ako 3 storočiach v roku 1994 podľahla Andrewovi Wilesovi a priniesla mu Abelovu cenu a asi 6 miliónov nórskych korún (50 miliónov rubľov podľa dnešného kurzu) .
Často, keď sa rozprávame so stredoškolákmi o výskumnej práci v matematike, počujem nasledovné: "Aké nové veci sa dajú objaviť v matematike?" Ale naozaj: možno boli urobené všetky veľké objavy a vety boli dokázané?
8. augusta 1900 na medzinárodnom kongrese matematikov v Paríži matematik David Hilbert načrtol zoznam problémov, o ktorých sa domnieval, že budú vyriešené v dvadsiatom storočí. V zozname bolo 23 položiek. Doposiaľ sa ich podarilo vyriešiť dvadsaťjeden. Posledným vyriešeným problémom na Gilbertovom zozname bola slávna Fermatova veta, ktorú vedci nedokázali vyriešiť 358 rokov. V roku 1994 Brit Andrew Wiles navrhol svoje riešenie. Ukázalo sa, že je to pravda.Po vzore Gilberta na konci minulého storočia sa mnohí matematici pokúšali formulovať podobné strategické úlohy pre 21. storočie. Jeden takýto zoznam preslávil bostonský miliardár Landon T. Clay. V roku 1998 bol na jeho náklady založený Clay Mathematics Institute v Cambridge (Massachusetts, USA) a boli zriadené ceny za riešenie množstva dôležitých problémov modernej matematiky. 24. mája 2000 odborníci inštitútu vybrali sedem problémov – podľa počtu miliónov dolárov pridelených na ceny. Zoznam sa nazýva Problémy miléniových cien:
1. Cookov problém (formulovaný v roku 1971)
Povedzme, že ste vo veľkej spoločnosti a chcete sa uistiť, že je tam aj váš priateľ. Ak vám povedia, že sedí v rohu, bude stačiť zlomok sekundy, aby ste sa pohľadom ubezpečili, že informácie sú pravdivé. Pri absencii týchto informácií budete nútení obísť celú miestnosť a pozrieť sa na hostí. To naznačuje, že riešenie problému často zaberie viac času ako kontrola správnosti riešenia.
Stephen Cook sformuloval problém: môže byť kontrola správnosti riešenia problému dlhšia ako získanie samotného riešenia, bez ohľadu na overovací algoritmus. Tento problém je tiež jedným z neriešených problémov v oblasti logiky a informatiky. Jeho riešenie by mohlo spôsobiť revolúciu v základoch kryptografie používanej pri prenose a ukladaní údajov.
2. Riemannova hypotéza (formulovaná v roku 1859)
Niektoré celé čísla nemožno vyjadriť ako súčin dvoch menších celých čísel, napríklad 2, 3, 5, 7 atď. Takéto čísla sa nazývajú prvočísla a hrajú dôležitú úlohu v čistej matematike a jej aplikáciách. Rozdelenie prvočísel medzi radom všetkých prirodzených čísel nemá žiadnu pravidelnosť. Nemecký matematik Riemann však urobil predpoklad týkajúci sa vlastností postupnosti prvočísel. Ak sa preukáže Riemannova hypotéza, spôsobí to revolúciu v našich znalostiach o šifrovaní a povedie to k bezprecedentným prelomom v internetovej bezpečnosti.
3. Birchova a Swinnerton-Dyerova hypotéza (formulovaná v roku 1960)
Súvisí s popisom množiny riešení niektorých algebraických rovníc vo viacerých premenných s celočíselnými koeficientmi. Príkladom takejto rovnice je výraz x2 + y2 = z2. Euklides poskytol úplný popis riešení tejto rovnice, ale pre zložitejšie rovnice je hľadanie riešení mimoriadne ťažké.
4. Hodgeova hypotéza (formulovaná v roku 1941)
V 20. storočí objavili matematici silnú metódu na štúdium tvaru zložitých objektov. Hlavnou myšlienkou je použiť namiesto samotného predmetu jednoduché „tehly“, ktoré sú zlepené dohromady a tvoria jeho podobizeň. Hodgeova hypotéza je spojená s niektorými predpokladmi o vlastnostiach takýchto „tehál“ a predmetov.
5. Navier - Stokesove rovnice (formulované v roku 1822)
Ak sa plavíte na lodi po jazere, vzniknú vlny a ak letíte v lietadle, vo vzduchu vzniknú turbulentné prúdy. Predpokladá sa, že tieto a ďalšie javy sú opísané rovnicami známymi ako Navier-Stokesove rovnice. Riešenia týchto rovníc sú neznáme a ani sa nevie, ako ich vyriešiť. Je potrebné ukázať, že riešenie existuje a je dostatočne hladkou funkciou. Riešenie tohto problému umožní výrazne zmeniť metódy vykonávania hydro- a aerodynamických výpočtov.
