Pažnja aplikantima! Ovdje se raspravlja o nekoliko zadataka USE. Ostalo, zanimljivije, nalazi se u našem besplatnom videu. Gledajte i radite!
Počećemo sa jednostavni zadaci i osnovni koncepti teorije vjerovatnoće.
Slučajno Događaj koji se ne može tačno predvidjeti unaprijed se naziva. Može se desiti ili ne.
Dobili ste na lutriji - slučajni događaj. Pozvali ste prijatelje da proslave svoju pobedu, a na putu do vas su se zaglavili u liftu - takođe slučajni događaj. Istina, ispostavilo se da je majstor bio u blizini i za deset minuta oslobodio cijelo društvo - a to se može smatrati i sretnim slučajem...
Naš život je pun slučajnih događaja. Za svakog od njih možemo reći da će se to dogoditi s nekima vjerovatnoća. Najvjerovatnije ste intuitivno upoznati s ovim konceptom. Sada ćemo dati matematičku definiciju vjerovatnoće.
Počnimo od samog početka jednostavan primjer. Bacaš novčić. Pismo ili glava?
Takva akcija, koja može dovesti do jednog od nekoliko rezultata, naziva se u teoriji vjerovatnoće test.
Glava i rep - moguće dvije ishod testovi.
Glave će ispasti u jednom od dva moguća slučaja. Kažu to vjerovatnoća da će novčić sletjeti na glave je .
Hajde da bacimo kocku. Kocka ima šest strana, tako da postoji i šest mogućih ishoda.
Na primjer, željeli ste da se pojave tri tačke. Ovo je jedan od šest mogućih ishoda. U teoriji vjerovatnoće će se zvati povoljan ishod.
Verovatnoća da dobijete trojku je jednaka (jedan povoljan ishod od šest mogućih).
Verovatnoća četiri je takođe
Ali vjerovatnoća da će se pojaviti sedam je nula. Na kraju krajeva, ne postoji ivica sa sedam tačaka na kocki.
Vjerovatnoća događaja jednaka je omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja ishoda.
Očigledno, vjerovatnoća ne može biti veća od jedan.
Evo još jednog primjera. U vrećici su jabuke, neke su crvene, ostale zelene. Jabuke se ne razlikuju ni po obliku ni veličini. Stavite ruku u torbu i nasumce izvadite jabuku. Vjerovatnoća crtanja crvene jabuke je jednaka , a vjerovatnoća crtanja zelene jabuke jednaka je .
Vjerovatnoća da dobijete crvenu ili zelenu jabuku je jednaka.
Hajde da analiziramo probleme iz teorije vjerovatnoće uključene u zbirke za pripremu za Jedinstveni državni ispit.
. U taksi kompaniji ovog trenutka besplatni automobili: crveni, žuti i zeleni. Na poziv se odazvao jedan od automobila koji se zatekao najbliže kupcu. Pronađite vjerovatnoću da će žuti taksi doći do nje.
Automobila je ukupno, odnosno jedan od petnaest će doći do kupca. Ima devet žutih, što znači da je vjerovatnoća da žuti automobil stigne jednaka , tj.
. (Demo verzija) U kolekciji karata o biologiji svih ulaznica, u dvije se postavlja pitanje o gljivama. U toku ispita student dobija jednu nasumično odabranu kartu. Pronađite vjerovatnoću da ova karta neće sadržavati pitanje o gljivama.
Očigledno, vjerovatnoća izvlačenja karte bez pitanja o gljivama je jednaka , tj.
. Odbor roditelja je kupio slagalice za maturske poklone za djecu. školske godine, uključujući slike poznatih umjetnika i slike životinja. Pokloni se dijele nasumično. Pronađite vjerovatnoću da će Vovočka dobiti slagalicu sa životinjom.
Problem se rješava na sličan način.
Odgovor: .
. Na prvenstvu u gimnastici učestvuju atletičarke iz Rusije, SAD, a ostale iz Kine. Redoslijed nastupa gimnastičarki određuje se žrijebom. Pronađite vjerovatnoću da je posljednji sportista koji će se takmičiti iz Kine.
