ВСТУП

Топографічна карта є зменшенеузагальнене зображення місцевості, яке показує елементи за допомогою системи умовних знаків.
Відповідно до вимог топографічні карти відрізняються високою геометричною точністюта географічною відповідністю. Це забезпечується їх масштабом, геодезичною основою, картографічними проекціями та системою умовних знаків.
Геометричні властивостікартографічного зображення: розміри та форма ділянок, зайнятих географічними об'єктами, відстані між окремими пунктами, напрямки від одного до іншого – визначаються його математичною основою. Математична основакарт включає як складових частин масштаб, геодезичну основу та картографічну проекцію.
Що є масштаб карти, які види масштабів бувають, як побудувати графічний масштаб і як користуватися масштабами розглянемо на лекції.

6.1. ВИДИ МАСШТАБІВ ТОПОГРАФІЧНИХ КАРТ

При складанні карт та планів горизонтальні проекції відрізків зображують на папері у зменшеному вигляді. Ступінь такого зменшення характеризується масштабом.

Масштаб картки (плану) - відношення довжини лінії на карті (плані) до довжини горизонтального прокладання відповідної лінії місцевості

m = l До : d M

Масштаб зображення невеликих ділянок на всій топографічній карті практично постійний. У цих випадках можна вважати масштабом довжини відношення довжини лінії на карті до довжини відповідної лінії на місцевості.

Масштаб вказується на картах у різних варіантах

6.1.1. Чисельний масштаб

Чисельний масштаб виражають у вигляді дробу з чисельником 1(Аліквотний дріб).

Або

Знаменник Мчисельного масштабу показує ступінь зменшення довжин ліній на карті (плані) стосовно довжин відповідних ліній біля. Порівнюючи між собою чисельні масштаби, більшим називають той, у якого знаменник менший.
Використовуючи чисельний масштаб карти (плану), можна визначити горизонтальне прокладання dмлінії на місцевості

приклад.
Масштаб картки 1:50 000. Довжина відрізка на карті lК= 4,0 див. Визначити горизонтальне прокладання лінії біля.

Рішення.
Помноживши величину відрізка на карті в сантиметрах на знаменник чисельного масштабу, отримуємо горизонтальне прокладання в сантиметрах.
d= 4,0 см × 50 000 = 200 000 см, або 2000 м, або 2 км.

Зверніть увагу те що, що чисельний масштаб є величина абстрактна, яка має конкретних одиниць виміру.Якщо чисельник дробу висловити у сантиметрах, те й знаменник матиме самі одиниці виміру, тобто. сантиметри.

Наприклад, масштаб 1:25 000 означає, що 1 сантиметр карти відповідає 25 000 сантиметрів місцевості, або 1 дюйм карти відповідає 25 000 дюймів місцевості.

Для задоволення потреб господарства, науки та оборони країни необхідні карти різних масштабів. Для державних топографічних карт, лісовпорядних планшетів, планів лісництв та лісонасаджень визначено стандартні масштаби. масштабний ряд(Табл. 6.1, 6.2).

Масштабний ряд топографічних карт

Таблиця 6.1.

Раніше цей ряд включав масштаби 1: 300 000 і 1: 2 000.

Іменованим масштабом називають словесне вираз чисельного масштабу.Під чисельним масштабом на топографічній карті є напис, що пояснює, скільки метрів або кілометрів на місцевості відповідає одному сантиметру карти.

Наприклад, на карті під чисельним масштабом 1:50 000 записано: "в 1 сантиметрі 500 метрів". Цифра 500 у цьому прикладі є величина іменованого масштабу .
Використовуючи іменований масштаб карти, можна визначити горизонтальне прокладання dмлінії на території. Для цього необхідно величину відрізка, виміряну на карті сантиметрів, помножити на величину іменованого масштабу.

приклад. Іменований масштаб карти – «в 1 сантиметрі 2 кілометри». Довжина відрізка на карті lК= 6,3 див. Визначити горизонтальне прокладання лінії біля.
Рішення. Помноживши величину відрізка виміряного на карті в сантиметрах на величину іменованого масштабу, отримуємо горизонтальне прокладання кілометрів біля.
d= 6,3 см × 2 = 12,6 км.

Щоб уникнути математичних обчислень та прискорити роботу на карті, користуються графічними масштабами . Таких масштабів два: лінійний і поперечний .

Для побудови лінійного масштабу вибирають вихідний відрізок, зручний для цього масштабу. Цей вихідний відрізок ( а) називають основою масштабу (Рис. 6.1).

Мал. 6.1. Лінійний масштаб. Вимірюваний відрізок біля
буде CD = ED + CE = 1000 м + 200 м = 1200 м.

Основу відкладають на прямій лінії необхідну кількість разів, крайню ліву основу ділять на частини (відрізок) b), які будуть найменшими поділами лінійного масштабу . Відстань на місцевості, що відповідає найменшому розподілу лінійного масштабу, називають точністю лінійного масштабу .

Порядок користування лінійним масштабом:

• праву ніжку циркуля поставити одне з поділів праворуч від нуля, а ліву ніжку - на ліву основу;
• Довжина лінії складається з двох відліків: відлік цілих основ та відліку поділів лівої основи (рис. 6.1).
• Якщо відрізок на карті довше побудованого лінійного масштабу, його вимірюють частинами.

Поперечний масштаб

Для більш точних вимірів користуються поперечним масштабом (Рис. 6.2, б).

Рис 6.2. Поперечний масштаб. Виміряна відстань
PK = TK + PS + ST = 1 00 +10 + 7 = 117 м.

Для його побудови на відрізку прямої лінії відкладають декілька підстав масштабу ( a). Зазвичай довжина основи становить 2 см або 1 см. В отриманих точках встановлюють перпендикуляри до лінії АBі проводять через них десять паралельних ліній через рівні проміжки. Крайню ліву основу зверху та знизу ділять на 10 рівних відрізків та з'єднують їх косими лініями. Нульову точку нижньої основи з'єднують з першою точкою Зверхньої основи і так далі. Отримують ряд паралельних похилих ліній, які називають трансверсалями.
Найменший поділ поперечного масштабу дорівнює відрізку C 1 D 1 , (Рис. 6. 2, а). На таку довжину відрізняється сусідній паралельно розташований відрізок під час руху вгору по трансверсалі 0Ста по вертикальній лінії 0Д.
Поперечний масштаб із основою 2 см, називають нормальним . Якщо основа поперечного масштабу розділена на десять частин, його називають сотенним . У сотному масштабі ціна найменшого розподілу дорівнює одній сотій частці основи.
Поперечний масштаб гравіюють на металевих лінійках, які називають масштабними.

Порядок користування поперечним масштабом:

• циркулем-вимірником зафіксувати довжину лінії на карті;
• праву ніжку циркуля поставити на цілий поділ основи, а ліву - на будь-яку трансверсаль, при цьому обидві ніжки циркуля повинні розташовуватися на лінії, паралельній лінії AB;
• довжина лінії складається з трьох відліків: відлік цілих основ, плюс відлік поділів лівої основи, плюс відлік поділів вгору трансверсалі.

Точність виміру довжини лінії з допомогою поперечного масштабу оцінюється половиною ціни найменшого поділу.

6.2. РІЗНОВИДНОСТІ ГРАФІЧНИХ МАСШТАБІВ

Іноді на практиці доводиться користуватися картою або аерознімком, масштаб яких не є стандартним. Наприклад, 1:17500, тобто. 1 см на карті відповідають 175 м на місцевості. Якщо побудувати лінійний масштаб із основою 2 див, то найменше розподіл лінійного масштабу у своїй буде 35 м. Оцифрування такого масштабу викликає труднощі під час виконання практичних робіт.
Щоб спростити визначення відстаней по топографічній карті, надходять у такий спосіб. Основу лінійного масштабу приймають не 2 см, а розраховують так, щоб воно відповідало круглому числу метрів - 100, 200, і т.д.

приклад. Потрібно розрахувати довжину основи відповідного 400 м для карти масштабу 1:17500 (в одному сантиметрі 175 метрів).
Щоб визначити, які розміри на карті масштабу 1:17 500 матиме відрізок завдовжки 400 м, складаємо пропорції:
на місцевості на плані
175 м 1 см
400 м Х см
Х см = 400 м 1 см / 175 м = 2,29 см.

Вирішивши пропорцію, робимо висновок: основа перехідного масштабу в сантиметрах дорівнює величині відрізка біля метрах ділена на величину іменованого масштабу метрах.Довжина основи в нашому випадку
а= 400/175 = 2,29 см.