6. Poincareho problém (formulovaný v roku 1904)
Ak natiahnete gumičku cez jablko, môžete pásku pomaly posúvať bez toho, aby ste opustili povrch, stlačiť ju do bodu. Na druhej strane, ak je tá istá gumička správne natiahnutá okolo šišky, neexistuje spôsob, ako pásku stlačiť do bodu bez toho, aby sa pásik neroztrhol alebo zlomil. Povrch jablka je vraj jednoducho spojený, ale povrch donutu nie. Ukázalo sa, že je také ťažké dokázať, že iba sféra je jednoducho spojená, že matematici stále hľadajú správnu odpoveď.
7. Yang-Millsove rovnice (formulované v roku 1954)
Rovnice kvantovej fyziky opisujú svet elementárnych častíc. Fyzici Yang a Mills, ktorí objavili spojenie medzi geometriou a fyzikou elementárnych častíc, napísali svoje vlastné rovnice. Našli teda spôsob, ako zjednotiť teórie elektromagnetických, slabých a silných interakcií. Yang-Millsove rovnice predpokladali existenciu častíc, ktoré boli skutočne pozorované v laboratóriách po celom svete, takže Yang-Millsova teória je akceptovaná väčšinou fyzikov, napriek tomu, že táto teória stále nedokáže predpovedať hmotnosti elementárnych častíc.
Myslím si, že tento materiál uverejnený na blogu je zaujímavý nielen pre študentov, ale aj pre školákov, ktorí sa matematike vážne venujú. Pri výbere tém a oblastí výskumu je na čo myslieť.
Neriešiteľné problémy sú 7 najzaujímavejších matematických problémov. Každá z nich bola navrhnutá známymi vedcami, spravidla vo forme hypotéz. Po mnoho desaťročí si matematici na celom svete lámali hlavu nad ich riešením. Tí, ktorí uspejú, budú odmenení miliónom amerických dolárov, ktoré ponúka Clay Institute.
Clay Institute
Tento názov je súkromná nezisková organizácia so sídlom v Cambridge v štáte Massachusetts. V roku 1998 ju založili harvardský matematik A. Jeffey a podnikateľ L. Clay. Cieľom ústavu je popularizovať a rozvíjať matematické poznatky. Na dosiahnutie tohto cieľa organizácia udeľuje ocenenia vedcom a sponzorom sľubným výskumom.
Začiatkom 21. storočia ponúkol Clay Mathematical Institute cenu tým, ktorí riešia problémy, ktoré sú známe ako najťažšie neriešiteľné problémy, pričom ich zoznam nazval Problémy tisícročnej ceny. Z „Hilbertovho zoznamu“ obsahoval iba Riemannovu hypotézu.
Výzvy tisícročia
Zoznam Clay Institute pôvodne obsahoval:
- hypotéza Hodgeovho cyklu;
- rovnice kvantovej teórie Yang-Mills;
- Poincarého hypotéza;
- problém rovnosti tried P a NP;
- Riemannova hypotéza;
- na existenciu a hladkosť jeho riešení;
- Problém Birch-Swinnerton-Dyer.
Tieto otvorené matematické problémy sú veľmi zaujímavé, pretože môžu mať mnoho praktických implementácií.
Čo dokázal Grigory Perelman
V roku 1900 slávny filozof Henri Poincaré navrhol, že každá jednoducho spojená kompaktná 3-roztoka bez hraníc je homeomorfná s 3-guľou. Jeho dôkaz vo všeobecnom prípade sa nenašiel celé storočie. Len v rokoch 2002-2003 publikoval petrohradský matematik G. Perelman množstvo článkov s riešením Poincarého problému. Mali efekt vybuchujúcej bomby. V roku 2010 bola hypotéza Poincarého vylúčená zo zoznamu „Nevyriešených problémov“ Clay Institute a samotnému Perelmanovi bola ponúknutá značná odmena, ktorá mu patrí, čo tento odmietol bez toho, aby vysvetlil dôvody svojho rozhodnutia.
Najzrozumiteľnejšie vysvetlenie toho, čo sa ruskému matematikovi podarilo dokázať, možno poskytnúť tak, že si na šišku (torus) natiahneme gumený kotúč a potom sa snažia stiahnuť okraje jeho obvodu do jedného bodu. Očividne to nie je možné. Ďalšia vec, ak urobíte tento experiment s loptou. V tomto prípade zdanlivo trojrozmerná guľa, ktorá je výsledkom disku, ktorého obvod bol pritiahnutý do bodu hypotetickou šnúrou, bude v chápaní bežného človeka trojrozmerná, ale od bodu dvojrozmerná. z pohľadu matematiky.