Zamislimo da su svi sportisti istovremeno prišli šeširu i iz njega izvukli komadiće papira sa brojevima. Neki od njih će dobiti broj dvadeset. Verovatnoća da će ga kineski sportista izvući je jednaka (pošto su sportisti iz Kine). Odgovor: .
. Od učenika se tražilo da navede broj od do. Kolika je vjerovatnoća da će imenovati broj koji je višestruki od pet?
Svaki peti broj dati set podijeljena . To znači da je vjerovatnoća jednaka .
Kocka je bačena. Pronađite vjerovatnoću da dobijete neparan broj bodova.
Neparni brojevi; - čak. Vjerovatnoća neparnog broja bodova je .
Odgovor: .
. Novčić se baca tri puta. Kolika je vjerovatnoća dvije glave i jednog repa?
Imajte na umu da se problem može formulirati drugačije: tri novčića su bačena u isto vrijeme. Ovo neće uticati na odluku.
Šta mislite, koliko mogućih ishoda postoji?
Bacamo novčić. Ova akcija ima dva moguća ishoda: glave i repove.
Dva novčića - već četiri ishoda:
Tri novčića? Tako je, ishodi, od .
Dvije glave i jedan rep pojavljuju se tri od osam puta.
Odgovor: .
. U nasumičnom eksperimentu bacaju se dvije kockice. Nađite vjerovatnoću da će zbroj biti bodova. Zaokružite rezultat na stotinke.
Bacamo prvu kocku - šest ishoda. I za svakog od njih je moguće još šest - kada bacimo drugu kockicu.
Shvatili smo to ove akcije- bacanje dvije kocke - ukupni mogući ishodi, budući da .
A sada - povoljni ishodi:
Vjerovatnoća dobivanja osam bodova je .
>. Strijelac pogađa metu sa vjerovatnoćom. Nađite vjerovatnoću da on pogodi metu četiri puta zaredom.
Ako je vjerovatnoća pogotka jednaka, tada je vjerovatnoća promašaja . Razmišljamo na isti način kao u prethodnom problemu. Vjerovatnoća dva uzastopna pogotka je jednaka. I vjerovatnoća četiri uzastopna pogotka je jednaka.
Vjerovatnoća: logika grube sile.
Evo problema iz dijagnostičkog rada koji je mnogima bio težak.
Petya je u džepu imao novčiće u vrijednosti od rubalja i novčiće u vrijednosti od rubalja. Petya je, ne gledajući, prebacio novčiće u drugi džep. Pronađite vjerovatnoću da se novčići od pet rubalja sada nalaze u različitim džepovima.
Znamo da je vjerovatnoća događaja jednaka omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja ishoda. Ali kako izračunati sve ove rezultate?
Možete, naravno, kovanice od pet rubalja označiti brojevima, a kovanice od deset rubalja brojevima - a zatim prebrojati na koliko načina možete odabrati tri elementa iz skupa.
Međutim, postoji jednostavnije rješenje:
Kovanice kodiramo brojevima: , (ovo su kovanice od pet rubalja), (ovo su kovanice od deset rubalja). Problemski uvjet se sada može formulirati na sljedeći način:
Postoji šest čipova sa brojevima od do . Na koliko načina se mogu ravnomjerno rasporediti u dva džepa, tako da žetoni sa brojevima ne završe zajedno?
Hajde da zapišemo šta imamo u prvom džepu.
Da bismo to učinili, sastavit ćemo sve moguće kombinacije iz seta. Skup od tri čipa će biti trocifreni broj. Očigledno je da su u našim uslovima i isti set čipova. Da ništa ne bismo propustili ili se ponovili, odgovarajuće trocifrene brojeve poredamo uzlaznim redom:
Sve! Prošli smo kroz sve moguće kombinacije počevši od . nastavimo:
Ukupni mogući ishodi.
