Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Арифметична прогресія - це ряд чисел, в якому кожне число більше (або менше) попереднього на одну й ту саму величину.
Ця тема часто представляється складною і незрозумілою. Індекси у літер, n-й членпрогресії, різниця прогресії - все це якось бентежить, так ... Розберемося зі змістом арифметичної прогресіїі все відразу налагодиться.)
Концепція арифметичної прогресії.
Арифметична прогресія - поняття дуже просте та чітке. Сумніваєтесь? Даремно.) Дивіться самі.
Я напишу незакінчений ряд чисел:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Чи зможете продовжити цей ряд? Які числа підуть далі, за п'ятіркою? Кожен... е-е-е..., коротше, кожен зрозуміє, що далі підуть числа 6, 7, 8, 9 тощо.
Ускладнимо завдання. Даю незакінчений ряд чисел:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Чи зможете вловити закономірність, продовжити ряд, і назвати сьомеЧисло ряду?
Якщо зрозуміли, що це число 20 – я вас вітаю! Ви не тільки відчули ключові моментиарифметичної прогресії,але й успішно вжили їх у справу! Якщо не зрозуміли – читаємо далі.
А тепер переведемо ключові моменти із відчуттів у математику.)
Перший ключовий момент.
Арифметична прогресія має справу з рядами чисел.Це і бентежить спочатку. Ми звикли рівняння вирішувати, графіки будувати і таке інше... А тут продовжити ряд, знайти число ряду...
Нічого страшного. Просто прогресії – це перше знайомство з новим розділом математики. Розділ називається "Ряди" і працює саме з рядами чисел та виразів. Звикайте.)
Другий ключовий момент.
В арифметичній прогресії будь-яке число відрізняється від попереднього на одну й ту саму величину.
У першому прикладі ця різниця – одиниця. Яке число не візьми, воно більше попереднього на один. У другому – трійка. Будь-яке число більше попереднього на трійку. Власне, саме цей момент дає нам можливість вловити закономірність і розрахувати наступні числа.
Третій ключовий момент.
Цей момент не впадає у вічі, так... Але дуже, дуже важливий. Ось він: кожне число прогресії стоїть своєму місці.Є перше число, є сьоме, є сорок п'яте і т.д. Якщо їх переплутати абияк, закономірність зникне. Зникне й арифметична прогресія. Залишиться просто ряд чисел.
Ось і вся суть.
Зрозуміло, в новій теміз'являються нові терміни та позначення. Їх треба знати. Інакше й завдання не зрозумієш. Наприклад, доведеться вирішувати, що-небудь, типу:
Випишіть перші шість членів арифметичної прогресії (a n), якщо a 2 = 5, d = -2,5.
Вселяє?) Літери, індекси якісь... А завдання, між іншим - простіше нікуди. Просто потрібно зрозуміти зміст термінів та позначень. Зараз ми цю справу опануємо і повернемося до завдання.
Терміни та позначення.
Арифметична прогресія- це ряд чисел, у якому кожне число відрізняється від попереднього на одну й ту саму величину.
Ця величина називається . Розберемося з цим поняттям детальніше.
Різниця арифметичної прогресії.
Різниця арифметичної прогресії- це величина, на яку будь-яке число прогресії більшепопереднього.
Один важливий момент. Прошу звернути увагу на слово "Більше".Математично це означає, що кожне число прогресії виходить додаткомрізниці арифметичної прогресії до попереднього числа.
Для розрахунку, скажімо, другогочисла ряду, треба до першомучислу додатицю саму різницю арифметичної прогресії. Для розрахунку п'ятого- Різниця треба додатидо четвертому,ну і т.п.
Різниця арифметичної прогресіїможе бути позитивною,тоді кожне число ряду вийде реально більше за попередній.Така прогресія називається зростаючою.Наприклад:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Тут кожне число виходить додаткомпозитивного числа +5 до попереднього.
Різниця може бути і негативною,тоді кожне число ряду вийде менше за попередній.Така прогресія називається (ви не повірите!) спадаючою.