Poincaré navrhol, že trojrozmerná guľa je jediným trojrozmerným „objektom“, ktorého povrch sa dá stiahnuť do jedného bodu, a Perelman to dokázal. Zoznam „Neriešiteľných problémov“ teda dnes pozostáva zo 6 problémov.
Yang-Millsova teória
Tento matematický problém navrhli jeho autori v roku 1954. Vedecká formulácia teórie je nasledovná: pre akúkoľvek jednoduchú kompaktnú meranú skupinu existuje kvantová priestorová teória vytvorená Yangom a Millsom a zároveň má nulový hmotnostný defekt.
Ak hovoríme jazykom zrozumiteľným pre bežného človeka, interakcie medzi prírodnými objektmi (častice, telesá, vlny atď.) sú rozdelené do 4 typov: elektromagnetické, gravitačné, slabé a silné. Fyzici sa dlhé roky pokúšali vytvoriť všeobecnú teóriu poľa. Mal by sa stať nástrojom na vysvetlenie všetkých týchto interakcií. Yang-Millsova teória je matematický jazyk, pomocou ktorého bolo možné opísať 3 zo 4 hlavných prírodných síl. Neplatí pre gravitáciu. Preto nemožno uvažovať, že Yangovi a Millsovi sa podarilo vytvoriť teóriu poľa.
Navyše, nelinearita navrhovaných rovníc spôsobuje, že je extrémne ťažké ich vyriešiť. Pre malé väzbové konštanty ich možno približne vyriešiť vo forme série poruchových teórií. Zatiaľ však nie je jasné, ako možno tieto rovnice vyriešiť silnou väzbou.
Navier-Stokesove rovnice
Tieto výrazy popisujú procesy, ako sú prúdenie vzduchu, prúdenie tekutín a turbulencia. Pre niektoré špeciálne prípady už boli nájdené analytické riešenia Navier-Stokesovej rovnice, ale zatiaľ sa to nikomu nepodarilo pre všeobecnú. Numerické simulácie pre konkrétne hodnoty rýchlosti, hustoty, tlaku, času a tak ďalej môžu zároveň dosiahnuť vynikajúce výsledky. Ostáva dúfať, že sa niekomu podarí aplikovať Navier-Stokesove rovnice v opačnom smere, teda s ich pomocou vypočítať parametre, alebo dokázať, že neexistuje spôsob riešenia.
Problém Birch-Swinnerton-Dyer
Do kategórie „Nevyriešené problémy“ patrí aj hypotéza, ktorú navrhli anglickí vedci z University of Cambridge. Dokonca pred 2300 rokmi dal staroveký grécky vedec Euclid úplný popis riešení rovnice x2 + y2 = z2.
Ak pre každé z prvočísel spočítate počet bodov na krivke modulo, dostanete nekonečnú množinu celých čísel. Ak to konkrétne „nalepíte“ do 1 funkcie komplexnej premennej, dostanete Hasse-Weilovu zeta funkciu pre krivku tretieho rádu, označovanú písmenom L. Obsahuje informácie o modulovom správaní všetkých prvočísel naraz. .
Brian Burch a Peter Swinnerton-Dyer predpokladali o eliptických krivkách. Podľa nej štruktúra a počet množiny jej racionálnych riešení súvisí so správaním L-funkcie pri identite. V súčasnosti nepreukázaná Birch-Swinnerton-Dyerova domnienka závisí od opisu algebraických rovníc 3. stupňa a je jediným relatívne jednoduchým všeobecným spôsobom výpočtu poradia eliptických kriviek.
Aby sme pochopili praktický význam tejto úlohy, stačí povedať, že v modernej kryptografii je celá trieda asymetrických systémov založená na eliptických krivkách a domáce štandardy digitálneho podpisu sú založené na ich aplikácii.
Rovnosť tried p a np
Ak sú ostatné výzvy milénia čisto matematické, potom táto súvisí so skutočnou teóriou algoritmov. Problém týkajúci sa rovnosti tried p a np, známy aj ako Cooke-Levinov problém, možno formulovať zrozumiteľným jazykom nasledovne. Predpokladajme, že kladnú odpoveď na určitú otázku možno skontrolovať dostatočne rýchlo, t. j. v polynomiálnom čase (PT). Je potom správne tvrdenie, že odpoveď naň možno nájsť pomerne rýchlo? Ešte jednoduchšie to znie takto: naozaj nie je ťažšie skontrolovať riešenie problému, ako ho nájsť? Ak sa niekedy preukáže rovnosť tried p a np, potom sa dajú vyriešiť všetky výberové úlohy pre PV. V súčasnosti mnohí odborníci pochybujú o pravdivosti tohto tvrdenia, hoci nevedia dokázať opak.