Imamo uslov - čipovi sa brojevima ne bi trebalo da budu zajedno. To znači, na primjer, da nam kombinacija ne odgovara - znači da su oba čipa završila ne u prvom, već u drugom džepu. Ishodi koji su za nas povoljni su oni kod kojih postoji ili samo , ili samo . Evo ih:
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – ukupno povoljni ishodi.
Tada je tražena vjerovatnoća jednaka .
Koji zadaci vas očekuju na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike?
Pogledajmo jednu od njih složeni zadaci prema teoriji vjerovatnoće.
Za upis u institut za specijalnost "Lingvistika", kandidat Z. mora postići najmanje 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu iz svakog od tri predmeta - matematike, ruskog jezika i stranog jezika. Da biste se upisali na specijalnost "Trgovina", potrebno je da osvojite najmanje 70 bodova iz svakog od tri predmeta - matematike, ruskog jezika i društvenih nauka.
Verovatnoća da kandidat Z. dobije najmanje 70 bodova iz matematike je 0,6, na ruskom jeziku - 0,8, u strani jezik- 0,7 i na društvenim studijama - 0,5.
Naći vjerovatnoću da će Z. moći upisati barem jednu od dvije navedene specijalnosti.
Imajte na umu da problem ne postavlja pitanje da li će kandidat po imenu Z. studirati i lingvistiku i trgovinu odjednom i dobiti dvije diplome. Ovdje treba pronaći vjerovatnoću da će Z. moći upisati barem jedan od ova dva smjera – odnosno steći potreban iznos bodova.
Da bi upisao barem jednu od dvije specijalnosti, Z. mora osvojiti najmanje 70 bodova iz matematike. I to na ruskom. I takođe - društvene ili strane.
Vjerovatnoća da on postigne 70 bodova iz matematike je 0,6.
Vjerovatnoća za bodovanje iz matematike i ruskog jezika je 0,6 0,8.
Bavimo se stranim i društvenim studijama. Opcije koje nam odgovaraju su kada kandidat ima bodove na društvenim studijama, stranim studijama ili oboje. Opcija nije prikladna kada nije postigao nijedan poen ni na jeziku ni na "društvu". To znači da je vjerovatnoća polaganja društvenih studija ili stranog jezika sa najmanje 70 bodova jednaka
1 – 0,5 0,3.
Kao rezultat toga, vjerovatnoća polaganja matematike, ruskog i društvenih studija ili stranih je jednaka
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Ovo je odgovor.
Znajući da se vjerovatnoća može izmjeriti, pokušajmo je izraziti brojevima. Postoje tri moguća načina.
Rice. 1.1. Measuring Probability
VEROVATNOĆA ODREĐENA SIMETRIJOM
Postoje situacije u kojima su mogući ishodi jednako vjerovatni. Na primjer, kada se novčić baci jednom, ako je novčić standardan, vjerovatnoća pojave „glava“ ili „repa“ je ista, tj. P("glave") = P("repove"). Pošto su moguća samo dva ishoda, onda je P(„glave“) + P(„repovi“) = 1, dakle, P(„glave“) = P(„repovi“) = 0,5.
U eksperimentima u kojima ishodi imaju jednake šanse za nastanak, vjerovatnoća događaja E, P (E) je jednaka:
Primjer 1.1. Novčić se baca tri puta. Kolika je vjerovatnoća dvije glave i jednog repa?
Prvo, hajde da pronađemo sve moguće ishode: Da bismo bili sigurni u sve moguće opcije smo pronašli, koristimo dijagram stabla (vidi Poglavlje 1, Odjeljak 1.3.1).
Dakle, postoji 8 jednako mogućih ishoda, pa je vjerovatnoća za njih 1/8. Događaj E - dvije glave i repa - tri se dogodila. Zbog toga:
Primjer 1.2. Standardna kocka se baca dvaput. Kolika je vjerovatnoća da je rezultat 9 ili više?
Hajde da pronađemo sve moguće ishode.
Tabela 1.2. Ukupan broj poena dobijenih bacanjem kocke dva puta
Dakle, u 10 od 36 mogućih ishoda zbir bodova je 9 ili prema tome:
EMPIRIJSKI UTVRĐENA VEROVATNOĆA
Primjer sa novčićem iz stola. 1.1 jasno ilustruje mehanizam za određivanje vjerovatnoće.