Наприклад:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Тут кожне число виходить теж додаткомдо попереднього, але негативного числа, -5.
До речі, під час роботи з прогресією дуже корисно буває відразу визначити її характер - зростаюча вона, чи спадна. Це чудово допомагає зорієнтуватися у вирішенні, засікти свої помилки та виправити їх, поки не пізно.
Різниця арифметичної прогресіїпозначається, як правило, літерою d.
Як знайти d? Дуже просто. Треба від будь-якого числа ряду відібрати попереднєчисло. Відняти. До речі, результат віднімання називається "різниця".)
Визначимо, наприклад, dдля зростаючої арифметичної прогресії:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Беремо будь-яке число ряду, яке хочемо, наприклад, 11. Віднімаємо від нього попереднє число,тобто. 8:
Це правильна відповідь. Для цієї арифметичної прогресії різниця дорівнює трьом.
Брати можна саме будь-яке число прогресії,т.к. для конкретної прогресії d -завжди одне й те саме.Хоч десь на початку ряду, хоч у середині, хоч де завгодно. Брати не можна тільки перше число. Просто тому, що у першого числа немає попереднього.)
До речі, знаючи, що d = 3знайти сьоме число цієї прогресії дуже просто. Додамо 3 до п'ятого числа - отримаємо шосте, це буде 17. Додамо до шостого числа трійку, отримаємо сьоме - двадцять.
Визначимо dдля спадної арифметичної прогресії:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Нагадую, що, незалежно від символів, для визначення dтреба від будь-якого числа відібрати попереднє.Вибираємо будь-яку кількість прогресії, наприклад -7. Попереднє у нього – число -2. Тоді:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Різниця арифметичної прогресії може бути будь-яким числом: цілим, дрібним, ірраціональним, всяким.
Інші терміни та позначення.
Кожне число ряду називається членом арифметичної прогресії.
Кожен член прогресії має свій номер.Номери йдуть строго по порядку, без жодних фокусів. Перший, другий, третій, четвертий і т.д. Наприклад, у прогресії 2, 5, 8, 11, 14, ... двійка - це перший член, п'ятірка - другий, одинадцять - четвертий, ну, ви зрозуміли...) Прошу чітко усвідомити - самі числаможуть бути абсолютно будь-які, цілі, дробові, негативні, які завгодно, але нумерація чисел- суворо по порядку!
Як записати прогресію в загальному вигляді? Не питання! Кожне число ряду записується як букви. Для позначення арифметичної прогресії використовується, як правило, літера a. Номер члена вказується індексом внизу праворуч. Члени пишемо через кому (або крапку з комою), ось так:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- це перше число, a 3- третє, тощо. Нічого хитрого. Записати цей ряд коротко можна ось так: (a n).
Прогресії бувають кінцеві та нескінченні.
Кінцевапрогресія має обмежену кількість членів. П'ять, тридцять вісім, скільки завгодно. Але – кінцеве число.
Нескінченнапрогресія - має безліч членів, як можна здогадатися.)
Записати кінцеву прогресію через ряд можна ось так, всі члени та крапка в кінці:
a 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .
Або так, якщо членів багато:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
У короткому записі доведеться додатково вказувати кількість членів. Наприклад (для двадцяти членів), ось так:
(a n), n = 20
Нескінченну прогресію можна дізнатися по трьома крапками в кінці ряду, як у прикладах цього уроку.
Тепер можна вирішити завдання. Завдання нескладні, чисто розуміння сенсу арифметичної прогресії.
Приклади завдань з арифметичної прогресії.
Розберемо детально завдання, що наведено вище:
1. Випишіть перші шість членів арифметичної прогресії (a n), якщо a 2 = 5, d = -2,5.
Перекладаємо завдання зрозумілою мовою. Дана нескінченна арифметична прогресія. Відоме друге число цієї прогресії: a 2 = 5.Відома різниця прогресії: d = -2,5.Потрібно знайти перший, третій, четвертий, п'ятий та шостий члени цієї прогресії.