Riemannova hypotéza
Do roku 1859 nebol identifikovaný žiadny vzor, ktorý by popisoval, ako sú prvočísla rozdelené medzi prirodzené čísla. Možno to bolo spôsobené tým, že veda sa zaoberala inými problémami. Do polovice 19. storočia sa však situácia zmenila a stali sa jednými z najrelevantnejších, ktorými sa matematika začala zaoberať.
Riemannova hypotéza, ktorá sa objavila v tomto období, je predpokladom, že v distribúcii prvočísel existuje určitý vzorec.
Dnes sa mnohí moderní vedci domnievajú, že ak sa to preukáže, bude potrebné zrevidovať mnohé zo základných princípov modernej kryptografie, ktoré tvoria základ významnej časti mechanizmov elektronického obchodu.
Podľa Riemannovej hypotézy sa charakter rozloženia prvočísel môže výrazne líšiť od toho, čo sa v súčasnosti predpokladá. Faktom je, že doteraz nebol objavený žiadny systém v rozdeľovaní prvočísel. Napríklad je tu problém „dvojičiek“, medzi ktorými je rozdiel 2. Tieto čísla sú 11 a 13, 29. Ostatné prvočísla tvoria zhluky. Sú to 101, 103, 107 atď. Vedci už dlho predpokladajú, že takéto zhluky existujú medzi veľmi veľkými prvočíslami. Ak sa nájdu, bude otázna stabilita moderných krypto kľúčov.
Hypotéza Hodgeovho cyklu
Tento doteraz nevyriešený problém bol sformulovaný v roku 1941. Hodgeova hypotéza naznačuje možnosť priblíženia tvaru akéhokoľvek predmetu „zlepením“ jednoduchých telies vyšších rozmerov. Táto metóda je známa a úspešne používaná už dlho. Nie je však známe, do akej miery je možné dosiahnuť zjednodušenie.
Teraz viete, aké neriešiteľné problémy momentálne existujú. Sú predmetom výskumu tisícok vedcov po celom svete. Zostáva dúfať, že v blízkej budúcnosti budú vyriešené a ich praktická aplikácia pomôže ľudstvu vstúpiť do nového kola technologického rozvoja.
Na svete nie je toľko ľudí, ktorí nikdy nepočuli o Fermatovej poslednej vete – možno je to jediný matematický problém, ktorý sa stal tak známym a stal sa skutočnou legendou. Spomína sa v mnohých knihách a filmoch, pričom hlavným kontextom takmer všetkých zmienok je nemožnosť dokázať vetu.
Áno, táto veta je veľmi slávna a v istom zmysle sa stala „modlou“, ktorú uctievajú amatérski a profesionálni matematici, ale len málo ľudí vie, že jej dôkaz bol nájdený, a to sa stalo už v roku 1995. Ale prvé veci.
Takže Fermatova posledná veta (často nazývaná posledná Fermatova veta), ktorú v roku 1637 sformuloval vynikajúci francúzsky matematik Pierre Fermat, je svojou podstatou veľmi jednoduchá a zrozumiteľná pre každého so stredoškolským vzdelaním. Hovorí, že vzorec a na mocninu n + b na mocninu n \u003d c na mocninu n nemá prirodzené (teda nezlomkové) riešenia pre n> 2. Všetko sa zdá byť jednoduché a jasné , no najlepší matematici a obyčajní amatéri bojovali o hľadanie riešenia viac ako tri a pol storočia.
Prečo je taká slávna? Teraz poďme zistiť...
Existuje málo dokázaných, nedokázaných a predsa nedokázaných teorémov? Ide o to, že Fermatova posledná veta je najväčším kontrastom medzi jednoduchosťou formulácie a zložitosťou dôkazu. Fermatova posledná veta je neskutočne ťažká úloha a predsa jej formuláciu porozumie každý, kto má 5 ročníkov strednej školy, no dôkaz ani zďaleka nie každý profesionálny matematik. Ani vo fyzike, ani v chémii, ani v biológii, ani v tej istej matematike neexistuje jediný problém, ktorý by bol formulovaný tak jednoducho, no zostal by tak dlho nevyriešený. 2. Z čoho pozostáva?