At ukupan broj eksperimenti iz kojih su uspješni, vjerovatnoća traženog rezultata izračunava se na sljedeći način:
Odnos je relativna učestalost pojavljivanja određenog rezultata tokom dovoljno dugog eksperimenta. Vjerovatnoća se izračunava ili na osnovu podataka izvršenog eksperimenta, na osnovu prošlih podataka.
Primjer 1.3. Od pet stotina testiranih električnih lampi, 415 je radilo više od 1000 sati. Na osnovu podataka iz ovog eksperimenta možemo zaključiti da je vjerovatnoća normalnog rada lampe ovog tipa više od 1000 sati je:
Bilješka. Ispitivanje je destruktivne prirode, tako da se sve lampe ne mogu testirati. Kada bi se testirala samo jedna lampa, vjerovatnoća bi bila 1 ili 0 (tj. da li može trajati 1000 sati ili ne). Stoga je potrebno ponoviti eksperiment.
Primjer 1.4. U tabeli 1.3 prikazuje podatke o radnom stažu muškaraca koji rade u kompaniji:
Tabela 1.3. Muško radno iskustvo
Kolika je vjerovatnoća da će sljedeća osoba koju angažuje kompanija raditi najmanje dvije godine:
Rješenje.
Tabela pokazuje da 38 od 100 zaposlenih u kompaniji radi više od dvije godine. Empirijska vjerovatnoća da će sljedeći zaposlenik ostati u kompaniji duže od dvije godine je:
Istovremeno, pretpostavljamo da je novi zaposlenik „tipičan i da su uslovi rada nepromijenjeni.
SUBJEKTIVNA PROCENA VEROVATNOSTI
U poslovanju se često javljaju situacije u kojima nema simetrije, a nema ni eksperimentalnih podataka. Stoga je određivanje vjerovatnoće povoljnog ishoda pod uticajem pogleda i iskustva istraživača subjektivno.
Primjer 1.5.
1. Investicioni stručnjak procjenjuje da je vjerovatnoća ostvarivanja dobiti u prve dvije godine 0,6.
2. Prognoza marketing menadžera: vjerovatnoća prodaje 1000 jedinica proizvoda u prvom mjesecu nakon njegovog pojavljivanja na tržištu je 0,4.
Želite li znati matematičke šanse da vaša opklada bude uspješna? Onda imamo dvije dobre vijesti za vas. Prvo: da biste izračunali sposobnost kretanja, ne morate vršiti složene proračune i trošiti veliki broj vrijeme. Dovoljno je koristiti jednostavne formule, sa kojim će biti potrebno nekoliko minuta za rad. Drugo: nakon što pročitate ovaj članak, lako možete izračunati vjerovatnoću prolaska bilo koje vaše transakcije.
Da biste ispravno odredili sposobnost trčanja, morate poduzeti tri koraka:
- Izračunajte postotak vjerovatnoće ishoda nekog događaja prema kladioničarskoj kancelariji;
- Sami izračunajte vjerovatnoću koristeći statističke podatke;
- Saznajte vrijednost opklade, uzimajući u obzir obje vjerovatnoće.
Pogledajmo svaki od koraka detaljno, koristeći ne samo formule, već i primjere.
Brzi prolaz
Izračunavanje vjerovatnoće uključene u kvote kladioničara
Prvi korak je saznati s kojom vjerovatnoćom sam kladioničar procjenjuje šanse za određeni ishod. Jasno je da kladionice ne postavljaju kvote tek tako. Za to koristimo sljedeću formulu:
PB=(1/K)*100%,
gdje je P B vjerovatnoća ishoda prema kladionici;
K – kladioničarska kvota na ishod.
Recimo da je kvota za pobjedu londonskog Arsenala u utakmici protiv Bayern Minhena 4. To znači da vjerovatnoću njihove pobjede kladioničar procjenjuje kao (1/4)*100%=25%. Ili Đoković igra protiv Youzhnyja. Množilac za Novakovu pobedu je 1,2, njegove šanse su (1/1,2)*100%=83%.