Якщо тепер побудувати поперечний масштаб із довжиною основи а= 2,29 см, то один розподіл лівої основи буде відповідати 40 м (рис. 6.3).

Мал. 6.3. Перехідний лінійний масштаб.
Виміряна відстань АС = НД + АВ = 800 +160 = 960 м.

Для більш точних вимірів на картах та планах будують поперечний перехідний масштаб.

Використовують цей масштаб для визначення відстаней, виміряних кроками під час окомірної зйомки. Принцип побудови та використання масштабу кроків подібний до перехідного масштабу. Основу масштабу кроків розраховують так, щоб воно відповідало круглому числу кроків (пар, трійок) - 10, 50, 100, 500.
Для розрахунку величини основи масштабу кроків необхідно визначити масштаб зйомки та розрахувати середню довжину кроку ШСР.
Середню довжину кроку (пари кроків) розраховують відомою відстані, пройденому у прямому і зворотному напрямках. Розділивши відому відстань на кількість пройдених кроків, одержують середню довжину одного кроку. При нахилі земної поверхнікількість пройдених кроків у прямому та зворотному напрямках буде різною. Під час руху у бік підвищення рельєфу крок буде коротшим, а у зворотний бік – довшим.

приклад. Відома відстань 100 м виміряна кроками. У прямому напрямку пройдено 137 кроків, а у зворотному – 139 кроків. Розрахувати середню довжину одного кроку.
Рішення. Усього пройдено: Σ м = 100 м + 100 м = 200 м. Сума кроків складає: Σ ш = 137 ш + 139 ш = 276 ш. Середня довжина одного кроку становить:

ШСР= 200/276 = 0,72 м.

Зручно працювати з лінійним масштабом, коли масштабна лінія розмічена через 1 – 3 см, а розподіли підписані круглим числом (10, 20, 50, 100). Очевидно, величина одного кроку 0,72 м у будь-якому масштабі матиме вкрай малі значення. Для масштабу 1:2 000 відрізок на плані становитиме 0,72 / 2 000 = 0,00036 м або 0,036 см. Десять кроків, у відповідному масштабі, будуть виражені відрізком 0,36 см. Найбільш зручною основою даних умов, на думку автора, буде величина 50 кроків: 0,036×50 = 1,8 см.
Для тих, хто вважає кроки парами, зручною основою буде 20 пар кроків (40 кроків) 0,036×40 = 1,44 см.
Довжину основи масштабу кроків можна також вирахувати з пропорцій або за формулою
а = (ШСР × КШ) / М
де: ШСР -середня величина одного кроку в сантиметрах,
КШ -кількість кроків на основі масштабу ,
М -знаменник масштабу.

Довжина основи для 50 кроків у масштабі 1:2 000 з довжиною одного кроку рівним 72 см складатиме:
а= 72 × 50/2000 = 1,8 см.
Щоб побудувати масштаб кроків для прикладу, необхідно горизонтальну лінію розділити на відрізки рівні 1,8 см, а ліву основу розділити на 5 або 10 рівних частин.

Мал. 6.4. Масштаб кроків.
Виміряна відстань АС = НД + АВ = 100 + 20 = 120 ш.

6.3. ТОЧНІСТЬ МАСШТАБУ

Точність масштабу (гранична точність масштабу) – це відрізок горизонтального прокладання лінії, що відповідає 0,1 мм на плані. Значення 0,1 мм визначення точності масштабу прийнято через те, що це мінімальний відрізок, який людина може розрізнити неозброєним оком.
Наприклад, для масштабу 1:10 000 точність масштабу дорівнюватиме 1 м. У цьому масштабі 1 см на плані відповідає 10 000 см (100 м) на місцевості, 1 мм - 1 000 см (10 м), 0,1 мм - 100 см (1 м). З наведеного прикладу випливає, що якщо знаменник чисельного масштабу поділити на 10 000, то отримаємо граничну точність масштабу в метрах.
Наприкладдля чисельного масштабу 1:5 000 гранична точність масштабу буде 5 000 / 10 000 = 0,5м.

Точність масштабу дозволяє вирішувати два важливі завдання:

• визначення мінімальних розмірівоб'єктів та предметів місцевості, що зображуються в даному масштабі, та розмірів об'єктів, які у даному масштабі неможливо зобразити;
• встановлення масштабу, в якому слід створювати карту, щоб на ній зобразилися предмети та об'єкти місцевості із заздалегідь визначеними мінімальними розмірами.

Практично приймається, що довжина відрізка на плані чи карті може бути оцінена з точністю 0,2 мм. Горизонтальна відстань на місцевості, що відповідає в даному масштабі 0,2 мм (0,02 см) на плані, називається графічною точністю масштабу . Графічна точність визначення відстаней на плані або карті може бути досягнута лише при використанні поперечного масштабу.
Слід мати на увазі, що при вимірах на карті взаємного положення контурів точність визначається не графічною точністю, а точністю самої карти, де помилки можуть становити в середньому 05 мм внаслідок впливу інших, крім графічних, похибок.
Якщо врахувати похибку самої карти і похибку вимірювань на карті, можна зробити висновок, що графічна точність визначення відстаней на карті в 5 - 7 гірше граничної точності масштабу, тобто становить 0,5 - 0,7 мм у масштабі карти.

6.4. ВИЗНАЧЕННЯ НЕВІДОМОГО МАСШТАБУ КАРТИ

У тих випадках, коли з якоїсь причини масштаб на карті відсутній (наприклад, обрізаний при склеюванні), він може бути визначений одним із таких способів.

• По координатній сітці . Потрібно виміряти відстань на карті між лініями координатної сітки та визначити, через яку кількість кілометрів проведені ці лінії; цим визначиться і масштаб карти.

Наприклад, координатні лінії позначені числами 28, 30, 32 і т. д. (за західною рамкою) та 06, 08, 10 (по південній рамці). Зрозуміло, що лінії проведено за 2 км. Відстань на карті між сусідніми лініями дорівнює 2 см. Звідси випливає, що 2 см на карті відповідають 2 км на місцевості, а 1 см на карті – 1 км на місцевості (іменований масштаб). Значить масштаб карти буде 1:100 000 (в 1 сантиметрі 1 кілометр).

• За номенклатурою аркуша картки. Система позначень (номенклатура) аркушів карт кожного масштабу цілком визначена, тому, знаючи систему позначень, неважко дізнатися масштаб карти.

Лист картки масштабу 1:1 000 000 (мільйонної) позначається однією з літер латинського алфавіту та одним із чисел від 1 до 60. Система позначень карт більших масштабів має в своїй основі номенклатуру листів мільйонної картки і може бути представлена наступною схемою:

1:1 000 000 - N-37
1:500 000 - N-37-Б
1:200 000 - N-37-X
1:100 000 - N-37-117
1:50 000 - N-37-117-А
1:25 000 - N-37-117-А-г

Залежно від розташування картки, літери та числа, що становлять його номенклатуру, будуть різні, але порядок і кількість літер та чисел у номенклатурі аркуша карти даного масштабу будуть завжди однакові.
Таким чином, якщо карта має номенклатуру М-35-96, то порівнявши її з наведеною схемою, можна відразу сказати, що масштаб цієї карти буде 1:100 000.
Докладніше про номенклатуру карт див. Главу 8.

• Відстань між місцевими об'єктами. Якщо на карті є два об'єкти, відстань між якими на місцевості відома або може бути виміряна, то для визначення масштабу потрібно число метрів між цими предметами на місцевості розділити число сантиметрів між зображеннями цих предметів на карті. В результаті отримаємо число метрів в 1 см цієї картки (найменований масштаб).

Наприклад, відомо, що відстань від н. Кувечине до оз. Глибоке 5 км. Вимірявши цю відстань на карті, отримали 4.8 см. Тоді
5000 м/4,8 см = 1042 м в одному сантиметрі.
Карти в масштабі 1:104 200 не видаються, тому виконуємо округлення. Після заокруглення матимемо: 1 см картки відповідає 1 000 м місцевості, тобто масштаб карти 1:100 000.
Якщо на карті є дорога з кілометровими стовпами, то масштаб найзручніше визначати, на відстані між ними.

• За розмірами довжини дуги однієї хвилини меридіана . Рамки топографічних карт по меридіанам та паралелях мають поділки у хвилинах дуги меридіана та паралелі.

Однією хвилиною дуги меридіана (за східною або західною рамкою) відповідає на території відстань 1852 м ( морська миля). Знаючи це, можна визначити масштаб карти так само, як і на відомій відстані між двома об'єктами місцевості.
Наприклад, Хвилинний відрізок по меридіану на карті дорівнює 1,8 см. Отже, в 1 см на карті буде 1852: 1,8 = 1030 м. Зробивши округлення, отримуємо масштаб карти 1:100 000.
У наших обчисленнях отримано наближені значення масштабів. Це сталося через наближеність взятих відстаней і неточність їх вимірювання на карті.