Začnime pytagorovými nohavicami Znenie je naozaj jednoduché – na prvý pohľad. Ako vieme z detstva, "pytagorejské nohavice sú si rovné zo všetkých strán." Problém vyzerá tak jednoducho, pretože bol založený na matematickom tvrdení, ktoré každý pozná – Pytagorovej vete: v akomkoľvek pravouhlom trojuholníku sa štvorec postavený na prepone rovná súčtu štvorcov postavených na nohách.
V 5. storočí pred Kr. Pytagoras založil pytagorejské bratstvo. Pythagorejci okrem iného študovali celočíselné trojice spĺňajúce rovnicu x²+y²=z². Dokázali, že pytagorejských trojíc je nekonečne veľa a získali všeobecné vzorce na ich nájdenie. Asi sa snažili hľadať trojky a vyššie stupne. Pytagorejci presvedčení, že to nefunguje, zanechali svoje márne pokusy. Členovia bratstva boli viac filozofi a estéti ako matematici.
To znamená, že je ľahké vybrať množinu čísel, ktoré dokonale spĺňajú rovnosť x² + y² = z²
Počnúc od 3, 4, 5 - žiak základnej školy skutočne chápe, že 9 + 16 = 25.
Alebo 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Skvelé.
No ukazuje sa, že nie. Tu sa trik začína. Jednoduchosť je zjavná, pretože je ťažké dokázať nie prítomnosť niečoho, ale naopak neprítomnosť. Keď je potrebné dokázať, že existuje riešenie, človek môže a mal by jednoducho predložiť toto riešenie.
Absenciu je ťažšie dokázať: niekto napríklad hovorí: taká a taká rovnica nemá riešenia. Dať ho do mláky? jednoduché: bam - a tu to je, riešenie! (uveďte riešenie). A je to, súper je porazený. Ako dokázať absenciu?
Povedať: „Takéto riešenia som nenašiel“? Alebo si možno zle hľadal? A čo ak sú, len veľmi veľké, no také, že ani supervýkonný počítač ešte nemá dostatok sily? Toto je ťažké.
Vo vizuálnej forme to možno znázorniť takto: ak vezmeme dva štvorce vhodnej veľkosti a rozložíme ich na jednotkové štvorce, potom sa z tohto zväzku jednotkových štvorcov získa tretí štvorec (obr. 2): 
A urobme to isté s tretím rozmerom (obr. 3) – nefunguje to. Nie je dostatok kociek alebo zostávajú ďalšie:
Ale matematik 17. storočia, Francúz Pierre de Fermat, nadšene študoval všeobecnú rovnicu x n + y n \u003d z n. A nakoniec dospel k záveru: pre n>2 celočíselné riešenia neexistujú. Fermatov dôkaz je nenávratne stratený. Rukopisy sú v plameňoch! Zostáva len jeho poznámka v Diophantusovej aritmetike: "Našiel som skutočne úžasný dôkaz tohto tvrdenia, ale okraje sú príliš úzke na to, aby ho obsiahli."
Veta bez dôkazu sa v skutočnosti nazýva hypotéza. Ale Fermat má povesť, že sa nikdy nemýli. Ak aj nezanechal dôkaz o žiadnom vyhlásení, následne sa to potvrdilo. Okrem toho Fermat dokázal svoju tézu pre n=4. Takže hypotéza francúzskeho matematika vošla do histórie ako Fermatova posledná veta.
Po Fermatovi pracovali na hľadaní dôkazu také veľké mysle ako Leonhard Euler (v roku 1770 navrhol riešenie pre n = 3),
Adrien Legendre a Johann Dirichlet (títo vedci spoločne našli dôkaz pre n = 5 v roku 1825), Gabriel Lame (ktorý našiel dôkaz pre n = 7) a mnohí ďalší. V polovici 80. rokov minulého storočia už bolo jasné, že vedecký svet je na ceste ku konečnému riešeniu Fermatovej poslednej vety, ale až v roku 1993 matematici videli a uverili, že tristoročná sága o nájdení dôkazu Posledná Fermatova veta bola takmer u konca.
Je ľahké ukázať, že stačí dokázať Fermatovu vetu len pre prvočíslo n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Pre kompozit n zostáva dôkaz platný. Ale prvočísel je nekonečne veľa...
V roku 1825, pomocou metódy Sophie Germain, matematičky Dirichlet a Legendre nezávisle dokázali vetu pre n=5. V roku 1839 Francúz Gabriel Lame ukázal pravdivosť vety pre n=7 pomocou rovnakej metódy. Postupne sa veta dokázala takmer pre všetkých n menej ako sto.
Napokon, nemecký matematik Ernst Kummer v brilantnej štúdii ukázal, že matematické metódy 19. storočia nedokážu teorém vo všeobecnej forme dokázať. Cena Francúzskej akadémie vied, založená v roku 1847 za dôkaz Fermatovej vety, zostala nepridelená.