Ovako sama kladionica procjenjuje šanse za uspjeh svakog igrača i tima. Nakon što smo završili prvi korak, prelazimo na drugi.
Proračun vjerovatnoće događaja od strane igrača
Druga tačka našeg plana je naša vlastita procjena vjerovatnoće događaja. Budući da ne možemo matematički uzeti u obzir parametre kao što su motivacija i ton igre, koristit ćemo pojednostavljeni model i koristiti samo statistiku s prethodnih sastanaka. Za izračunavanje statističke vjerovatnoće ishoda koristimo formulu:
PI=(UM/M)*100%,
GdjePI– vjerovatnoća događaja prema igraču;
UM – broj uspješnih utakmica u kojima se dogodio takav događaj;
M – ukupan broj utakmica.
Da bi bilo jasnije, navedimo primjere. Andy Murray i Rafael Nadal odigrali su 14 mečeva između sebe. U 6 od njih ukupan je bio manji od 21 u utakmicama, u 8 ukupan je bio više. Morate saznati vjerovatnoću da će sljedeći meč biti odigran sa većim zbrojem: (8/14)*100=57%. Valensija je na Mestalji odigrala 74 utakmice protiv Atletica u kojima je ostvarila 29 pobjeda. Verovatnoća pobede Valensije: (29/74)*100%=39%.
A sve to učimo samo zahvaljujući statistici prethodnih utakmica! Naravno, za neke novi tim ili igrača, neće biti moguće izračunati takvu vjerovatnoću, tako da je ova strategija klađenja prikladna samo za mečeve u kojima se protivnici sastaju više puta. Sada znamo kako odrediti kladioničareve i naše vlastite vjerovatnoće ishoda, i imamo svo znanje da pređemo na posljednji korak.
Određivanje vrijednosti opklade
Vrijednost (vrijednost) opklade i prolaznost imaju direktnu vezu: što je veća vrijednost, veća je šansa za prolaz. Vrijednost se izračunava na sljedeći način:
V=PI*K-100%,
gdje je V vrijednost;
P I – vjerovatnoća ishoda prema kladiocu;
K – kladioničarska kvota na ishod.
Recimo da želimo da se kladimo na pobedu Milana u meču protiv Rome i računamo da je verovatnoća da „crveno-crni” pobede 45%. Kladionica nam nudi kvotu 2,5 za ovaj ishod. Da li bi takva opklada bila vredna? Izvodimo proračune: V=45%*2,5-100%=12,5%. Odlično, imamo vrijednu opkladu sa dobrim šansama za prolaz.
Uzmimo drugi slučaj. Marija Šarapova igra protiv Petre Kvitove. Želimo da se dogovorimo da Maria pobedi, čija je verovatnoća, prema našim proračunima, 60%. Kladionice nude množitelj od 1,5 za ovaj ishod. Određujemo vrijednost: V=60%*1,5-100=-10%. Kao što vidite, ova opklada nema nikakvu vrijednost i treba je izbjegavati.
Događaji koji se događaju u stvarnosti ili u našoj mašti mogu se podijeliti u 3 grupe. To su određeni događaji koji će se sigurno dogoditi, nemogući događaji i slučajni događaji. Teorija vjerovatnoće proučava slučajne događaje, tj. događaji koji se mogu desiti, a ne moraju. Ovaj članak će predstaviti u ukratko formule teorije vjerovatnoće i primjeri rješavanja zadataka iz teorije vjerovatnoće koji će biti u zadatku 4 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (profilni nivo).
Zašto nam je potrebna teorija vjerovatnoće?
Istorijski gledano, potreba za proučavanjem ovih problema pojavila se u 17. veku u vezi sa razvojem i profesionalizacijom. kockanje i pojavu kazina. Ovo je bio pravi fenomen koji je zahtijevao vlastito proučavanje i istraživanje.