Для наочності запишу ряд за умовою завдання. Перші шість членів, де другий член – п'ятірка:
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....
a 3 = a 2 + d
Підставляємо у вираз a 2 = 5і d = -2,5. Не забуваймо про мінус!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Третій член вийшов меншим за другий. Все логічно. Якщо число більше попереднього на негативнувеличину, отже, саме число вийде менше попереднього. Прогресія – спадна. Гаразд, врахуємо.) Вважаємо четвертий член нашого ряду:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Так, члени з третього до шостого вирахували. Вийшов такий ряд:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Залишається знайти перший член a 1за відомим другим. Це крок в інший бік, вліво.) Отже, різниця арифметичної прогресії dтреба не додати до a 2, а відібрати:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Ось і всі справи. Відповідь завдання:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Принагідно зауважу, що це завдання ми вирішували рекурентнимспособом. Це страшне слово означає, лише, пошук члена прогресії за попереднім (сусіднім) числом.Інші методи роботи з прогресією ми розглянемо далі.
З цього простого завдання можна зробити один важливий висновок.
Запам'ятовуємо:
Якщо нам відомий хоча б один член та різниця арифметичної прогресії, ми можемо знайти будь-який член цієї прогресії.
Запам'ятали? Цей нескладний висновок дозволяє вирішувати більшість завдань шкільного курсупо цій темі. Всі завдання крутяться навколо трьох головнихпараметрів: член арифметичної прогресії, різницю прогресії, номер члена прогресії.Всі.
Зрозуміло, вся попередня алгебра не скасовується.) До прогресії причіплюються і нерівності, і рівняння, та інші речі. Але по самій прогресії- все крутиться довкола трьох параметрів.
Наприклад розглянемо деякі популярні завдання з цієї теми.
2. Запишіть кінцеву арифметичну прогресію у вигляді ряду, якщо n=5, d = 0,4 та a 1 = 3,6.
Тут все просто. Все вже дано. Потрібно згадати, як вважаються члени арифметичної прогресії, порахувати та й записати. Бажано не пропустити слова за умови завдання: "кінцеву" і " n=5". Щоб не рахувати до повного посиніння.) У цій прогресії всього 5 (п'ять) членів:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Залишається записати відповідь:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Ще завдання:
3. Визначте, чи буде число 7 членом арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 = 4,1; d = 1,2.
Хм... Хто ж його знає? Як визначити?
Як-не-як... Та записати прогресію у вигляді ряду і подивитися, буде там сімка, чи ні! Вважаємо:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Зараз чітко видно, що сімку ми просто проскочилиміж 6,5 та 7,7! Не потрапила сімка до нашого ряду чисел, і, отже, сімка не буде членом заданої прогресії.
Відповідь: ні.
А ось завдання на основі реального варіантуДІА:
4. Виписано кілька послідовних членів арифметичної прогресії:
...; 15; х; 9; 6; ...
Тут записаний ряд без кінця та початку. Немає ні номерів членів, ні різниці d. Нічого страшного. Аби вирішити завдання досить розуміти сенс арифметичної прогресії. Дивимося і розуміємо, що можна дізнатисяіз цього ряду? Які параметри із трьох головних?
Номери членів? Немає тут жодного номера.
Зате є три числа і – увага! - Слово "послідовних"за умови. Це означає, що числа йдуть по порядку, без перепусток. А чи є в цьому ряду два сусідніхвідомі числа? Так є! Це 9 і 6. Отже, ми можемо обчислити різницю арифметичної прогресії! Від шістки віднімаємо попереднєчисло, тобто. дев'ятку:
Залишилися дрібниці. Яка кількість буде попередньою для ікса? П'ятнадцять. Отже, ікс можна легко знайти простим додаванням. До 15 додати різницю арифметичної прогресії:
От і все. Відповідь: х = 12
Наступні завдання вирішуємо самостійно. Зауваження: ці завдання - не так на формули. Чисто на розуміння сенсу арифметичної прогресії.) Просто записуємо ряд з числами-літерами, дивимось і розуміємо.