6.5. ТЕХНІКА ВИМІРЮВАННЯ ТА ВІДКЛАДАННЯ ВІДСТАН НА КАРТІ

Для вимірювання відстаней по карті використовують міліметрову або масштабну лінійку, циркуль-вимірювач, а для вимірювання кривих ліній – курвіметр.

6.5.1. Вимірювання відстаней міліметровою лінійкою

Міліметровою лінійкою виміряти відстань між заданими точкамина карті з точністю 0,1 см. Отримане число сантиметрів помножити на величину іменованого масштабу. Для рівнинної місцевості результат відповідатиме відстані на місцевості за метри або кілометри.
приклад.На карті масштабу 1: 50 000 (1 см - 500 м) відстань між двома точками дорівнює 3,4 см. Визначити відстань між цими точками.
Рішення. Іменований масштаб: 1 см 500 м. Відстань на місцевості між точками буде 3,4 × 500 = 1700 м.
При кутах нахилу земної поверхні понад 10 º необхідно ввести відповідну поправку (див. далі).

6.5.2. Вимірювання відстаней циркулем-вимірювачем

При вимірі відстані по прямій лінії голки циркуля встановлюють на кінцеві точки, потім, не змінюючи розчину циркуля, лінійному або поперечному масштабі відраховують відстань. У тому випадку, коли розчин циркуля перевищує довжину лінійного або поперечного масштабу, ціле число кілометрів визначається квадратами координатної сітки, а залишок - звичайним порядком за масштабом.

Мал. 6.5. Вимірювання відстаней циркулем-вимірювачем за лінійним масштабом.

Для отримання довжини ламаною лінії послідовно вимірюють довжину кожної її ланки, а потім підсумовують їх величини. Такі лінії вимірюють нарощуванням розчину циркуля.
приклад. Щоб виміряти довжину ламаної АВСD(Рис. 6.6, а), ніжки циркуля спочатку ставлять у крапки Аі У. Потім, обертаючи циркуль навколо точки У. переміщають задню ніжку з точки Ав точку У", що лежить на продовженні прямої НД.
Передню ніжку з точки Упереносять у крапку З. В результаті одержують розчин циркуля В "С=АВ+НД. Перемістивши аналогічним чином задню ніжку циркуля з точки В"в точку С", а передню з Зв D. одержують розчин циркуля
С"D = В"С + СD, довжину якого визначають за допомогою поперечного або лінійного масштабу.

Мал. 6.6. Вимірювання довжини лінії: а - ламаною ABCD; б - кривий A 1 B 1 C 1;
B"C" - допоміжні точки

Довгі криві відрізкивимірюють по хордах кроками циркуля (див. рис. 6.6 б). Крок циркуля, що дорівнює цілій кількості сотень або десятків метрів, встановлюють за допомогою поперечного або лінійного масштабу. При перестановці ніжок циркуля вздовж вимірюваної лінії у напрямках, показаних на рис. 6.6 б стрілками, вважають кроки. Загальна довжина лінії А 1 З складається з відрізка А 1 В 1 , рівного величині кроку, помноженої на число кроків, і залишку В 1 З 1 вимірюваного за поперечним або лінійним масштабом.

6.5.3. Вимір відстаней курвіметром

Мал. 6.7. Курвіметр механічний

Спочатку, обертаючи коліщатко рукою, встановлюють стрілку на нульовий поділ, потім прокочують коліщатко по вимірюваній лінії. Відлік на циферблаті проти кінця стрілки (у сантиметрах) множать на величину масштабу карти та одержують відстань на місцевості. Цифровий курвіметр (рис. 6.7.) – це високоточний, зручний у використанні прилад. Курвіметр включає архітектурні та інженерні функції та має зручний дисплей для читання інформації. Цей прилад може обробляти метричні та англо-американські (фути, дюйми, тощо) значення, що дозволяє працювати з будь-якими картами та кресленнями. Можна ввести найпоширеніший вид вимірювань, і прилад автоматично переводитиме масштабні вимірювання.

Мал. 6.8. Курвіметр цифровий (електронний)

Для підвищення точності та надійності результатів рекомендується всі вимірювання проводити двічі – у прямому та зворотному напрямках. У разі незначних відмінностей виміряних даних кінцевий результат приймається середнє арифметичне значення виміряних величин.
Точність виміру відстаней зазначеними способами із застосуванням лінійного масштабу становить 0,5 - 1,0 мм у масштабі карти. Те саме, але із застосуванням поперечного масштабу становить 0,2 - 0,3 мм на 10 см довжини лінії.

Мал. 6.9. Похила дальність ( S) та горизонтальне прокладання ( d)

Діючу відстань на похилій поверхні можна обчислити за такою формулою:

де d - Довжина горизонтальної проекції лінії S;
v – кут нахилу земної поверхні.

Довжину лінії на топографічній поверхні можна визначити за допомогою таблиці (табл.6.3) відносних величин поправок до довжини горизонтального прокладання (%).

Таблиця 6.3

Правила користування таблицею

1. У першому рядку таблиці (0 десятків) наведено відносні величини поправок при кутах нахилу від 0° до 9°, у другому - від 10° до 19°, у третьому - від 20° до 29°, у четвертому - від 30° до 39 °.
2. Щоб визначити абсолютну величинупоправки, необхідно:
а) у таблиці за кутом нахилу знайти відносну величину поправки (якщо кут нахилу топографічної поверхні заданий не цілим числом градусів, то треба відносну величину поправки знайти інтерполювання між табличними величинами);
б) обчислити абсолютну величину поправки до довжини горизонтального прокладання (тобто. цю довжину помножити на відносну величину поправки та отриманий добуток розділити на 100).
3. Щоб визначити довжину лінії на топографічній поверхні, треба обчислену абсолютну величину поправки додати до довжини горизонтального прокладання.

приклад. На топографічній карті визначено довжину горизонтального прокладання 1735 м, кут нахилу топографічної поверхні - 7 ° 15 '. У таблиці відносні величини поправок наведено цілих градусів. Отже, для 7°15" необхідно визначити найближчу велику і найближчу меншу величини, кратні одному градусу - 8º і 7º:
для 8° відносна величина виправлення 0,98%;
для 7 ° 0,75%;
різницю табличних величин в 1º (60′) 0,23%;
різницю між заданим кутом нахилу земної поверхні 7°15" і найближчою меншою табличною величиною 7º становить 15".
Складаємо пропорції та знаходимо відносну величину поправки для 15":

Для 60′ поправка становить 0,23%;
Для 15′ поправка становить х%
х% = = 0,0575 ≈ 0,06%

Відносна величина виправлення для кута нахилу 7°15"
0,75%+0,06% = 0,81%
Потім треба визначити абсолютну величину виправлення:
= 14,05 м-коду приблизно 14 м-коду.
Довжина похилої лінії на топографічній поверхні буде:
1735 м+14 м=1749 м.

При малих кутах нахилу (менше 4 ° - 5 °) різниця в довжині похилої лінії та її горизонтальної проекції дуже мала і може не враховуватися.

Визначення площ ділянок за топографічними картами ґрунтується на геометричній залежності між площею фігури та її лінійними елементами. Масштаб площ дорівнює квадрату лінійного масштабу.
Якщо сторони прямокутника на карті зменшені в n разів, площа цієї фігури зменшиться в n 2 разів.
Для карти масштабу 1:10 000 (1 см 100 м) масштаб площ дорівнюватиме (1: 10 000) 2 або в 1 см 2 буде 100 м × 100 м = 10 000 м 2 або 1 га, а на карті масштабу 1 :1 000 000 за 1 см 2 - 100 км 2 .

Для вимірювання площ картами застосовують графічні, аналітичні та інструментальні способи. Застосування того чи іншого способу вимірювань обумовлено формою ділянки, що вимірюється, заданою точністю результатів вимірювань, необхідною швидкістю отримання даних і наявністю необхідних приладів.

При вимірі площі ділянки з прямолінійними межами ділянку ділять на прості геометричні фігури, вимірюють площу кожної їх геометричним способом і, підсумовуючи площі окремих ділянок, обчислених з урахуванням масштабу карти, отримують загальну площу об'єкта.

Об'єкт із криволінійним контуром розбивають на геометричні фігури, попередньо спрямувавши кордони з таким розрахунком, щоб сума відсічених ділянок та сума надлишків взаємно компенсували одна одну (рис. 6.10). Результати вимірювань будуть певною мірою наближеними.