Igranje karata, kockica i ruleta stvorilo je situacije u kojima se može dogoditi bilo koji od konačnog broja jednako mogućih događaja. Postojala je potreba da se daju numeričke procjene mogućnosti nastanka određenog događaja.
U 20. veku se pokazalo da ova naizgled neozbiljna nauka igra važnu ulogu u poznavanju osnovnih procesa koji se dešavaju u mikrokosmosu. Stvorena je moderna teorija vjerovatnoće.
Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće
Predmet proučavanja teorije vjerovatnoće su događaji i njihove vjerovatnoće. Ako je događaj složen, onda se može rastaviti na jednostavne komponente čije je vjerovatnoće lako pronaći.
Zbir događaja A i B naziva se događaj C, koji se sastoji u činjenici da su se ili događaj A, ili događaj B, ili događaji A i B dogodili istovremeno.
Proizvod događaja A i B je događaj C, što znači da su se desili i događaj A i događaj B.
Događaji A i B nazivaju se nekompatibilnima ako se ne mogu dogoditi istovremeno.
Događaj A se naziva nemogućim ako se ne može dogoditi. Takav događaj je označen simbolom.
Događaj A se naziva izvjesnim ako je siguran da će se dogoditi. Takav događaj je označen simbolom.
Neka je svakom događaju A pridružen broj P(A). Ovaj broj P(A) naziva se verovatnoća događaja A ako su ispunjeni sledeći uslovi sa ovom korespondencijom.
Važan poseban slučaj je situacija kada postoje podjednako vjerovatni elementarni ishodi, a proizvoljni od ovih ishoda formiraju događaje A. U ovom slučaju vjerovatnoća se može unijeti pomoću formule. Ovako uvedena vjerovatnoća naziva se klasičnom vjerovatnoćom. Može se dokazati da su u ovom slučaju zadovoljene osobine 1-4.
Problemi teorije vjerovatnoće koji se pojavljuju na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike uglavnom se odnose na klasičnu vjerovatnoću. Takvi zadaci mogu biti vrlo jednostavni. Problemi teorije vjerovatnoće u demonstracionim verzijama su posebno jednostavni. Lako je izračunati broj povoljnih ishoda, broj svih ishoda je zapisan tačno u uslovu.
Odgovor dobijamo pomoću formule.
Primjer zadatka sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike o određivanju vjerovatnoće
Na stolu je 20 pita - 5 sa kupusom, 7 sa jabukama i 8 sa pirinčem. Marina želi uzeti pitu. Kolika je vjerovatnoća da će uzeti pirinčanu tortu?
Rješenje.
Postoji 20 jednako vjerovatnih elementarnih ishoda, odnosno Marina može uzeti bilo koju od 20 pita. Ali moramo procijeniti vjerovatnoću da će Marina uzeti pitu od riže, odnosno gdje je A izbor pite od riže. To znači da je broj povoljnih ishoda (izbor pita sa pirinčem) samo 8. Tada će se vjerovatnoća odrediti po formuli:
Nezavisni, suprotni i proizvoljni događaji
Međutim, u otvorena tegla Počeli su se susresti složeniji zadaci. Stoga, skrenemo pažnju čitatelja na druga pitanja koja se proučavaju u teoriji vjerovatnoće.
Za događaje A i B kaže se da su nezavisni ako vjerovatnoća svakog od njih ne zavisi od toga da li će se drugi događaj desiti.
Događaj B je da se događaj A nije dogodio, tj. događaj B je suprotan događaju A. Vjerovatnoća suprotnog događaja jednaka je jedan minus vjerovatnoća direktnog događaja, tj. .
Teoreme sabiranja i množenja vjerojatnosti, formule
Za proizvoljne događaje A i B, vjerovatnoća zbira ovih događaja jednaka je zbiru njihovih vjerovatnoća bez vjerovatnoće njihovog zajedničkog događaja, tj. .
Za nezavisne događaje A i B vjerovatnoća nastanka ovih događaja jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća, tj. u ovom slučaju .