5. Знайдіть перший позитивний член арифметичної прогресії, якщо a 5 = -3; d = 1,1.
6. Відомо, що число 5,5 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 = 1,6; d = 1,3. Визначте номер n цього члена.
7. Відомо, що у арифметичній прогресії a 2 = 4; a 5 = 15,1. Знайдіть a3.
8. Виписано кілька послідовних членів арифметичної прогресії:
...; 15,6; х; 3,4; ...
Знайдіть член прогресії, позначений літерою х.
9. Потяг почав рух від станції, поступово збільшуючи швидкість на 30 метрів за хвилину. Якою буде швидкість поїзда через п'ять хвилин? Відповідь дайте за км/год.
10. Відомо, що в арифметичній прогресії a 2 = 5; a 6 = -5. Знайдіть a 1.
Відповіді (безладно): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Все вийшло? Чудово! Можна освоювати арифметичну прогресію більш високому рівні, у наступних уроках.
Чи не все вийшло? Не біда. У Особливому розділі 555 всі ці завдання розібрані по кісточках.) І, звичайно, описаний простий практичний прийом, який відразу висвічує вирішення подібних завдань чітко, ясно, як на долоні!
До речі, у завданні про поїзд є дві проблемки, на яких нерідко спотикається народ. Одна – чисто за прогресією, а друга – загальна для будь-яких завдань з математики, та й фізики теж. Це переклад розмірності з однієї в іншу. В показано, як треба ці проблеми вирішувати.
У цьому вся уроці ми розглянули елементарний сенс арифметичної прогресії та її основні параметри. Цього достатньо для вирішення практично всіх завдань на цю тему. Додай dдо числа, пиши ряд, все і вирішиться.
Рішення "на пальцях" добре підходить для дуже коротких шматочків ряду, як у прикладах цього уроку. Якщо ряд довше, обчислення ускладнюються. Наприклад, якщо в задачі 9 у питанні замінити "п'ять хвилин"на "тридцять п'ять хвилин",завдання стане значно зліше.)
А ще бувають завдання прості по суті, але несусвітні за обчисленнями, наприклад:
Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121 якщо a 1 =3, а d=1/6.
І що, будемо багато разів додавати по 1/6?! Це ж убитися можна!
Можна.) Якщо не знати просту формулу, За якою вирішувати подібні завдання можна за хвилину. Ця формула буде у наступному уроці. І завдання ця там вирішена. За хвилину.)
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Поняття числової послідовності має на увазі відповідність кожному натуральному числу деякого дійсного значення. Такий ряд чисел може бути як довільним, так і мати певні властивості - прогресія. У разі кожен наступний елемент (член) послідовності можна обчислити з допомогою попереднього.
Арифметична прогресія – послідовність числових значень, В якій її сусідні члени відрізняються між собою на однакове число (подібною властивістю мають всі елементи ряду, починаючи з 2-го). Це число- Різниця між попереднім і наступним членом - постійно і називається різницею прогресії.
Різниця прогресії: визначення
Розглянемо послідовність, що складається із j значень A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j належить множині натуральних чисел N. Арифметична прогресія, згідно свого визначення, – послідовність, в якій a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) - a(j-1) = d. Величина d - потрібна різниця даної прогресії.
d = a(j) – a(j-1).
Виділяють:
- Зростаючу прогресію, у разі d > 0. Приклад: 4, 8, 12, 16, 20, …
- Зменшуючу прогресію, тоді d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Різниця прогресії та її довільні елементи
Якщо відомі 2 довільних члена прогресії (i-ий, k-ий), то встановити різницю для даної послідовності можна на основі співвідношення:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, отже d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Різниця прогресії та її перший член
Цей вираз допоможе визначити невідому величину лише у випадках, коли відомий номер елемента послідовності.
Різниця прогресії та її сума
Сума прогресії – це сума її членів. Для обчислення сумарного значення її перших j елементів скористайтеся відповідною формулою:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, але т.к. a(j) = a(1) + d(j – 1), то S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(–1))/2)*j.