Мал. 6.10. Випрямлення криволінійних меж ділянки та
розбивка його площі на прості геометричні фігури

6.6.3. Вимірювання площі ділянки зі складною конфігурацією

Вимірювання площ ділянок, мають складну неправильну конфігурацію, частіше виробляють за допомогою палеток та планіметрів, що дає найбільш точні результати. Сіточна палетка є прозорою пластиною з сіткою квадратів (рис. 6.11).

Мал. 6.11. Квадратна сіткова палетка

Палетку накладають на контур, що вимірюється, і по ній підраховують кількість клітин та їх частин, що опинилися всередині контуру. Частки неповних квадратів оцінюються на око, тому підвищення точності вимірювань застосовуються палетки з дрібними квадратами (зі стороною 2 - 5 мм). Перед роботою на цій карті визначають площу одного осередку.
Площа ділянки розраховується за такою формулою:

Де: а -сторона квадрата, виражена у масштабі карти;
n- Число квадратів, що потрапили в межі контуру вимірюваної ділянки

Для підвищення точності площу визначають кілька разів з довільною перестановкою палетки, що використовується в будь-яке положення, в тому числі і з поворотом щодо її початкового положення. За остаточне значення площі приймають середнє арифметичне результати вимірювань.

Крім сіткових палеток, застосовують точкові та паралельні палетки, що являють собою прозорі пластини з награвіруваними точками або лініями. Крапки ставляться в одному з кутів осередків сіткової палетки з відомою ціною розподілу, потім видаляють лінії сітки (рис. 6.12).

Мал. 6.12. Точкова палетка

Вага кожної точки дорівнює ціні розподілу палетки. Площа вимірюваної ділянки визначають шляхом підрахунку кількості точок, що опинилися всередині контуру, і множать цю кількість на вагу точки.
На паралельній палетці награвіровано рівновіддалені паралельні прямі (рис. 6.13). Ділянка, що вимірюється, при накладенні на неї палетки, виявиться розділеною на ряд трапецій з однаковою висотою h. Відрізки паралельних ліній усередині контуру (посередині між лініями) є середніми лініями трапецій. Для визначення площі ділянки за допомогою цієї палетки необхідно суму всіх виміряних середніх ліній помножити на відстань між паралельними лініями палетки h(З урахуванням масштабу).

P = h∑l

Рис 6.13. Палетка, що складається із системи
паралельних ліній

Вимірювання площ значних ділянокпроводиться за картами за допомогою планіметра.

Мал. 6.14. Полярний планіметр

Планіметр служить визначення площ механічним способом. Широке поширення має полярний планіметр (рис. 6.14). Він складається з двох важелів - полюсного та обвідного. Визначення площі контуру планіметром зводиться до таких дій. Закріпивши полюс та встановивши голку обвідного важеля у початковій точці контуру, беруть відлік. Потім обвідний шпиль обережно ведуть по контуру до початкової точкита беруть другий відлік. Різниця відліків дасть площу контуру в поділах планіметра. Знаючи абсолютну ціну поділу планіметра, визначають площу контуру.
Розвиток техніки сприяє створенню нових приладів, що підвищують продуктивність праці при обчисленні площ, зокрема використання сучасних приладів, серед яких – електронні планіметри.

Мал. 6.15. Електронний планіметр

6.6.4. Обчислення площі багатокутника за координатами його вершин
(Аналітичний спосіб)

Цей спосіб дозволяє визначити площу ділянки будь-якої конфігурації, тобто. з будь-яким числом вершин, координати яких (х, y) відомі. При цьому нумерація вершин повинна проводитися протягом годинної стрілки.
Як видно із рис. 6.16 площа S багатокутника 1-2-3-4 можна розглядати як різницю площ S" фігури 1у-1-2-3-3у і S" фігури 1y-1-4-3-3у
S = S" - S".

Мал. 6.16. До обчислення площі багатокутника за координатами.

У свою чергу кожна з площ S" і S" є сумою площ трапецій, паралельними сторонами яких є абсциси відповідних вершин багатокутника, а висотами - різниці ординат цих же вершин, тобто.

S = пл. 1у-1-2-2у + пл. 2у-2-3-3у,
S" = пл 1у-1-4-4у + пл. 4у-4-3-3у
або: 2S = (х 1 + х 2) (у 2 - у 1) + (х 2 + x 3) (у 3 - у 2)
2 S = (х 1 + х 4) (у 4 - у 1) + (х 4 + х 3) (у 3 - у 4).

Таким чином,
2S = (х 1 + х 2) (у 2 - у 1) + (х 2 + x 3) (у 3 - у 2) - (х 1 + х 4) (у 4 - у 1) - (х 4 + х 3) (у 3 - у 4). Розкривши дужки, отримуємо
2S = х 1 у 2 - х 1 у 4 + х 2 у 3 - x 2 у 1 + х 3 у 4 - х 3 у 2 + х 4 у 1 - х 4 у 3

Звідси
2S = х 1 (у 2 - у 4) + х 2 (у 3 - у 1)+х 3 (у 4 - у 2)+х 4 (у 1 - у 3) (6.1)
2S = y 1 (х 4 - х 2) + y 2 (х 1 - х 3) + y 3 (х 2 - х 4) + y 4 (х 3 - х 1) (6.2)

Представимо вирази (6.1) та (6.2) в загальному вигляді, позначивши через i порядковий номер (i = 1, 2, ..., п) вершини багатокутника:
(6.3)
(6.4)
Отже, подвоєна площа багатокутника дорівнює або сумі творів кожної абсциси на різницю ординат наступної та попередньої вершин багатокутника, або сумі творів кожної ординати на різницю абсцис попередньої та наступної вершин багатокутника.
Проміжним контролем обчислень є задоволення умов:

0 або = 0
Значення координат та його різниці зазвичай округляються до десятих часток метра, а твори - до цілих квадратних метрів.
Складні формули розрахунку площі ділянки можна легко вирішити за допомогою електронних таблиць MicrosoftXL. Приклад для багатокутника (полігону) з 5 точок наведено у таблицях 6.4, 6.5.
У таблицю 6.4 вводимо вихідні дані та формули.

Таблиця 6.4.

У таблиці 6.5 бачимо результати обчислень.

Таблиця 6.5.

6.7. ОЧОМІРНІ ВИМІРИ НА КАРТІ

Відео

Завдання та питання для самоконтролю

1. Які елементи включають математичну основу карт?
2. Розкрийте поняття: "масштаб", "горизонтальне прокладання", "чисельний масштаб", "лінійний масштаб", "точність масштабу", "підстави масштабу".
3. Що являє собою іменований масштаб карти та як ним користуватися?
4. Що являє собою поперечний масштаб карти, з якою метою він призначений?
5. Який поперечний масштаб карти вважають за нормальний?
6. Які масштаби топографічних карт та лісовпорядних планшетів застосовують в Україні?
7. Що таке перехідний масштаб карти?
8. Як розраховують основу перехідного масштабу?
Попередня

ТЕМА 2. МАСШТАБИ. ЇХНІ ВИДИ. ТОЧНІСТЬ МАСШТАБІВ

Горизонтальні проекціївідрізків при складанні карт та планів зображують на папері у зменшеному вигляді. Ступінь такого зменшення характеризується масштабом.

Масштаб картки (плану)- Це відношення довжини лінії на карті (плані) до довжини горизонтального прокладання відповідної лінії місцевості: .

Масштаби бувають чисельні, іменовані та графічні.

Чисельний масштабможе бути представлений у вигляді простого дробу – у чисельнику одиниця, у знаменнику ступінь зменшення mнаприклад , або М = 1:2000.

Іменований масштабможе бути представлений у вигляді «1 см 20 м». Доцільність такого співвідношення визначається тим, що при вивченні місцевості картою зручно і звично оцінювати довжину відрізків на карті в сантиметрах, а довжину горизонтальних прокладень на місцевості представляти в метрах або кілометрах. Для цього чисельний масштаб перетворюють на різнотипні одиниці виміру: 1 см картки відповідає такій кількості метрів (кілометрів) місцевості.

Щоб уникнути обчислень та прискорити роботу, користуються графічними масштабами. Найчастіше використовуваними є: лінійний, клиновий та поперечний.

Лінійний масштаббудують та використовують для зручності користування картами та планами, він дозволяє уникнути розрахунків при переведенні довжин ліній місцевості в масштаб карти чи плану та навпаки. На топографічних картах та планах лінійний масштаб викреслюється під південною рамкою картки чи плану.