Posljednje 2 tvrdnje nazivaju se teoreme sabiranja i množenja vjerovatnoća.
Brojanje rezultata nije uvijek tako jednostavno. U nekim slučajevima potrebno je koristiti kombinatoričke formule. Najvažnije je izbrojati broj događaja koji zadovoljavaju određene uslove. Ponekad ove vrste proračuna mogu postati samostalni zadaci.
Na koliko načina može 6 učenika sjesti u 6 praznih mjesta? Prvi učenik će zauzeti bilo koje od 6 mjesta. Svaka od ovih opcija odgovara 5 načina da drugi učenik zauzme mjesto. Ostala su 4 slobodna mjesta za trećeg učenika, 3 za četvrtog, 2 za petog, a šesti će zauzeti jedino preostalo mjesto. Da biste pronašli broj svih opcija, morate pronaći proizvod koji je označen simbolom 6! i glasi "šest faktorijala".
U opštem slučaju, odgovor na ovo pitanje daje formula za broj permutacija od n elemenata.U našem slučaju.
Razmotrimo sada još jedan slučaj sa našim studentima. Na koliko načina 2 učenika mogu sjesti u 6 praznih mjesta? Prvi učenik će zauzeti bilo koje od 6 mjesta. Svaka od ovih opcija odgovara 5 načina da drugi učenik zauzme mjesto. Da biste pronašli broj svih opcija, morate pronaći proizvod.
Općenito, odgovor na ovo pitanje daje formula za broj smještaja n elemenata preko k elemenata
U našem slučaju.
I poslednji slučaj u ovoj seriji. Na koliko načina možete izabrati tri učenika od 6? Prvi učenik se može izabrati na 6 načina, drugi - na 5 načina, treći - na četiri načina. Ali među ovim opcijama, ista tri učenika se pojavljuju 6 puta. Da biste pronašli broj svih opcija, morate izračunati vrijednost: . Općenito, odgovor na ovo pitanje daje formula za broj kombinacija elemenata po elementu:
U našem slučaju.
Primjeri rješavanja zadataka sa Jedinstvenog državnog ispita iz matematike za određivanje vjerovatnoće
Zadatak 1. Iz zbirke koju priređuje. Yashchenko.
Na tanjiru je 30 pita: 3 sa mesom, 18 sa kupusom i 9 sa višnjama. Sasha bira jednu pitu nasumce. Pronađite vjerovatnoću da će on završiti sa trešnjom.
.
Odgovor: 0.3.
Zadatak 2. Iz zbirke koju priređuje. Yashchenko.
U svakoj seriji od 1000 sijalica u prosjeku je 20 neispravnih. Pronađite vjerovatnoću da će sijalica uzeta nasumično iz serije raditi.
Rješenje: Broj radnih sijalica je 1000-20=980. Tada će vjerovatnoća da će sijalica uzeta nasumično iz serije raditi:
Odgovor: 0,98.
Verovatnoća da će učenik U tačno rešiti više od 9 zadataka tokom testa iz matematike je 0,67. Verovatnoća da će U. tačno rešiti više od 8 zadataka je 0,73. Nađite vjerovatnoću da će U tačno riješiti tačno 9 zadataka.
Ako zamislimo brojevnu pravu i na njoj označimo tačke 8 i 9, tada ćemo vidjeti da je uvjet „U. će riješiti tačno 9 zadataka” je uključeno u uslov “U. će tačno riješiti više od 8 zadataka”, ali se ne odnosi na uvjet “U. će tačno riješiti više od 9 problema.”
Međutim, uslov „U. će riješiti više od 9 problema ispravno” sadržano je u uvjetu “U. će tačno riješiti više od 8 problema.” Dakle, ako označimo događaje: „U. riješit će tačno 9 problema" - do A, "U. će tačno riješiti više od 8 problema" - do B, "U. će ispravno riješiti više od 9 problema” do C. To rješenje će izgledati ovako:
Odgovor: 0.06.