При вивченні алгебри в загальноосвітній школі (9 клас) однією з важливих тем є вивчення числових послідовностей, до яких належать прогресії – геометрична та арифметична. У цій статті розглянемо арифметичну прогресію та приклади з рішеннями.
Що являє собою арифметична прогресія?
Щоб це зрозуміти, необхідно дати визначення прогресії, що розглядається, а також навести основні формули, які далі будуть використані при вирішенні завдань.
Арифметична або - це такий набір упорядкованих раціональних чисел, кожен член якого відрізняється від попереднього на певну постійну величину. Ця величина називається різницею. Тобто, знаючи будь-який член упорядкованого ряду чисел та різницю, можна відновити всю арифметичну прогресію.
Наведемо приклад. Наступна послідовність чисел буде арифметичною прогресією: 4, 8, 12, 16, ..., оскільки різниця в цьому випадку дорівнює 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). А от набір чисел 3, 5, 8, 12, 17 вже не можна віднести до виду прогресії, оскільки різниця для нього не є постійною величиною (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Важливі формули
Наведемо тепер основні формули, які знадобляться вирішення завдань з використанням арифметичної прогресії. Позначимо символом a n n член послідовності, де n - ціле число. Різницю позначимо латинською літерою d. Тоді справедливі такі вирази:
- Для визначення значення n-го члена підійде формула: n = (n-1) * d + a 1 .
- Для визначення суми перших n доданків: S n = (a n +a 1) * n/2.
Щоб зрозуміти будь-які приклади арифметичної прогресії з рішенням у 9 класі, достатньо запам'ятати ці дві формули, оскільки на їх використанні будуються будь-які завдання типу, що розглядається. Також слід пам'ятати, що різниця прогресії визначається за формулою: d = a n - a n-1 .
Приклад №1: знаходження невідомого члена
Наведемо простий приклад арифметичної прогресії і формул, які необхідно використовувати для вирішення.
Нехай дана послідовність 10, 8, 6, 4, ..., необхідно знайти п'ять членів.
З умови завдання вже випливає, що перші 4 доданки відомі. П'яте можна визначити двома способами:
- Обчислимо для початку різницю. Маємо: d = 8 – 10 = -2. Аналогічним чином можна було взяти будь-які два інших члени, що стоять поряд один з одним. Наприклад, d = 4 – 6 = -2. Оскільки відомо, що d = a n - a n-1 тоді d = a 5 - a 4 , звідки отримуємо: a 5 = a 4 + d. Підставляємо відомі значення: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Другий спосіб вимагає знання різниці аналізованої прогресії, тому спочатку потрібно визначити її, як показано вище (d = -2). Знаючи, що перший член a 1 = 10, скористаємося формулою для числа n послідовності. Маємо: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Підставляючи останній вираз n = 5, отримуємо: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Як видно, обидва способи рішення привели до того самого результату. Зазначимо, що у цьому прикладі різниця d прогресії є негативною величиною. Такі послідовності називаються спадними, оскільки кожен наступний член менший за попередній.
Приклад №2: різниця прогресії
Тепер ускладнимо трохи завдання, наведемо приклад, як знайти різницю прогресії арифметичної.
Відомо, що в деякій алгебраїчній прогресії 1-й член дорівнює 6, а 7-й член дорівнює 18. Необхідно знайти різницю і відновити цю послідовність до 7 члена.
Скористаємося формулою визначення невідомого члена: a n = (n - 1) * d + a 1 . Підставимо до неї відомі дані з умови, тобто числа a 1 і a 7 маємо: 18 = 6 + 6 * d. З цього виразу можна легко обчислити різницю: d = (18 - 6) / 6 = 2. Отже, відповіли першу частину завдання.
Щоб відновити послідовність до 7 членів, слід скористатися визначенням алгебраїчної прогресіїтобто a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d і так далі. У результаті відновлюємо всю послідовність: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, а 7 = 18.