V roku 1907 sa bohatý nemecký priemyselník Paul Wolfskel rozhodol vziať si život kvôli neopätovanej láske. Ako správny Nemec stanovil dátum a čas samovraždy: presne o polnoci. Posledný deň urobil závet a napísal listy priateľom a príbuzným. Obchod sa skončil pred polnocou. Musím povedať, že Paul sa zaujímal o matematiku. Keďže nemal čo robiť, odišiel do knižnice a začal čítať Kummerov slávny článok. Zrazu sa mu zdalo, že Kummer urobil chybu vo svojich úvahách. Wolfskehl s ceruzkou v ruke začal analyzovať túto časť článku. Prešla polnoc, prišlo ráno. Medzera v dôkaze bola vyplnená. A samotný dôvod samovraždy teraz vyzeral úplne smiešne. Pavol roztrhal listy na rozlúčku a prepísal závet.
Čoskoro zomrel prirodzenou smrťou. Dediči boli poriadne prekvapení: 100 000 mariek (viac ako 1 000 000 súčasných libier šterlingov) bolo prevedených na účet Kráľovskej vedeckej spoločnosti v Göttingene, ktorá v tom istom roku vyhlásila súťaž o cenu Wolfskel. 100 000 mariek sa spoliehalo na dokazovanie Fermatovej vety. Za vyvrátenie vety sa nemal zaplatiť ani fenig...
Väčšina profesionálnych matematikov považovala hľadanie dôkazu Fermatovej poslednej vety za stratený prípad a rezolútne odmietli strácať čas takýmto zbytočným cvičením. Ale amatéri frčia za slávou. Niekoľko týždňov po oznámení zasiahla univerzitu v Göttingene lavína „dôkazov“. Profesor E. M. Landau, ktorého povinnosťou bolo analyzovať zaslané dôkazy, rozdal svojim študentom karty:
Vážení (y). . . . . . . .
Ďakujem za rukopis, ktorý ste poslali s dôkazom Fermatovej poslednej vety. Prvá chyba je na strane ... v riadku ... . Kvôli nej stráca celý dôkaz platnosť.
Profesor E. M. Landau
V roku 1963 Paul Cohen, vychádzajúc z Gödelových zistení, dokázal neriešiteľnosť jedného z dvadsiatich troch Hilbertových problémov, hypotézy kontinua. Čo ak je neriešiteľná aj Fermatova posledná veta?! Skutoční fanatici Veľkej vety však vôbec nesklamali. Nástup počítačov nečakane poskytol matematikom novú metódu dôkazu. Po druhej svetovej vojne skupiny programátorov a matematikov dokázali Fermatovu poslednú vetu pre všetky hodnoty n do 500, potom do 1 000 a neskôr do 10 000.
V 80. rokoch Samuel Wagstaff zvýšil limit na 25 000 a v 90. rokoch matematici tvrdili, že Fermatova posledná veta platí pre všetky hodnoty n až do 4 miliónov. Ale ak sa od nekonečna odpočíta čo i len bilión biliónov, nezmenší sa. Matematikov nepresvedčí štatistika. Dokázať Veľkú vetu znamenalo dokázať ju pre VŠETKÝCH n ísť do nekonečna.
V roku 1954 dvaja mladí japonskí priatelia matematiky začali študovať modulárne formy. Tieto formuláre generujú série čísel, z ktorých každé - svoje vlastné série. Taniyama náhodou porovnal tieto série so sériami generovanými eliptickými rovnicami. Zhodovali sa! Ale modulárne formy sú geometrické objekty, zatiaľ čo eliptické rovnice sú algebraické. Medzi takými rozdielnymi objektmi sa nikdy nenašlo spojenie.
Po starostlivom testovaní však priatelia predložili hypotézu: každá eliptická rovnica má dvojča - modulárnu formu a naopak. Práve táto hypotéza sa stala základom celého trendu v matematike, ale kým sa nepreukázala hypotéza Taniyama-Shimura, celá budova sa mohla každú chvíľu zrútiť.
V roku 1984 Gerhard Frey ukázal, že riešenie Fermatovej rovnice, ak existuje, môže byť zahrnuté do nejakej eliptickej rovnice. O dva roky neskôr profesor Ken Ribet dokázal, že táto hypotetická rovnica nemôže mať v modulárnom svete obdobu. Odteraz bola Fermatova posledná veta neoddeliteľne spojená s hypotézou Taniyama-Shimuru. Po preukázaní, že každá eliptická krivka je modulárna, sme dospeli k záveru, že neexistuje žiadna eliptická rovnica s riešením Fermatovej rovnice a Fermatova posledná veta by bola okamžite dokázaná. Ale tridsať rokov nebolo možné dokázať hypotézu Taniyama-Shimura a nádejí na úspech bolo čoraz menej.