Мал. 1. Схема компонування аркуша топографічної карти

Для побудови лінійного масштабу вибирають вихідний відрізок, зручний для даного масштабу. Цей вихідний відрізок називається основою масштабу (рис.2). Основу відкладають на прямій лінії необхідну кількість разів, крайню ліву основу ділять на 10 частин. Потім лінійний масштаб підписують, виходячи з того чисельного масштабу, для якого він будується (рис. 2, адля М = 1:25 000).

Для забезпечення необхідної точності вимірювань кут між площиною картки та кожною ніжкою циркуля-вимірника (рис. 2, б)не повинен бути менше 60°, і вимір довжини відрізка слід провести не менше двох разів. Розбіжність D S(в метрах) між результатами вимірювань має бути , де Т- Число тисяч у знаменнику чисельного масштабу. Так, наприклад, при вимірі відрізків по карті М і користування лінійним масштабом, який розміщений зазвичай за південною стороною рамки аркуша карти, розбіжності при подвійних вимірах не повинні перевищувати 1,5 ´ 10 = 15 м.

Мал. 2. Лінійний масштаб

Якщо відрізок довше побудованого лінійного масштабу, його вимірюють частинами. У цьому випадку розбіжність між результатами вимірювання у прямому та зворотному напрямках не повинна перевищувати , де п –кількість установок вимірювача при вимірі даного відрізка.

Для більш точних вимірів користуються поперечним масштабом, що мають на лінійному масштабі додаткову побудову по вертикалі (рис. 3).

Після того як необхідна кількістьоснов масштабу відкладено (також зазвичай довжиною 2 см, тоді масштаб називається нормальним), відновлюють перпендикуляри до вихідної лінії та ділять їх на рівні відрізки (на mчастин).

Мал. 3. Поперечний масштаб

Якщо основа розділена на пчастин і точки поділу верхньої та нижньої основи з'єднані похилими лініями (трансверсалями) так, як показано на рис. 3, то відрізок
. Відповідно відрізок ef= 2cd;рq = 3сdі т. д. Якщо m = п= 10, то cd = 0,01 основи, тобто. такий поперечний масштаб дозволяє певним чином оцінити відрізок з точністю 0,01 частки основи. Поперечний масштаб, у якого довжина основи 2 см m = п = 10 називають сотеним нормальним.

Поперечний масштаб гравіюють на металевих лінійках, які називаються масштабними. Перед застосуванням масштабної лінійки слід оцінити основу та її частки за наступною схемою.

Нехай чисельний масштаб 1:5000, іменоване співвідношення буде: 1 см 50 м. Якщо поперечний масштаб нормальний, то основа становитиме 100 м; 0,1 основи – 10 м; 0,01 основи – 1 м. Завдання щодо відкладення відрізка заданої довжини зводиться до визначення числа основ, його десятих і сотих часток. Нехай, наприклад, потрібно відкласти відрізок d = 173,35 м-код, тобто. потрібно взяти в розчин вимірювача: 1 основа +7 (0,1 основи) +3 (0,01 основи) і на око розташувати ніжки вимірювача між горизонтальними лініями 3 і 4 (рис. 4) так, щоб лінія АБвідсікала 0,35 проміжку між цими лініями (відрізок ДЕ).Зворотне завдання (визначення довжини відрізка, взятого в розчин вимірювача) відповідно і вирішується у зворотному порядку. Домогшись суміщення голок вимірювача з відповідними вертикальною і похилою лініями так, щоб обидві ніжки вимірювача знаходилися на одній горизонтальній лінії, зчитуємо кількість основ та його часток ( d B Г = 235,3 м).

Мал. 4. Визначення відстані за допомогою поперечного масштабу

Перехідний масштаб. Іноді на практиці доводиться користуватися картою або аерознімком, масштаб яких не є стандартним, наприклад 1:17 500, тобто, 2 см на карті відповідає 350 м на місцевості; найменший розподіл нормального поперечного сотенного масштабу буде при цьому 3,5 м. Оцифрування такого масштабу незручна для практичних робіт, тому надходять наступним чином: основу поперечного масштабу беруть не 2 см, а розраховують так, щоб воно відповідало круглому числу метрів, наприклад, 400м. Довжина основи в цьому випадку дорівнюватиме 400м/175м=2,28см. Якщо тепер побудувати поперечний масштаб з довжиною основи 2,28 см, то один розподіл лівої основи буде відповідати 40м, а ціна найменшого розподілу дорівнюватиме 4м. поперечний масштаб із дробовою основою називається перехідним.

Одним із варіантів перехідних масштабів є клиновий (пропорційний) масштаб.Застосовують при роботі з різномаштабними аерознімками та планами. При побудові цього масштабу по горизонталі і вертикалі відкладають те саме відстань, виражене в різних масштабах, кінці отриманих відрізків з'єднують.

Клиновий масштаб (рис. 5) будують за допомогою двох катетів прямокутного трикутника. По горизонтальній лінії АВ (підставі) відкладають відрізки по 100м в одному масштабі; по вертикальній лінії ПС (праворуч) відкладають відрізки, рівні лініїАВ у потрібних масштабах, наприклад, 1:12000, 1:15000, 1:17000, 1:24000. Кінці відповідних відрізків по лінії ПС потім з'єднують з точкою А, що лежить з лівого боку основи масштабу. Клиновий масштаб будується на целулоїді, алюмінії або іншому матеріалі, що мало деформується.

Мал. 5. Клиновий масштаб

На клиноподібному масштабі (рис. 5) відкладені відстані: у масштабі 1:12000 лінія 1-1" довжиною 340м, у масштабі 1:15000 лінія 2-2" довжиною 570м, у масштабі 1:17000 лінія 3-3" довжиною 6 в масштабі 1:24000 лінія 4-4" завдовжки 890м.

Точність масштабу.Карта чи план – це графічні документи. Вважають, що точність графічних побудов оцінюється величиною 0,1 мм. Довжина горизонтального прокладання лінії місцевості, що відповідає на карті відрізку 0,1 мм, називається точністю масштабу (μ). Практичний зміст цього поняття полягає в тому, що деталі місцевості, що мають розміри менші за точність масштабу, на карті в масштабі зобразити неможливо, і доводиться застосовувати так звані позамасштабні умовні знаки.

Крім поняття "точність масштабу", існує поняття "точність плану". Точність плану показує, з якою помилкою нанесені на план чи карту точкові об'єкти чи чіткі контури. Точність плану оцінюється здебільшого величиною 0,5 мм, до неї входять помилки всіх процесів створення плану, зокрема і помилки графічних побудов.

Масштаби бувають чисельні, іменовані та графічні.

Чисельний масштабвиражається аліквотним дробом, чисельник якого дорівнює одиниці, а знаменник круглому числу, що показує, у скільки разів зменшено лінії місцевості. Чисельний масштаб записується як відносини. Наприклад, чисельний масштаб 1: 1 000 показує, що в одному сантиметрі плану міститься 1 000 сантиметрів, або 10 метрів на місцевості.

Іменований масштабна картах пишеться нижче чисельного і показує, скільки метрів біля міститься у одному сантиметрі плану. Наприклад, "В 1 сантиметрі 100 метрів", що відповідає чисельному масштабу 1: 10 000.

Масштаби розрізняють дрібні та великі. Чим більший знаменник масштабу, тим дрібніший масштаб і навпаки. Але поняття великого та дрібного масштабу щодо. Так для цілей інвентаризації у міській забудові масштаб 1: 500 великий, а 1: 2 000 дрібний. Для інвентаризації сільських поселень масштаб 1: 2000 великий, а 1: 5000 дрібний. Для відображення земель господарства масштаб 1: 25 000 великий, а 1: 50 000 дрібний. Основними масштабами для топографічних планів є 1: 5000, 1: 2000, 1: 1000.

Масштаб для цього плану є постійною величиною. Знаючи чисельний масштаб, можна легко довжини ліній біля перекладати довжини ліній у плані і навпаки.

Приклад 1

Довжина лінії біля дорівнює 247.56 м. Визначити розмір відрізка на плані масштабу 1: 5 000. Для цього масштабу одному 5 000 сантиметрів чи 50 метрів біля. Довжина лінії на плані дорівнюватиме 247.56: 50 = 4.95 см.

Приклад 2

На плані, складеному в масштабі 1: 10 000, виміряний відрізок 3.15 див. Визначити довжину лінії біля. Для цього масштабу горизонтальне прокладання дорівнює

3.15 · 100 = 315 м

Щоб не робити таких обчислень, користуються номограмами (графічними масштабами), які бувають лінійні та поперечні.