Приклад №3: складання прогресії
Ускладнимо ще сильніша умова завдання. Тепер необхідно відповісти на питання, як знаходити арифметичну прогресію. Можна навести наступний приклад: дані два числа, наприклад, - 4 і 5. Необхідно скласти алгебраїчну прогресію так, щоб між цими містилося ще три члени.
Перш ніж розпочинати вирішувати це завдання, необхідно зрозуміти, яке місце займатимуть задані числа у майбутній прогресії. Оскільки між ними будуть ще три члени, тоді a 1 = -4 і a 5 = 5. Встановивши це, переходимо до завдання, яке аналогічне попередньому. Знову для n-го члена скористаємося формулою, отримаємо: a 5 = a 1 + 4*d. Звідки: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Тут набули не ціле значення різниці, проте воно є раціональним числом, Тому формули для алгебраїчної прогресії залишаються тими самими.
Тепер додамо знайдену різницю до a 1 і відновимо члени прогресії, що бракують. Отримуємо: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, що збіглося з умовою задачі.
Приклад №4: перший член прогресії
Продовжимо наводити приклади арифметичної прогресії із рішенням. У всіх попередніх завданнях було відоме перше число прогресу алгебри. Тепер розглянемо завдання іншого типу: нехай дані два числа, де a 15 = 50 і a 43 = 37. Необхідно знайти, з якого числа починається ця послідовність.
Формули, якими користувалися досі, припускають знання a 1 і d. За умови завдання про ці числа нічого невідомо. Проте випишемо вирази для кожного члена, про який є інформація: a 15 = a 1 + 14 * d і a 43 = a 1 + 42 * d. Отримали два рівняння, у яких 2 невідомі величини (a 1 та d). Це означає, що завдання зводиться до розв'язання системи лінійних рівнянь.
Вказану систему найпростіше вирішити, якщо виразити у кожному рівнянні a 1 , а потім порівняти отримані вирази. Перше рівняння: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; друге рівняння: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Прирівнюючи ці вирази, отримаємо: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, звідки різниця d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (наведено лише 3 знаки точності після коми).
Знаючи d, можна скористатися будь-яким із 2 наведених вище виразів для a 1 . Наприклад, першим: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, можна його перевірити, наприклад, визначити член прогресії, який заданий в умові. Отримаємо: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Невелика похибка пов'язані з тим, що з обчисленнях використовувалося округлення до тисячних часток.
Приклад №5: сума
Тепер розглянемо кілька прикладів із рішеннями на суму арифметичної прогресії.
Нехай дана цифрова прогресіянаступного виду: 1, 2, 3, 4, ...,. Як розрахувати суму 100 цих чисел?
Завдяки розвитку комп'ютерних технологій можна це завдання вирішити, тобто послідовно скласти всі числа, що обчислювальна машина зробить відразу ж, як людина натисне клавішу Enter. Однак завдання можна вирішити в умі, якщо звернути увагу, що представлений ряд чисел є алгебраїчною прогресією, причому її різниця дорівнює 1. Застосовуючи формулу для суми, отримуємо: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100)/2 = 5050.
Цікаво відзначити, що це завдання носить назву "гаусової", оскільки на початку XVIII століття знаменитий німецький ще у віці всього 10 років, зміг вирішити її в умі за кілька секунд. Хлопчик не знав формули для суми алгебраїчної прогресії, але він помітив, що якщо складати попарно числа, що знаходяться на краях послідовності, то виходить завжди один результат, тобто 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а оскільки цих сум буде рівно 50 (100/2), то для отримання правильної відповіді достатньо помножити 50 на 101.
Приклад №6: сума членів від n до m
Ще одним типовим прикладом суми арифметичної прогресії є наступний: дано такий чисел ряд: 3, 7, 11, 15, ..., потрібно знайти, чому дорівнюватиме сума його членів з 8 по 14.
Завдання вирішується двома способами. Перший передбачає перебування невідомих членів з 8 по 14, а потім їх послідовне підсумовування. Оскільки доданків небагато, такий спосіб не є досить трудомістким. Проте пропонується вирішити це завдання другим методом, який є більш універсальним.