Na ispitu iz geometrije student odgovara na jedno pitanje sa liste ispitnih pitanja. Vjerovatnoća da je ovo pitanje trigonometrije je 0,2. Vjerovatno je da je ovo pitanje na temu " Vanjski uglovi“, jednako je 0,15. Ne postoje pitanja koja se istovremeno odnose na ove dvije teme. Pronađite vjerovatnoću da će student na ispitu dobiti pitanje o jednoj od ove dvije teme.
Hajde da razmislimo o tome koje događaje imamo. Nama su data dva nespojiva događaja. Odnosno, ili će se pitanje odnositi na temu “Trigonometrija” ili na temu “Spoljni uglovi”. Prema teoremi vjerovatnoće, vjerovatnoća nekompatibilnih događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća svakog događaja, moramo pronaći zbir vjerovatnoća ovih događaja, odnosno:
Odgovor: 0,35.
Prostorija je osvetljena fenjerom sa tri lampe. Verovatnoća da jedna lampa pregori u toku godine je 0,29. Pronađite vjerovatnoću da barem jedna lampa neće pregorjeti tokom godine.
Hajde da razmotrimo moguće događaje. Imamo tri sijalice, od kojih svaka može ili ne mora da pregori nezavisno od bilo koje druge sijalice. To su nezavisni događaji.
Zatim ćemo navesti opcije za takve događaje. Koristimo sljedeće oznake: - sijalica je upaljena, - sijalica je pregorjela. I odmah zatim izračunavamo vjerovatnoću događaja. Na primjer, vjerovatnoća događaja u kojem su se desila tri nezavisna događaja “sijalica je pregorjela”, “sijalica je upaljena”, “sijalica je upaljena”: , gdje je vjerovatnoća događaja “sijalica je uključen“ izračunava se kao verovatnoća događaja suprotnog događaju „sijalica nije upaljena“, i to: .
Razumijem da svi žele unaprijed znati kako će se sportski događaj završiti, ko će pobijediti, a ko izgubiti. Uz ove informacije možete se bez straha kladiti na sportske događaje. Ali da li je to uopšte moguće, i ako jeste, kako izračunati verovatnoću nekog događaja?
Vjerovatnoća je relativna vrijednost, stoga ne može sa sigurnošću govoriti ni o jednom događaju. Ova vrijednost omogućava vam da analizirate i procijenite potrebu da se kladite na određeno takmičenje. Određivanje vjerovatnoća je čitava nauka koja zahtijeva pažljivo proučavanje i razumijevanje.
Koeficijent vjerovatnoće u teoriji vjerovatnoće
U sportskom klađenju postoji nekoliko opcija za ishod takmičenja:
- pobjeda prvog tima;
- pobjeda drugog tima;
- draw;
- ukupno
Svaki ishod takmičenja ima svoju vjerovatnoću i učestalost s kojom će se ovaj događaj dogoditi, pod uslovom da se zadrže početne karakteristike. Kao što smo ranije rekli, nemoguće je precizno izračunati vjerovatnoću bilo kojeg događaja - može se, ali i ne mora podudarati. Dakle, vaša opklada može ili dobiti ili izgubiti.
Ne može postojati 100% tačna prognoza rezultata takmičenja, jer mnogo faktora utiče na ishod utakmice. Naravno, kladionice ne znaju unaprijed ishod utakmice i samo pretpostavljaju rezultat, donoseći odluke koristeći svoj sistem analize i nudeći određene kvote za klađenje.
Kako izračunati vjerovatnoću događaja?
Pretpostavimo da su kvote kladionice 2,1/2 – dobijamo 50%. Ispada da je koeficijent 2 jednak vjerovatnoći od 50%. Koristeći isti princip, možete dobiti koeficijent vjerovatnoće preloma - 1/vjerovatnoća.
Mnogi igrači misle da će se nakon nekoliko ponovljenih poraza sigurno dogoditi pobjeda - ovo je pogrešno mišljenje. Verovatnoća dobijanja opklade ne zavisi od broja gubitaka. Čak i ako okrenete nekoliko glava zaredom u igri novčića, vjerovatnoća okretanja repa ostaje ista - 50%.