V roku 1963, keď mal len desať rokov, bol Andrew Wiles už fascinovaný matematikou. Keď sa dozvedel o Veľkej vete, uvedomil si, že sa od nej nemôže odchýliť. Ako školák, študent, postgraduálny študent sa na túto úlohu pripravoval.
Keď sa Wiles dozvedel o zisteniach Kena Ribeta, vrhol sa na dokazovanie Taniyama-Shimurovej domnienky. Rozhodol sa pracovať v úplnej izolácii a utajení. "Pochopil som, že všetko, čo má niečo spoločné s Fermatovou poslednou vetou, je príliš zaujímavé... Príliš veľa divákov úmyselne zasahuje do dosiahnutia cieľa." Sedem rokov tvrdej práce sa vyplatilo, Wiles konečne dokončil dôkaz dohadu Taniyama-Shimura.
V roku 1993 anglický matematik Andrew Wiles predstavil svetu svoj dôkaz o Fermatovej poslednej vete (Wiles čítal svoju senzačnú správu na konferencii v Inštitúte Sira Isaaca Newtona v Cambridge.), práca na ktorej trvala viac ako sedem rokov.
Zatiaľ čo humbuk v tlači pokračoval, začala sa vážna práca na overovaní dôkazov. Každý dôkaz musí byť dôkladne preskúmaný predtým, ako sa dôkaz môže považovať za prísny a presný. Wiles strávil hektické leto čakaním na spätnú väzbu recenzentov a dúfal, že si získa ich súhlas. Koncom augusta našli znalci nedostatočne odôvodnený rozsudok.
Ukázalo sa, že toto rozhodnutie obsahuje hrubú chybu, hoci vo všeobecnosti je to pravda. Wiles sa nevzdal, zavolal si na pomoc známeho špecialistu na teóriu čísel Richarda Taylora a už v roku 1994 zverejnili opravený a doplnený dôkaz vety. Najúžasnejšie je, že táto práca zabrala až 130 (!) strán v matematickom časopise Annals of Mathematics. Ale ani tam sa príbeh neskončil - posledná bodka bola urobená až v nasledujúcom roku 1995, keď bola zverejnená konečná a z matematického hľadiska „ideálna“ verzia dôkazu.
„...pol minúty po začiatku slávnostnej večere pri príležitosti jej narodenín som dal Nadii rukopis úplného dôkazu“ (Andrew Wales). Už som spomínal, že matematici sú zvláštni ľudia?
Tentoraz o dôkaze nebolo pochýb. Dva články boli podrobené najdôkladnejšej analýze av máji 1995 boli uverejnené v Annals of Mathematics.
Od toho momentu prešlo veľa času, no v spoločnosti stále panuje názor o neriešiteľnosti Fermatovej poslednej vety. Ale aj tí, ktorí vedia o nájdenom dôkaze, pokračujú v práci týmto smerom – málokto je spokojný s tým, že Veľká veta vyžaduje riešenie na 130 stranách!
Preto sa teraz sily toľkých matematikov (väčšinou amatérov, nie profesionálnych vedcov) vrhajú na hľadanie jednoduchého a výstižného dôkazu, ale táto cesta s najväčšou pravdepodobnosťou nikam nepovedie ...
zdroj
1 Murad:
Rovnosť Zn = Xn + Yn sme považovali za Diofantovu rovnicu alebo Fermatovu veľkú vetu a toto je riešenie rovnice (Zn- Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn. Potom Zn =-(Xn + Yn) je riešením rovnice (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn. Tieto rovnice a riešenia súvisia s vlastnosťami celých čísel a operácií s nimi. Takže nepoznáme vlastnosti celých čísel?! S takými obmedzenými znalosťami neprezradíme pravdu.
Uvažujme riešenia Zn = +(Xn + Yn) a Zn =-(Xn + Yn), keď n = 1. Celé čísla + Z tvoria 10 číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. Sú deliteľné 2 celými číslami +X - párne, posledné pravé číslice: 0, 2, 4, 6, 8 a +Y - nepárne, posledné pravé číslice: 1, 3, 5, 7, 9, t . e. + X = + Y. Počet Y = 5 - nepárne a X = 5 - párne čísla je: Z = 10. Vyhovuje rovnici: (Z - X) X = (Z - Y) Y a riešenie + Z = + X + Y= +(X + Y).
Celé čísla -Z pozostávajú zo spojenia -X pre párne a -Y pre nepárne a spĺňajú rovnicu:
(Z + X) X = (Z + Y) Y a roztok -Z = - X - Y = - (X + Y).