Ідея полягає в отриманні формули для суми прогресу алгебри між членами m і n, де n > m - цілі числа. Випишемо для обох випадків два вирази для суми:
- S m = m*(a m + a 1)/2.
- S n = n*(a n + a 1)/2.
Оскільки n > m, то очевидно, що 2 сума включає першу. Останній висновок означає, що якщо взяти різницю між цими сумами, і додати до неї член a m (у разі взяття різниці він віднімається із суми S n), то отримаємо необхідну відповідь на завдання. Маємо: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1-m/2). У цей вираз необхідно підставити формули для a n і a m. Тоді отримаємо: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Отримана формула є дещо громіздкою, проте сума S mn залежить від n, m, a 1 і d. У нашому випадку a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Підставляючи ці числа отримаємо: S mn = 301.
Як видно з наведених рішень, всі завдання ґрунтуються на знанні виразу для n-го члена та формули для суми набору перших доданків. Перед тим як приступити до вирішення будь-якого з цих завдань, рекомендується уважно прочитати умову, ясно зрозуміти, що потрібно знайти, і потім приступати до вирішення.
Ще одна порада полягає у прагненні до простоти, тобто якщо можна відповісти на питання, не застосовуючи складні математичні викладки, то необхідно чинити саме так, оскільки в цьому випадку ймовірність припуститися помилки менше. Наприклад, у прикладі арифметичної прогресії з рішенням №6 можна було б зупинитися на формулі S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m і розбити загальне завдання на окремі завдання (у даному випадкуспочатку знайти члени a n та a m).
Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, то рекомендується перевіряти, як це було зроблено в деяких наведених прикладах. Як знаходити арифметичну прогресію, з'ясували. Якщо розібратися, це не так складно.
Багато хто чув про арифметичну прогресію, але не всі добре уявляють, що це таке. У даній статті дамо відповідне визначення, а також розглянемо питання, як знайти різницю арифметичної прогресії, і наведемо ряд прикладів.
Математичне визначення
Отже, якщо мова йдепро прогресію арифметичної чи алгебраїчної (ці поняття визначають одне й те саме), це означає, що є певний числовий ряд, що задовольняє наступного закону: кожні два сусідніх числа в ряду відрізняються на те саме значення. Математично це записується так:
Тут n означає номер елемента a n у послідовності, а число d - це різниця прогресії (її назва випливає з представленої формули).
Про що говорить знання різниці d? Про те, як "далеко" один від одного відстоять сусідні числа. Проте знання d є необхідною, але з достатньою умовою визначення (відновлення) всієї прогресії. Необхідно знати ще одне число, яким може бути абсолютно будь-який елемент ряду, наприклад, a 4 , a10, але, як правило, використовують перше число, тобто a 1 .
Формули для визначення елементів прогресії
Загалом інформації вище вже достатньо, щоб переходити до вирішення конкретних завдань. Проте до того, як буде дана арифметична прогресія, і знайти різницю її буде необхідно, наведемо пару корисних формул, полегшивши тим самим подальший процес вирішення завдань.
Нескладно показати, що будь-який елемент послідовності з номером n може бути знайдений так:
a n = a 1 + (n - 1) * d
Дійсно, перевірити цю формулу може кожен простим перебором: якщо підставити n = 1, то вийде перший елемент, якщо підставити n = 2, тоді вираз видає суму першого числа та різниці, і так далі.
Умови багатьох завдань складаються таким чином, що за відомою парою чисел, номери яких у послідовності також дано, необхідно відновити весь числовий ряд (знайти різницю та перший елемент). Зараз ми вирішимо це завдання у загальному вигляді.