Лінійниймасштаб є горизонтальну лінію, де відкладені рівні відрізки (зазвичай 1 див), звані основою масштабу. Довжина основи масштабу вибирається так, щоб у ньому було кругле число метрів (рисунок 1).

Приклад 3

Нехай потрібно відкласти лінію довжиною 285.3 м в масштабі 1: 10 000. Для цього беруть циркулем-вимірювачем (рисунок 2) від нульового поділу вправо дві основи (що відповідає 200 м), а потім ліву голку вимірювача відводять на 8.5 малого поділу що відповідає 85 м).

Малюнок 1 - Лінійний масштаб

Малюнок 2 – Циркуль-вимірювач

Користуючись лінійним масштабом, ми змушені найменший поділ оцінювати його на око, що знижує точність вимірювань і при вирішенні інженерних геодезичних завдань по карті є неприпустимим. Тому для складання планів, карт та розв'язання задач по карті користуються поперечним масштабом.

Поперечний масштабє номограмою, нанесеною на металеву пластинудовжиною від 10 до 22 см (рисунок 3).

Малюнок 3 - Поперечний масштаб із основою 2 см

Крайню ліву основу вгорі та внизу ділять на 5 або 10 рівних частин (α) і точки цього поділу з'єднують похилими лініями, які називаються трансверсалями. Початок першого відрізка знизується внизу з початком другого відрізка вгорі і т.д. Вертикальні відрізки ділять на 10 частин (?) і проводять горизонтальні лінії. Ціна найменшого поділу «а - в» лінійки залежить від довжини основи «А – В» та кількості горизонтальних та вертикальних відрізків.

ав = АВ / α ∙ β

Вимірювання довжин ліній на плані поперечного масштабу виконується за допомогою циркуля-вимірника.

Ліворуч від лінійки ЛПМ-1 (лінійка поперечного масштабу ‑ 1) вигравірувано для якого масштабу краще використовувати цю номограму, наприклад: – 1: 5… (рисунок 3). Це означає, що зручніше визначати довжини ліній у масштабах 1: 500, 1: 5 000 та інших кратних "5".

Приклад 4

На плані в масштабі 1: 500 виміряний відрізок, взятий у розчин циркуля-вимірника (рисунок 3). Потрібно визначити його довжину (горизонтальне прокладання) біля. У цьому масштабі 1 сантиметру на плані відповідає 500 5 метрів. В основі лінійки 2 5 10 10 разів менше, тобто 1 10 разів менше, тобто 0.1 метри. У розчині вимірювача дві повні основи (20 м), сім відрізків по горизонталі (7 м) і вісім відрізків по вертикалі (0.8 м). Відрізок прямий, розчині вимірювача дорівнює 27.8 м.

Приклад 5

На плані в масштабі 1: 5 000 виміряний відрізок, взятий у розчин циркуля-вимірника (рисунок 3). Потрібно визначити його довжину (горизонтальне прокладання) біля. У цьому масштабі 1 сантиметру на плані відповідає 5 000 сантиметрів на місцевості або 50 метрів. В основі лінійки 2 сантиметра та кожному відповідає 50 метрів біля. Значить одна основа лінійки одно 100 метрів біля. Тоді один горизонтальний відрізок (крок по горизонталі) на лівій основі буде 10 разів менше, тобто 10 10 разів менше, тобто 1 метр. У розчині вимірювача дві повні основи (200 м), сім відрізків по горизонталі (70 м) і вісім відрізків по вертикалі (8 м). Відрізок прямий, розчині вимірювача дорівнює 278 м.

Приклад 6

На плані в масштабі 1: 1000 виміряний відрізок, взятий у розчин циркуля-вимірювача (рисунок 4). Потрібно визначити його довжину (горизонтальне прокладання) біля. У цьому масштабі 1 сантиметру на плані відповідає 1 000 сантиметрів на місцевості або 10 метрів. В основі лінійки 1 10 метрів біля. Значить одна основа лінійки одно 10 метрів біля. Тоді один горизонтальний відрізок (крок по горизонталі) на лівій основі буде 10 разів менше, тобто 1 метр. Ціна найменшого поділу (крок по трансверсалі у вертикальному напрямку) відповідно ще 10 разів менше, тобто 0.1 метри. У розчині вимірювача три повні підстави (30 м), п'ять відрізків по горизонталі (5 м) і сім відрізків по вертикалі (0.7 м). Відрізок прямий, розчині вимірювача дорівнює 35.7 м.

Малюнок 4 - Поперечний масштаб із основою 1 см

Приклад 7

На карті в масштабі 1: 10 000 виміряний відрізок, взятий у розчин циркуля-вимірника (рисунок 5). Потрібно визначити його довжину (горизонтальне прокладання) біля. У цьому масштабі 1 сантиметру на плані відповідає 10 000 сантиметрів на місцевості або 100 метрів. В основі лінійки 1 сантиметр і йому відповідає 100 метрів біля. Значить одна основа лінійки одно 100 метрів біля. Тоді один горизонтальний відрізок (крок по горизонталі) на лівій основі буде 10 разів менше, тобто 10 метрів. Ціна найменшого поділу (крок по трансверсалі у вертикальному напрямку) відповідно ще 10 разів менше, тобто 1 метр. У розчині вимірювача три повні основи (300 м), п'ять відрізків по горизонталі (50 м) і сім відрізків по вертикалі (7 м). Відрізок прямий, розчині вимірювача дорівнює 357 м.

Малюнок 5 - Поперечний масштаб із основою 4 см

Приклад 8

На карті в масштабі 1: 25 000 виміряний відрізок, взятий у розчин циркуля-вимірника (рисунок 4). Потрібно визначити його довжину (горизонтальне прокладання) біля. У цьому масштабі 1 сантиметру на плані відповідає 25 000 сантиметрів на місцевості або 250 метрів. В основі лінійки 4 сантиметра та кожному відповідає 250 метрів біля. Значить одна основа лінійки одно 1000 метрів біля. Тоді один горизонтальний відрізок (крок по горизонталі) на лівій основі буде 10 разів менше, тобто 100 метрів. Ціна найменшого поділу (крок по трансверсалі у вертикальному напрямку) відповідно ще 10 разів менше, тобто 10 метр. У розчині вимірювача одна повна основа (1 000 м), чотири відрізки по горизонталі (400 м) та п'ять відрізків по вертикалі (50 м). Відрізок прямий, розчині вимірювача дорівнює 1450 м.

На лінійці ЛПМ-1 також вигравірувано номограма для масштабів кратних двом - 1: 2… (наприклад: 1: 2 000) з основою 5 сантиметрів. Будь-яку з наведених тут номограм можна використовувати для визначення відстаней за планами та картами, виконаними в будь-якому іншому масштабі.

Приклад 9

На плані в масштабі 1: 1000 виміряний відрізок, взятий у розчин циркуля-вимірювача (рисунок 3). Потрібно визначити його довжину (горизонтальне прокладання) біля по номограмі з кратністю 1: 5… У цьому масштабі 1 сантиметру на плані відповідає 1 000 сантиметрів на місцевості або 10 метрів. В основі лінійки 2 сантиметра та кожному відповідає 10 метрів біля. Значить одна основа лінійки одно 20 метрів біля. Тоді один горизонтальний відрізок (крок по горизонталі) на лівій основі буде 10 разів менше, тобто 2 метри. Ціна найменшого поділу (крок по трансверсалі у вертикальному напрямку) відповідно ще 10 разів менше, тобто 0.2 метри. У розчині вимірювача дві повні основи (40 м), сім відрізків по горизонталі (14 м) і вісім відрізків по вертикалі (1.6 м). Відрізок прямий, розчині вимірювача дорівнює 55.6 м.

Приклад 10

На карті в масштабі 1: 25 000 виміряний відрізок, взятий у розчин циркуля-вимірника (рисунок 4). Потрібно визначити його довжину (горизонтальне прокладання) біля по номограмі з кратністю 1: 1… У цьому масштабі 1 сантиметру на плані відповідає 25 000 сантиметрів на місцевості або 250 метрів. В основі лінійки 1 сантиметр і йому відповідає 250 метрів біля. Значить одна основа лінійки одно 250 метрів біля. Тоді один горизонтальний відрізок (крок по горизонталі) на лівій основі буде 10 разів менше, тобто 25 метрів. Ціна найменшого поділу (крок по трансверсалі у вертикальному напрямку) відповідно ще 10 разів менше, тобто 2.5 метри. У розчині вимірювача три повні основи (750 м), п'ять відрізків по горизонталі (125 м) і сім відрізків по вертикалі (17.5 м). Відрізок прямий, розчині вимірювача дорівнює 892.5 м.