Ak Z/X = Y alebo Z/Y = X, potom Z = XY; Z/-X = -Y alebo Z/-Y = -X, potom Z = (-X)(-Y). Delenie sa kontroluje násobením.
Jednociferné kladné a záporné čísla pozostávajú z 5 nepárnych a 5 nepárnych čísel.
Uvažujme prípad n = 2. Potom Z2 = X2 + Y2 je riešením rovnice (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 a Z2 = -(X2 + Y2) je riešením rovnice (Z2 + X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Z2 = X2 + Y2 sme považovali za Pytagorovu vetu a potom riešenie Z2 = -(X2 + Y2) je tá istá veta. Vieme, že uhlopriečka štvorca ho delí na 2 časti, kde uhlopriečka je prepona. Potom platia rovnosti: Z2 = X2 + Y2 a Z2 = -(X2 + Y2), kde X a Y sú nohy. A viac riešení R2 = X2 + Y2 a R2 =- (X2 + Y2) sú kružnice, stredy sú počiatkom štvorcového súradnicového systému as polomerom R. Možno ich zapísať ako (5n)2 = (3n)2 + ( 4n)2 , kde n sú kladné a záporné celé čísla a sú to 3 po sebe idúce čísla. Riešením sú aj 2-bitové čísla XY, ktoré začínajú na 00 a končia na 99 a sú 102 = 10x10 a počítajú 1 storočie = 100 rokov.
Uvažujme riešenia, keď n = 3. Potom Z3 = X3 + Y3 sú riešenia rovnice (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3.
3-bitové čísla XYZ začínajú na 000 a končia na 999 a sú 103 = 10x10x10 = 1000 rokov = 10 storočí
Z 1000 kociek rovnakej veľkosti a farby sa dá vyrobiť rubik asi 10. Uvažujme rubik rádu +103=+1000 - červená a -103=-1000 - modrá. Pozostávajú z 103 = 1000 kociek. Ak kocky rozložíme a položíme do jedného radu alebo na seba, bez medzier, dostaneme horizontálny alebo vertikálny segment dĺžky 2000. Rubik je veľká kocka, pokrytá malými kockami, od veľkosti 1butto = 10st. -21 a nemôžete k nemu pridať ani odčítať jednu kocku.
- (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
- (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
- (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
Každé celé číslo je 1. Pridajte 1 (jednotky) 9 + 9 = 18, 10 + 9 = 19, 10 + 10 = 20, 11 + 10 = 21 a produkty:
111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321.
0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
Tieto operácie je možné vykonávať na 20-bitových kalkulačkách.
Je známe, že +(n3 - n) je vždy deliteľné +6 a - (n3 - n) je deliteľné -6. Vieme, že n3 - n = (n-1)n(n+1). Toto sú 3 po sebe idúce čísla (n-1)n(n+1), kde n je párne, potom deliteľné 2, (n-1) a (n+1) nepárne, deliteľné 3. Potom (n-1) n(n+1) je vždy deliteľné 6. Ak n=0, potom (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, potom (n-1) n(n+1)=(19)(20)(21).
Vieme, že 19 x 19 = 361. To znamená, že jeden štvorec je obklopený 360 štvorcami a potom jedna kocka je obklopená 360 kockami. Rovnosť je splnená: 6 n - 1 + 6n. Ak n = 60, potom 360 - 1 + 360 a n = 61, potom 366 - 1 + 366.
Z vyššie uvedených tvrdení vyplývajú tieto zovšeobecnenia:
n5 - 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3+9); n9-16 n= (n4-16) n (n4+16);
0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1)n(n +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
(n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3 )…3210
n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! =n! (n+1).
0 +1 +2+3+...+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n+ (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n +1)2.
Ak 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
= 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
Akékoľvek celé číslo n je mocninou 10, má: – n a +n, +1/ n a -1/ n, nepárne a párne:
- (n + n +...+ n) = -n2; – (n x n x… x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
+ (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x... x n) = + nn; + (1/n +...+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x...x1/n) = + n-n.
Je jasné, že ak sa k sebe pridá akékoľvek celé číslo, zvýši sa 2-krát a súčin bude štvorec: X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = a x a = a2. Toto sa považovalo za Vietovu vetu – omyl!
Ak k danému číslu pripočítame a odčítame číslo b, tak sa nezmení súčet, ale zmení sa súčin napr.
X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2.
X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) \u003d a2- b.
X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2.
X = a + √b i, Y = a - √bi, X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
Ak namiesto písmen a a b dáme celé čísla, dostaneme paradoxy, absurdity a nedôveru k matematike.