Отже, нехай дані два елементи з номерами n і m. Користуючись отриманою формулою, можна скласти систему з двох рівнянь:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
Для знаходження невідомих величин скористаємося відомим простим прийомом рішення такої системи: віднімемо попарно ліву та праву частини, рівність при цьому залишиться справедливою. Маємо:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
Таким чином ми виключили одну невідому (a 1). Тепер можна записати остаточний вираз визначення d:
d = (a n - a m) / (n - m), де n > m
Ми отримали дуже просту формулу: щоб обчислити різницю d відповідно до умов завдання, необхідно лише взяти відношення різниць самих елементів та їх порядкових номерів. Слід звернути на один важливий момент увагу: різниці беруться між "старшим" і "молодшим" членами, тобто n > m ("старший" - мається на увазі, що стоїть далі від початку послідовності, його абсолютне значення може бути як більше, так і менше більш "молодшого" елемента).
Вираз для різниці d прогресії слід підставити на будь-яке з рівнянь на початку розв'язання задачі, щоб отримати значення першого члена.
У наш вік розвитку комп'ютерних технологій багато школярів намагаються знайти рішення для своїх завдань в Інтернеті, тому часто виникають такі питання: знайти різницю арифметичної прогресії онлайн. За подібним запитом пошуковик видасть ряд web-сторінок, перейшовши на які, потрібно буде ввести відомі з умови дані (це можуть бути як два члени прогресії, так і сума деякого їх числа) і миттєво отримати відповідь. Проте такий підхід до вирішення завдання є непродуктивним у плані розвитку школяра та розуміння суті поставленого перед ним завдання.
Рішення без використання формул
Вирішимо перше завдання, при цьому не будемо використовувати жодні з наведених формул. Нехай дані елементи ряду: а6 = 3, а9 = 18. Знайти різницю прогресії арифметичної.
Відомі елементи стоять близько один до одного в ряду. Скільки разів потрібно додати різницю d до найменшого, щоб отримати найбільше? Три рази (вперше додавши d, ми отримаємо 7-й елемент, другий раз - восьмий, нарешті, втретє - дев'ятий). Яке число потрібно додати до трьох разів, щоб отримати 18? Це число п'ять. Дійсно:
Таким чином, невідома різниця d=5.
Звичайно ж, рішення можна було виконати із застосуванням відповідної формули, але цього не було зроблено навмисно. Докладне пояснення розв'язання задачі має стати зрозумілим та яскравим прикладом, що таке арифметична прогресія.
Завдання, подібне до попереднього
Тепер вирішимо схоже завдання, але змінимо вхідні дані. Отже, слід знайти, якщо а3 = 2, а9 = 19.
Звичайно, можна вдатися знову до методу рішення "в лоб". Але оскільки дані елементи ряду, які стоять відносно далеко один від одного, такий метод стане не зовсім зручним. А ось використання отриманої формули швидко приведе нас до відповіді:
d = (а 9 - а 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83
Тут ми округлили кінцеве число. Наскільки це округлення спричинило помилку, можна судити, перевіривши отриманий результат:
a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98
Цей результат відрізняється лише на 0,1 % від значення, даного за умови. Тому використане округлення до сотих можна вважати успішним вибором.
Завдання застосування формули для an члена
Розглянемо класичний приклад завдання визначення невідомої d: знайти різницю прогресії арифметичної, якщо а1 = 12, а5 = 40.
Коли дано два числа невідомої послідовності алгебри, причому одним з них є елемент a 1 , тоді не потрібно довго думати, а слід відразу ж застосувати формулу для a n члена. В даному випадку маємо:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Ми отримали точне число під час поділу, тому немає сенсу перевіряти точність розрахованого результату, як це було зроблено в попередньому пункті.
Вирішимо ще одне аналогічне завдання: слід знайти різницю арифметичної прогресії, якщо а1 = 16, а8 = 37.
Використовуємо аналогічний попередній підхід та отримуємо:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Що ще слід знати про арифметичну прогресію
Крім завдань перебування невідомої різниці чи окремих елементів, часто необхідно вирішувати проблеми суми перших членів послідовності. Розгляд цих завдань виходить за межі теми статті, проте для повноти інформації наведемо загальну формулу для суми n чисел ряду:
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