Масштаб- Це відношення довжини відрізка на карті, плані або кресленні до відповідної йому реальної довжини на місцевості.
Масштаб показує: скільки разів кожна лінія. нанесена на карту, зменшена стосовно її дійсних розмірів біля.
Зменшення зображення - це необхідність, ми рідко замислюємося над цим, проте також рідко зображуємо предмети в натуральну величину. Як правило, щоб вони помістилися на аркуші паперу, їх доводиться зменшувати, рідше — доводиться збільшувати. Особливо актуально це зображення земної поверхні, адже зображати її віч-на-віч зовсім неможливо.
Чи будь-яке зменшене зображення має масштаб? Звичайно, ні. До малюнка масштаб не застосовується, навіть якщо рисунок дуже якісний. У будь-якому випадку художник внесе спотворення в зображуваний предмет, а з визначення масштабу ми бачимо, що кожна(!) лінія нашого зображення зменшена по відношенню до реального предмета однаково. Отже, зображення в масштабі може бути виконане як мінімум за наявності вимірювальних приладів (принаймні лінійки). Як максимум – з використанням обчислювальної техніки.

Масштаб – це відношення. Ставлення передбачає процес розподілу, отже, масштаб — це математичний дріб, у якому є чисельник і знаменник. У чисельнику дробу записується довжина відрізка на зображенні, а знаменнику — довжина реального відрізка, що зображається.

Припустимо, зображення виконано (хоч для карти це і неможливо) в масштабі один до одного - довжина відрізка, що зображується, збігається з довжиною зображеного.
Масштаб записується як 1:1
Якщо зображення зменшено в 3 рази, масштаб запишеться як 1:3
Зменшення у 100 000 разів записується як 1:100 000

Що це означає?

Якщо масштаб 1 до 1, значить 1 сантиметр нашого зображення відповідає 1 реальний сантиметр поверхні, а якщо 1:100 000, значить - 1 сантиметр зображення відповідає 100 000 сантиметрів. А одному метру зображення? 1 метр тоді буде відповідати 100 000 метрів. Зауважимо, що якою б не була обрана довжина на карті, реальна довжина буде більшою — у нашому випадку у 100 000 разів.

Якщо масштаб 1:1000 тоді в тисячу; 1:30 000 000 - тридцять мільйонів.

Переклад

Коли ми скажемо, що одному сантиметру карти відповідає тридцять мільйонів сантиметрів, ніхто нічого не зрозуміє. Отже, треба перевести це астрономічне число на щось зрозуміле. Ми знаємо, що за 1 метр 100 сантиметрів. Отже, можна перевести сантиметри на метри. 30000000 сантиметрів ділимо на 100 і отримуємо 300 000 метрів. Теж не надто зручно, отже, треба перекладати далі. Пам'ятаємо, що за 1 кілометр 1000 метрів. Ділимо 300 000 метрів на 1000. Вийшло 300 кілометрів. Отже, в одному сантиметрі карти масштабу 1:30 000 000 міститься 300 кілометрів, а це вже можна уявити.
Є простий і надійний спосібперекладу сантиметрів у кілометри — зрештою ми ділили число на 100 000 (спочатку на 100, а потім на 1000), так що можна просто подумки закривати 5 нулів і переводити значно швидше, проте потрібно пам'ятати що це підходить тільки для перекладу сантиметрів у кілометри і лише тоді, коли нулів вистачає. Для масштабу 1:50 тисяч нам буде достатньо зупинитися на метрах.

Види масштабу

Той масштаб, що пишеться у вигляді дробу через знак ":" називається чисельним. Приклади чисельного масштабу: 1:1000, 1:1000 000, 1:250 000
Регулярно для того, щоб не доводилося весь час виконувати переказ чисельного масштабу на картах (особливо шкільних), вказують іменованиймасштаб. Він показує, яка відстань міститься в 1 сантиметрі картки і записується: в 1 см 1 м; за 1 см 10 км; за 1 см 2,5 км відповідно.
Іноді під картою додають лінійний масштаб у вигляді мірної лінійки. Це зручно, тому що за його наявності можна, скориставшись циркулем-вимірником або лінійкою виміряти відстань на карті, прикласти її до лінійного масштабу та отримати результат, що відповідає реальній відстані.

Види карт за масштабом

Ключовий відмінною особливістюкартки від малюнка є наявність масштабу. Карта без масштабу – це не карта. Усі картографічні твори прийнято класифікувати відповідно до масштабу, у якому вони виконані.
- Дрібномасштабні (карти світу або материків - їх масштаб дрібніший за 1:1000 000)
- Середньомасштабні (карти країн, великих островів - від 1:100 000 до 1:1000 000)
- Великомасштабні (карти невеликих країн, областей, міст - не більше 1: 100 000)
Запам'ятайте: чим більший масштаб, тим менше розміщується на карті. Справа в тому, що масштаб — це дріб, а чим менший знаменник дробу, тим він більший.

< В раздел "Загальні поняття"
< На главную страницу

Види масштабів

• Чисельний.
• Іменований.
• графічний.

Чисельний масштаб

Іменований масштаб

Лінійний масштаб

лінійним

Зображення (фото, малюнки)

• Зображення якого масштабу може називатися планом

• Повідомлення реферат масштаб

• Доповідь на тему масштаб

• Японія на другому світовому кінці

• Значення великих масштабів

Запитання до цієї статті:

• Що таке масштаб?

• Що показує масштаб?

• Що означає масштаб 1:5000, 1:50000? Який із них більший? Який масштаб зручніший для плану земельної ділянки, а який — для плану великого міста?

Види масштабів

Масштаб можна написати цифрами або словами або зобразити графічно.

• Чисельний.
• Іменований.
• графічний.

Чисельний масштаб

Чисельний масштаб підписують цифрами внизу плану чи карти. Наприклад, масштаб «1: 1000» означає, що у плані всі відстані зменшено в 1000 раз. 1 см на плані відповідає 1000 см на місцевості, або, оскільки 1000 см = 10 м, 1 см на плані відповідає 10 м на місцевості.

Іменований масштаб

Іменований масштаб плану чи карти позначають словами. Наприклад, може бути написано «в 1 см — 10 м».

Лінійний масштаб

Найзручніше користуватися масштабом, зображеним у вигляді відрізка прямої лінії, розділеної на рівні частини, зазвичай сантиметри (рис. 15). Такий масштаб називається лінійним, він також показується внизу карти або плану. Зверніть увагу, що при кресленні лінійного масштабу нуль ставлять відступаючи на 1 см від лівого кінця відрізка, а перший сантиметр ділять на п'ять частин (по 2 мм).

Біля кожного сантиметра підписано, якій відстані це відповідає плану. Один сантиметр розділений на частини, біля яких написано, якій відстані на карті вони відповідають. Циркулем-вимірювачем або лінійкою вимірюють довжину будь-якого відрізка на плані і, прикладаючи цей відрізок до лінійного масштабу, визначають його довжину на місцевості.

Застосування та використання масштабу

Знаючи масштаб, можна визначати відстані між географічними об'єктами, вимірювати самі об'єкти.

Якщо відстань від дороги до річки на плані з масштабом 1: 1000 («в 1 см - 10 м») дорівнює 3 см, значить, на території вона дорівнює 30 м. Матеріал з сайту http://wikiwhat.ru

Припустимо, від одного об'єкта до іншого 780 м. Показати в натуральну величину ця відстань на папері неможливо, тому доведеться викреслити його в масштабі. Наприклад, якщо всі відстані будуть зображені в 10 000 разів меншими, ніж у дійсності, тобто 1 см на папері буде відповідати 10 тис. см (або 100 м) на місцевості. Тоді в масштабі відстань у нашому прикладі від одного об'єкта до іншого буде дорівнює 7 см і 8 мм.

Зображення (фото, малюнки)

На цій сторінці матеріал за темами:

• Масштаб це величина чи співвідношення

• Значення для розвитку світової спільноти освіти США

• Що таке масштаб?

• Реферат з математики масштаб та його застосування

• Чи існували в кінці 19 початку 20 в колонії в США і Росії якщо так

Запитання до цієї статті:

• Що таке масштаб?

• Що показує масштаб?

• Що можна виміряти за допомогою масштабу?

• Яке велике озеро, якщо на полоні з масштабом 1:2000 («в 1 см — 20 м») його довжина становить 5 см?

• Що означає масштаб 1:5000, 1:50000?

  Який із них більший? Який масштаб зручніший для плану земельної ділянки, а який — для плану великого міста?

Матеріал із сайту http://WikiWhat.ru

Більше цікавих статей:

Масштаб. Види масштабів. Точність масштабу

Масштабом називається абстрактне число, що показує у скільки разів зменшено горизонтальні прокладання ліній місцевості при зображенні їх на планах і картах, кратне 100 або 1000 . Позначають 1: М. Масштаб обчислюють як відношення довжини відрізка на карті до горизонтального горизонтального відрізка на місцевості. (Горизонтальним прокладанням називається проекція похилої відстані на горизонтальну площину). Масштаб виявляється у числовому, текстовому і графічному видах і називається числовим, іменованим, лінійним і поперечним. Числовий масштабце дріб, чисельник якої одиниця, а знаменник - число з двома та більше нулями. Словами масштаб виражають як частку знаменника: 1:500 – одна п'ятисота; 1: 10000 – одна десятитисячна; 1: 50000 - одна п'ятдесятитисячна і т.д. Масштаб 1:М означає, що одиниці довжини взятої на карті біля відповідає М таких самих одиниць. Наприклад, у масштабі 1:2000 відрізку на плані 1см на місцевості буде відповідати 2000см або 20м, 1мм відповідає 2000мм або 2м. Числовий масштаб дозволяє вирішувати дві задачі: 1) по довжині відрізка на карті (плані) визначити довжину відповідного горизонтального прокладання на місцевості: S 0 = s * М; 2) по довжині горизонтального прокладання лінії на місцевості визначити його довжину на карті s = S 0/М. Числовий масштаб підписують на картах та планах унизу аркуша карти (під південною стороною рамки) посередині його. Іменований масштаб- це текст, що виражає число метрів або кілометрів горизонтального відрізка на місцевості, що відповідає 1 см на карті (плані). Наприклад, для масштабу 1:500 буде: 1см 5м. Його використовують для спрощення виміру відстаней по карті. Вимірявши лінійкою відстань між точками на карті сантиметрах (до 0,05см) і помноживши величину іменованого масштабу число сантиметрів, отримують відстань між точками біля. Лінійний масштаб- це шкала з поділами, підписаними значеннями відстаней на місцевості, що відповідають числовому масштабу. Лінійний масштаб викреслюють так: на креслярському папері прокреслюють дві паралельні лінії з відстанню між ними 1мм. Розділяють лінії на відрізки довжиною зазвичай 2см, звані основами масштабу і проводять у них перпендикуляри, що виступають на 1мм над верхньою лінією. Першу ліворуч основу ділять на десять частин (поділів) і проводять через них перпендикуляри так само як через основи. Зафарбовують половинки поділів у поздовжньому напрямку через один поділ. Проводять через середини поділів вертикально відрізки між лініями шкали (через 1мм). Підписують поділки в такий спосіб. Над правим кінцем першої основи пишуть 0 (нуль), а над лівим - число метрів чи кілометрів, що відповідає в даному масштабі основи. Над підставами правіше нуля підписують значення відповідних відстаней біля. Лівіше за нуль підписують значення через один поділ (Рис. 2.2)

Рис.2.2 Лінійний масштаб

По лінійному масштабу відстані вимірюють з точністю 0,0 2-0,03 основи або приблизно 0,5 мм.

Поперечний масштаб– це графік чи номограма, побудований з використанням методу пропорційного клину. Його застосовують для вимірювань та побудов на картах з підвищеною точністю. Зазвичай його гравіюють на металевих лінійках чи транспортирах, такі лінійки називають масштабними. Він може бути побудований і на папері. Поперечний масштаб влаштований в такий спосіб. Він має вигляд прямокутника, розділеного вертикальними, горизонтальними та похилими лініями. Нижня горизонтальна лінія розділена на відрізки, рівні 2см, звані підставами масштабу, вони пронумеровані: нижче лінії основ масштабу на правому краю першої основи підписано нуль, далі 1, 2, 3 і т.д., на лівому краю першої основи – 1. Через кінці основ проведено перпендикуляри, які розділені на 10 частин горизонтальними лініями з відстанями між ними 2, 2,5 чи 3мм. Нижня та верхня лінії першої основи розділені на 10 частин. Нуль нижньої основи з'єднаний похилою лінією з першим зліва від нульового перпендикуляра розподілом верхньої лінії, перший зліва нижній з другим зліва верхнім і т.д., 9-й нижній з останнім (десятим) верхнім. Похилі лінії називають трансверсалями. Таким чином, ліва частина графіка має вигляд горизонтальних та похилих ліній. Фігури між нульовим перпендикуляром і першою до нього трансверсаллю і першим зліва перпендикуляром та найближчою до нього трансверсаллю мають вигляд пропорційного клину. Відстані на горизонтальних лініях між суміжними трансверсалями становлять десяту частку основи, а між нульовою вертикальною лінією та трансверсалями змінюється від однієї сотої на першій горизонтальній лінії до однієї десятої частки основи на останній - верхній підставі (рис.1б). Так як перша основа розділена на десять частин і перпендикуляр до нього розділений також на десять частин, то мінімальна відстань між вертикальною та похилою лініями клину на горизонтальній лінії становить одну соту частку основи, тому такий поперечний масштаб називають сотенним. Поперечний масштаб будують у такому порядку. На прямій лінії, як і при побудові лінійного масштабу, відкладають кілька разів основу масштабу 2см. Підстави нумерують: зліва від нуля 1, праворуч – 1, 2,3 тощо. У кінцевих точках основи відновлюють перпендикуляри завдовжки, рівною підставі, чи більшої довжини. Крайні перпендикуляри ділять на десять частин і через отримані точки проводять

Мал. 2.3. Лінійний та поперечний масштаби

прямі лінії, паралельні лінії основ. Нижню та верхню лінії першої основи ділять на десять рівних частин. Отримані точки з'єднують наступним чином: нульову точку нижньої основи з першою верхньою зліва, першу нижню – з другою верхньою і т.д. дев'яту нижню з десятою верхньою, як показано на рис.1б. За допомогою поперечного масштабу можна виміряти довжину відрізка на плані (карті) з точністю половини найменшого поділу клину, тобто. 0,1мм. Для відкладення на плані виміряного біля відстані (горизонтального прокладання), його виражають у частках підстави масштабу (цілих і дробових) розподілом на величину підстави в заданому масштабі, наносять на графік і з нього циркулем переносять на план (карту).

Точність масштабуНеозброєним оком з відстані нормального зору (25см) можна розрізнити дві точки окремо, якщо відстань між ними не менше ніж 0,1мм. Ця величина прийнята як критерій точності масштабу. Точністю масштабуназивається горизонтальний відрізок біля метрах, відповідний 0,1мм на карті, позначають t, тобто. t = 0,1мм * М. Його простіше обчислювати розподілом знаменника масштабу на 10000: t m = М:10000 (оскільки 1м дорівнює 1000мм). Наприклад, точність масштабу 1: 500 дорівнює 0,1мм * 500 = 50мм = 0,05м або 500: 10000 = 0,05м. Точність масштабу дозволяє вирішувати дві важливі завдання: 1) Визначати, які з предметів місцевості з відомими розмірами ℓ можуть бути зображені в даному масштабі та які не зобразяться. Якщо ℓ ³ t m , то зобразяться, а якщо ℓ< t m , то не изобразятся. 2) Определять масштаб, в каком следует создавать карту, чтобы изобразились нужные предметы и детали местности, приравняв минимальный отрезок к точности масштаба t m = ℓ min м, М = ℓ min м /0,1мм или М = ℓ min м *10000, без учета размерности отрезка. Затем выбирают из масштабного ряда масштаб, ближайший к вычисленному, крупнее его.

Класифікація карт та планів

Карти розрізняють за такими ознаками: 1) За видом об'єкта, що картографується - карти Землі (їх називають географічними), Місяця, планет і астрономічні або зоряного неба. 2) За просторовим охопленням - карти всієї поверхні Землі - світу, півкуль, материків, Світового океану, країн та його частин. 3) За масштабом: великомасштабні (1:100000 і більше), їх називають великомасштабними топографічними; середньомасштабні (1:200000, 1:500000, 1:1000000), їх називають оглядово-топографічними; дрібномасштабні (дрібніші 1:1000000) - оглядові чи загальногеографічні. 4) За призначенням: багатоцільові та спеціальні. Багатоцільові призначені для широкого кола споживачів, на них відображається сукупність всіх елементів земної поверхні – ситуації та рельєфу з однаковою подробицею. Спеціальні (або тематичні) картки призначені для вузького кола спеціалістів. Основним змістом їх є тема, що відображається, природні або суспільні явища. До них належать: науково-довідкові, навчальні, фізико-географічні, політико-адміністративні, економічні, морські навігаційні, аеронавігаційні, дорожні, туристичні, пропагандистські та ін.